Wykaz ważniejszych oznaczeń

Transkrypt

POLITECHNIKA WARSZAWSKA
WYDZIAŁ ELEKTRONIKI I TECHNIK INFORMACYJNYCH
INSTYTUT SYSTEMÓW ELEKTRONICZNYCH
mgr inż. Konrad Jędrzejewski
Rozprawa doktorska
Przetwarzanie sygnałów niestacjonarnych
z wykorzystaniem koncepcji adaptacyjnej
dopasowanej obserwacji
Promotor:
dr hab. inż. Jerzy Szabatin
WARSZAWA 2000
Składam podziękowania wszystkim, którzy okazali swoją
życzliwość w trakcie pisania tej pracy.
Pragnę gorąco podziękować Promotorowi Panu dr. hab. Jerzemu
Szabatinowi za wszechstronną pomoc podczas przygotowywania
pracy, za wnikliwe przestudiowanie tekstu pracy w różnych fazach jej
powstawania oraz wszelkie uwagi i wskazówki, które przyczyniły się
do wyeliminowania szeregu usterek.
Szczególnie serdecznie chciałbym podziękować Panu doc. dr.
Anatolijowi
Płatonowowi
za
wieloletnią
współpracę
oraz
wielogodzinne dyskusje, które wpłynęły na ostateczną formę i treść
pracy. Bez Jego cennych uwag i sugestii, jako autora koncepcji
adaptacyjnej dopasowanej obserwacji, praca ta nie mogłaby powstać.
Słowa
podziękowania
kieruję
także
do
wszystkich
współpracowników z Zakładu Teorii Obwodów i Sygnałów.
Konrad Jędrzejewski
Spis treści
Spis treści
Wykaz ważniejszych oznaczeń ................................................................................................ 3
Wykaz stosowanych akronimów ............................................................................................. 4
1. Wprowadzenie...................................................................................................................... 5
1.1. Podstawowe metody analizy i przetwarzania sygnałów niestacjonarnych .................. 5
1.2. Cel, treść i układ pracy ................................................................................................. 8
2. Koncepcja adaptacyjnej dopasowanej obserwacji ......................................................... 12
2.1. Podstawowe założenia koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji .................. 12
2.2. Optymalne algorytmy estymacji parametrów sygnałów stacjonarnych ..................... 15
2.3. Wpływ sterowania parametrami układu obserwacji na szybkość zbieżności
algorytmów estymacji ................................................................................................ 18
2.4. Koncepcja adaptacyjnej dopasowanej obserwacji w przetwarzaniu sygnałów
niestacjonarnych ......................................................................................................... 23
3. Estymacja parametrów sygnałów regresyjnych w obecności zakłóceń typu dryftów i
nagłych zmian parametrów sygnałów .............................................................................. 26
3.1. Analiza pracy algorytmów estymacji w obecności zakłóceń typu dryftów ............... 26
3.2. Rozszerzone algorytmy optymalnej estymacji parametrów sygnałów
niestacjonarnych ......................................................................................................... 31
3.3. Analiza pracy algorytmów estymacji w przypadku nagłych zmian parametrów
sygnałów ..................................................................................................................... 40
3.4. Zmodyfikowane algorytmy estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych ....... 43
4. Jednoczesna detekcja dryftów i estymacja parametrów sygnałów i zakłóceń ............. 49
4.1. Charakterystyka problemu ......................................................................................... 49
4.2. Algorytm jednoczesnej detekcji dryftów i estymacji parametrów ............................. 50
4.3. Wyniki badań symulacyjnych .................................................................................... 54
5. Filtracja sygnałów niestacjonarnych ............................................................................... 59
5.1. Charakterystyka problemu. Model zmian parametrów .............................................. 59
5.2. Optymalne algorytmy filtracji sygnałów niestacjonarnych........................................ 60
5.3. Podstawowe właściwości algorytmów filtracji sygnałów niestacjonarnych .............. 65
6. Przykłady zastosowań algorytmów w przetwarzaniu niestacjonarnych sygnałów
pomiarowych ...................................................................................................................... 75
1
Spis treści
6.1. Pomiar parametrów sygnałów sinusoidalnych w obecności losowych dryftów ich
amplitud ...................................................................................................................... 76
6.2. Filtracja i estymacja parametrów stacjonarnych sygnałów sinusoidalnych w
obecności silnych niestacjonarnych zakłóceń ............................................................ 83
6.3. Pomiar parametrów sygnałów o złożonej strukturze składowych użytecznych i
zakłóceń w przypadku dryftu punktu pracy czujnika oraz błędów zera jego
charakterystyki ........................................................................................................... 89
7. Uniwersalne stanowisko do fizycznych i symulacyjnych badań systemów
pomiarowych ...................................................................................................................... 97
7.1. Koncepcja i struktura stanowiska badawczego .......................................................... 97
7.2. Realizacja sprzętowa stanowiska badawczego........................................................... 99
7.3. Badania prototypu szerokozakresowego adaptacyjnego woltomierza ..................... 102
8. Podsumowanie.................................................................................................................. 109
Dodatki .................................................................................................................................. 112
Bibliografia ............................................................................................................................ 121
2
Bn
Cn
D
det A
en
E[⋅]
hn( β )
Ln
- przesunięcie charakterystyki układu obserwacji
- czułość układu obserwacji
- poziom nasycenia układu obserwacji
- wyznacznik macierzy A
- błąd predykcji
- symbol wartości oczekiwanej
- próg detekcji zakłóceń typu dryftów
- macierz kowariancji błędów estymacji w przypadku znanego modelu zmian
parametrów
Ln , n −1 - macierz kowariancji błędów prognozy w przypadku znanego modelu zmian
parametrów
2
N[ξ − ξ , σ ξ ] - rozkład normalny zmiennej losowej ξ o wartości średniej ξ i wariancji σ ξ2
p(⋅)
Pfa
- funkcja gęstości prawdopodobieństwa
- prawdopodobieństwo fałszywego alarmu
Pd
Pn
Pn ,n −1
- empiryczne prawdopodobieństwo poprawnej detekcji dryftu
- macierz kowariancji błędów estymacji
- macierz kowariancji błędów jednokrokowej prognozy
Q2
Rn
Sn
S n,n −1
- stosunek sygnał-szum na wyjściu układu obserwacji
- średnie ryzyko; błąd średniokwadratowy filtracji
- wariancja błędu estymacji
- wariancja błędu jednokrokowej prognozy
Sn
tr A
Un
Xn
yn
ŷ n
yˆ n ,n −1
- macierz kowariancji błędów estymacji
- ślad macierzy A
- wektor znanych deterministycznych pobudzeń lub sterowań
- wektor znanych deterministycznych sygnałów
- próbki sygnału { y n }
- estymata bieżącej wartości sygnału { y n } w chwili n
n
1
- jednokrokowa prognoza wartości sygnału { y n }
y
{yn }
{~
yn }
- ciąg próbek y1 ,..., yn sygnału { y n }
- sygnał obserwowany
- sygnał na wyjściu układu obserwacji
- stała algorytmu
- szybkość narastania liniowego dryftu
- dystrybucja Diraca
- macierz (wektor) amplitud zmian parametrów sygnałów
β$n
θ
θn
θ$n
- estymata wektora parametrów β
- wektor parametrów sygnału
- wektor zmiennych w czasie parametrów sygnału
α
β
δ (⋅)
β
- estymata wektora parametrów θ sygnału w chwili n
3
θ$n ,n −1
θn
θn ,n −1
- jednokrokowa prognoza wektora parametrów θ sygnału
- estymata wektora parametrów θn w przypadku znanego modelu zmian parametrów
- jednokrokowa prognoza wektora θn w przypadku znanego modelu zmian
parametrów
{ηn }
- wektorowy szum w modelu zmian parametrów sygnału
λ
- stała zapominania algorytmu
min
λ ( A) - najmniejsza wartość własna macierzy A
- szum zewnętrzny obserwacji
{ν n }
{ξn }
- szum wewnętrzny układu obserwacji
ρ (⋅)
- funkcja strat
- macierz współczynników korelacji
ρ
σ ξ2
Ση
- wariancja zmiennej losowej ξ
Φ(⋅)
X
XT
- całka prawdopodobieństwa
- norma euklidesowa wektora X
- transpozycja wektora (macierzy) X
- macierz kowariancji szumu {ηn }
Wykaz stosowanych akronimów
AR
- model autoregresyjny
ARMA - model autoregresyjny z ruchomą średnią
ARMAX - model autoregresyjno-regresyjny z ruchomą średnią
ARX
- model autoregresyjno-regresyjny
EMSE - empiryczny błąd średniokwadratowy
FGP
- funkcja gęstości prawdopodobieństwa
GLR
- uogólniony iloraz wiarygodności
IMM
- interakcyjne sprzęganie modeli
LMS
- algorytm LMS (ang. Least Mean Square)
MSE
- błąd średniokwadratowy
R
- model regresyjny
RLS
- rekursywny algorytm najmniejszych kwadratów
SNR
- stosunek sygnał-szum
4
Wprowadzenie
1. Wprowadzenie
1.1.
Podstawowe metody analizy i przetwarzania sygnałów
niestacjonarnych
Problematyka przetwarzania sygnałów niestacjonarnych jest obszerna i zróżnicowana.
W wielu różnych dziedzinach nauki i techniki przyciąga ona uwagę badaczy zarówno ze
względów teoretycznych, jak i praktycznych. W ostatnim czasie, w licznych rozwiązaniach
aplikacyjnych, coraz częściej stosowane są różnorodne, a zarazem coraz bardziej złożone
metody przetwarzania sygnałów niestacjonarnych. W literaturze opisywane są koncepcje ich
zastosowania m.in. w takich dziedzinach jak: przetwarzanie sygnałów mowy [1],
przetwarzanie sygnałów biologicznych [2,3], telekomunikacja [4], miernictwo elektryczne i
elektroniczne [5], pomiary wagi ruchomych obiektów [6], elektroenergetyka [7], geofizyka i
sejsmografia [1], technika sonarowa [8], radiolokacja [9-11], automatyka, sterowanie i
diagnostyka [12].
Do podstawowych metod przetwarzania sygnałów niestacjonarnych należy zaliczyć:
metody czasowo-częstotliwościowej analizy sygnałów [13], klasyczne algorytmy optymalnej
i adaptacyjnej filtracji sygnałów śledzące zmiany parametrów sygnałów w czasie [14, 15],
metody równoległej estymacji wielomodelowej [16], czy też metody detekcji zmian
parametrów sygnałów oparte na pojęciu uogólnionego ilorazu wiarygodności [1]. Intensywnie
rozwijane są także nowoczesne metody przetwarzania sygnałów niestacjonarnych, które
wykorzystują osiągnięcia z zakresu sztucznych sieci neuronowych [17, 18], algorytmów
genetycznych [19], czy teorii zbiorów rozmytych [20, 21].
Pierwszą z wymienionych grup metod stosowanych w przetwarzaniu sygnałów
niestacjonarnych są metody oparte na czasowo-częstotliwosciowej reprezentacji sygnałów.
Analiza czasowo-częstotliwościowa, której początki sięgają klasycznej pracy Gabora [22],
jest oparta na dwuwymiarowych przekształceniach sygnałów w dwuwymiarową funkcję
czasu i częstotliwości. Można wyróżnić dwie podstawowe klasy metod czasowoczęstotliwościowej reprezentacji sygnałów: liniową i kwadratową (nieliniową) [13]. Wśród
metod liniowych największą popularnością cieszy się chwilowa transformacja Fouriera
(STFT), która jest naturalnym rozszerzeniem zwykłej transformaty Fouriera na przypadek
sygnałów niestacjonarnych. Podstawową wadą chwilowej transformacji Fouriera są
ograniczenia czasowo-częstotliwościowej rozdzielczości STFT zwane w literaturze zasadą
nieoznaczoności [13], zgodnie z którą nie można z dowolnie dużą dokładnością mierzyć
5
Wprowadzenie
zarówno częstotliwości sygnału, jak i czasu jego trwania. Jedną z metod, która umożliwia
dokładniejszy niż STFT pomiar częstotliwości sygnału niestacjonarnego w określonym
zakresie analizowanych częstotliwości jest transformacja falkowa. Transformacja falkowa
wykorzystuje wymianę rozdzielczości czasowej, na rozdzielczość częstotliwościową i vice
versa. Prekursorami badań nad transformacją falkową byli w latach osiemdziesiątych
Grossmann, Morlet, Mallat, Meyer i Dauberiches [23]. Uogólnieniem pojęcia falki jest pakiet
falowy, który stwarza możliwość dostosowywania rozdzielczości częstotliwościowej
transformacji do danego sygnału [24]. Kompleksowe omówienie zarówno liniowych, jak i
kwadratowych metod czasowo-częstotliwościowej reprezentacji sygnałów wraz z krytycznym
ich porównaniem można znaleźć w artykule przeglądowym [13].
Alternatywnym
podejściem
do przetwarzania sygnałów niestacjonarnych jest
reprezentacja sygnałów za pomocą liniowych szeregów czasowych o zmiennych w czasie
parametrach. Modelowanie sygnałów za pomocą liniowych szeregów czasowych jest w
ostatnim czasie wykorzystywane w wielu zagadnieniach przetwarzania sygnałów, m.in. jest
podstawą różnorodnych metod stosowanych w przetwarzaniu sygnałów niestacjonarnych.
Na koncepcji modelowania sygnałów liniowymi szeregami czasowymi są oparte
metody optymalnej i adaptacyjnej filtracji sygnałów. Zagadnieniom optymalnej i adaptacyjnej
filtracji sygnałów poświęconych jest wiele monografii, m.in. [14, 15, 25-32]. Najpełniejsze
omówienie większości optymalnych i adaptacyjnych algorytmów przetwarzania sygnałów
wraz z przeglądem ich możliwych zastosowań jest zawarte w [14].
Klasycznym rozwiązaniem zagadnienia optymalnej filtracji sygnałów jest filtr Wienera
[33, 34]. Kluczowym założeniem teorii filtracji wienerowskiej jest stacjonarność
przetwarzanego sygnału użytecznego i występujących zakłóceń. Teorią, która nie wymaga
spełnienia założenia o stacjonarności sygnałów i zakłóceń jest teoria filtru Kalmana [35, 36].
Wyczerpujące omówienie zagadnień związanych z filtracją kalmanowską można znaleźć w
pracy [29]. Filtr Kalmana, często stosowany w praktyce, pozwala jednak rozwiązywać
skutecznie tylko te zagadnienia, w których model niestacjonarności jest ściśle zdefiniowany.
Dopiero opracowanie algorytmów filtracji adaptacyjnej umożliwiło zastosowanie metod
przetwarzania sygnałów niestacjonarnych, które nie wymagają informacji a priori o
charakterystykach sygnałów i zakłóceń.
Podstawowymi typami algorytmów filtracji adaptacyjnej są algorytmy typu gradientu
stochastycznego obejmujące najprostszą i najczęściej stosowaną rodzinę algorytmów LMS
(Least Mean Square) [37] oraz algorytmy oparte na metodzie najmniejszych kwadratów, z
których najpopularniejszym jest algorytm RLS (Recursive Least Squares) [38]. W przypadku
6
Wprowadzenie
sygnałów o zmieniających się w czasie parametrach algorytmy te potrafią podążać za
zmianami parametrów sygnałów („śledzić” je), jednak tylko wtedy, kiedy szybkość tych
zmian jest dostatecznie mała w porównaniu z szybkością zbieżności algorytmu. W przypadku
szybkich zmian parametrów (np. skokowych) algorytmy te cechują się dużym spadkiem
jakości estymat parametrów sygnałów uzyskiwanych po wystąpieniu zmiany. Efekt ten jest
wynikiem tego, że po uzyskaniu wartości estymat bliskich prawdziwym wartościom
parametrów, współczynniki wzmocnienia sygnału błędu prognozy, występujące w tych
algorytmach, obliczane na podstawie określonych miar błędu estymacji, osiągają na tyle małe
wartości, że nie mogą spowodować dużych zmian wartości estymat. Powoduje to, że algorytm
nie potrafi szybko zareagować na zmiany parametrów. Analizie właściwości śledzących
algorytmów adaptacyjnych poświęcono wiele publikacji, m.in. [39-46, 14, 15, 26]. Okazuje
się, że jednoczesne osiągnięcie dużej szybkości reakcji na zmiany parametrów oraz dużej
dokładności estymacji parametrów są wymaganiami trudnymi do pogodzenia. Wymagania te
próbuje się z reguły umiejętnie pogodzić wprowadzając w algorytmach estymacji
mechanizmy zapominania. Podawane w literaturze rozwiązania koncentrują się wokół doboru
liczby kolejnych obserwacji, które uwzględnia się przy obliczaniu estymat parametrów w
zależności od charakteru zmian parametrów oraz doboru odpowiednich współczynników
ważenia poszczególnych obserwacji. Rozważania dotyczące analizy jakości śledzenia zmian
parametrów sygnałów niestacjonarnych wykorzystujące pojęcie „pamięci” estymatorów
można znaleźć m. in. w pracach [44-46]. Interesujące rozwiązania zagadnienia optymalnego
sterowania współczynnikami wzmocnienia algorytmów filtracji adaptacyjnej w przypadku
przetwarzania sygnałów niestacjonarnych zaproponowano w pracach [47, 48, 14, 15]. Inną
ciekawą propozycją polepszenia właściwości algorytmów filtracji adaptacyjnej w przypadku
przetwarzania sygnałów niestacjonarnych jest koncepcja rozszerzenia wymiaru klasycznych
algorytmów przedstawiona dla algorytmu RLS w pracy [49], a następnie w monografii [14].
Rozwinięciem klasycznych metod filtracji adaptacyjnej są metody równoległej
wielomodelowej estymacji parametrów sygnałów [16, 29, 44], które umożliwiają estymację
parametrów w przypadku zmieniających się w trakcie obserwacji parametrów sygnałów. W
metodach tych proces estymacji jest przeprowadzany dla wielu modeli danego sygnału, a
końcowy wynik estymacji jest uzyskiwany w efekcie uwzględnienia informacji o estymatach
dla poszczególnych modeli (np. jako kombinacja liniowa wyników uzyskanych dla
poszczególnych
modeli,
w
której
współczynniki
wagowe
kombinacji
są
prawdopodobieństwami a posteriori poszczególnych modeli). Podstawową wadą optymalnej
wielomodelowej estymacji parametrów sygnałów jest koszt obliczeniowy, który jest
7
Wprowadzenie
wykładniczo narastającą funkcją czasu przetwarzania, co wynika z konieczności
uwzględnienia w procesie kształtowania optymalnych estymat wszystkich hipotez
opisujących zmiany parametrów. Koszt obliczeniowy może być zmniejszony przez
wprowadzenie wymiany informacji między poszczególnymi estymatorami składowymi, co
umożliwia redukcję liczby hipotez branych pod uwagę przy wyznaczaniu estymat. Tego typu
metody estymacji są nazywane metodami interakcyjnego sprzęgania modeli (Interacting
Multiple Model - IMM) [50, 51, 10, 11].
Innym rozwijanym intensywnie kierunkiem badań nad metodami przetwarzania
sygnałów niestacjonarnych jest wykorzystanie metod detekcji nagłych zmian parametrów
sygnałów opartych na pojęciu uogólnionego ilorazu wiarygodności (Generalized Likelihood
Ratio - GLR). W wielu praktycznych zastosowaniach podjęcie decyzji o wystąpieniu zmiany
parametrów (m.in. detekcja nagłych zakłóceń (ang. fault detection) [52], segmentacja, tj.
wyodrębnianie stacjonarnych fragmentów sygnałów niestacjonarnych [3]) jest kluczowym
problemem przetwarzania sygnału. Umożliwia bowiem odpowiednią reakcję algorytmu
przetwarzania danych na wykrytą zmianę parametrów, np. reinicjalizację algorytmu lub
kompensację wykrytych zmian. Jedną z pierwszych ważniejszych prac tego kierunku jest
praca Willsky’ego i Jonesa [53], w której omówiono metodę GLR. Klasycznym rezultatem
badań nad tymi metodami jest algorytm skumulowanych sum (CUmulative SUM - CUSUM)
[54]. Interesującym przyczynkiem do rozwoju tego nurtu badań są prace Nikiforowa [55, 56],
w których autor rozpatruje problem jednoczesnej detekcji zmian parametrów sygnałów i ich
klasyfikacji. Wyczerpujący opis rozpatrywanych w ramach tego kierunku zagadnień,
rezultatów, a także zastosowań praktycznych można znaleźć w monografii [1].
1.2.
Cel, treść i układ pracy
Celem niniejszej pracy jest opracowanie nowych metod i algorytmów przetwarzania
niestacjonarnych sygnałów regresyjnych. W porównaniu ze znanymi metodami przetwarzania
sygnałów niestacjonarnych, omówionymi w punkcie 1.1, zastosowane w pracy podejście
wyróżnia się tym, iż wprowadzony został odmienny od tradycyjnych adaptacyjny nieliniowy
model układu obserwacji sygnału. Przyjęcie tego modelu stanowi jedno z fundamentalnych
założeń koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji [57-64], na której oparta jest
stosowana w pracy metodologia.
Zamierzeniem autora było m.in. rozszerzenie badań nad algorytmami przetwarzania
stacjonarnych sygnałów regresyjnych, wynikającymi z koncepcji adaptacyjnej obserwacji, na
przypadek sygnałów niestacjonarnych, w których niestacjonarność jest rozumiana jako
8
Wprowadzenie
zmiany wartości parametrów sygnału występujące w trakcie jego obserwacji. Opracowano i
przeanalizowano cztery typy nowych algorytmów przetwarzania sygnałów niestacjonarnych.
Pierwszy algorytm jest rozszerzeniem podstawowego algorytmu optymalnej estymacji
parametrów stacjonarnych sygnałów regresyjnych [64] na przypadek sygnałów, w których
występują dryfty parametrów. Drugim algorytmem jest zmodyfikowany podstawowy
algorytm, w którym wprowadzono mechanizm zapominania umożliwiający szybszą reakcję
algorytmu na nagłe zmiany parametrów. Kolejnym algorytmem jest algorytm jednoczesnej
detekcji zmian parametrów typu dryftów (ang. drift-like faults) i estymacji parametrów
sygnałów i zakłóceń oparty na metodach weryfikacji hipotez. Ostatnim algorytmem
stosowanym w pracy do przetwarzania sygnałów niestacjonarnych jest optymalny algorytm
filtracji typu Kalmana.
Działanie prezentowanych w pracy algorytmów zostało zilustrowane przykładami
eksperymentów symulacyjnych. Algorytmy te zostały zaimplementowane w środowisku
MATLAB. Za pomocą badań symulacyjnych dokonano wszechstronnej weryfikacji
rezultatów teoretycznej analizy podstawowych właściwości prezentowanych algorytmów oraz
potwierdzono ich wysoką efektywność w przetwarzaniu sygnałów niestacjonarnych.
Opracowane programy, przeznaczone do symulacji i analizy pracy algorytmów
przetwarzania sygnałów niestacjonarnych, pozwalają na przeprowadzenie różnorodnych
badań związanych z zastosowaniami proponowanych algorytmów. Mogą one być pomocne
przy wyborze odpowiednich optymalnych w danym zastosowaniu algorytmów, a także
optymalnych wartości poszczególnych parametrów systemów przetwarzania sygnałów, w
których omawiane algorytmy mogą zostać wykorzystane.
Zamierzeniem autora było opracowanie takich metod przetwarzania sygnałów
niestacjonarnych, które byłyby użyteczne w zastosowaniach praktycznych, m.in. w
metrologii. Głównym rezultatem pracy w kontekście zastosowań jest opracowanie koncepcji
precyzyjnego szerokozakresowego adaptacyjnego woltomierza, umożliwiającego analizę
struktury sygnałów użytecznych i zakłóceń. W pracy przedstawiono wstępne wyniki badań
eksperymentalnych laboratoryjnego modelu analogowej części woltomierza.
W ramach prac nad wykorzystaniem koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji do
przetwarzania sygnałów niestacjonarnych stworzono uniwersalne stanowisko do fizycznych i
symulacyjnych badań systemów pomiarowych, działających w oparciu o prezentowane w
pracy algorytmy optymalnego przetwarzania danych i sterowania pomiarem. Stanowisko to
może być traktowane jako wstępna wersja systemu komputerowego wsparcia procesu wyboru
optymalnej struktury i parametrów projektowanych systemów pomiarowych.
9
Wprowadzenie
Praca jest podzielona na osiem rozdziałów. W rozdziale 2 podano w skrócie założenia
koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji. Wprowadzono model matematyczny
nieliniowego układu obserwacji oraz sformułowano problem optymalnej estymacji
parametrów stacjonarnych sygnałów regresyjnych. Przedstawiono rekursywny algorytm
estymacji parametrów sygnałów oparty na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji,
optymalny w przypadku sygnałów stacjonarnych i nazywany w pracy algorytmem
podstawowym. Omówiono jego podstawowe właściwości, m.in. możliwość osiągnięcia
wykładniczej szybkości zbieżności estymat parametrów w początkowym okresie obserwacji
sygnału.
W rozdziale 3 przeprowadzono analizę zachowania podstawowego optymalnego
algorytmu estymacji parametrów sygnałów w przypadku występowania dryftu i nagłych
zmian parametrów sygnałów. Podano rozszerzony algorytm estymacji parametrów sygnałów
niestacjonarnych, w których występują dryfty parametrów sygnałów bądź zakłóceń.
Zaproponowano także modyfikację algorytmu podstawowego, polegającą na wprowadzeniu
mechanizmu zapominania umożliwiającego szybszą reakcję algorytmu na nagłe zmiany
parametrów.
W rozdziale 4 przedstawiono algorytm jednoczesnej detekcji zakłóceń typu dryftów i
estymacji parametrów sygnałów i zakłóceń. W rozdziale tym przedstawiono wyniki badań
symulacyjnych potwierdzające wysoką efektywność zaproponowanej procedury detekcji
wykorzystującej koncepcję adaptacyjnej dopasowanej obserwacji.
Rozdział 5 jest poświęcony zagadnieniu przetwarzania sygnałów niestacjonarnych,
których zmiany parametrów są opisane procesami Markowa. Wprowadzono model zmian
parametrów sygnału oraz zaprezentowano optymalny algorytm filtracji sygnału i estymacji
parametrów typu Kalmana. Przedyskutowano także jego podstawowe właściwości, m.in.
pokazano, że, podobnie jak w przypadku estymacji parametrów sygnałów stacjonarnych,
optymalne adaptacyjne sterowanie czułością układu obserwacji umożliwia osiągnięcie
początkowej wykładniczej szybkości zbieżności estymat również w przypadku estymacji
parametrów sygnałów niestacjonarnych. Potwierdzeniem tego faktu są wyniki symulacji
komputerowych.
Przykłady
zastosowania
omawianych
w
pracy
algorytmów
do
przetwarzania
niestacjonarnych sygnałów pomiarowych przedstawiono w rozdziale 6. Przykłady te
potwierdzają m.in. tezę, że prezentowane w pracy metody i algorytmy są szczególnie
użyteczne w analizie złożonych niestacjonarnych sygnałów użytecznych i zakłóceń.
10
Wprowadzenie
Rozdział 7 zawiera opis uniwersalnego stanowiska do fizycznych i symulacyjnych badań
systemów pomiarowych, działających w oparciu o prezentowane w pracy algorytmy
optymalnego przetwarzania danych i sterowania pomiarem. Przedstawione w nim podejście
do analizy i syntezy systemów pomiarowych stwarza nowe możliwości rozwoju prac
związanych z projektowaniem nowej klasy optymalnych adaptacyjnych systemów
pomiarowych pracujących w warunkach różnorodnych zakłóceń i szumów. Możliwe staje się
również zwiększenie efektywności istniejących wzorców przyrządów poprzez modyfikację
ich oprogramowania. Jako przykład wykorzystania stanowiska przedstawiono koncepcję
adaptacyjnego szerokozakresowego woltomierza, umożliwiającego analizę struktury sygnału
użytecznego i zakłóceń. Przedstawiono wyniki wstępnych badań modelu laboratoryjnego
analogowej części woltomierza. Badania adaptacyjnego woltomierza umożliwiły określenie
podstawowych wymagań co do sposobu realizacji i wzajemnego dopasowania analogowych i
cyfrowych elementów stanowiska badawczego oraz sposobu organizacji doświadczeń.
Wyniki pracy podsumowano w rozdziale 8.
11
Koncepcja adaptacyjnej dopasowanej obserwacji
2. Koncepcja adaptacyjnej dopasowanej obserwacji
Główne rezultaty pracy są oparte na nie stosowanej do tej pory w zagadnieniach
przetwarzania sygnałów niestacjonarnych koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji
sygnału, opracowanej przez Płatonowa [57-64] i rozwijanej w Instytucie Systemów
Elektronicznych PW. Wyniki różnorodnych badań dotyczących tej koncepcji, uzyskane w
ostatnich latach, można znaleźć w pracach [65-104]. Koncepcja ta umożliwiła nowe
spojrzenie na wiele zagadnień praktycznych i jest nowym perspektywicznym kierunkiem w
dziedzinie adaptacyjnych metod przetwarzania sygnałów.
2.1.
Podstawowe założenia koncepcji adaptacyjnej dopasowanej
obserwacji
W koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji przyjmuje się następujący regresyjny
model analizowanego sygnału { yn } :
L
yn =
gdzie
∑θ
(i )
i =1
[
X n( i ) + νn = θ T X n + νn ,
θ = θ (1) ,θ ( 2 ) ,...,θ ( L )
X n = X n(1) , X n( 2) ,..., X n( L)
T
]
T
jest
(2.1)
n = 1,2,... ,
wektorem
losowych
parametrów
modelu,
- wektorem próbek deterministycznych sygnałów, których
wartości są znane w każdej chwili czasu n, zaś L - rzędem modelu. Ciąg {vn } opisuje
addytywne zakłócenia dodające się do sygnału użytecznego nazywane szumem zewnętrznym
obserwacji. Mogą być one interpretowane np. jako losowe zakłócenia elektryczne,
mechaniczne, itp. na wejściu czujnika lub układu pomiarowego. O szumie {vn } zakłada się,
że jest szumem białym gaussowskim o zerowej wartości średniej i wariancji σ ν2 , tj. opisanym
funkcją gęstości prawdopodobieństwa (FGP):
p (ν n ) = N[ν n − 0, σ ν2 ] . Model (2.1) jest
szeroko stosowanym modelem sygnału w licznych badaniach teoretycznych i zagadnieniach
praktycznych.
W zdecydowanej większości prac przyjmuje się milcząco założenie, że przetwarzanie
sygnału odbywa się z pominięciem wpływu czynników towarzyszących procesowi
obserwacji, takich jak szum wewnętrzny układu obserwacji, czy też ograniczoność jego
zakresu wyjściowego i związane z tym zniekształcenia nieliniowe obserwacji. Problemy te są
poruszane tylko w nielicznych pracach, m.in. [105-108].
12
W klasycznych metodach estymacji parametrów sygnałów, jak i w wielu zagadnieniach
teorii filtracji, identyfikacji, optymalnego sterowania, itp. [25-30] dominuje liniowy model
układu obserwacji:
~
yn = C0 yn + ξ n ,
(2.2)
gdzie { yn } jest analizowanym sygnałem, { y~n } - sygnałem na wyjściu układu obserwacji, C0
jest stałą czułością (często przyjmowaną za równą 1), a {ξ n } szumem wewnętrznym układu
obserwacji. Szum {ξ n } może być interpretowany np. jako cieplne, elektryczne lub kwantowe
zakłócenia występujące w rzeczywistych układach obserwacji. W modelu (2.2) zakłada się
liniowość obserwacji sygnału {yn } dla wszystkich jego wartości. Założenie to stwarza
możliwość jawnego analitycznego rozwiązania odpowiednich zagadnień optymalizacyjnych i
wyprowadzenia optymalnych algorytmów estymacji, jednak w praktyce nigdy nie jest
spełnione, ponieważ każdy realny układ obserwacji ma ograniczony zakres liniowości
sygnału wyjściowego, np. [ − D, D] , poza którym próbki yn są zniekształcane nieliniowo bądź
wręcz ograniczane. Chcąc zapewnić, aby warunek liniowej obserwacji sygnału był spełniony
dla dużych wartości analizowanego sygnału {yn } , należy odpowiednio zmniejszyć czułość
C0 . Zmniejszenie czułości układu obserwacji powoduje jednak wzrost wpływu szumu
wewnętrznego na jakość estymacji parametrów sygnałów i tym samym pogorszenie
dokładności obliczanych estymat. Częściowym, praktycznym rozwiązaniem tego problemu
jest wprowadzenie kompensacji analizowanego sygnału, która pozwala rozszerzyć liniowy
zakres układu obserwacji bez zmian parametrów C0 i D. Oznacza to przyjęcie następującego
modelu układu obserwacji:
~
yn = C0 en + ξ n ,
(en = yn − Bn ) ,
(2.3)
gdzie ciąg {Bn } jest sygnałem kompensującym, który opisuje sterowanie położeniem zera
charakterystyki układu obserwacji. Model (2.3) układu obserwacji nie różni się jednak pod
względem teoretycznym niczym istotnym od modelu (2.2) i nie pozwala opisywać i
analizować efektów związanych z ograniczeniem liniowego zakresu obserwacji.
Koncepcja
adaptacyjnej
dopasowanej
obserwacji
umożliwia
bezpośrednie
uwzględnienie właściwości układu obserwacji w procesie opracowywania algorytmów
przetwarzania sygnałów, a zarazem znaczącą poprawę dokładności estymacji ich parametrów.
W koncepcji tej przyjmuje się, że sygnał {yn } jest obserwowany za pomocą układu
obserwacji opisanego modelem bardziej adekwatnym, niż modele tradycyjnie stosowane, o
13
charakterystyce liniowej w ograniczonym zakresie obserwacji i z odcinkami nasycenia poza
tym zakresem (rys. 2.1):
 Cn ( yn − Bn ) + ξ n ,
~
yn = 
 D sgn ( yn − Bn ) + ξ n ,
gdy yn − Bn ≤ D Cn ,
gdy yn − Bn > D Cn .
(2.4)
E[ ~
yn | en ]
D
− D / Cn
D / Cn
−D
en
en = yn − Bn
Rys. 2.1. Charakterystyka układu obserwacji opisanego modelem (2.4)
Sygnałem wejściowym układu obserwacji (2.4) jest sygnał błędu kompensacji
en = yn − Bn , gdzie ciąg {Bn } jest sygnałem kompensującym, a ciąg {Cn } określa czułość
układu obserwacji. Jednym z podstawowych założeń koncepcji adaptacyjnej dopasowanej
obserwacji jest możliwość adaptacyjnych zmian czułości Cn . Stała D (poziom nasycenia) jest
parametrem układu obserwacji, który charakteryzuje zakres możliwych wartości sygnału
wyjściowego
i,
przy
znanej
czułości
Cn ,
określa
zakres
sygnału
wejściowego
en ∈ [ Bn − D Cn , Bn + D Cn ] , w którym obserwacja odbywa się bez zniekształceń
nieliniowych. O szumie wewnętrznym układu obserwacji {ξ n } , występującym w modelu
(2.4), zakłada się, że jest białym szumem gaussowskim o FGP: p(ξ n ) = N[ξ n − 0,σ ξ2 ] .
Przy założeniu modeli (2.1), (2.2) lub (2.3) nie jest możliwe odseparowanie od siebie
szumu zewnętrznego {vn } i szumu wewnętrznego obserwacji {ξ n } , które są traktowane jako
jeden wypadkowy szum. Nie jest zatem możliwe uwzględnienie wpływu samego procesu
obserwacji na dokładność estymacji parametrów sygnału. Koncepcja adaptacyjnej
dopasowanej obserwacji stwarza taką możliwość, a rozdzielenie szumów na szum
wewnętrzny i zewnętrzny w modelach sygnału (2.1) i układu obserwacji (2.4) jest
uzasadnione ze względu na różne źródła ich pochodzenia i różne charakterystyki oraz
odmienny wpływ obu szumów na jakość estymacji parametrów sygnału [64].
14
Wprowadzenie nieliniowości do modelu układu obserwacji powoduje możliwość
wystąpienia nieliniowych zniekształceń sygnału analizowanego oraz znacznie komplikuje
syntezę i analizę odpowiednich optymalnych algorytmów jego przetwarzania. W koncepcji
adaptacyjnej dopasowanej obserwacji niedogodności tych unika się wprowadzając warunek
statystycznego dopasowania układu obserwacji do charakterystyk probabilistycznych
analizowanego sygnału. Warunek ten stanowi kluczowe założenie całej koncepcji, a jego
przyjęcie umożliwia praktyczne usunięcie wpływu nieliniowości układu obserwacji na
zniekształcenia sygnału na jego wyjściu, przeprowadzenie wszechstronnej analizy i
wyprowadzenie wszystkich niezbędnych rezultatów analitycznych.
Warunek statystycznego dopasowania określa dla każdej chwili czasu n zbiór wartości
parametrów układu obserwacji Bn i Cn , dla których prawdopodobieństwo pojawienia się
nieliniowych zniekształceń nie przekracza zadanego małego progu µ ( 0 < µ << 1 ), tzn.
zgodnie z tym warunkiem parametry Bn i Cn muszą przyjmować takie wartości, aby dla
każdego n spełniona była nierówność:

D ~ n −1 
Pr  yn − Bn ≤
y1  =
Cn


Bn + D C n
∫ p( y
n
|~
y1n −1 )dyn ≥ 1 − µ ,
(2.5)
B − D Cn
gdzie ~
y1n −1 oznacza ciąg próbek ~
y1 ,..., y~n −1 sygnału na wyjściu układu obserwacji. Wartość
parametru µ jest ustalana arbitralnie, w zależności od rozpatrywanego problemu, i określa w
każdej chwili czasu gwarantowane prawdopodobieństwo nienaruszenia liniowego trybu pracy
układu obserwacji (np. µ ∈ [10 −12 ,10 −4 ] ). Układ obserwacji spełniający warunek (2.5) jest
nazywany układem statystycznie dopasowanym. Jeżeli warunek (2.5) jest spełniony, oznacza
to, że sygnał jest obserwowany liniowo praktycznie w całym zakresie zmian swoich wartości.
Prawdopodobieństwo naruszenia liniowego trybu obserwacji w przedziale [1, n] jest równe
1 − (1 − µ ) n ≈ µn , tzn. dla małych wartości parametru µ i dostatecznie krótkich ciągów
obserwacji przyjmuje ono wartości bliskie zeru.
2.2.
Optymalne algorytmy estymacji parametrów sygnałów
stacjonarnych
Przy założeniu modeli sygnału (2.1) i układu obserwacji (2.4) opracowanie algorytmów
optymalnej estymacji parametrów sygnałów polega na wyprowadzeniu zależności
określających w każdej chwili n wartości estymat θˆn = θˆn ( ~
y1n ) oraz optymalnych reguł
y1n −1 ) i Cn = Cn ( ~
y1n −1 ) .
adaptacyjnego sterowania parametrami układu obserwacji Bn = Bn ( ~
15
Optymalne estymaty oraz wartości parametrów {Bn , Cn } znajduje się, minimalizując średnie
ryzyko błędu estymacji:
∞
Rn = E[ ρ (|| θ − θˆ ||)] =
∞
~ n ) ||) p ( ~
y1n | θ ) p (θ ) dθ d~
y1n ,
1
∫ ... ∫ ρ (|| θ − θˆ ( y
n
−∞
(2.6)
−∞
przy ograniczeniu (2.5). Norma we wzorze (2.6) jest zwykłą euklidesową normą w przestrzeni
ℜ L , a funkcja strat ρ (⋅) - dowolną funkcją spełniającą standardowe warunki, tzn. funkcją
symetryczną, wypukłą, różniczkowalną odcinkami i mającą minimum w zerze.
W celu wyznaczenia optymalnych estymat θ$n i reguł sterowania parametrami Bn i Cn
należy wyznaczyć jawną postać FGP a posteriori p( yn | ~
y1n −1 ) występującej w warunku (2.5).
Wyznaczenie tej funkcji jest zaś możliwe, gdy znane są rozkłady szumów p(νn ) , p(ξ n ) oraz
rozkład a priori p(θ ) wektora parametrów θ analizowanego sygnału. Oznacza to, że do
wyprowadzenia optymalnych algorytmów przetwarzania danych i sterowania parametrami
układu obserwacji w koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji muszą być stosowane
bayesowskie metody estymacji. Będziemy zatem dalej zakładać, że dysponujemy pełną
informacją o rozkładzie a priori p(θ ) losowego i stałego w każdej realizacji wektora θ oraz
że rozkład ten jest gaussowski o wartości średniej θ 0 i apriorycznej macierzy kowariancji
P0 = E[(θ − θ0 )(θ − θ0 ) T ] , tzn. p(θ ) = N[θ − θ0 , P0 ] .
Rozwiązanie sformułowanego powyżej zagadnienia przebiega w dwóch krokach. W
pierwszym kroku są wyznaczane optymalne estymaty θ$n dla dowolnych dopuszczalnych
ciągów parametrów układu obserwacji {Bn , Cn } , tj. ciągów spełniających warunek
statystycznego dopasowania (2.5). Po znalezieniu optymalnych estymat θ$n dla dowolnych
dopuszczalnych ciągów {Bn , Cn } , w drugim kroku są wyznaczane optymalne w każdej chwili
n wartości parametrów Bn i Cn , zapewniające osiągnięcie globalnego minimum średniego
ryzyka (2.6) i jednocześnie spełniające warunek (2.5). Szczegółowe rozwiązanie można
znaleźć w pracy [64].
Pełny algorytm określający optymalny sposób estymacji parametrów sygnałów
regresyjnych (2.1) oraz optymalne reguły sterowania parametrami układu obserwacji (2.4)
przybierają w przypadku sygnałów stacjonarnych następującą postać:
16
Optymalny algorytm estymacji
•
Rekursja dla estymat wektora parametrów:
 ~
yn − Cn (θ$nT−1 X n − Bn ) 
$
$
θn = θn −1 + Cn Pn −1 X n  2
.
2
2
T
 σξ + Cn (σν + X n Pn −1 X n ) 
•
Rekursja dla macierzy kowariancji błędów estymacji Pn = E[(θ − θ$n )(θ − θ$n ) T | ~
y1n ] :
Pn = Pn −1 −
•
(2.7)
Cn2 Pn−1 X n X nT Pn −1
.
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn−1 X n )
(2.8)
Warunki początkowe:
θ$n |n = 0 = θ 0 ,
Pn |n = 0 = P0 .
(2.9)
Optymalne reguły sterowania
•
Sygnał kompensujący:
Bn = θ$ Tn −1 X n .
(2.10)
• Czułość układu obserwacji:
Cn =
D
α σν + X nT Pn −1 X n
2
,
(2.11)
gdzie wartość stałej α wynika z założonej wartości parametru µ i jest rozwiązaniem
równania
2Φ(α ) = erf (
α
2
) = 1− µ ,
(2.12)
zaś Φ(α ) jest całką prawdopodobieństwa.
Z reguły (2.10) wynika, że optymalna kompensacja bieżącej próbki yn analizowanego
sygnału jest określona jednokrokową predykcją θ$nT−1 X n tej próbki obliczoną na podstawie
estymaty θ$n − 1 wektora parametrów θ w chwili poprzedniej.
Schemat blokowy optymalnego układu estymacji parametrów stacjonarnych sygnałów
regresyjnych z adaptacyjnym sterowaniem parametrami układu obserwacji przedstawiono na
rysunku 2.2.
17
Blok generacji
Xn
Xn
Układ obserwacji
θ Xn
T
νn
yn +
ξn
en
−
θ$nT−1 X n
Cn en
~
yn
Blok estymacji
i sterowania
Cn
Cn
θ$n
θ$nT−1 X n
Rys. 2.2. Schemat blokowy układu estymacji parametrów stacjonarnych sygnałów regresyjnych
Efekty nieliniowe, występujące przy statystycznie dopasowanej obserwacji sygnału,
powodują pojawienie się w estymatach (2.7) poprawek rzędu O( µn) , które dla µn << 1
można pominąć [64]. Również rekursja określająca macierz kowariancji błędów estymacji
(2.8) jest wyznaczona z dokładnością O( µn) . Wynika z tego, że im mniejszy jest iloczyn µn ,
tym równości (2.7) i (2.8) są dokładniejsze. Jak zostanie pokazane dalej, szybkość zbieżności
estymat (2.7) do prawdziwych wartości wektora θ jest bardzo duża, a więc rekursje
wystarczy rozpatrywać dla niezbyt dużych n. Tym samym można uznać, że pojawiające się
błędy wynikające z odrzucenia nieliniowych członów w rekursjach (2.7) i (2.8) mają znikomy
wpływ na dokładność estymacji [64].
2.3.
Wpływ sterowania parametrami układu obserwacji na szybkość
zbieżności algorytmów estymacji
Algorytm (2.7)-(2.11) charakteryzuje się bardzo szybką zbieżnością estymat
parametrów θ$ n do ich prawdziwych wartości θ . Uzyskuje się to dzięki optymalnemu
adaptacyjnemu sterowaniu czułością
Cn
w trakcie obserwacji oraz optymalnemu
kształtowaniu sygnału kompensującego Bn . W początkowych taktach pracy algorytmu sygnał
błędu kompensacji en = y n − B n na wejściu układu obserwacji może przybierać duże
wartości, w związku z tym czułość C n przyjmuje wówczas małe wartości zapewniające
szeroki zakres liniowej obserwacji: en ∈ [ Bn − D Cn , Bn + D Cn ] . W kolejnych taktach, w
miarę wzrastania dokładności kompensacji analizowanego sygnału, błąd kompensacji maleje,
a co za tym idzie czułość układu może być zwiększana do wartości nienaruszających warunku
statystycznego dopasowania. Wzrost czułości i dokładniejsza kompensacja powoduje z kolei
szybszą zbieżność estymat θ$ n do prawdziwych wartości.
18
Ilościowej oceny szybkości zbieżności algorytmu (2.7-2.11) można dokonać,
przyjmując konkretną miarę błędu estymacji θ$n − θ i analizując jak szybko miara ta maleje w
funkcji czasu. Jako miarę błędu estymacji przyjmuje się często w literaturze objętość
elipsoidy dyspersji błędów estymacji [25]. Ponieważ miara ta jest proporcjonalna do
pierwiastka kwadratowego z wyznacznika det Pn macierzy kowariancji błędów estymacji
Pn , zatem o szybkości zbieżności algorytmu można wnioskować na podstawie analizy
szybkości z jaką maleje trajektoria wyznacznika det Pn . Podejście takie, obok analizy
trajektorii śladu tr Pn lub trajektorii stosunku λmax
λmin
największej wartości własnej tej
n
n
macierzy do jej wartości najmniejszej, jest często stosowanym, uproszczonym, ale
skutecznym sposobem oceny i porównania zbieżności różnych rekurencyjnych algorytmów
estymacji [26].
W pracy [64] ilościową ocenę szybkości zbieżności algorytmu (2.7)-(2.11)
przeprowadzono analizując zachowanie wyznacznika det Pn . Analiza polegająca tylko na
śledzeniu zmian wyznacznika macierzy Pn w czasie daje jednak niekompletny obraz
L
zbieżności estymat wszystkich parametrów, ponieważ wyznacznik det Pn = ∏ λ(nk ) może, nie
k =1
zmieniając swej wartości, zawierać różne kombinacje dużych i małych wartości własnych
macierzy Pn . Jedna dobrze wyestymowana składowa wektora θ może spowodować, że
wartość tego wyznacznika będzie bliska zeru, mimo że dokładność estymat innych
składowych będzie niezadowalająca. Taka sytuacja odpowiada nierównomiernej zbieżności
estymat poszczególnych parametrów. Z tego względu w [64] przeprowadzono także analizę
trajektorii najmniejszej wartości własnej λmin
macierzy Pn . Wykazano m.in., że dla
n
dopuszczalnych ciągów parametrów {Bn , Cn } , spełniających warunek statystycznego
dopasowania (2.5), wyznacznik macierzy kowariancji błędów można opisać rekursją:
det Pn =
σ ξ2 + Cn2σ ν2
det Pn−1 ,
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn−1 X n )
(2.13)
a najmniejsza wartość własna macierzy Pn spełnia nierówność:
λ
min
n
≥λ
min
n −1

Cn2
 1 + λmin
Xn
n −1
σ ξ2 + Cn2σ ν2

2



−1
≥λ
min
0
n

Ck2
 1 + λmin
Xk
0 ∑
2
2 2

k =1 σ ξ + C k σ ν
−1
2

 .

(2.14)
Na podstawie tych zależności w [64] sformułowano i udowodniono twierdzenie
charakteryzujące szybkość zbieżności algorytmu (2.7)-(2.11). Twierdzenie to mówi, że jeśli w
19
1 ≤ n ≤ n1
pewnym początkowym przedziale
spełniony jest warunek dostatecznej
różnorodności obserwacji (ang. persistency condition) wyrażony następującą nierównością:
SNR inp =
Smax
σν
2
>
X nT Pn −1 X n
σν
2
>> 1 + Q 2 = 1 + SNR out
(2.15)
oraz optymalne estymaty θ$ n są obliczane zgodnie z rekursjami (2.7)-(2.9), a układ obserwacji
jest sterowany według reguł (2.10)-(2.11), to istnieje taki przedział początkowy
0 ≤ n ≤ min(n1 , n∗ ) , w którym z dużą dokładnością spełniona jest równość:
det Pn = (1 + Q 2 ) det P0 ,
−n
(2.16)
gdzie chwila n∗ jest określona w przybliżeniu wzorem
n ≈
*
ln( λ0min E minσν−2 )
ln(1 + Q2 )
(2.17)
.
Występujące w zależnościach (2.15)-(2.17) wielkości są zdefiniowane następująco: SNR inp
jest stosunkiem sygnał-szum na wejściu układu obserwacji uśrednionym względem rozkładu
a priori parametrów θ , a SNR out = Q 2 = ( D ασξ ) 2 jest stosunkiem sygnał-szum na wyjściu
układu obserwacji. Wielkość Q2 = ( D ασξ ) 2 możemy interpretować jako stosunek sygnałszum na wyjściu układu obserwacji, ponieważ jeśli czułość układu obserwacji (2.4) jest
sterowana zgodnie z regułą (2.11), to wielkość Cn2 E[en2 | ~
y1n −1 ] = ( D / α ) 2 jest średnią mocą
składowej informacyjnej (bez uwzględnienia szumu wewnętrznego układu obserwacji ξ n ) na
jego
wyjściu.
Wielkość
S max =
max
n , X nT X n ≤ E max
X nT Pn −1 X n =
max X 1T P0 X 1 = λmax
0 Emax
X 1T X 1 ≤ E max
maksymalną aprioryczną dyspersją mocy składowej użytecznej sygnału
jest
{y n } , a
Emax = max X nT X n i Emin = min X nT X n > 0 maksymalną i minimalną sumaryczną mocą
n
n
sygnału {X n } .
W pracy [64] udowodniono również następującą nierówność dla najmniejszej wartości
własnej macierzy Pn , potwierdzającą równomierną zbieżność poszczególnych składowych
estymowanego wektora θ :
λnmin ≥ (1 + Q 2 ) λn,min
−1 .
−1
(2.18)
Z równania (2.16) wynika, że w pewnym początkowym przedziale obserwacji
wyznacznik macierzy kowariancji błędów estymacji det Pn maleje wykładniczo ze wzrostem
n. Można zatem powiedzieć, że algorytm (2.7)-(2.11) zbiega się w tym przedziale z
20
szybkością wykładniczą. Należy podkreślić, że jest to jedyny znany dotąd rekursywny
algorytm parametrycznej estymacji sygnałów, którego początkowa szybkość zbieżności jest
wykładnicza. Szybkość zbieżności klasycznych algorytmów tego typu jest co najwyżej
hiperboliczna. Wykładnicza szybkość zbieżności algorytmu przechodzi stopniowo w
hiperboliczną w okolicach chwili n∗ . Wówczas sterowanie czułością układu obserwacji nie
wpływa już na poprawę dokładności estymacji i może być zaniechane.
Jak podkreślono wcześniej, uzyskanie wykładniczej szybkości zbieżności algorytmu
(2.7)-(2.11) jest możliwe dzięki optymalnemu sterowaniu czułością układu obserwacji przy
odpowiedniej kompensacji analizowanego sygnału. To właśnie adaptacyjne sterowanie
czułością umożliwia uzyskanie zadowalającej dokładności estymacji w bardzo krótkim
czasie. Cecha ta stanowi ważną zaletę koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji i ma
bardzo istotne znaczenie dla zastosowań praktycznych, w których dysponujemy jedynie
krótkimi ciągami obserwacji. Jest ona także istotna dla zagadnień rozpatrywanych w
niniejszej pracy, umożliwia bowiem szybsze wykrywanie i śledzenie zmian parametrów
sygnałów niestacjonarnych.
Wpływ sterowania czułością układu obserwacji na poprawę szybkości zbieżności
estymacji możemy zbadać ilościowo, porównując szybkość zbieżności algorytmu (2.7)-(2.11)
z szybkością zbieżności algorytmu, w którym czułość układu obserwacji jest stała
Cn = const . W tym przypadku największa wartość stałej czułości, dla której warunek
statystycznego dopasowania (2.5) nie jest naruszony, jest określona wzorem [64]:
C0 =
gdzie S max =
max
X 1T X 1 ≤ E max
D
α σν + Smax
2
,
(2.19)
X 1T P0 X 1 jest maksymalną dyspersją mocy składowej użytecznej sygnału
{y n } , Emax = max X nT X n , zaś α jest rozwiązaniem równania (2.12). W przypadku stałej
n
czułości układu obserwacji macierz kowariancji błędów estymacji jest opisana zależnością:
−1
( 0)
n
P

σν2 + C0− 2σξ2 −1
C02 P0 En 
= I + 2
En + O(n − 2 ) ,
2 2 n  P0 =
σ
+
C
σ
n


ξ
0 ν
(2.20)
n
gdzie En = n − 1 ∑ X k X kT . Indeks (0) we frakcji górnej został dodany dla podkreślenia, że
k =1
macierz kowariancji Pn( 0) jest obliczana przy założeniu stałej czułości układu obserwacji
Cn = C0 .
21
Z porównania wzorów (2.8) i (2.20) wynika twierdzenie podane w pracy [91], mówiące
o tym, że jeśli optymalne estymaty θ$ n obliczane za pomocą algorytmu (2.7)-(2.11) z
adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji osiągnęły w pewnej chwili n, 1 ≤ n ≤ n∗ ,
dokładność scharakteryzowaną przez wartość wyznacznika det Pn , to, stosując algorytm ze
stałą czułością, określoną wzorem (2.19), tę sama dokładność estymacji uzyskuje się po
znacznie dłuższym czasie n', przy czym chwile n i n' są związane nierównością:
 (n' ) L det ( P0( 0 ) E n ' ) 
log 

2
−2 2

 σ ν + C 0 σ ξ
  log n'
n≈
<
+ 1 L .
2
2
log (1 + Q )
 log (1 + Q ) 
(2.21)
Nierówność (2.21) dowodzi, że ze względu na szybkość zbieżności optymalny algorytm
(2.7)-(2.11) z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji ma istotną przewagę nad
optymalnym algorytmem (2.7)-(2.10), (2.19), w którym czułość jest stała. Podkreślmy raz
jeszcze, że szybki początkowy wzrost dokładności estymacji oraz silne tłumienie szumu
wewnętrznego układu obserwacji jest skutkiem wzrostu czułości układu obserwacji w
pierwszych taktach pracy algorytmu, co jest związane również ze wzrostem dokładności
kompensacji analizowanego sygnału. Dzięki dokładniejszej prognozie wartości próbek yn
sygnału możliwy jest dalszy wzrost czułości układu obserwacji i, w konsekwencji, prawie
całkowita eliminacja wpływu szumu wewnętrznego na dokładność estymacji parametrów.
Z przedstawionej powyżej analizy szybkości zbieżności algorytmów opartych na
koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji sygnału wynika, że koncepcja ta umożliwia
syntezę efektywniejszych algorytmów estymacji. W szczególności wykładnicza początkowa
szybkość zbieżności stanowi o przewadze algorytmów z adaptacyjnie sterowaną czułością
układu obserwacji nad algorytmami klasycznymi. Zastosowanie optymalnych algorytmów
wywodzących się z koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji stwarza zatem możliwość
zwiększenia jakości systemów przetwarzania sygnałów. W pracach [66-85] przeanalizowano
możliwość wykorzystania koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji w różnorodnych
zagadnieniach praktycznych, m.in. opracowano [66-69] i opatentowano [83] zasadę
funkcjonowania nowej klasy analogowo-cyfrowych systemów pomiarowych z adaptacyjnie
sterowanymi czujnikami i optymalnym przetwarzaniem sygnałów pomiarowych. Koncepcję
adaptacyjnej dopasowanej obserwacji wykorzystano także do odpornej identyfikacji sygnałów
regresyjnych [86-93]. Większość uzyskanych w tych pracach rezultatów dotyczy jednak
przetwarzania sygnałów stacjonarnych.
22
2.4.
Koncepcja adaptacyjnej dopasowanej obserwacji w przetwarzaniu
sygnałów niestacjonarnych
Koncepcja adaptacyjnej dopasowanej obserwacji umożliwia nowe spojrzenie na
zagadnienie przetwarzania sygnałów niestacjonarnych. Jak wspominano wcześniej,
ograniczony zakres liniowości sygnału na wyjściu układu obserwacji, poza którym
analizowany sygnał jest zniekształcany nieliniowo, bądź ograniczany, jest cechą
charakterystyczną każdego realnego układu obserwacji. Cecha ta nabiera szczególnego
znaczenia w przypadku przetwarzania sygnałów niestacjonarnych charakteryzujących się
zwykle dużym zakresem zmian wartości, kiedy wejście sygnału w zakres nieliniowych
zniekształceń układu obserwacji jest bardziej prawdopodobne niż w przypadku sygnałów
stacjonarnych. Celowe staje się więc opracowanie takich algorytmów przetwarzania sygnałów
niestacjonarnych
i
sterowania parametrami
układu
obserwacji,
które pozwoliłyby
wyeliminować błędy związane z nieliniowym przetwarzaniem, bądź ograniczaniem
analizowanego sygnału. Nie jest to jednak możliwe w przypadku przyjęcia klasycznego
modelu układu obserwacji, tj. modelu liniowego w całym zakresie dynamicznym sygnału.
Możliwość taka pojawia się natomiast – również dla sygnałów niestacjonarnych, jeśli
przyjmie się podstawowe założenia koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji, tj.
nieliniowy model układu obserwacji oraz warunek statystycznego dopasowania układu
obserwacji do charakterystyk analizowanego sygnału. Przyspieszona zbieżność algorytmów
estymacji z optymalnym sterowaniem parametrami układu obserwacji pozwala również na
opracowanie efektywniejszych procedur detekcji zmian parametrów analizowanych
sygnałów. Wstępne badania poświęcone tym zagadnieniom zostały przedstawione w pracach
[94-104]. Niniejsza praca uogólnia i rozszerza rezultaty tych badań, m.in. przez
wprowadzenie odpowiednich modeli niestacjonarności sygnałów.
W pracy przyjęto następujący, ogólny, regresyjny model rozpatrywanych sygnałów
niestacjonarnych:
yn = θ nT X n + ν n ,
gdzie θ n = [θ n(1) ,θ n( 2) ,...,θ n( L ) ]T
n = 1,2,... ,
(2.22)
jest wektorem losowych parametrów modelu, które -
w odróżnieniu od modelu sygnału stacjonarnego (2.1) - są zmienne w czasie, natomiast
X n = [ X n(1) , X n( 2) ,..., X n( L ) ]T są znanymi sygnałami deterministycznymi. Szum {vn } jest
określony jak w modelu (2.1).
Pierwszy z prezentowanych w pracy algorytmów jest rozszerzeniem podstawowego
algorytmu (2.7)-(2.11) optymalnej estymacji parametrów sygnałów stacjonarnych na
23
przypadek sygnałów niestacjonarnych, w których występują losowe dryfty parametrów.
Proces dryftu parametrów θn może być modelowany w różny sposób. W pracy przyjęto
następujący model zmian parametrów obejmujący zarówno dryfty typu wielomianowego, jak
i wykładniczego:
θn = θs + β1n + β2 n2 +...+α1 (1 − e −γ n ) + α 2 (1 − e −γ n ) +... ,
1
(2.23)
2
gdzie β 1 = [ β 1(1) ,..., β 1( L ) ]T , β 2 = [ β 2(1) ,..., β 2( L ) ]T , ..., α 1 = [α 1(1) ,..., α 1( L ) ]T , α 2 = [α 2(1) ,..., α 2( L ) ]T ,
... są wartościami prędkości narastania poszczególnych składowych dryftów o losowych
nieznanych
wartościach.
Parametry
γ 1 , γ 2 , ...
są
dodatnimi
znanymi
stałymi
charakteryzującymi dryfty wykładnicze. Model (2.23) dryftu parametrów sygnału (2.22)
obejmuje zarówno dryfty sygnału użytecznego, jak i zakłóceń. Można w nim m.in. ująć dryft
wartości średniej szumu zewnętrznego {vn } oraz dryft zera jego charakterystyki (2.4). Indeks
s we frakcji dolnej wektora θs został dodany dla podkreślenia, że jest to stała w czasie
składowa wektora θn .
Drugim
prezentowanym
w
pracy
algorytmem
jest
zmodyfikowana
wersja
podstawowego algorytmu estymacji parametrów sygnałów stacjonarnych, w której
wprowadzono mechanizm zapominania, umożliwiający szybszą reakcję algorytmu na nagłe
skokowe zmiany parametrów. Rozpatrywane zmiany parametrów
θn
są opisane
następującym modelem:
θ n = θ + ∆θ1 1(n − N1 ) + ∆θ 2 1(n − N 2 ) + ... ,
(2.24)
gdzie ∆θ1 = [∆θ1(1) ,..., ∆θ1( L ) ]T , ∆θ 2 = [∆θ 2(1) ,..., ∆θ 2( L ) ]T , ... są losowymi amplitudami skoków
parametrów θn odpowiednio w losowych nieznanych chwilach N1 , N 2 ,... , a symbol 1(⋅) we
wzorze (2.24) oznacza funkcję jednostkową.
Trzecim algorytmem jest algorytm jednoczesnej detekcji zakłóceń typu dryftów (ang.
drift-like faults) i estymacji parametrów sygnałów i zakłóceń oparty na metodach weryfikacji
hipotez. W pracy przyjęto następujący model analizowanego sygnału z addytywnym dryftem
liniowym:
yn = θ T X n + β 1(n − N 0 ) ⋅ (n − N 0 ) + ν n ,
(2.25)
gdzie β jest nieznaną losową prędkością narastania dryftu, a N 0 - nieznanym momentem
pojawienia się dryftu.
Ostatnim algorytmem przetwarzania sygnałów niestacjonarnych omawianym w pracy
jest optymalny algorytm filtracji typu Kalmana realizujący jednocześnie filtrację sygnału (tj.
estymację bieżących wartości sygnału) oraz estymację jego parametrów. Przyjęto, że
24
parametry θn sygnału (2.22) zmieniają się w sposób losowy, a ich zmiany są opisane
procesem Markowa:
θ n = ρθ n −1 + βU n −1 + η n −1 ,
(2.26)
gdzie ρ jest znaną L × L wymiarową macierzą współczynników korelacji (zakładamy, że
det ρ < 1), β jest nieznaną losową L × K wymiarową macierzą, a U n = [U n(1) ,U n( 2) ,...,U n( K ) ]T
jest wektorem znanych deterministycznych pobudzeń lub sterowań. Szum wektorowy
η n = [ηn(1) ,ηn( 2) ,...,ηn( L ) ]T jest szumem gaussowskim o zerowej wartości średniej i macierzy
kowariancji Σ η : p (η n ) = N[η n − 0, Σ η ] .
25
Estymacja parametrów sygnałów regresyjnych w obecności zakłóceń typu dryftów ...
3. Estymacja parametrów sygnałów regresyjnych w obecności
zakłóceń typu dryftów i nagłych zmian parametrów sygnałów
Omówione w rozdziale 2 podstawowe algorytmy estymacji oparte na koncepcji
adaptacyjnej dopasowanej obserwacji, tj. algorytm (2.7)-(2.11) z adaptacyjnie sterowaną
czułością oraz algorytm (2.7)-(2.10), (2.19) ze stałą czułością układu obserwacji, są
optymalne przy założeniu sygnałów stacjonarnych i gaussowskich rozkładów szumu
wewnętrznego i zewnętrznego obserwacji. W licznych zagadnieniach praktycznych występują
jednak sytuacje, w których sygnał użyteczny lub jego zakłócenia, bądź też jednocześnie
sygnał użyteczny i zakłócenia, są niestacjonarne. Niestacjonarność może być przy tym
rozumiana w różny sposób, m.in. jako zmiany wartości parametrów sygnałów użytecznych i
zakłóceń występujące w trakcie jego obserwacji. W takich sytuacjach zachodzi potrzeba
opracowania
odpowiednich
modyfikacji
podstawowych
optymalnych
algorytmów
otrzymanych dla sygnałów stacjonarnych, czy wręcz syntezy nowych algorytmów,
efektywnych w przypadku wystąpienia niestacjonarności.
W punktach 3.1 i 3.3 przeprowadzona zostanie analiza pracy podstawowych
algorytmów (2.7)-(2.11) oraz (2.7)-(2.10), (2.19), bez ich modyfikacji, w przypadku, gdy
występują dryfty wartości parametrów analizowanego sygnału (punkt 3.1) oraz w przypadku,
gdy wartości parametrów sygnału ulegają nagłym zmianom (punkt 3.3). Wyniki tej analizy
posłużą do zaproponowania odpowiednich modyfikacji podstawowych algorytmów estymacji
odpowiednio w punktach 3.2 i 3.4.
3.1.
Analiza pracy algorytmów estymacji w obecności zakłóceń typu
dryftów
W wielu praktycznych zastosowaniach cyfrowego przetwarzania sygnałów mamy do
czynienia z problemem estymacji parametrów sygnałów w sytuacji, gdy występują losowe
dryfty parametrów sygnału użytecznego bądź zakłóceń. Proces dryftu parametrów sygnału
może być modelowany w różny sposób. Będziemy rozpatrywać sygnały opisane ogólnym
modelem regresyjnym (2.22), w których dryfty parametrów θn są modelowane równaniem
(2.23). Poniżej zostaną przedstawione rezultaty badań symulacyjnych dotyczących
zachowania się podstawowych algorytmów (2.7)-(2.11) oraz (2.7)-(2.10), (2.19) w przypadku
przetwarzania sygnałów niestacjonarnych, w których występują dryfty parametrów.
26
Eksperyment 3.1
Badania
symulacyjne
przeprowadzono
dla
najprostszego
przypadku
sygnału
regresyjnego (2.22) zawierającego składową stałą, która w trakcie obserwacji ulega losowemu
dryftowi. Przyjęto liniowy model zmienności dryftu. Sygnał analizowany ma wówczas
postać:
yn = θn + νn = θs + βn + νn ,
(3.1)
gdzie θ n jest estymowanym parametrem, θ s jest stałą w czasie losową składową parametru
θ n , a β jest losową prędkością narastania liniowego dryftu parametru θ n .
We wszystkich eksperymentach prezentowanych w punkcie 3.1 przyjęto następujące
wartości parametrów: wariancja szumu zewnętrznego σν2 = 10−2 ; parametry układu
obserwacji: D = 0,5 ; σ ξ2 = 10 −4 ; α = 7 ( µ = 10 −12 ) oraz warunki początkowe: θ0 = 0 ;
P0 = σθ2 ; σθ2 = 25 . Wszystkie symulacje przeprowadzono dla tych samych realizacji (w
przypadku pojedynczych eksperymentów), bądź tych samych zbiorów realizacji sygnału {yn }
(w przypadku uśredniania wyników eksperymentów). Stosowano najpierw optymalny
algorytm z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji, a następnie, w celu
porównania, optymalny algorytm ze stałą czułością układu obserwacji.
W celu ilustracji podstawowych właściwości algorytmów estymacji omówionych w
rozdziale 2, najpierw zostaną przedstawione wyniki badań symulacyjnych w przypadku
estymacji parametru sygnału stacjonarnego, w którym nie występuje losowy dryft, tzn. przy
założeniu β = 0 ( θn = θs ) w modelu (3.1). Przyjęto, że wartość parametru θs = 1 . Na rysunku
3.1 przedstawiono przykładową trajektorię estymat θˆn parametru θ n dla tego przypadku
uzyskaną przy zastosowaniu algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji
(linia czerwona) oraz trajektorię uzyskaną przy zastosowaniu algorytmu ze stałą czułością
(linia
różowa).
Na
rysunku
3.2
przedstawiono
trajektorie
empirycznych
błędów
średniokwadratowych (EMSE) estymacji parametru θ n , uśrednione po zbiorze K = 200
realizacji sygnału {yn } :
EMSE(θ$n ) =
1 K $( k )
∑ θ − θn
K k =1 n
(
)
2
.
(3.2)
W przypadku obliczeń EMSE, dla poszczególnych realizacji sygnału {yn } generowano
losowo różne wartości parametru θs , przy czym przyjęto, że rozkład zmiennej losowej θs jest
gaussowski: p (θ s ) = N[θ s - θ 0 , σ θ2 ] .
27
Rys. 3.1. Trajektorie estymat parametru θn obliczanych za pomocą algorytmu ze stałą czułością (linia różowa)
oraz algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (linia czerwona); linia czarna –
prawdziwa wartość parametru θn
Rys. 3.2. Trajektorie empirycznego błędu średniokwadratowego (EMSE) estymacji parametru θn otrzymane w
przypadku zastosowania algorytmu ze stałą czułością (linia różowa) oraz algorytmu z adaptacyjnie
sterowaną czułością układu obserwacji (linia czerwona)
Rezultaty eksperymentów świadczą o istotnym polepszeniu jakości estymacji parametru
θ n w wyniku wprowadzenia optymalnego sterowania czułością układu obserwacji. Zarówno
wykresy trajektorii estymat (rys. 3.1), jak i wykresy trajektorii empirycznych błędów
średniokwadratowych (rys. 3.2) potwierdzają, iż algorytm z adaptacyjnie sterowaną czułością
układu obserwacji ma szczególnie wyraźną przewagę nad algorytmem ze stałą czułością w
początkowym okresie pracy, w którym szybkość jego zbieżności jest wykładnicza. I tak na
przykład, empiryczny błąd średniokwadratowy estymacji parametru θ n od chwili n = 5 jest o
28
blisko rząd mniejszy dla algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością w porównaniu z
empirycznym błędem średniokwadratowym dla algorytmu ze stałą czułością (por. rys. 3.2).
Polepszenie jakości estymacji w początkowym okresie pracy ilustruje także w przekonujący
sposób rysunek 3.1, na którym wartości estymat parametru θn obliczane za pomocą
algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością przyjmują od około 5 próbki wartości bliskie
prawdziwej wartości parametru θs = 1 , podczas gdy w przypadku algorytmu ze stałą
czułością wartości estymat θ$n różnią się znacznie od prawdziwej wartości parametru θn do
około 30 próbki. Tak więc, zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi, z wykresów
zamieszczonych na rysunkach 3.1 i 3.2 wynika, że optymalny algorytm z adaptacyjnie
sterowana czułością umożliwia dokonanie estymacji nieznanej stałej wartości parametru θ s
przy zadanym poziomie dokładności estymacji w znacznie krótszym czasie, niż optymalny
algorytm, w którym czułość układu obserwacji jest stała.
W drugiej części eksperymentów przeprowadzono analizę pracy podstawowych
algorytmów ze sterowaną czułością (2.7)-(2.11) oraz ze stałą czułością (2.7)-(2.10), (2.19) w
przypadku, gdy występuje dryft parametru θn . Na rysunku 3.3 przedstawiono przykładowe
trajektorie estymat parametru θn dla następujących wartości parametrów: θs = 1 , β = 0,05 .
prawdziwe wartości parametru θn
Na rysunku 3.4 przedstawiono uśrednione po zbiorze K = 200 realizacji sygnału
trajektorie EMSE parametru θn obliczane ze wzoru (3.2) przy założeniu tej samej wartości
β = 0,05 . Podobnie jak w poprzednim eksperymencie, w przypadku obliczeń EMSE
generowano losowo różne wartości parametru θs sygnału (3.1) w poszczególnych
29
realizacjach, przy czym przyjęto, że rozkład zmiennej losowej θs jest gaussowski:
p (θ s ) = N[θ s - θ 0 , σ θ2 ] .
Rys. 3.4. Trajektorie EMSE estymacji parametru θn otrzymane w przypadku zastosowania algorytmu ze stałą
czułością (linia różowa) oraz algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (linia
czerwona)
Wykresy trajektorii przedstawione na rysunkach 3.3 i 3.4 ilustrują słabą jakość
estymacji niestacjonarnego parametru θn dla prędkości narastania dryftu β = 0,05 . Wyraźnie
widać, że od około 5 próbki oba algorytmy nie radzą sobie z dryftem, a estymaty θ$n wraz ze
wzrostem czasu obserwacji zaczynają coraz bardziej odbiegać od prawdziwych wartości
parametru θn .
W dalszej części eksperymentu przeanalizowano zachowanie trajektorii EMSE
parametru θn dla różnych wartości prędkości narastania β dryftu. Na rysunku 3.5
przedstawiono powierzchnie złożone z trajektorii EMSE wyznaczanych dla wartości β
zmienianych od 0 do 0,1 z krokiem 0,01. Analogicznie jak w przypadku eksperymentów dla
sygnału stacjonarnego, każda z realizacji sygnału {yn } była przetwarzana przez algorytm ze
stałą czułością (rys. 3.5a) oraz przez algorytm z adaptacyjnie sterowaną czułością (rys 3.5b)
układu obserwacji.
30
a)
b)
czułością (rys. a) oraz algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (rys. b) dla
różnych wartości prędkości narastania β liniowego dryftu
Uzyskane rezultaty eksperymentów zarówno w przypadku zastosowania algorytmu z
adaptacyjnie sterowaną czułością, jak i algorytmu ze stałą czułością układu obserwacji,
pokazują, że w przypadku, gdy występują dryfty parametrów algorytmy te nie potrafią
poprawnie śledzić nawet dość wolnych zmian parametru θn . Na rysunku 3.5 już dla małych
wartości β = 0,01 dla obu algorytmów widać wzrost EMSE od około 40 próbki w stosunku
do przypadku, gdy dryft nie występuje. Z rysunku 3.5 wynika, iż dokładność estymacji
parametru θn obu algorytmów maleje proporcjonalnie do prędkości narastania dryftu β .
Podobne eksperymenty symulacyjne przeprowadzono także dla innych niż liniowy
dryftów: m.in. kwadratowych oraz wykładniczych opisanych modelem α (1 − e− γn ) , gdzie α
jest estymowanym parametrem dryfu, a γ ( 0 ≤ γ ≤ ∞ ) jest znaną stałą charakteryzującą
dryft. Otrzymane rezultaty prowadzą do identycznych wniosków. Podstawowe algorytmy
estymacji parametrów sygnałów, optymalne dla sygnałów stacjonarnych, nie są skutecznym
narzędziem, gdy występują nawet niewielkie dryfty parametrów analizowanego sygnału. W
związku z tym istnieje konieczność opracowania algorytmów, które umożliwiałyby estymację
parametrów sygnałów w przypadkach występowania dryftów parametrów.
3.2.
Rozszerzone algorytmy optymalnej estymacji parametrów sygnałów
niestacjonarnych
W punkcie tym omówimy rozszerzone algorytmy optymalnej estymacji parametrów
sygnałów niestacjonarnych, w których występują losowe dryfty parametrów opisane modelem
(2.23).
Rozszerzenie
optymalnych
algorytmów
31
estymacji
parametrów
sygnałów
stacjonarnych, opartych na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji, na przypadek
sygnałów niestacjonarnych polega na sprowadzeniu zagadnienia estymacji parametrów
niestacjonarnego wektora θn do zagadnienia estymacji parametrów rozszerzonego, stałego w
czasie wektora θ . Analizowany sygnał przedstawimy w następującej postaci:
yn = θ nT X n + ν n = [θ s + β1n + β 2 n 2 + . . . + α1 (1 − e −γ 1 n ) + α 2 (1 − e −γ 2 n ) + . . .]T X n + ν n =
= θ T Xn +ν n ,
gdzie θ = [θsT , β1T , β2T ,..., α1T ,α 2T ,...]T
parametrów sygnału,
a
(3.3)
jest rozszerzonym wektorem nieznanych stałych
X n = [ X nT , X nT n, X nT n 2 ,..., X nT (1 − e −γ 1n ), X nT (1 − e −γ 2 n ),...]T
jest
rozszerzonym wektorem składowych deterministycznych. Wektor θs zawiera stałe w czasie
składowe niestacjonarnego wektora θn .
$
Zadanie polega na wyznaczeniu optymalnych estymat rozszerzonego wektora θn
złożonego z estymat wektora θs oraz estymat odpowiednich wektorów parametrów dryftu
β1 , β2 ,...,α1 ,α 2 ,... , a następnie obliczeniu na ich podstawie estymat θ$n niestacjonarnego
$
$
wektora parametrów θn . Rozszerzona macierz kowariancji Pn = E[(θ − θn )(θ − θn ) T | ~
y1n ]
$
błędów estymacji wektora θ ma postać:
Pn =
Pn
Σ nθβ
Σ nβθ
Sn
,
(3.4)
gdzie macierz Pn jest macierzą kowariancji estymat θ$s ,n wektora θs , Sn jest macierzą
kowariancji estymat wektora parametrów dryftu [ β1T , β2T ,..., α1T , α 2T ,...]T , a Σ nθβ , Σ nβθ są
odpowiednimi macierzami kowariancji. Zakładamy, że wektor θs i wektory parametrów
dryftu β1 , β2 ,..., α1 , α 2 ,... są wzajemnie niezależne.
Optymalny rozszerzony algorytm estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych
przybiera w przypadku występowania dryftów parametrów następującą postać:
Optymalny rozszerzony algorytm estymacji
• Rekursja dla estymat rozszerzonego wektora parametrów θ :
$
 ~
yn − Cn (θnT−1 X$ n − Bn ) 
.
θn = θn −1 + Cn Pn −1 X n  2
2
2
T
 σξ + Cn (σν + X n Pn −1 X n ) 
$
$
32
(3.5)
• Rekursja dla rozszerzonej macierzy kowariancji błędów estymacji:
Pn = Pn −1 −
Cn2 Pn −1 X n X nT Pn −1
.
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn −1 X n )
(3.6)
• Warunki początkowe:
θˆn |n = 0 = [θ sT,0 , β1T,0 , β 2T, 0 , ...,α1T,0 ,α 2T,0 , ...]T ,
•
Pn |n = 0 = diag (P0 , S 0 ) .
(3.7)
Estymaty parametrów wektora θn :
θ$n = θ$s , n + β$1, nn + β$2 ,n n2 +...+α$1, n (1 − e −γ n ) + α$2 ,n (1 − e −γ n ) +... .
1
2
(3.8)
• Sygnał kompensujący:
(3.9)
$
Bn = θ nT−1 X n .
Cn =
D
α σν2 + X nT Pn −1 X n
.
(3.10)
Dla algorytmu ze stałą czułością układu obserwacji
C0 =
gdzie S max =
max
X 1T X 1 ≤ E max
D
α σν2 + Smax
,
(3.11)
X 1T P0 X 1 (por. wzór (2.19)). Wartość stałej α jest rozwiązaniem
równania (2.12).
Poniżej przedstawiono wyniki badań symulacyjnych rozszerzonych algorytmów
estymacji. Podobnie jak w punkcie 3.1, symulacje przeprowadzano dla sygnału opisanego
modelem (3.1) z liniowym dryftem stałej składowej. Wszystkie eksperymenty prezentowane
w tym punkcie przeprowadzono dla identycznych realizacji sygnału {yn } jak w punkcie 3.1.
Umożliwia to porównanie właściwości proponowanych rozszerzonych algorytmów estymacji
z właściwościami podstawowych algorytmów estymacji stosowanymi w punkcie 3.1.
Eksperyment 3.2
W eksperymencie przeprowadzono analizę pracy rozszerzonych algorytmów ze
sterowaną czułością (3.5)-(3.10) oraz ze stałą czułością (3.5)-(3.19), (3.11) w przypadku, gdy
występuje dryft parametru θn sygnału (3.1). Rozszerzonym wektorem parametrów jest wektor
θ = [θs , β ]T , a rozszerzony wektor składowych deterministycznych ma postać: X n = [1, n]T .
33
W
eksperymentach
symulacyjnych
przyjęto
następujące
warunki
początkowe
dla
rozszerzonych algorytmów estymacji: θ0 = [0,0]T ; P0 = diag(σθ2 , σ β2 ) ; σθ2 = 25 ; σ β2 = 1 .
Na rysunku 3.6 przedstawiono przykładowe trajektorie estymat parametru θn dla
następujących wartości parametrów: θs = 1 , β = 0,05 .
Rys. 3.6. Trajektorie estymat parametru θn obliczanych za pomocą rozszerzonego algorytmu ze stałą czułością
(linia jasnoniebieska) oraz rozszerzonego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu
obserwacji (linia niebieska); linia czarna – prawdziwe wartości parametru θn
Wykresy trajektorii estymat θ$n obliczanych za pomocą rozszerzonych algorytmów
estymacji zarówno z adaptacyjnie sterowaną czułością, jak i ze stałą czułością układu
obserwacji, pokazują, że estymaty te zbiegają się do prawdziwych wartości parametru θn .
Przypomnijmy, że, w przypadku podstawowych algorytmów, estymaty θ$n , uzyskane dla tej
samej realizacji sygnału {yn } , nie nadążają za zmianami parametru θn (por. rys. 3.3). Jak
widać na rysunku 3.6, w przypadku rozszerzonego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną
czułością układu obserwacji szybkość zbieżności estymat θ$n do prawdziwych wartości
parametru θn jest wyraźnie większa niż rozszerzonego algorytmu ze stałą czułością. Wartości
estymat θ$n obliczanych za pomocą algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością przyjmują
od około 7 próbki wartości bliskie prawdziwej wartości parametru θn , podczas gdy w
przypadku zastosowania algorytmu ze stałą czułością wartości estymat θ$n różnią się znacznie
od prawdziwej wartości parametru θn do 50 próbki.
Na rysunku 3.7 przedstawiono trajektorie EMSE estymacji parametru θn , obliczane
zgodnie ze wzorem (3.2) i uśrednione po zbiorze K = 200 realizacji sygnału. Wykorzystano te
34
same realizacje co w eksperymencie 3.1, w którym generowano losowo różne wartości
parametru θs sygnału {yn } , przyjmując, że rozkład zmiennej losowej θs jest gaussowski:
p (θ s ) = N[θ s - θ 0 , σ θ2 ] oraz że prędkość narastania liniowego dryftu β = 0,05 .
Rys. 3.7. Trajektorie EMSE estymacji parametru θn otrzymane w przypadku zastosowania rozszerzonego
algorytmu ze stałą czułością (linia jasnoniebieska) oraz rozszerzonego algorytmu z adaptacyjnie
sterowaną czułością układu obserwacji (linia niebieska)
Porównując trajektorie EMSE uzyskane dla rozszerzonych algorytmów z trajektoriami
EMSE uzyskanymi dla podstawowych algorytmów, przedstawionymi na rysunku 3.4,
widzimy, że rozszerzone algorytmy zapewniają zbieżność estymat θ$n do prawdziwych
wartości parametru θn , podczas gdy w przypadku podstawowych algorytmów estymaty θ$n nie
zbiegają się do prawdziwych wartości, o czym świadczą rosnące w trakcie obserwacji
empiryczne błędy średniokwadratowe estymacji parametru θn (por. rys. 3.4). Trajektorie
EMSE zamieszczone na rysunku 3.7 potwierdzają większą szybkość zbieżności estymat θ$n
obliczanych za pomocą rozszerzonego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu
obserwacji w porównaniu z szybkością zbieżności rozszerzonego algorytmu ze stałą
czułością. Jest to szczególnie wyraźne w początkowym okresie pracy, w którym występuje
$
wykładnicza szybkość zbieżności estymat θn . Jak widać na rysunku 3.7, empiryczny błąd
estymacji parametru θn już od chwili n = 5 jest o blisko rząd mniejszy dla algorytmu z
adaptacyjnie
sterowaną
czułością
w
porównaniu
z
empirycznym
błędem
średniokwadratowym wyznaczonym dla algorytmu ze stałą czułością.
W dalszej części eksperymentu przeanalizowano zachowanie trajektorii EMSE
parametru θn dla różnych wartości prędkości narastania β liniowego dryftu. Na rysunku 3.8
35
przedstawiono powierzchnie złożone z trajektorii EMSE wyznaczanych dla wartości β
zmienianych od 0 do 0,1 z krokiem 0,01, uzyskane przy zastosowaniu rozszerzonych
algorytmów estymacji dla tych samych realizacji sygnału {yn } co w eksperymencie 3.1.
a)
b)
Rys. 3.8. Trajektorie EMSE estymacji parametru θn otrzymane w przypadku zastosowania rozszerzonych
algorytmów estymacji dla różnych wartości prędkości narastania β dryftu
Wykresy trajektorii empirycznego błędu średniokwadratowego uzyskane dla różnych
wartości prędkości narastania β liniowego dryftu wykreślone na rysunku 3.8 potwierdzają, że
dokładność estymacji parametru θn rozszerzonych algorytmów nie zależy od wartości
parametru β . W przypadku podstawowych algorytmów dokładność estymacji malała wraz ze
wzrostem prędkości narastania dryftu (por. rys. 3.5).
W celu uzupełnienia wyników symulacji, na kolejnych rysunkach 3.9–3.11
przedstawiono
trajektorie
estymat
β$n
oraz
trajektorie
empirycznego
błędu
średniokwadratowego prędkości narastania β dryftu, będącej składową rozszerzonego
wektora parametrów θ = [θs , β ]T . Wyniki przedstawione na rysunkach 3.9-3.11 otrzymano
dla tych samych realizacji sygnału {yn } co w przypadku eksperymentów, których wyniki
przedstawiono odpowiednio na rysunkach 3.6-3.8.
36
Rys. 3.9. Trajektorie estymat prędkości narastania β dryftu obliczanych za pomocą rozszerzonego algorytmu ze
stałą czułością (linia jasnoniebieska) oraz rozszerzonego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną
czułością układu obserwacji (linia niebieska); linia czarna - prawdziwa wartość parametru
Rys. 3.10. Trajektorie EMSE estymacji prędkości narastania β dryftu otrzymane przy zastosowaniu
rozszerzonego algorytmu ze stałą czułością (linia jasnoniebieska) oraz rozszerzonego algorytmu z
adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (linia niebieska)
37
a)
b)
Rys. 3.11. Trajektorie EMSE estymacji prędkości narastania β dryftu w przypadku zastosowania rozszerzonych
algorytmów estymacji dla różnych wartości prędkości narastania β
Trajektorie przedstawione na rysunkach 3.9-3.11 świadczą o tym, że algorytm z
adaptacyjnie sterowaną czułością potrafi dokładniej wyestymować prędkość narastania β
dryftu w porównaniu z algorytmem ze stałą czułością układu obserwacji. Szczególnie
wyraźnie widać to na rysunku 3.10, gdzie EMSE parametru β dla algorytmu z adaptacyjnie
sterowaną czułością jest od około 10 próbki o blisko rząd mniejszy od EMSE otrzymanego w
przypadku zastosowania algorytmu ze stałą czułością. Dokładniejsza estymacja prędkości
narastania dryftu zwiększa skuteczność rozszerzonych algorytmów i pozwala na
dokładniejszą estymację niestacjonarnego wektora parametrów θn , co zilustrowano na
rysunkach 3.6-3.8.
Na rysunkach 3.12 i 3.13 przedstawiono trajektorie estymat parametru θn = θs oraz
EMSE uzyskane przy zastosowaniu rozszerzonych algorytmów estymacji w przypadku
estymacji parametru sygnału stacjonarnego, tj. dla przypadku gdy w sygnale (3.1) nie
występuje losowy dryft ( β = 0 ). Badania przeprowadzono dla tych samych realizacji sygnału
{yn } , dla których otrzymano wyniki przedstawione na rysunkach 3.1 i 3.2 przy zastosowaniu
podstawowych algorytmów estymacji. Wykresy z rysunków 3.12 i 3.13 potwierdzają
przewidywania teoretyczne, zgodnie z którymi rozszerzenie wymiaru modelu regresji w
analizowanym sygnale (3.3), związane z uwzględnieniem parametrów dryftów, powoduje
zmniejszenie szybkości zbieżności estymat obliczanych za pomocą rozszerzonych
algorytmów z adaptacyjnie sterowaną czułością (3.5)-(3.10) oraz ze stałą czułością układu
obserwacji (3.5)-(3.9), (3.11) (por. rys. 3.1 i 3.2). Podobnie jak we wszystkich algorytmach
adaptacyjnego przetwarzania sygnału, także w rozpatrywanym przypadku wzrost rzędu
modelu prowadzi do zmniejszenia szybkości zbieżności estymat. Algorytm z adaptacyjnie
38
sterowaną czułością układu obserwacji zachowuje jednak podstawową cechę świadczącą o
jego atrakcyjności i decydującą o jego przewadze nad rozszerzonym algorytmem ze stałą
czułością, a mianowicie początkową wykładniczą szybkość zbieżności.
Rys. 3.12. Trajektorie estymat parametru θ n obliczanych za pomocą rozszerzonego algorytmu ze stałą czułością
(linia jasnoniebieska) oraz rozszerzonego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu
obserwacji (linia niebieska); linia czarna - prawdziwa wartość parametru θ n
Rys. 3.13. Trajektorie EMSE estymacji parametru θ n otrzymane w przypadku zastosowania rozszerzonego
algorytmu ze stałą czułością (linia jasnoniebieska) oraz rozszerzonego algorytmu z adaptacyjnie
Podsumowując otrzymane wyniki badań symulacyjnych rozszerzonych algorytmów
estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych, należy stwierdzić, że rozszerzony algorytm
z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (3.5)-(3.10) jest efektywnym
narzędziem estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych, w których występują dryfty
parametrów. Ponadto umożliwia on jednoczesną estymację parametrów dryftu, co ma istotne
39
znaczenie w wielu zagadnieniach praktycznych. Podobne eksperymenty symulacyjne
przeprowadzono także dla bardziej złożonych sygnałów (m.in. w przypadku dryftu amplitudy
sygnału sinusoidalnego - por. punkt 6.1) oraz innych dryftów. Uzyskane wyniki potwierdzają
sformułowane powyżej wnioski.
Prezentowane rozszerzone algorytmy estymacji pozwalają na otrzymanie prawidłowych
estymat parametrów tylko w przypadku sygnałów, w których charakter dryftu parametrów
jest dokładnie znany, tzn. wiadomo, czy jest to dryft liniowy, kwadratowy, czy wykładniczy i
są znane dokładnie wszystkie składowe deterministyczne rozszerzonego wektora X n
występującego w modelu analizowanego sygnału (3.3). W zagadnieniach praktycznych mamy
często do czynienia z sygnałami, w których znany jest charakter dryftu, nie jest natomiast
znany moment pojawienia się dryftu. Oznacza to faktycznie, że w takich
przypadkach
składowe wektora X n nie są znane dokładnie i, w konsekwencji, rozszerzone algorytmy
przestają być optymalne. Dla sygnałów, w których nie znamy momentów pojawiania się
dryftów parametrów synteza optymalnych algorytmów estymacji pozostaje problemem
otwartym.
Podkreślmy na zakończenie, że zaproponowane rozszerzone algorytmy estymacji
parametrów sygnałów, wywodzące się z koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji, dają
jednocześnie najlepsze estymaty zarówno parametrów sygnałów użytecznych, jak i zakłóceń,
w zależności od interpretacji poszczególnych składowych wektora parametrów θn . Przykłady
zastosowania rozszerzonych
algorytmów estymacji
w zagadnieniach przetwarzania
niestacjonarnych sygnałów pomiarowych przedstawiono w rozdziale 6.
3.3.
Analiza pracy algorytmów estymacji w przypadku nagłych zmian
parametrów sygnałów
W punkcie tym przedstawiono rezultaty badań symulacyjnych zachowania się
podstawowych optymalnych algorytmów estymacji (2.7)-(2.11) oraz (2.7)-(2.10), (2.19) w
przypadku wystąpienia nagłych skokowych zmian wartości parametrów sygnału w
nieznanych chwilach czasu. Poszukiwanie odpowiednich algorytmów estymacji w takich
sytuacjach jest w pełni uzasadnione, ponieważ w praktyce często mamy do czynienia z tego
typu niestacjonarnością.
Przyjmiemy ogólny model nagłych zmian parametrów θn sygnału (2.22) w postaci:
θ n = θ + ∆θ1 1(n − N1 ) + ∆θ 2 1(n − N 2 ) + ... ,
40
(3.12)
gdzie ∆θ1 = [ ∆θ1(1) ,..., ∆θ1( L ) ]T , ∆θ2 = [ ∆θ2(1) ,..., ∆θ2( L ) ]T ,... są losowymi amplitudami skoków
parametrów θn odpowiednio w nieznanych chwilach N1 , N 2 ,... , a 1(⋅) jest funkcją
jednostkową.
Eksperyment 3.3
Eksperymenty symulacyjne przeprowadzono dla najprostszego przypadku stałego
sygnału użytecznego, którego wartość zmienia się w chwili n = N1 . Sygnał analizowany ma
wówczas postać:
yn = θn + νn = θs + ∆θ 1(n − N 1 ) + νn .
(3.13)
Przyjęto następujące wartości parametrów: wariancja szumu zewnętrznego σν2 = 10−2 ;
parametry układu obserwacji: D = 0,5 ; σ ξ2 = 10 −4 ; α = 7 ( µ = 10 −12 ) oraz warunki
początkowe: θ0 = 0 ; P0 = σθ2 ; σθ2 = 25 . Wszystkie symulacje przeprowadzono dla tych
samych realizacji sygnału {yn } , stosując najpierw optymalny algorytm z adaptacyjnie
sterowaną czułością układu obserwacji (2.7)-(2.11), a następnie, w celu porównania,
optymalny algorytm ze stałą czułością układu obserwacji (2.7)-(2.10), (2.19). We wszystkich
omawianych dalej eksperymentach przyjmowano, że skok parametru θn występuje w
dziesiątej próbce ( N1 = 10 ) i ma wartość ∆θ = 1 . Na rysunku 3.14 przedstawiono
przykładowe trajektorie estymat parametru θn . Przyjęto, że wartość parametru θs = 1 .
prawdziwe wartości parametru θn
41
Na rysunku 3.15 przedstawiono trajektorie empirycznych błędów średniokwadratowych
estymacji parametru θn , obliczane zgodnie ze wzorem (3.2) i uśrednione po zbiorze K = 200
realizacji sygnału. W przypadku obliczeń EMSE w poszczególnych realizacjach sygnału {yn }
generowano losowo różne wartości parametru θs , przy czym przyjęto, że rozkład zmiennej
losowej θs jest gaussowski: p (θ s ) = N[θ s - θ 0 , σ θ2 ] .
czułością (linia różowa) oraz algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (linia
czerwona)
Przedstawione na rysunkach 3.14 i 3.15 rezultaty badań symulacyjnych wskazują, że
wystąpienie skoku parametru θn powoduje, że, zarówno w przypadku zastosowania
algorytmu z adaptacyjnie sterowana czułością, jak i algorytmu ze stałą czułością układu
obserwacji, estymaty θ$n bardzo powoli zbiegają do nowej wartości parametru θn . Jak widać
na rysunku 3.14, po wystąpieniu skoku estymaty θ$n długo odbiegają od prawdziwych
wartości parametru θn . Słabą jakość estymacji niestacjonarnych parametrów θn potwierdzają
również trajektorie empirycznego błędu średniokwadratowego przedstawione na rysunku
3.15.
Podobne eksperymenty przeprowadzono także dla większych wartości skoku ∆θ oraz
innych chwil N1 pojawienia się skoku parametru θn . Dla większych wartości ∆θ i N1 błędy
estymacji po wystąpieniu skoku są większe, a proces dochodzenia estymat do nowej wartości
parametru θn jest dłuższy. Rezultaty wszystkich przeprowadzonych eksperymentów świadczą
o słabej skuteczności algorytmów (2.7)-(2.11) oraz (2.7)-(2-10), (2.19) w przypadku
wystąpienia nagłych zmian wartości parametrów sygnału.
42
3.4.
Zmodyfikowane algorytmy estymacji parametrów sygnałów
niestacjonarnych
Z rezultatów poprzedniego eksperymentu wynika, że w przypadku algorytmów
estymacji z adaptacyjnie sterowaną czułością (2.7)-(2.11) oraz ze stałą czułością układu
obserwacji (2.7)-(2-10), (2.19), optymalnych w przypadku sygnałów stacjonarnych, szybkość
reakcji estymat na skoki wartości estymowanych parametrów jest niezadowalająca. Z tego
względu w pracy podjęto próbę modyfikacji tych algorytmów w celu przyspieszenia
szybkości reakcji estymat na nagłe zmiany parametrów.
Klasycznym rozwiązaniem problemów przetwarzania sygnałów niestacjonarnych jest
wprowadzenie do algorytmów estymacji i filtracji mechanizmu zapominania. Mechanizm taki
umożliwia zróżnicowanie wpływu poszczególnych obserwacji na wartości obliczanych
estymat, nadając obserwacjom pochodzącym z przeszłości mniejszą wagę niż obserwacjom
bieżącym. Najczęściej spotykanym w literaturze mechanizmem zapominania jest metoda
ważenia wykładniczego, która sprowadza się do modyfikacji rekursji dla macierzy
kowariancji błędów estymacji Pn określonej w przypadku rozważanych w pracy algorytmów
wzorem (2.8).
Można łatwo pokazać, że odwrotność macierzy kowariancji Pn (2.8) ma postać:
Cl2 X l X lT
2
2 2 .
l = 1 σξ + Cl σν
n
Pn−1 = P0−1 + ∑
(3.14)
Wprowadzając ważenie wykładnicze poszczególnych składników sumy występującej w
wyrażeniu (3.14), otrzymujemy rekursję:
−1
n
P
−1
0
=λP
n
n
+ ∑λ
l =1
n−l
Cl2 X l X lT
,
σ ξ2 + Cl2σν2
(3.15)
gdzie stała λ ( λ ≤ 1) jest nazywana stałą zapominania. Rekursję (3.15) można zapisać w
równoważnej postaci:
Pn−1 = λPn−−11 +
Cn2 X n X nT
.
σξ2 + Cn2σν2
(3.16)
Stosując do wzoru (3.16) lemat o rekurencyjnym odwracaniu macierzy (por. np. [14]) i
dokonując odpowiednich przekształceń, otrzymujemy rekursję dla macierzy kowariancji Pn
ze stałą zapominania λ :

1
Pn =  Pn −1 −
.
λ 
λσ ξ2 + Cn2 ( λσν2 + X nT Pn −1 X n ) 
43
(3.17)
Wykorzystując rekursję (3.17), możemy zapisać pełną postać zmodyfikowanego
algorytmu estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych:
Zmodyfikowany algorytm estymacji
• Rekursja dla estymat wektora parametrów:
 ~
yn − Cn (θ$nT−1 X n − Bn ) 
$
$
θn = θn −1 + Cn Pn −1 X n  2
.
2
2
T
 σξ + Cn (σν + X n Pn −1 X n ) 
(3.18)
• Rekursja dla macierzy kowariancji błędów estymacji:
Pn =

1
 Pn −1 −
.
λ 
λσ ξ2 + Cn2 ( λσν2 + X nT Pn −1 X n ) 
(3.19)
θ$n |n = 0 = θ 0 ,
(3.20)
Pn |n = 0 = P0 .
Bn = θ$ nT−1 X n .
(3.21)
Cn =
D
,
(3.22)
W przypadku układu obserwacji ze stałą czułością wzór (3.22) przyjmuje postać:
Cn = C0 =
D
α σ ν2 + S max
.
(3.23)
gdzie wielkość Smax jest określona jak w zależności (2.19). Wartość stałej α jest
rozwiązaniem równania (2.12).
Poniżej
przedstawiono
wyniki
badań
symulacyjnych
przeprowadzone
dla
zmodyfikowanych algorytmów estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych.
Eksperyment 3.4
W eksperymencie przeprowadzono analizę pracy zmodyfikowanych algorytmów
estymacji w przypadku, gdy występuje skok parametru θn sygnału (3.13). Badano
zachowanie estymat parametru θn dla różnych wartości stałej zapominania λ występującej w
zmodyfikowanych algorytmach. Podobnie jak w punkcie 3.3, symulacje przeprowadzano dla
sygnału opisanego modelem (3.13), w którym skok parametru θn występuje w chwili
N1 = 10
i ma
wartość ∆θ = 1 . Przyjęto takie same wartości pozostałych parametrów
44
sygnału i zakłóceń oraz parametrów algorytmów, co w eksperymencie 3.3. Wszystkie
symulacje przeprowadzono dla tych samych realizacji sygnału
{yn } , które były
wykorzystywane w punkcie 3.3. Każdy z eksperymentów przeprowadzono stosując najpierw
zmodyfikowany algorytm z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (3.18)(3.22), a następnie, w celu porównania, zmodyfikowany algorytm ze stałą czułością układu
obserwacji (3.18)-(3.21), (3.23).
Na rysunkach 3.16 i 3.17 przedstawiono przykładowe trajektorie estymat parametru θn
uzyskane przy zastosowaniu zmodyfikowanych algorytmów estymacji, odpowiednio ze stałą
czułością oraz z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji. Przyjęto, że wartość
parametru θs = 1 . Eksperymenty przeprowadzono dla trzech wartości stałej zapominania:
λ = 0,5 - trajektoria żółta (algorytm ze stałą czułością) i trajektoria zielona (algorytm z
adaptacyjnie sterowaną czułością), λ = 0,75 - odpowiednio trajektorie jasnoniebieska i
niebieska, λ = 0,9 - odpowiednio trajektorie różowa i czerwona.
Porównując trajektorie estymat uzyskane dla tej samej realizacji sygnału {yn } w
przypadku zastosowania podstawowych algorytmów (rys. 3.14), widzimy, że wprowadzenie
odpowiedniej stałej zapominania λ do algorytmów estymacji może znacznie przyspieszyć
otrzymanie prawidłowych wartości estymat parametru θn po wystąpieniu skoku parametru.
Rys. 3.16. Trajektorie estymat parametru θn obliczanych za pomocą zmodyfikowanego algorytmu ze stałą
czułością układu obserwacji dla różnych wartości stałej λ; linia czarna – prawdziwe wartości
parametru θn
45
Rys. 3.17. Trajektorie estymat parametru θn obliczanych za pomocą zmodyfikowanego algorytmu z adaptacyjnie
sterowaną czułością układu obserwacji dla różnych wartości stałej λ; linia czarna – prawdziwe
wartości parametru θn
Wykresy trajektorii z rysunków 3.16 i 3.17 wskazują na znaczną przewagę
zmodyfikowanego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji nad
algorytmem ze stałą czułością dla wszystkich rozważanych wartości stałych zapominania λ .
Trajektorie estymat otrzymane dla algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością (rys. 3.17)
znacznie szybciej osiągają wartości bliskie prawdziwym wartościom parametru θn po
wystąpieniu skoku w porównaniu z algorytmem ze stałą czułością (rys. 3.16).
Na rysunkach 3.18 i 3.19 przedstawiono trajektorie EMSE estymacji parametru θn ,
uśrednione po zbiorze K = 200 realizacji sygnału. Trajektorie ty były obliczane przy
zastosowaniu zmodyfikowanych algorytmów estymacji ze stałą czułością (rys. 3.18) oraz z
adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (rys. 3.19). Trajektorie EMSE uzyskane
dla poszczególnych wartości stałej zapominania ( λ = 0,5 , λ = 0,75 i λ = 0,9 ) wykreślono
identycznymi kolorami jak w przypadku trajektorii z rysunków 3.16 i 3.17. Porównując te
trajektorie z trajektoriami EMSE otrzymanymi przy zastosowaniu podstawowych wersji
algorytmów (rys. 3.15), widzimy, że błędy estymacji parametru θn po wystąpieniu skoku
parametru θn , otrzymane dla zmodyfikowanych algorytmów estymacji z adaptacyjnie
sterowaną czułością układu obserwacji, maleją znacznie szybciej niż w przypadku
podstawowych wersji algorytmów. Szybkość z jaką maleją błędy estymacji zależy oczywiście
od wartości stałej zapominania λ .
46
Rys. 3.18. Trajektorie EMSE estymacji parametru θn otrzymane w przypadku zastosowania zmodyfikowanego
algorytmu ze stałą czułością układu obserwacji dla różnych wartości stałej λ
Rys. 3.19. Trajektorie EMSE estymacji parametru θn otrzymane w przypadku zastosowania zmodyfikowanego
algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji dla różnych wartości stałej λ
Dla wszystkich analizowanych wartości stałej zapominania λ dokładność estymacji
parametru θn , zarówno przed skokiem parametrów, jak i po skoku, jest w przypadku
zastosowania zmodyfikowanego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu
obserwacji (rys. 3.19) znacznie większa, niż w przypadku zastosowania algorytmu ze stałą
czułością (rys. 3.18). Adaptacyjne sterowanie czułością umożliwia zatem estymację nieznanej
wartości parametru θn po jego skoku, przy zadanym poziomie dokładności, w znacznie
krótszym czasie, niż w przypadku algorytmu, w którym czułość układu obserwacji jest stała.
Przedstawione rezultaty badań symulacyjnych ilustrują znaną w teorii algorytmów
adaptacyjnych sprzeczność wymagań pomiędzy dokładnością estymacji algorytmów w
47
okresach, w których parametry sygnału są stałe, a ich wrażliwością na zmiany parametrów
przetwarzanych sygnałów (por. np. [44]). W rozpatrywanym przypadku wymagania te można
próbować umiejętnie pogodzić, wprowadzając odpowiednio dobraną stałą zapominania λ w
rekursji (3.19) dla macierzy kowariancji Pn . Wartości stałej zapominania λ bliskie jedności
pozwalają osiągnąć dużą dokładność estymat parametrów w okresach obserwacji, w których
parametry sygnału są stałe (por. rys. 3.18 i 3.19), natomiast charakteryzują się małą
wrażliwością na zmiany parametrów (por. rys. 3.16 i 3.17). Mniejsze wartości λ pozwalają
na szybką reakcję estymat na zmiany parametrów, ale dokładność uzyskiwanych estymat jest
mniejsza. Dobór odpowiedniej w danym zastosowaniu wartości stałej zapominania λ jest
więc uzależniony od tego, czy bardziej zależy nam na większej dokładności estymat
parametrów, czy na większej szybkości reakcji estymat na zmiany parametrów. Przykład
zastosowania zmodyfikowanego algorytmu estymacji wraz z wynikami eksperymentów dla
bardziej złożonego sygnału, w którym występują skokowe zmiany parametrów, zostanie
przedstawiony w rozdziale 7.
Wyniki przeprowadzonych badań symulacyjnych świadczą o tym, że optymalny
adaptacyjny algorytm estymacji (2.7)-(2.11) z adaptacyjnie sterowaną czułością wykazuje
wysoką efektywność w zastosowaniach przeznaczonych do pracy z sygnałami stacjonarnymi,
jednak w przypadku nagłych zmian parametrów algorytm ten charakteryzuje się bardzo małą
szybkością zbieżności do nowych wartości parametrów. Przedstawiona modyfikacja (3.18)(3.22) tego algorytmu rozszerza możliwości jego stosowania także na przypadek sygnałów
niestacjonarnych, w których występują nagłe zmiany parametrów.
Na zakończenie należy podkreślić, że omawiane w pracy zmodyfikowane wersje
algorytmów nie są jedynym, opartym na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji,
rozwiązaniem problemu estymacji parametrów sygnałów w przypadku wystąpienia nagłych
zmian parametrów. Pewne modyfikacje podstawowych algorytmów estymacji, optymalnych
dla sygnałów stacjonarnych, polegające na zastąpieniu w algorytmie optymalnej rekursji dla
macierzy kowariancji błędów estymacji Pn jej empirycznym odpowiednikiem obliczanym na
podstawie obserwacji, przedstawiono w pracy [65]. Innym rozwiązaniem jest detekcja zmian i
reinicjalizacja algorytmu estymacji optymalnego dla sygnałów stacjonarnych. Tematyka
zastosowania koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji do wykrywania nagłych zmian
wartości parametrów sygnałów była przedmiotem rozważań w pracach [94-96]. W pracy [96]
przedstawiono wywodzący się z tej koncepcji algorytm detekcji nagłych zmian parametrów
sygnałów oparty na pojęciu uogólnionego ilorazu wiarygodności (GLR).
48
Jednoczesna detekcja dryftów i estymacja parametrów sygnałów i zakłóceń
4. Jednoczesna detekcja dryftów i estymacja parametrów
sygnałów i zakłóceń
W rozdziale tym przedstawiono algorytm jednoczesnej detekcji dryftów i estymacji
parametrów sygnałów i zakłóceń oparty na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji.
Zaproponowano efektywną i skuteczną procedurę detekcji dryftów, której właściwości
przedyskutowano na podstawie rezultatów badań symulacyjnych. Tematyka wczesnej detekcji
zakłóceń typu dryftów (ang. drift-like faults lub incipient faults) jest przedmiotem
zainteresowania specjalistów z różnych dziedzin i ma kluczowe znaczenie w różnorodnych
zastosowaniach
praktycznych,
np.
w
elektroenergetyce,
sejsmologii,
badaniach
biomedycznych. Wczesna detekcja dryftu w jego stadium początkowym umożliwia bowiem
podjęcie odpowiedniej reakcji, co pozwala uniknąć katastrofalnych strat jakie mogą nastąpić
wskutek rozwinięcia się procesu dryftu.
4.1.
Charakterystyka problemu
Rozważmy następujący model analizowanego sygnału z addytywnym dryftem
liniowym:
yn = θ T X n + β 1(n − N 0 ) ⋅ (n − N 0 ) + νn ,
gdzie
θ = [θ (1) ,θ ( 2 ) ,...,θ ( L ) ]T
jest
wektorem
losowych
(4.1)
parametrów
modelu,
X n = [ X n(1) , X n( 2) ,..., X n( L ) ]T wektorem deterministycznych sygnałów, których wartości są
znane w każdej chwili czasu, β jest nieznaną losową prędkością narastania liniowego dryftu,
a N 0 jest nieznanym momentem pojawienia się dryftu. Przyjmujemy założenie, że
dysponujemy pełną informacją o rozkładzie a priori p(θ ) losowego i stałego w każdej
realizacji wektora θ oraz, że rozkład ten jest gaussowski o wartości średniej θ 0 i macierzy
kowariancji P0 : p(θ ) = N[θ − θ0 , P0 ] . Zakładamy, że losowy współczynnik dryftu β nie jest
skorelowany z sygnałem użytecznym θ T X n i szumem {v n } , a jego rozkład jest gaussowski o
zerowej wartości średniej i wariancji σ β2 : p( β ) = N[ β − β 0 , σ β2 ] , β 0 = 0 . O szumie
zewnętrznym obserwacji {v n } zakładamy, że jest białym szumem gaussowskim o zerowej
wartości średniej i wariancji σ ν2 , tj.: p(νn ) = N[νn − 0, σν2 ] .
Analogicznie jak w poprzednich rozdziałach zakładamy, że sygnał {yn } jest
obserwowany za pomocą układu obserwacji (2.4) opisanego modelem o charakterystyce
liniowej w ograniczonym zakresie obserwacji i z odcinkami nasycenia poza tym zakresem
49
(rys. 2.1). Przyjmujemy również założenie, że szum wewnętrzny układu obserwacji {ξ n } jest
białym szumem gaussowskim o FGP: p(ξ n ) = N[ξ n − 0, σ ξ2 ] . Zakładamy ponadto, że układ
obserwacji jest statystycznie dopasowany, tzn. parametry układu obserwacji Bn i Cn w każdej
chwili n spełniają warunek statystycznego dopasowania (2.5).
Zadanie polega na obliczeniu optymalnych estymat θ$n
parametrów sygnału
użytecznego oraz podjęciu optymalnej decyzji o braku lub obecności dryftu w sygnale {yn } i
- w tym drugim przypadku - obliczeniu optymalnej estymaty parametru dryftu β$n .
Rozwiązanie zagadnienia estymacji parametrów sygnałów i zakłóceń typu dryftów zostało
omówione w punkcie 3.2, dlatego też w tym rozdziale skoncentrowano się na przedstawieniu
procedury detekcji dryftu i skonstruowaniu odpowiedniej reguły decyzyjnej. Zagadnienie
detekcji zakłóceń typu dryftów polega na podjęciu decyzji o przyjęciu hipotezy o braku dryftu
w realizacji sygnału y1n (hipoteza H0 ) albo przyjęciu hipotezy o jego obecności w realizacji
y1n (hipoteza H1 ).
Decyzja o obecności lub braku dryftu w analizowanym sygnale jest podejmowana na
podstawie znajomości estymaty β$n dla każdej chwili n. Problem detekcji dryftu sprowadza się
do rozstrzygnięcia dla każdej chwili n prawdziwości jednej z dwóch hipotez:
H 0 : | βˆ n |< hn( β ) ,
H1 : | βˆ n |≥ hn( β ) ,
brak dryftu,
obecność dryftu,
(4.2)
gdzie hn( β ) jest zmiennym w trakcie obserwacji progiem detekcji wyznaczanym na bieżąco na
podstawie rozkładu estymat β$n oraz zadanego prawdopodobieństwa fałszywego alarmu, tj.
prawdopodobieństwa przyjęcia hipotezy H1 o obecności dryftu, kiedy w realizacji sygnału
y1n dryft nie wystąpił, a więc kiedy prawdziwa jest hipoteza H 0 .
4.2.
Algorytm jednoczesnej detekcji dryftów i estymacji parametrów
Wykorzystując rozszerzony model analizowanego sygnału (por. punkt 3.2) i zakładając,
że moment pojawienia dryftu N 0 jest znany, sygnał (4.1) można przedstawić w następującej
postaci:
yn = θ T X n + νn ,
(4.3)
gdzie θ = [θ T , β ]T , jest rozszerzonym wektorem nieznanych parametrów sygnałów, a
X n = [ X nT ,1(n − N 0 ) ⋅ (n − N 0 )]T jest wektorem składowych deterministycznych.
50
Dostosowanie algorytmu estymacji do pracy w obecności dryftów polega na
odpowiednim rozszerzeniu wektorów θ i X n o składowe związane z dryftem parametrów
sygnału w sposób opisany w punkcie 3.2 i modyfikacji podstawowego optymalnego
algorytmu estymacji parametrów sygnałów (2.7)-(2.11) z uwzględnieniem estymacji
ˆ
parametru dryftu β . Zadanie polega więc na wyznaczeniu optymalnych estymat θ n wektora
θ , złożonego z estymat θˆn wektora parametrów sygnału użytecznego θ oraz estymaty β̂ n
$
$
parametru dryftu β . Rozszerzona macierz kowariancji Pn = E[(θ − θn )(θ − θn ) T | ~
y1n ] błędów
estymacji wektora θ ma wówczas postać:
Pn =
Pn
Σ nθβ
Σ nβθ
Sn
,
(4.4)
gdzie macierz Pn jest macierzą kowariancji estymat θ$n wektora θ , a Sn jest wariancją
estymaty β$n parametru dryftu β . Σ nθβ , Σ nβθ są odpowiednimi macierzami kowariancji.
(β )
Procedura detekcji dryftu polega na sprawdzeniu nierówności | βˆ n | <
> hn i przyjęciu
jednej z hipotez (4.2) dotyczących obecności lub braku dryftu. Wartość progu detekcji dryftu
hn( β ) występującego w regule decyzyjnej (4.2) określamy w zależności od przyjętego
prawdopodobieństwa fałszywego alarmu Pfa i wyznaczamy dla każdej chwili n na podstawie
następującej formuły:
(β )
n
Pfa = Pr{H1 | H 0 } = Pr{| βˆn |≥ h
h n( β )
| H 0} = 1 −
∫ p( βˆ
n
| β = 0) dβ .
(4.5)
− h n( β )
Ze wzoru (4.5) wynika, że przy zadanym prawdopodobieństwie Pfa próg detekcji hn( β )
jest w każdej chwili n uzależniony od rozkładu a posteriori estymaty β$n pod warunkiem, że
β = 0 . Jeśli estymaty θˆn rozszerzonego wektora parametrów θ n są wyznaczane za pomocą
rekursji (3.5)-(3.6), to można wykazać (por. np. [65, 91]), że rozkład estymat warunkowych
θˆn | θ ma postać:
p(θˆn | θ ) = N[θˆn − θ + Pn P0−1 (θ 0 − θ ), Pn − Pn P0−1 Pn ] .
51
(4.6)
Uwzględniając wyrażenia (4.6) oraz (4.4) i przyjmując założenie, że β 0 = 0 , FGP
p( βˆ n | β = 0) , występująca we wzorze (4.5), ma zerową wartość średnią i wariancję
S n( 0) = S n − S n S0−1S n , gdzie S0 = σ β2 , tj.:
p( βˆ n | β = 0) = N[ βˆ n − 0, S n( 0 ) ] = N[ βˆ n − 0,S n − S n S 0-1 S n ] .
(4.7)
Indeks (0) we frakcji górnej został dodany dla podkreślenia, że wariancja S n( 0 ) jest obliczana
przy założeniu β = 0 .
Dysponując rozkładem (4.7), znajdujemy wyrażenie dla prawdopodobieństwa Pfa
(4.5):
 h( β )
ˆ
Pfa = 1 − 2 ∫ p( β n | β = 0) dβ = 1 − 2Φ n
 S (0)
0
 n
h n( β )



hn( β )
 = 1 − 2Φ
,

 S (1 − S −1S ) 
0
n 

 n
(4.8)
gdzie Φ(⋅) jest całką prawdopodobieństwa. Próg detekcji dryftu hn( β ) w regule (4.2) można
zatem wyznaczyć ze wzoru (4.8) w zależności od przyjętego prawdopodobieństwa
fałszywego alarmu Pfa .
Poniżej przedstawiono pełny algorytm jednoczesnej detekcji dryftu oraz estymacji
parametrów θ sygnału użytecznego i współczynnika dryftu β .
Algorytm jednoczesnej detekcji dryftów i estymacji parametrów sygnałów i zakłóceń
T
ˆ
• Rekursja dla estymat θ n = [θˆn , βˆ n ]T rozszerzonego wektora parametrów θ = [θ T , β ]T :

~
yn − Cn (θˆnT−1 X n − Bn ) 
.
2
2
2
T
σ ξ + Cn (σ ν + X n Pn −1 X n ) 
θˆn = θˆn −1 + Cn Pn −1 X n 
(4.9)
• Rekursja dla rozszerzonej macierzy kowariancji błędów estymacji:
Pn = Pn −1 − 2
.
σ ξ + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn −1 X n )
(4.10)
θˆn |n = 0 = [θ 0T , β 0 ]T ,
Pn |n = 0 = diag (P0 , S 0 ) ,
(4.11)
$
Bn = θ nT−1 X n .
52
(4.12)
Cn =
D
.
(4.13)
Dla algorytmu ze stałą czułością układu obserwacji
C0 =
gdzie S max =
X 1T
max
X 1 ≤ E max
D
α σν + Smax
2
,
(4.14)
X 1T P0 X 1 (por. wzór (2.19)). Wartość stałej α jest rozwiązaniem
równania (2.12).
Detekcja dryftu
•
Reguła decyzyjna detekcji dryftu:
 H 0 gdy | βˆ n |< hn( β ) ,

(β )
ˆ
 H 1 gdy | β n |≥ hn .
•
(4.15)
Równanie dla obliczenia optymalnego progu decyzyjnego hn( β ) :

 1 − Pfa
hn( β )

=
Φ
.
 S (1 − S −1S ) 
2
n
0
n


(4.16)
Schemat blokowy układu detekcji dryftów i estymacji parametrów sygnałów i zakłóceń
z adaptacyjnym sterowaniem parametrami układu obserwacji przedstawiono na rys. 4.1.
Blok generacji
θ Xn
T
νn
ξn
yn
en
− Bn
Cn en
Xn
Xn
~
yn
Blok estymacji
i sterowania
θ$n , β$n
Cn
Cn
β$n
− Bn
Blok detekcji
H0 ( H1 )
| βˆ n |≥ hn( β )
Rys. 4.1. Schemat systemu jednoczesnej detekcji dryftu i estymacji parametrów sygnału
Podkreślmy na zakończenie, że, w przypadku podjęcia decyzji o obecności dryftu w
chwili n, odpowiednie estymaty β$n współczynnika narastania dryftu β mogą zostać
natychmiast użyte w celu detekcji momentu pojawienia się dryftu, prognozy jego rozwoju,
53
czy też wprowadzenia korekt w systemie przetwarzania sygnału. Przy podejmowaniu decyzji
dotyczącej obecności dryftu zgodnie z regułą (4.15) wykorzystywane są estymaty β$n
współczynnika narastania dryftu β . Mając na uwadze, że optymalne adaptacyjne sterowanie
czułością układu obserwacji zapewnia przyspieszoną zbieżność estymat β$n , możemy
przypuszczać, że umożliwi to szybsze podjęcie decyzji o wykryciu lub braku dryftu, niż w
przypadku algorytmów ze stałą czułością układu obserwacji.
4.3.
Wyniki badań symulacyjnych
Wyniki badań symulacyjnych prezentowane w niniejszym punkcie mają na celu
empiryczne potwierdzenie wysokiej efektywności opisanej w punkcie 4.2 procedury
jednoczesnej detekcji dryftów i estymacji parametrów sygnałów użytecznych i zakłóceń,
wykorzystującej adaptacyjne sterowanie czułością układu obserwacji.
Do badań wybrano najprostszy model sygnału zawierającego składową stałą i liniowy
dryft opisany równaniem:
y n = θ + β 1(n − N 0 ) ⋅ (n − N 0 ) + ν n .
(4.17)
Badania symulacyjne przeprowadzono także dla bardziej złożonych sygnałów. M.in. w pracy
[103] przedstawiono wyniki badań algorytmu jednoczesnej detekcji dryftów i estymacji
parametrów sygnałów i zakłóceń w przypadku przetwarzania sygnałów sinusoidalnych w
obecności liniowego dryftu. Aby zilustrować podstawowe prawidłowości w zachowaniu się
tego algorytmu wystarczy jednak zbadać przypadek sygnału (4.17).
We wszystkich eksperymentach prezentowanych w punkcie 4.3 przyjęto następujące
wartości parametrów: wariancja szumu zewnętrznego
σν2 = 10−2 ; parametry układu
obserwacji: D = 0,5 ; σ ξ2 = 10 −4 ; α = 7 ( µ = 10 −12 ); warunki początkowe: θ0 = [0,0]T ;
P0 = diag( P0 , S0 ) , P0 = 25 , S 0 = 1 ; prawdopodobieństwo fałszywego alarmu Pfa = 10−6 .
Ponieważ zagadnienie estymacji parametrów sygnałów w obecności dryftu nie różni się
istotnie od zagadnienia opisanego w punktach 3.1 i 3.2, zatem przedstawiając wyniki badań
symulacyjnych skoncentrowano się na problemie detekcji dryftu.
W pierwszej części eksperymentów zbadano jak zmienia się w czasie próg detekcji
dryftu hn( β ) , który jest wyznaczany na podstawie wzoru (4.16). Na rysunku 4.2 przedstawiono
trajektorie progu detekcji hn( β ) dla zadanego prawdopodobieństwa fałszywego alarmu w
przypadku, gdy N 0 = 0 , tzn. przy założeniu obecności dryftu od początku obserwacji.
54
Rys. 4.2. Trajektorie progu detekcji hn( β ) w przypadku algorytmu ze stałą czułością (linia jasnoniebieska) oraz
algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (linia niebieska)
Z rysunku 4.2 wynika, że w przypadku adaptacyjnego sterowania czułością próg
detekcji hn( β ) , przy ustalonej wartości prawdopodobieństwa fałszywego alarmu, maleje
znacznie szybciej, niż w przypadku, gdy czułość układu obserwacji jest stała. Związane jest
to z szybszym zmniejszaniem się wariancji błędów estymacji prędkości narastania dryftu β.
Mniejsza wartość progu detekcji przy zadanym prawdopodobieństwie fałszywego alarmu w
przypadku adaptacyjnego sterowania czułością oznacza, że procedura detekcji jest bardziej
wrażliwa, co ma istotne znaczenie zwłaszcza wtedy, kiedy dryft jest mały. Jeśli dryft
występuje, wartość |β$n | może przekroczyć próg detekcji hn( β ) dla danej wartości parametru β
znacznie wcześniej, niż dla procedury ze stałą czułością układu obserwacji. Umożliwia to
szybszą detekcję dryftów. Większa skuteczność procedury detekcji dryftów z adaptacyjnie
sterowaną czułością układu obserwacji wynika z przyspieszonej zbieżności algorytmu (4.9)(4.13) estymacji parametrów θ .
W
drugiej
części
eksperymentu
zbadano
jak
zmienia
się
empiryczne
prawdopodobieństwo Pd poprawnej detekcji dryftu, tj. empiryczna częstość zdarzeń
| βˆ n |≥ hn( β ) , w funkcji wartości parametru dryftu β i czasu n dla N 0 = 0 . Wartości prędkości
narastania dryftu β zmieniano w zakresie od 0 do 0,1 z krokiem 0,01. Prawdopodobieństwa
detekcji dryftu obliczano na podstawie K = 200 realizacji dla każdej wartości parametru β. W
poszczególnych realizacjach sygnału {yn } generowano losowo różne wartości parametru θ ,
przy czym przyjęto, że rozkład zmiennej losowej θ jest gaussowski: p(θ ) = N[θ - θ0 , P0 ] .
55
Eksperymenty przeprowadzono stosując algorytmy ze stałą czułością (rys. 4.3a) i z
adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (rys. 4.3b).
a)
b)
Rys. 4.3. Wykresy empirycznego prawdopodobieństwa poprawnej detekcji dryftu jako funkcji wartości
parametru dryftu β i czasu n w przypadku algorytmu ze stałą czułością (rys. a) oraz algorytmu z
adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (rys. b)
Rysunek 4.3, na którym porównano powierzchnie empirycznych prawdopodobieństw
detekcji dryftu, ilustruje korzyści jakie daje wprowadzenie adaptacyjnego sterowania
czułością układu obserwacji Prawdopodobieństwo detekcji w przypadku zastosowania
procedury ze stałą czułością osiąga zadaną wartość po znacznie większym czasie niż w
przypadku zastosowania procedury z adaptacyjnie sterowaną czułością. Algorytm
jednoczesnej detekcji dryftów i estymacji parametrów, w którym czułość jest sterowana
adaptacyjnie umożliwia więc znacznie szybszą detekcję i dokładniejszą estymację małych
dryftów. Efekt ten jest obserwowany dla wszystkich wartości współczynnika dryftu β i jest
tym silniejszy, im mniejsza jest wartość β.
W trzeciej części eksperymentów porównano działanie algorytmu ze sterowaną
adaptacyjnie czułością oraz algorytmu ze stałą czułością układu obserwacji w przypadku,
kiedy chwila N 0 pojawienia się dryftu nie jest znana. Podobnie jak dla przypadku N 0 = 0 ,
zbadano empiryczne prawdopodobieństwo Pd poprawnej detekcji dryftu w funkcji wartości
parametru dryftu β i czasu n dla różnych chwil N 0 pojawienia się dryftu. Na rysunkach 4.4 i
4.5 przedstawiono powierzchnie Pd ( β , n) dla N 0 = 10 i odpowiednio N 0 = 20 . Algorytmy
zaimplementowano
przyjmując
N0 = 0
X n = [ X nT ,1(n − N 0 ) ⋅ (n − N 0 )]T .
56
w
rozszerzonym
wektorze
a)
b)
adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (rys. b) dla chwili pojawienia się dryftu N 0 = 10
a)
b)
adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (rys. b) dla chwili pojawienia się dryftu N 0 = 20
Rysunki 4.4 i 4.5 potwierdzają skuteczność proponowanego algorytmu z adaptacyjnym
sterowaniem czułością układu obserwacji w przypadku nieznanego momentu pojawienia się
dryftu. Podobnie jak na rysunku 4.3, także w tym przypadku odpowiednie poziomy
prawdopodobieństwa detekcji są osiągane za pomocą algorytmu z adaptacyjnie sterowaną
czułością znacznie szybciej, niż w przypadku zastosowania algorytmu ze stałą czułością
układu obserwacji.
Analogiczne
eksperymenty
przeprowadzono
dla
sygnałów
sinusoidalnych
występujących w obecności dryftu [103]. Otrzymane wyniki prowadzą do tego samego
wniosku: przy zadanym prawdopodobieństwie fałszywego alarmu, algorytm jednoczesnej
detekcji dryftów i estymacji parametrów sygnałów i zakłóceń z adaptacyjnie sterowaną
57
czułością umożliwia detekcję dryftu, w znacznie krótszym czasie obserwacji, niż algorytm, w
którym czułość układu obserwacji jest stała.
Przedstawione w niniejszym rozdziale podejście do ważnego z praktycznego punktu
widzenia zagadnienia detekcji liniowego dryftu może być rozszerzone na przypadki bardziej
złożonych dryftów. Jako przykład może tu służyć sygnał:
yn = θnT X n + νn ,
(4.18)
w którym poszczególne składowe wektora θn mogą się zmieniać zgodnie z regułą:
θ n(l ) = θ ( l ) + β (l ) 1(n − N 0(l ) ) ⋅ (n − N 0( l ) ) ,
(4.19)
gdzie l = 1,..., L . Wówczas w rozszerzonym regresyjnym modelu sygnału (por. wzór (4.3))
θ = [θ T , β (1) , . . ., β ( L ) ]T = [θ T , β T ]T jest rozszerzonym wektorem nieznanych parametrów
sygnału,
a
X n = [ X nT , X n(1) 1(n − N 0(l ) ) ⋅ (n − N 0( l ) ), . . ., X n( L ) 1(n − N 0( l ) ) ⋅ (n − N 0(l ) )]T
jest
rozszerzonym wektorem składowych deterministycznych. W przypadku sygnału opisanego
modelem (4.18)-(4.19) rozpatrywane zagadnienie staje się bardziej skomplikowane, ponieważ
detekcja dryftów poszczególnych składowych wektora parametrów θn jest problemem
wielowymiarowym. Może być ona przeprowadzona w podobny sposób jak w przypadku
dryftu liniowego i procedury opisanej w rozdziale 4.2. Różnica polega na odpowiednim
uogólnieniu sposobu obliczenia progu detekcji i uwzględnieniu we wzorze (4.16)
odpowiedniej macierzy kowariancji błędów estymacji współczynników dryftów β .
58
Filtracja sygnałów niestacjonarnych
5. Filtracja sygnałów niestacjonarnych
W rozdziale tym omówiono zastosowanie koncepcji adaptacyjnej dopasowanej
obserwacji sygnału do filtracji sygnałów niestacjonarnych, których zmiany parametrów są
opisane procesami Markowa. Przedstawiono optymalny algorytm filtracji i estymacji
parametrów sygnałów niestacjonarnych typu Kalmana. Przeanalizowano jego podstawowe
zalety, które potwierdzono za pomocą symulacji komputerowych
5.1.
Charakterystyka problemu. Model zmian parametrów
Rozważmy klasę sygnałów {yn } opisanych modelem:
yn = θnT X n + νn ,
(5.1)
gdzie θnT X n jest składową użyteczną, a ciąg {v n } - szumem zewnętrznym obserwacji.
Zakładamy, że θ n = [θ n(1) ,θ n( 2) ,...,θ n( L ) ]T jest wektorem losowych, zmiennych w czasie,
parametrów modelu, a X n = [ X n(1) , X n( 2) ,..., X n( L ) ]T - wektorem próbek deterministycznych
sygnałów, których wartości są znane w każdej chwili czasu n. O szumie zewnętrznym
obserwacji {v n } zakładamy, że jest szumem białym gaussowskim o zerowej wartości średniej
i wariancji σ ν2 , tj.: p(νn ) = N[νn − 0, σν2 ] .
Przyjmiemy założenie, że zmiany wektora θ n są opisane L-wymiarowym procesem
Markowa określonym równaniem:
θ n = ρθ n −1 + βU n −1 + η n −1 ,
(5.2)
gdzie ρ jest znaną L × L wymiarową macierzą współczynników korelacji (zakładamy, że
det ρ < 1), β - losową nieznaną L × K wymiarową macierzą, a U n = [U n(1) ,U n( 2) ,...,U n( K ) ]T wektorem znanych deterministycznych pobudzeń lub sterowań. O szumie wektorowym
η n = [ηn(1) ,ηn( 2) ,...,ηn( L ) ]T zakładamy, że jest szumem gaussowskim o zerowej wartości średniej
i macierzy kowariancji Σ η : p (ηn ) = N[ηn − 0, Σ η ] . Składnik βU n w modelu (5.2) może
opisywać quasi-stacjonarne zakłócenia parametrów sygnału, np. odchylenia wartości średnich
szumu wektorowego {ηn } od nominalnej wartości 0. Może on również opisywać dryfty
termiczne, mechaniczne lub innego typu dryfty parametrów, m.in. dryft punktu pracy układu
obserwacji. Zakładamy, że postać sygnałów {U n } jest znana (np. jest to wartość stała, dryft
liniowo narastający, zakłócenia harmoniczne, itp.), a ich amplitudy β są losowe i nieznane. W
celu uproszczenia rozważań będziemy zakładać (bez straty ogólności), że L = K oraz że β
59
jest macierzą diagonalną β = diag( β (1) , β ( 2 ) ,..., β ( L ) ) . Przyjęte założenie pozwala przedstawić
wyrażenie βU n
w równoważnej postaci U n β , gdzie U n jest macierzą diagonalną
U n = diag(U n(1) ,U n( 2 ) ,...,U n( L ) ) , a β jest wektorem β = [ β (1) , β ( 2) ,..., β ( L ) ]T . Model (5.2)
obejmuje szeroką klasę procesów losowych. Szczególnymi przypadkami modelu (5.2) są
szeroko wykorzystywane w zagadnieniach praktycznych i teoretycznych modele autoregresyjne
(modele AR i ARX) oraz modele autoregresyjne z ruchomą średnią (modele ARMA i ARMAX)
(por. np. [29] s. 214, [111] s. 46-49).
Podobnie jak w poprzednich rozdziałach, przyjmujemy, że sygnał {yn } jest
obserwowany za pomocą układu obserwacji (2.4) dopasowanego statystycznie do
charakterystyk probabilistycznych analizowanego sygnału (5.1) oraz że szum wewnętrzny
układu obserwacji {ξ n } jest białym szumem gaussowskim o FGP: p(ξ n ) = N[ξ n − 0, σ ξ2 ] .
Opracowanie rekursywnych algorytmów optymalnej filtracji, tj. estymacji bieżących
wartości analizowanego sygnału, i optymalnej estymacji ich parametrów polega na
y1n ) X n próbek
wyprowadzeniu zależności określających w każdej chwili n estymaty yˆ n = θˆnT ( ~
sygnału yn , estymaty parametrów θˆn = θˆn ( ~
y1n ) i βˆ n = βˆ n ( ~
y1n ) oraz optymalne reguły
sterowania parametrami układu obserwacji Bn = Bn ( ~
y1n −1 ) i Cn = Cn ( ~
y1n −1 ) . Będziemy
zakładać, że dysponujemy pełną informacją o rozkładach a priori p(θ0 ) i p( β ) oraz że
rozkłady te są gaussowskie o wartościach średnich odpowiednio θ0∗ , β0 i macierzach
kowariancji
P0
i
S0 .
Odpowiednie
FGP
mają
postacie:
p(θ0 ) = N[θ0 − θ0∗ , P0 ] ,
p( β ) = N[ β − β0 , S0 ] .
5.2.
Optymalne algorytmy filtracji sygnałów niestacjonarnych
Podobnie jak poprzednio, z uwagi na przyjęte założenia do rozwiązania zagadnienia
optymalnej filtracji sygnału {yn } i estymacji jego parametrów θ n i β będziemy stosować
metody bayesowskiej teorii estymacji. Jako kryterium optymalizacyjne przyjmiemy kryterium
minimum błędu średniokwadratowego (MSE) filtracji:
Rn = E[( yn − yˆ n ) 2 ] = E[( yn − θˆnT X n ) 2 ] ,
(5.3)
przy ograniczeniu (2.5). Zgodnie z podstawowym twierdzeniem bayesowskiej teorii estymacji
(por. np. [112]), optymalną estymatą zmieniającego się losowo wektora parametrów θ n jest
y1n ] , natomiast optymalne estymaty ŷn bieżących wartości
średnia warunkowa θˆn = E[θ n | ~
60
sygnału { yn } są określone wzorem y$ n = θ$nT X n opisującym zarazem optymalny sposób filtracji
sygnału { yn } . Rozwiązanie sformułowanego wyżej zagadnienia sprowadza się zatem do
wyznaczenia optymalnych estymat θ$n .
Analogicznie jak w przypadku sygnałów stacjonarnych (por. punkt 2.2) rozwiązanie
przebiega w dwóch krokach. W pierwszym kroku są wyznaczane optymalne estymaty θ$n
parametrów sygnału (5.1) dla dowolnych ciągów parametrów układu obserwacji {Bn , Cn }
spełniających warunek statystycznego dopasowania (2.5). Wówczas sygnał {yn } jest
obserwowany w
przedziale
[1, n]
przez
układ
obserwacji
w
sposób
liniowy z
prawdopodobieństwem 1 − (1 − µ ) n ≈ µn , a błędy estymacji związane z przyjęciem liniowego
modelu układu obserwacji są rzędu O( µn) . Błędy te dla µn << 1 można pominąć (por. np.
[64]), a sygnał na wyjściu układu obserwacji ma postać:
~
y = C (y − B ) + ξ .
n
n
n
n
(5.4)
n
Dysponując optymalnymi estymatami θ$n , w drugim kroku optymalizacji wyznaczamy
optymalne w każdej chwili n wartości parametrów Bn i Cn układu obserwacji, zapewniające
osiągnięcie globalnego minimum błędu średniokwadratowego filtracji (5.3) i jednocześnie
spełniające warunek (2.5).
W celu wyznaczenia optymalnych estymat θ$n i optymalnych reguł sterowania
parametrami Bn i Cn układu obserwacji, a zarazem wyprowadzenia optymalnego algorytmu
filtracji i estymacji sygnału (5.1)-(5.2), konieczne jest określenie rozkładów następujących
warunkowych zmiennych losowych: θ n | ~
y1n ; θ n | ~
y1n −1 ; θ n | ~
y1n , β ; θ n | ~
y1n −1 , β ; β | ~
y1n .
Nietrudno pokazać, że przy przyjętych założeniach o gaussowości rozkładów a priori p(θ0 ) i
p( β ) oraz wszystkich szumów występujących w modelach (5.1)-(5.2) i (5.4), rozkłady a
posteriori wymienionych zmiennych losowych będą również gaussowskie, tj.:
p(θn | ~
y1n ) = N[θn − θ$n , Pn ] ,
(5.5)
gdzie θ$n = E[θn | ~
y1n ] i Pn = E[(θ n − θ$n )(θ n − θ$n ) T | ~
y1n ] są odpowiednio optymalną estymatą i
macierzą kowariancji błędów estymacji bieżącej wartości wektora θ n ;
p(θn | ~
y1n −1 ) = N [θn − θ$n , n − 1 , Pn , n −1 ] ,
gdzie
θ$n ,n −1 = E[θn | ~y1n −1 ]
i
Pn ,n −1 = E[(θ n − θ$n ,n −1 )(θ n − θ$n ,n −1 ) T | ~
y1n −1 ]
(5.6)
są
odpowiednio
optymalną jednokrokową prognozą i macierzą kowariancji błędów prognozy wektora θ n ;
61
p(θn | ~
y1n , β ) = N[θn − θn , Ln ] ,
(5.7)
θn = E[θn | ~
y1n , β ] i Ln = E[(θn − θn )(θn − θn ) T | ~
y1n , β ] są odpowiednio optymalną
gdzie
estymatą i macierzą kowariancji błędów estymacji bieżącej wartości wektora θ n przy
założeniu, że znane są wartości parametrów β ;
p(θn | ~
y1n −1 , β ) = N[θn − θn , n −1 , Ln ,n −1 ] ,
(5.8)
gdzie θn ,n −1 = E[θn | ~
y1n −1 , β ] i Ln ,n −1 = E[(θ n − θn ,n −1 )(θn − θ n ,n −1 ) T | ~
y1n −1 , β ] są odpowiednio
optymalną jednokrokową prognozą i macierzą kowariancji błędów prognozy wektora θ n przy
założeniu, że znane są wartości parametrów β ;
(5.9)
p( β | ~
y1n ) = N [β − β$n , Sn ] ,
gdzie β$n = E[ β | ~
y1n ] i S n = E[( βn − β$n )( βn − β$n ) T | ~
y1n ] są odpowiednio optymalną estymatą i
macierzą kowariancji błędów estymacji wektora β .
Korzystając z oznaczeń (5.5)-(5.9), pełny algorytm, określający zarówno optymalny
sposób filtracji i estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych (5.1), (5.2), jak i
optymalne reguły sterowania parametrami układu obserwacji (2.4), można przedstawić w
postaci:
Optymalny algorytm filtracji i estymacji parametrów θ n
• Rekursja dla estymat wektora parametrów θ n :
θ$n = θ$n ,n −1 +
Cn Pn ,n −1 X n
σ ξ + C (σ ν + X Pn ,n −1 X n )
2
2
n
2
T
n
[~
y n − Cn (θ$nT,n −1 X n − Bn )] .
(5.10)
• Rekursja dla macierzy kowariancji błędów estymacji wektora θ n :
Pn = Pn ,n −1 −
Cn2 Pn ,n −1 X n X nT Pn ,n −1
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n )
.
(5.11)
• Rekursja dla prognozy wektora parametrów θ n :
θ$ n ,n −1 = ρθ$ n −1 + U n −1 β$ n− 1 ,
(U n −1 = diag(U n(1−)1 ,...,U n( L−1) )) .
(5.12)
• Rekursja dla macierzy kowariancji błędów prognozy wektora θ n :
Pn ,n −1 = ρPn −1 ρ T + Σ η + Σ nβ−1 (U n −1 , S n −1 ) .
(5.13)
• Rekursja dla estymat wektora parametrów β :
β$n = β$n −1 +
Cn S n −1VnT−1 X n
[~
y − Cn (θ$nT,n −1 X n − Bn )] .
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n ) n
62
(5.14)
• Rekursja dla macierzy kowariancji błędów estymacji wektora β :
Sn = Sn − 1 −
Cn2 Sn −1VnT−1 X n X nTVn −1 Sn −1
.
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn , n −1 X n )
(5.15)
Rekursje uzupełniające
• Rekursja dla macierzy kowariancji błędów estymacji wektora parametrów θ n przy
założeniu, że znane są wartości parametrów β :
Cn2 Ln ,n −1 X n X nT Ln ,n −1
Ln = Ln ,n −1 − 2
.
σ ξ + Cn2 (σ ν2 + X nT Ln , n −1 X n )
(5.16)
• Rekursja dla macierzy kowariancji błędów prognozy wektora parametrów θ n przy
założeniu, że znane są wartości parametrów β :
Ln ,n −1 = ρLn −1 ρ T + Σ η .
(5.17)
• Macierz Vn występująca w rekursjach (5.14) i (5.15):


Cn2 Ln ,n −1 X n X nT
Vn = ρ  I − 2
Vn −1 + U n .
2
2
T
 σ ξ + Cn (σ ν + X n Ln ,n −1 X n ) 
• Macierz
(5.18)
Σ nβ = Σ nβ (U n , S n ) opisująca wpływ rozkładu a priori możliwych wartości
wektora β na dokładność estymacji wektora parametrów θ n :
Σ nβ = U n S nVnT + Vn S nU nT − U n S nU n .
(5.19)
θˆn |n = 0 = θ 0∗ , βˆ n |n = 0 = β 0 , Pn
n= 0
= Ln
n= 0
= P0 , Sn
n=0
= S0 , Vn |n = 0 = U 0 .
(5.20)
Bn = y$ n ,n −1 = θ$nT,n −1 X n .
(5.21)
Cn =
D
α σν + X nT Pn ,n −1 X n
2
.
(5.22)
W przypadku układu obserwacji ze stałą czułością największa wartość stałej czułości, dla
której warunek statystycznego dopasowania układu obserwacji (2.5) nie jest naruszony, jest
określona wzorem:
Cn = C0 =
D
α σ ν2 + S max
63
,
(5.23)
gdzie S max =
max
n , X nT
X n ≤ E max
X nT Pn, n −1 X n =
max X1T P1, 0 X1 , Emax = max X nT X n (por. wzór (2.19)).
X 1T
X 1 ≤ E max
n
Wartość stałej α jest rozwiązaniem równania (2.12).
Pełne wyprowadzenie algorytmu (5.10)-(5.23), opracowanego oryginalnie przez
Płatonowa, przedstawiono w dodatkach 1-4. Skrócona wersja dowodu została podana w
[104]. Algorytm ten bez dowodu wraz z omówieniem podstawowych jego właściwości był
prezentowany również w [99].
Przedstawiony powyżej algorytm jest dość złożony, co wynika z przyjętego modelu (5.2)
zmian parametrów sygnału. W praktycznych zastosowaniach często występuje sytuacja, w której
wektor β występujący w modelu (5.2) jest znany lub też w ogóle w nim nie występuje.
Przyjęcie założenia, że wektor β jest znany znacznie upraszcza algorytm.
Optymalny algorytm filtracji w przypadku znanego wektora parametrów β :
• Rekursja dla estymat wektora parametrów θn :
θ$n = θ$n ,n −1 +
Cn Pn ,n −1 X n
σ ξ + C (σ ν + X Pn ,n −1 X n )
2
2
n
2
T
n
[~
y n − Cn (θ$nT,n −1 X n − Bn )] .
(5.24)
• Rekursja dla macierzy kowariancji błędów estymacji wektora θn :
Pn = Pn ,n −1 −
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n )
.
(5.25)
• Rekursja dla prognozy wektora parametrów θn :
θ$n , n −1 = ρθ$n −1 + Un −1βn − 1 ,
(U n −1 = diag(U n(1−)1 ,...,U n( L−1) )) .
(5.26)
• Rekursja dla macierzy kowariancji błędów prognozy wektora θn :
Pn , n −1 = ρPn −1ρ T + Ση .
(5.27)
Algorytm (5.24)-(5-27) uzupełniają optymalne reguły sterowania układem obserwacji
(5.21), (5.22) w przypadku algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością, albo (5.21), (5.23)
w przypadku algorytmu ze stałą czułością układu obserwacji.
Schemat blokowy systemu realizującego filtrację i estymację parametrów sygnałów
niestacjonarnych pracującego według algorytmu (5.10)-(5.22) przedstawiono na rysunku 5.1.
64
Cześć analogowa
yt
Blok cyfrowego przetwarzania danych
ξt
et
θˆn , βˆ n
~
yt
−
~
yn
ADC
Obliczenie
θˆn, n−1 ,θˆn , βˆ n
Bt
Bn = yˆ n ,n −1
Xn
Ct
Blok
kompensacji
Obliczenie
Obliczenie
Pn , S n
Vn , Σ nβ−1 ,
Ln ,n −1 , Ln
Blok
sterowania
Pn ,n −1
DAC
DAC
Cn
Obliczenie
Cn
Xn
Obliczenie X n Generacja
X n ,U n
Pn ,n −1 , Pn , S n
Bn = yˆ n ,n −1 = θˆnT,n −1 X n
Rys. 5.1. Schemat blokowy optymalnego systemu do filtracji i estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych
5.3.
Podstawowe właściwości algorytmów filtracji sygnałów
niestacjonarnych
Badanie
zbieżności
algorytmu
(5.10)-(5.22)
jest
trudnym
problemem
natury
matematycznej. Analogicznie jak w punkcie 2.3 jako miarę szybkości zbieżności tego
algorytmu przyjęto szybkość z jaką maleje objętość elipsoidy dyspersji błędów estymacji.
Zatem o szybkości zbieżności algorytmu będziemy wnioskować na podstawie analizy
szybkości z jaką maleją trajektorie wyznaczników macierzy kowariancji błędów estymacji
wektorów θn i β , odpowiednio: det Pn i det S n . Przy analizie wyznaczników wykorzystuje się
następującą tożsamość:
det( I + ab T ) = 1 + a T b .
(5.28)
gdzie a i b są dowolnymi wektorami o tym samym wymiarze.
Stosując do wzorów (5.11), (5.15) i (5.16) zależność (5.28), otrzymujemy następujące
rekursje:
σξ2 + Cn2σν2
det Pn = 2
det Pn , n − 1 ,
σ ξ + Cn2 (σν2 + X nT Pn , n −1 X n )
(5.29)
σξ2 + Cn2 (σν2 + X nT Ln , n −1 X n )
det Sn −1 ,
σ ξ2 + Cn2 (σν2 + X nT Pn , n −1 X n )
(5.30)
σξ2 + Cn2σν2
det Ln = 2
det Ln , n − 1 .
σ ξ + Cn2 (σν2 + X nT Ln , n −1 X n )
(5.31)
det Sn =
W przypadku optymalnego sterowania parametrami układu obserwacji (5.21)-(5.22)
rekursje (5.29)-(5.31) przyjmują postać:
65
(1 + Q 2 )σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n
det Pn = (1 + Q )
det Pn ,n −1 ,
σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n
(5.32)

σ ν2 + X nT Ln ,n −1 X n 
 det S n −1 ,
det S n = (1 + Q 2 ) −1  1 + Q 2 2
σ ν + X nT Pn ,n −1 X n 

(5.33)
(1 + Q 2 )σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n
det Ln =
det Ln ,n −1 .
(1 + Q 2 )σ ν2 + X nT ( Pn ,n −1 + Q 2 Ln ,n −1 ) X n
(5.34)
2 −1
gdzie Q 2 = ( D ασ ξ ) 2 jest stosunkiem sygnał-szum na wyjściu układu obserwacji (por. punkt
2.3).
Jeśli, podobnie jak w przypadku sygnałów stacjonarnych, w przedziale 1 ≤ n ≤ n1
spełniony jest warunek dostatecznej różnorodności obserwacji wyrażony następującą
nierównością:
SNR inp =
S max
σ ν2
>
X nT Pn ,n −1 X n
σ ν2
>> 1 + Q 2 = 1 + SNR out ,
(5.35)
gdzie SNR inp jest stosunkiem sygnał-szum na wejściu układu obserwacji uśrednionym
względem rozkładu a priori parametrów θ n , to wykorzystując zależności (5.13) i (5.17)
otrzymujemy następujące postaci rekursji (5.32)-(5.34):
det Pn = (1 + Q 2 ) −1 det[ ρPn −1 ρ T + Σ η + Σ nβ−1 ] ,
(5.36)

X nT Ln ,n −1 X n 
 det S n −1 ,
det S n = (1 + Q 2 ) −1  1 + Q 2 T
X n Pn ,n −1 X n 

(5.37)

X nT Ln ,n −1 X n 
2

det Ln =  1 + Q
X nT Pn ,n −1 X n 

−1
det( ρLn −1 ρ T + Σ η ) .
(5.38)
Jeśli ponadto elementy macierzy Σ η i Σ nβ−1 nie są zbyt duże w porównaniu z
elementami macierzy ρPn −1 ρ T , to wyznacznik macierzy kowariancji błędów estymacji det Pn
maleje wykładniczo ze wzrostem n w początkowym przedziale obserwacji. Zatem szybkość
zbieżności algorytmu filtracji (5.10)-(5.22) jest wówczas wykładnicza. Analogicznie jak w
przypadku podstawowego algorytmu estymacji parametrów, optymalnego dla sygnałów
stacjonarnych, wykładnicza szybkość zbieżności algorytmu filtracji przechodzi stopniowo w
hiperboliczną w okolicach chwili n1 . Wówczas sterowanie czułością układu obserwacji nie
wpływa już na poprawę dokładności estymacji i może być zaniechane.
66
Dla uproszczonej wersji algorytmu (5.24)-(5.27), w przypadku znanego wektora β w
modelu (5.2), zależności (5.36)-(5.38) ograniczają się tylko do jednej rekursji:
det Pn = (1 + Q 2 ) −1 det( ρPn −1 ρ T + Σ η ) = (1 + Q 2 ) −1 det ρ 2 det Pn −1 + O[ tr( Σ η Pn−−11 )]
(5.39)
Jeśli w początkowym okresie obserwacji rozproszenie wektora θ n jest na tyle duże, że
spełniona jest nierówność ρPn −1 ρ T >> Σ η , wyznacznik (5.39) można zapisać w postaci:
 1 + Q2 
det Pn = 

 det ρ 2 
−n
det P0 + O[ tr( Σ η Pn−−11 )] .
(5.40)
Zależność (5.40) jednoznacznie dowodzi wykładniczej szybkości zbieżności algorytmu
występującej przy przyjętych wyżej założeniach.
W celu oceny jakości filtracji omawianych algorytmów rozpatrzymy zachowanie błędu
średniokwadratowego Rn = E[( yn − yˆ n ) 2 | ~
y1n ] estymat y$ n = θ$nT X n sygnału {y n } . Korzystając
z oznaczenia (5.5) i określenia modelu (5.1), nietrudno pokazać, że błąd Rn ma postać:
Rn = E[[ν n + (θ n − θˆn )T X n ]2 | ~
y1n ] = σ ν2 + X nT Pn X n .
(5.41)
Uwzględniając rekursję (5.11) dla macierzy kowariancji Pn i biorąc pod uwagę, że
Q 2 = ( D ασ ξ ) 2 , w przypadku adaptacyjnego sterowania czułością układu obserwacji błąd
średniokwadratowy Rn w chwili n przyjmuje następującą wartość:
2 −1
Rn = σ ν + (1 + Q )
2
(1 + Q 2 )σ ν2 + X nT Pn , n −1 X n
σ ν2 + X nT Pn, n −1 X n
X nT Pn, n −1 X n .
(5.42)
Postępując podobnie dla algorytmu ze stałą czułością układu obserwacji, otrzymujemy:
Rn( 0) = σ ν2 +
σ ξ2 + C02σ ν2
X nT Pn, n −1 X n .
2
2
2
T
σ ξ + C0 (σ ν + X n Pn , n −1 X n )
(5.43)
Porównując zależności (5.42) i (5.43) przy założeniu, że spełniona jest nierówność (5.35),
można
stwierdzić,
że
w
początkowym
okresie
pracy
algorytmu
wartości
błędu
średniokwadratowego Rn filtracji dla algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością układu
obserwacji są około (C0 / Cn ) 2 mniejsze niż wartości błędu średniokwadratowego Rn( 0) dla
algorytmu ze stałą czułością.
Przedstawione wyniki rozważań teoretycznych pokazują, że wszystkie podstawowe
właściwości algorytmów estymacji parametrów sygnałów stacjonarnych są zachowane także w
przypadku filtracji i estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych. Najbardziej istotnym jest
fakt, iż algorytm (5.10)-(5.22) zachowuje wykładniczą szybkość zbieżności w początkowym
67
okresie pracy charakterystyczną dla algorytmów wywodzących się z koncepcji adaptacyjnej
dopasowanej obserwacji. Podkreślmy, że jest to jedyny znany dotąd rekursywny algorytm
filtracji, przy pomocy którego jest możliwe osiągnięcie wykładniczej szybkości zbieżności
estymat.
Poniżej zostaną przedstawione rezultaty badań symulacyjnych algorytmu (5.10)-(5.22) z
adaptacyjnie sterowaną czułością oraz algorytmu (5.10)-(5.21), (5.23) ze stałą czułością
układu obserwacji.
Eksperyment 5.1
Eksperymenty symulacyjne przeprowadzono dla sygnału:
yn = θ n + ν n ,
(5.45)
w którym parametr θ n zmienia się w sposób losowy, a jego zmiany są opisane procesem
Markowa określonym równaniem:
θ n = ρθ n −1 + β (n − 1) + ηn −1 ,
(5.46)
gdzie ρ jest znanym współczynnikiem korelacji, β - losowym współczynnikiem dryftu
parametru θ n , ηn - szumem białym gaussowskim o zerowej wartości średniej i wariancji Σ η :
p (ηn ) = N[ηn − 0 , Σ η ] .
We wszystkich eksperymentach przyjęto następujące wartości parametrów: wartość
początkowa procesu (5.46): θ 0 = 1 ; wariancja szumu zewnętrznego: σν2 = 10−2 ; współczynnik
korelacji: ρ = 0,75 ; wariancja szumu ηn : Σ η = 10−2 ; parametry układu obserwacji: D = 0,5 ;
σ ξ2 = 10 −4 ; α = 7 ( µ = 10 −12 ) oraz warunki początkowe: θ 0∗ = 0 ; P0 = L0 = σ θ2 ; σθ2 = 25 ;
β 0 = 0 ; S0 = σ β2 ; σ β2 = 0,01 ; V0 = U 0 = 0 . Wszystkie symulacje przeprowadzono dla tych
samych realizacji sygnału {yn } stosując najpierw optymalny algorytm filtracji (5.10)-(5.22) z
adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji, a następnie optymalny algorytm filtracji
(5.10)-(5.21), (5.23) ze stałą czułością układu obserwacji. W celu porównania przedstawiono
także wyniki symulacji przeprowadzonych dla tych samych realizacji sygnału {yn } przy
zastosowaniu optymalnych algorytmów estymacji parametrów sygnałów stacjonarnych (2.7)(2.11) oraz (2.7)-(2-10), (2,19).
Na rysunkach 5.2-5.5 przedstawiono przykładowe trajektorie estymat parametru θn
obliczanych za pomocą różnych algorytmów. Przyjęto następujące wartości parametrów:
θ 0 = 1 , β = 0,01 .
68
Rys. 5.2. Trajektorie estymat parametru θn obliczanych za pomocą podstawowego algorytmu ze stałą czułością
układu obserwacji (linia różowa); linią czarną zaznaczono prawdziwą trajektorię parametru θn
Rys. 5.3. Trajektorie estymat parametru θn obliczanych za pomocą podstawowego algorytmu z adaptacyjnie
sterowaną czułością układu obserwacji (linia czerwona); linią czarną zaznaczono prawdziwą
trajektorię parametru θn
Trajektorie estymat parametru θ n przedstawione na rysunkach 5.2 i 5.3 pokazują, że obie
wersje algorytmu podstawowego nie potrafią śledzić złożonych zmian parametrów opisanych
modelem (5.2). Trajektorie te znacznie różnią się od prawdziwych wartości, a różnica ta
zwiększa się wraz ze wzrostem czasu obserwacji.
Na kolejnych rysunkach przedstawiono wyniki uzyskane dla optymalnych algorytmów
filtracji sygnałów niestacjonarnych, tj. algorytmu (5.10)-(5.21), (5.23) ze stałą czułością (rys.
5.4) oraz algorytmu (5.10)-(5.22) z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (rys.
5.5).
69
Rys. 5.4. Trajektorie estymat parametru θn obliczanych za pomocą algorytmu filtracji ze stałą czułością układu
obserwacji (linia jasnoniebieska); linią czarną zaznaczono prawdziwą trajektorię parametru θn
Rys. 5.5. Trajektorie estymat parametru θn obliczanych za pomocą algorytmu filtracji z adaptacyjnie sterowaną
czułością układu obserwacji (linia niebieska); linią czarną zaznaczono prawdziwą trajektorię
parametru θn
Jak widać, estymaty θ$n obliczone zarówno przy zastosowaniu algorytmu filtracji z
adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji, jak i algorytmu filtracji ze stałą
czułością śledzą prawidłowo zmiany prawdziwych wartości parametru θn . Jednak w
przypadku algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością dokładność estymacji jest wyraźnie
większa, szczególnie w początkowym okresie pracy. Na rysunku 5.5 wartości estymat θ$n
obliczanych za pomocą algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością śledzą dokładnie
zmiany prawdziwych wartości parametrów θn już od trzeciej próbki, podczas gdy na rysunku
70
5.4 wartości estymat θ$n obliczanych za pomocą algorytmu ze stałą czułością osiągają
podobną dokładność dopiero dla 45 próbki.
Na rysunku 5.6 przedstawiono dodatkowo trajektorie estymat β$n prędkości narastania
dryftu występującego w modelu (5.46) zmian parametru θn obliczane w tym samym
eksperymencie.
Rys. 5.6. Trajektorie estymat prędkości narastania β dryftu obliczanych za pomocą algorytmu filtracji ze stałą
czułością (linia jasnoniebieska) oraz algorytmu filtracji z adaptacyjnie sterowaną czułością układu
obserwacji (linia niebieska); linią czarną zaznaczono prawdziwą wartość parametru β = 0,01
Rezultaty przedstawione na rysunku 5.6 świadczą o tym, że optymalny algorytm z
adaptacyjnie sterowaną czułością potrafi dokładniej wyestymować wartość parametru β w
porównaniu z algorytmem ze stałą czułością układu obserwacji.
Polepszenie jakości estymacji parametru θn w wyniku zastosowania algorytmów
filtracji sygnałów niestacjonarnych widać także dokładnie na rysunkach 5.7 i 5.8, na których
przedstawiono uśrednione po zbiorze K = 200 realizacji sygnału {yn } trajektorie
empirycznych błędów średniokwadratowych estymacji (EMSE) parametru θ n określonych
wzorem (3.2). W przypadku obliczeń EMSE w poszczególnych realizacjach sygnału {yn }
generowano losowo różne wartości parametrów θ 0 i β , przy czym przyjęto, że rozkłady
zmiennych losowych θ 0 i β są gaussowskie i mają postać: p(θ 0 ) = N[θ 0 - θ 0∗ , σ θ2 ] ,
p( β ) = N[ β - β 0 ,σ β2 ] .
Trajektorie
przedstawione
na
rysunku
5.7
otrzymano
dla
podstawowych algorytmów estymacji parametrów, optymalnych przy założeniu sygnałów
stacjonarnych. Natomiast trajektorie przedstawione na rysunku 5.8 otrzymano dla
optymalnych algorytmów filtracji sygnałów niestacjonarnych.
71
Rys. 5.7. Trajektorie EMSE estymacji parametru θ n otrzymane w przypadku zastosowania podstawowego
algorytmu ze stałą czułością (linia różowa) oraz podstawowego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną
czułością układu obserwacji (linia czerwona)
Rys. 5.8. Trajektorie EMSE estymacji parametru θ n otrzymane w przypadku zastosowania algorytmu filtracji ze
stałą czułością (linia jasnoniebieska) oraz algorytmu filtracji z adaptacyjnie sterowaną czułością
układu obserwacji (linia niebieska)
Trajektorie EMSE estymacji parametru θn przedstawione na rysunku 5.7 potwierdzają, że
podstawowe algorytmy estymacji parametrów, optymalne przy założeniu sygnałów
stacjonarnych, nie są przystosowane do pracy z sygnałami niestacjonarnymi opisanymi
modelami (5.1) i (5.2). Trajektorie EMSE zamieszczone na rysunku 5.8 dowodzą prawidłowego
działania algorytmów filtracji sygnałów niestacjonarnych w omawianym przypadku. Na rysunku
tym widać wyraźną przewagę dokładności estymacji w przypadku zastosowania algorytmu
filtracji z adaptacyjnie sterowaną czułością w porównaniu z dokładnością estymacji
uzyskiwaną za pomocą algorytmu filtracji ze stałą czułością. Empiryczny błąd
72
średniokwadratowy estymacji parametru θn już od chwili n = 2 jest znacznie mniejszy dla
algorytmu filtracji z adaptacyjnie sterowaną czułością w porównaniu z empirycznym błędem
wyznaczonym dla algorytmu filtracji ze stałą czułością. Wyniki te potwierdzają w pełni
rezultaty przedstawionej wcześniej analizy teoretycznej.
Na rysunku 5.9 przedstawiono uśrednione po tym samym zbiorze K = 200 realizacji
sygnału {yn } trajektorie EMSE estymacji parametru β . Potwierdzają one szybszą zbieżność
estymat parametru β w przypadku zastosowania algorytmu filtracji z adaptacyjnie sterowaną
czułością układu obserwacji. Na rysunku tym wartości EMSE estymacji parametru β dla
algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością są od około 5 próbki blisko dwa razy mniejsze
od wartości EMSE otrzymanych dla algorytmu ze stałą czułością. Należy podkreślić, że
dokładniejsza estymacja parametru β umożliwia dokładniejszą estymację parametrów θn .
Rys. 5.9. Trajektorie EMSE estymacji prędkości narastania β dryftu otrzymane w przypadku zastosowania
algorytmu filtracji ze stałą czułością (linia jasnoniebieska) oraz algorytmu filtracji z adaptacyjnie
Podsumowując wyniki analizy teoretycznej oraz przedstawione wyniki badań
symulacyjnych algorytmów filtracji sygnałów niestacjonarnych należy stwierdzić, że
algorytm filtracji sygnałów z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji (5.10)(5.22)
jest
efektywnym
narzędziem
filtracji
i
estymacji
parametrów
sygnałów
niestacjonarnych, których zmiany można opisać modelem (5.2). Optymalny algorytm filtracji
z adaptacyjnie sterowaną czułością układu obserwacji zachowuje podstawową cechę
świadczącą o atrakcyjności algorytmów opartych na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej
obserwacji, tj. początkową wykładniczą szybkość zbieżności estymat parametrów. Decyduje
to o jego przewadze nad klasycznymi optymalnymi algorytmami, w których czułość układu
obserwacji jest stała.
73
Przypomnijmy na zakończenie, że podobnie jak w przypadku innych algorytmów
wywodzących się z koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji, algorytmy filtracji
sygnałów niestacjonarnych dają jednocześnie najlepsze estymaty zarówno parametrów
sygnałów użytecznych, jak i zakłóceń, w zależności od interpretacji poszczególnych
składowych wektora parametrów θn . Umożliwia to rozwiązanie wielu zagadnień
praktycznych. Przykłady zastosowania algorytmów filtracji w zagadnieniach przetwarzania
niestacjonarnych sygnałów pomiarowych będą przedstawione w rozdziale 6.
74
Przykłady zastosowań algorytmów w przetwarzaniu niestacjonarnych sygnałów pomiarowych
6. Przykłady zastosowań algorytmów w przetwarzaniu
niestacjonarnych sygnałów pomiarowych
Podstawowym założeniem, wyróżniającym koncepcję adaptacyjnej dopasowanej
obserwacji, jest przyjęcie nieliniowego modelu układu obserwacji sygnału. W większości
publikacji poświęconych problemom cyfrowego przetwarzania sygnałów, automatycznego
sterowania czy metrologii przyjmuje się założenie o liniowym sposobie obserwacji sygnału.
Założenie to umożliwia wprawdzie uzyskanie prostych zależności analitycznych i
opracowanie optymalnych algorytmów przetwarzania sygnałów, jednak bardzo często nie
znajduje uzasadnienia w praktyce, szczególnie w metrologii. Nie uwzględnia bowiem
ograniczoności liniowego zakresu sygnału na wyjściu czujnika pomiarowego, poza którym
sygnał jest zniekształcany nieliniowo bądź ograniczany. W odróżnieniu od problemów
przetwarzania sygnałów, gdzie powszechnie i z powodzeniem są stosowane liniowe modele
układów obserwacji (odbiorników), w zagadnieniach metrologicznych układy obserwacji
(czujniki) znacznie częściej pracują w warunkach, w których ograniczoność ich liniowego
zakresu jest istotnym źródłem błędów.
Stosowane obecnie powszechnie modele układów pomiarowych stają się niedostateczne
wobec nowych wymagań stawianych przed współczesną metrologią. Coraz częściej
metrolodzy dochodzą do przekonania, że efektywność pracy systemów pomiarowych zależy
od trafności wyboru odpowiednich modeli: sygnału pomiarowego i zakłóceń, a także modelu
samego systemu pomiarowego, przyjętych na etapie analizy teoretycznej poprzedzającej fazę
projektowania systemu [113-122]. Stwierdzają także, że na efektywność systemów
pomiarowych istotny wpływ ma rodzaj procedur estymacji parametrów sygnałów i zakłóceń
stosowanych do przetwarzania informacji pomiarowej. Koncepcja adaptacyjnej dopasowanej
obserwacji wychodzi naprzeciw tym tendencjom, wprowadza bowiem wygodny do analizy i
bardziej adekwatny nieliniowy model układu obserwacji, którego rolę w zagadnieniach
pomiarowych pełni czujnik. Model ten posiada szereg istotnych zalet, m.in. uwzględnia
ograniczoność liniowego zakresu przetwarzania oraz szumy wewnętrzne czujnika, jak
również umożliwia analizę jego pracy przy kompensacji analizowanego sygnału. Zasadniczą
cechą tego modelu, decydującą o jego nowatorskim charakterze, jest jednak to, że dopuszcza
on, aby parametry czujnika były w trakcie pomiaru dopasowywane adaptacyjnie do statystyk
sygnału.
Przy wyprowadzaniu optymalnych algorytmów przetwarzania danych pomiarowych i
sterowania czujnikiem, wywodzących się z koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji,
75
konieczna jest informacja o rozkładach a priori mierzonych wielkości i zakłóceń (por. punkt
2.2). Trudności związane z pozyskaniem tej informacji są przyczyną tego, że w praktyce na
szeroką skalę wykorzystuje się metody niebayesowkie. Metody te dają jednak prawidłowe
rezultaty tylko w przypadku, kiedy pomiar jest liniowy w całym zakresie dynamicznym
sygnałów i nie określają warunków, przy których możliwe jest uzyskanie optymalnych
algorytmów przetwarzania danych pomiarowych. W praktyce projektant systemu pomiarowego
uwzględnia istniejące ograniczenia, możliwe zakłócenia, bądź inne warunki pomiaru, dobierając
w sposób heurystyczny, mniej lub bardziej trafnie, odpowiednie czujniki czy inne elementy
systemu. W ten sposób rekonstruuje on niejako brakującą informację a priori, co oznacza, że w
gruncie rzeczy stosuje metodę bayesowską. Jednak dopiero metodyczne uwzględnienie
informacji a priori umożliwia radykalne zwiększenie jakości systemów pomiarowych w ich
przyszłych zastosowaniach [68]. W koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji dokonuje
się tego przez optymalne dopasowanie czujnika do warunków pomiaru.
Koncepcja adaptacyjnej dopasowanej obserwacji ma szczególne znaczenie w przypadku
przetwarzania
niestacjonarnych
sygnałów
pomiarowych,
ponieważ
adaptacyjne
dopasowywanie parametrów czujnika do sygnału pozwala uniknąć nieliniowego trybu
przetwarzania sygnału. W przypadku klasycznego sterowania parametrami czujnika
pojawiająca się niestacjonarność parametrów sygnału prowadzi z reguły do szybkiego
nasycenia czujnika, a co za tym idzie braku możliwości dalszego prowadzenia pomiaru.
W rozdziale tym zostaną przedstawione wybrane przykłady zastosowań omawianych w
poprzednich rozdziałach algorytmów opartych na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej
obserwacji
w
praktycznych
zagadnieniach
przetwarzania
niestacjonarnych
sygnałów
pomiarowych.
6.1.
Pomiar parametrów sygnałów sinusoidalnych w obecności losowych
dryftów ich amplitud
Zastosowanie
rozszerzonych
algorytmów
estymacji
parametrów
sygnałów
niestacjonarnych opartych na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji i omówionych
w punkcie 3.2 zostanie zilustrowane na przykładzie pomiaru nieznanych amplitud i faz
sygnału sinusoidalnego, w którym w trakcie pomiaru występuje losowy dryft amplitud
poszczególnych składowych.
W wielu praktycznych zastosowaniach cyfrowego przetwarzania sygnałów (np. w
radiolokacji, diagnostyce wibromechanicznej) sygnał użyteczny ma postać sinusoidy lub
sumy sygnałów sinusoidalnych:
76
M
yn = ∑ [ Am sin(2πf m n + ϕ m )] + ν n ,
m =1
(6.1)
gdzie f m są znanymi unormowanymi częstotliwościami, Am - nieznanymi amplitudami, zaś
ϕ m - nieznanymi fazami początkowymi poszczególnych składowych, m = 1, . . ., M .
Sygnał (6.1) można zapisać w postaci sygnału regresyjnego (2.1), przedstawiając każdą
ze składowych sinusoidalnych jako sumę składowej synfazowej i składowej kwadraturowej:
yn =
M
∑[θ
( m ,1)
sin 2πf m n + θ ( m, 2) cos 2πf m n] + ν n = θ T X n + ν n ,
m =1
(6.2)
gdzie X n = [sin 2πf1n, cos 2πf1n, . . ., sin 2πf M n, cos 2πf M n]T jest 2M-wymiarowym wektorem
sygnałów deterministycznych, a θ = [θ (1,1) ,θ (1, 2) , . . .,θ ( M ,1) ,θ ( M , 2) ]T jest 2M-wymiarowym
wektorem losowych parametrów, przy czym θ ( m ,1) = Am cos ϕ m oraz θ ( m , 2) = Am sin ϕ m .
Przedstawienie sygnału (6.1) w postaci (6.2) stwarza możliwość bezpośredniego zastosowania
algorytmów estymacji wywodzących się z koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji do
pomiaru amplitud Am i faz ϕ m sygnału (6.1).
Przyjmujemy założenie, typowe dla rozważanego problemu [123], że parametry
poszczególnych składowych sygnału (6.1) są statystycznie niezależne oraz że amplitudy mają
rozkład Rayleigha p ( Am ) = Am / σ m2 exp(− Am2 / 2σ m2 ) , a rozkłady prawdopodobieństwa faz są
równomierne w przedziale [−π ,π ) . Przyjęcie tego założenia zapewnia gaussowski rozkład a
priori wektora estymowanych parametrów θ o zerowych wartościach średnich i diagonalnej
macierzy kowariancji P0 = diag (σ 12 , σ 12 , . . ., σ M2 , σ M2 ) [124].
Pomiar nieznanych amplitud Am i faz ϕ m sprowadza się zatem do wyznaczenia estymat
θ$n wektora parametrów θ , a następnie obliczenia estymat Âm i ϕ̂ m zgodnie ze wzorami:
Aˆ m, n = (θˆn( m,1) ) 2 + (θˆn( m, 2 ) ) 2 ,
ϕˆ m, n = arctg(θˆn( m, 2) /θˆn( m,1) ) .
(6.3)
Sformułowane wyżej zagadnienie w przypadku stałych w czasie amplitud i faz było
rozważane m.in. w [73]. W odróżnieniu od wyników tam przedstawionych w dalszej części
niniejszego punktu będziemy rozpatrywać sygnał (6.1), w którym w trakcie pomiaru
występuje losowy dryft amplitud poszczególnych składowych sinusoidalnych. Bez straty
ogólności rozważań dalsza analiza będzie prowadzona dla przypadku jednej składowej
sinusoidalnej. Analizowany sygnał w przypadku występowania losowego liniowego dryftu
amplitudy ma wówczas postać:
77
yn = An sin(2πfn + ϕ ) + ν n = ( As + βn) sin( 2πfn + ϕ ) + ν n ,
(6.4)
gdzie As i β są odpowiednio składową stałą i prędkością narastania liniowego dryftu
amplitudy An . Sygnał (6.4) zapiszemy w postaci sygnału regresyjnego (2.1), przedstawiając
składową sinusoidalną jako sumę składowej synfazowej i składowej kwadraturowej:
yn = ( As + βn) cos ϕ sin( 2πfn) + ( As + βn) sin ϕ cos(2πfn) + ν n .
(6.5)
W celu wykorzystania do pomiaru parametrów An i ϕ optymalnych rozszerzonych
algorytmów estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych, omówionych w punkcie 3.2,
sygnał (6.5) sprowadzimy do rozszerzonego modelu regresyjnego (3.3):
yn = θ T X n + ν n ,
(6.6)
gdzie rozszerzone wektory parametrów i składowych deterministycznych mają postać:
θ = [ As cos ϕ , As sin ϕ , β cos ϕ , β sin ϕ ]T ,
(6.7)
X n = [sin( 2πfn), cos(2πfn), n ⋅ sin( 2πfn), n ⋅ cos(2πfn)]T .
(6.8)
Zagadnienie pomiaru amplitudy An i fazy ϕ niestacjonarnego sygnału (6.4) polega
zatem na estymacji rozszerzonego wektora parametrów (6.7) za pomocą rozszerzonego
algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (3.5)-(3.10), bądź algorytmu ze stałą
ˆ
czułością (3.5)-(3.9), (3.11), a następnie obliczeniu na podstawie estymat θ n estymat
parametrów As , β i ϕ , a także estymat zmieniającej się w trakcie pomiaru amplitudy An .
Eksperyment 6.1
W eksperymentach przyjęto następujące wartości parametrów: parametry składowej
sinusoidalnej sygnału (6.4): As = 1 ; β = 0,02 ; ϕ = π / 4 ;
f = 0,04 ; wariancja szumu
zewnętrznego σν2 = 10−2 ; parametry czujnika: D = 0,5 ; σ ξ2 = 10 −4 ; α = 7 ( µ = 10 −12 ) oraz
warunki
początkowe:
θ 0 = [0,0,0,0]T ;
P0 = diag ( P0 , S0 ) ;
P0 = diag (σ A2 ,σ A2 ) ;
S0 = diag (σ β2 ,σ β2 ) ; σ A2 = 25 ; σ β2 = 0,01 . Wszystkie symulacje przeprowadzono dla tych
samych realizacji sygnału {yn } , stosując najpierw optymalny rozszerzony algorytm estymacji
(3.5)-(3.10) z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (na rysunkach linie niebieskie), a
następnie optymalny rozszerzony algorytm estymacji (3.5)-(3.9), (3.11) ze stałą czułością
czujnika (linie jasnoniebieskie). W celu porównania przedstawiono także wyniki symulacji
przeprowadzonych dla tych samych realizacji sygnału {yn } przy zastosowaniu algorytmów
78
podstawowych (2.7)-(2.11) z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (linie czerwone) oraz
(2.7)-(2-10), (2,19) ze stałą czułością czujnika (linie różowe).
Na rysunku 6.1 pokazane są przykładowe trajektorie estymat amplitudy An sygnału
(6.4) obliczanych za pomocą różnych algorytmów. Odpowiednie trajektorie estymat fazy ϕ
pokazano na rysunku 6.2.
a)
b)
Rys. 6.1. Trajektorie estymat amplitudy An obliczanych za pomocą algorytmów podstawowych (rys. a) i
rozszerzonych (rys. b); liniami czarnymi zaznaczono prawdziwe wartości amplitudy An
a)
b)
Rys. 6.2. Trajektorie estymat fazy ϕ obliczanych za pomocą algorytmów podstawowych (rys. a) i algorytmów
rozszerzonych (rys. b); liniami czarnymi zaznaczono prawdziwą wartość fazy
Jak wynika z rysunku 6.1a, zarówno podstawowy algorytm ze stałą czułością, jak i
podstawowy algorytm z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika nie zapewniają
prawidłowego śledzenia zmian amplitudy An sygnału (6.4), dając estymaty Ân obarczone
dużym błędem. Natomiast trajektorie estymat Ân przedstawione na rysunku 6.1b, obliczane
za pomocą rozszerzonego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika oraz
79
rozszerzonego algorytmu ze stałą czułością, świadczą o znacznie większej dokładności
estymacji algorytmów rozszerzonych, przy czym estymaty Ân w przypadku algorytmu z
adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika znacznie szybciej (po około 20 próbkach)
przyjmują z dużą dokładnością wartości bliskie prawdziwych wartości zmieniającej się w
trakcie pomiaru amplitudy An .
Z rysunku 6.2 wynika natomiast, że estymaty ϕ̂ n obliczane za pomocą wszystkich
analizowanych algorytmów zbiegają się do prawdziwej wartości ϕ = π / 4 . Prawidłowe
wyniki estymacji fazy uzyskane za pomocą podstawowych algorytmów estymacji (rys. 6.2a)
należy tłumaczyć tym, że w przypadku występowania dryftu amplitudy An obie składowe
synfazowa θˆn(1) = An cos ϕ i kwadraturowa θˆn( 2) = An sin ϕ rosną proporcjonalnie w trakcie
pomiaru i tym samym estymaty ϕ̂ n obliczane zgodnie ze wzorem ϕˆ n = arctg(θˆn( 2) /θˆn(1) ) zostają
wyznaczone prawidłowo. Stosunek θˆn( 2) /θˆn(1) = An sin ϕ / An cos ϕ nie zmienia się bowiem przy
zmianach amplitudy An . W obu przypadkach, tj. algorytmów podstawowych i rozszerzonych
widoczna jest znacznie szybsza zbieżność estymat obliczanych za pomocą algorytmów z
adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (odpowiednio linia czerwona i niebieska).
Przewagę rozszerzonego algorytmu (3.5)-(3.10) z adaptacyjnie sterowaną czułością
czujnika nad rozszerzonym algorytmem (3.5)-(3.9), (3.11) ze stałą czułością czujnika
potwierdza rysunek 6.3, na którym przedstawiono trajektorie estymat Aˆ s ,n składowej stałej As
amplitudy An (rys. 6.3a) oraz estymat β̂ n prędkości β narastania dryftu amplitudy An (rys.
6.3b).
a)
b)
Rys. 6.3. Trajektorie estymat składowej stałej amplitudy As (rys. a) oraz prędkości narastania β dryftu
amplitudy (rys. b) obliczanych za pomocą rozszerzonych algorytmów estymacji; liniami czarnymi
zaznaczono prawdziwe wartości parametrów
80
Dokładniejsza estymacja tych parametrów za pomocą rozszerzonego algorytmu z
adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika pozwala na dokładniejszą estymację zmiennej
amplitudy An w porównaniu z algorytmem ze stałą czułością.
Na rysunkach 6.4a-d przedstawiono realizację sygnału (6.4) (linie czarne), dla której
uzyskano rezultaty zamieszczone na rysunkach 6.1-6.3, oraz odpowiadające jej wyniki
filtracji, tj. estymacji bieżących wartości sygnału obliczane za pomocą podstawowych i
rozszerzonych algorytmów estymacji.
a)
b)
c)
d)
Rys. 6.4. Trajektorie estymat sygnału (6.4) obliczanych za pomocą algorytmów podstawowych (rys. a i b) i
rozszerzonych (rys. c i d); liniami czarnymi zaznaczono rzeczywiste wartości sygnału (6.4)
Jak widać, największą dokładność filtracji uzyskuje się za pomocą rozszerzonego
algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (3.5)-(3.10) (rys. 6.4d).
Analizę efektywności poszczególnych algorytmów przeprowadzono także na podstawie
zachowania się trajektorii empirycznego błędu średniokwadratowego estymacji (EMSE)
amplitudy An i fazy ϕ sygnału (6.4):
81
EMSE ( Aˆ n ) =
(
)
2
1 K ˆ (k )
An − An ,
∑
K k =1
EMSE (ϕˆ n ) =
(
)
2
1 K (k )
ϕˆ n − ϕ .
∑
K k =1
(6.9)
Na rysunku 6.5 przedstawiono uśrednione po zbiorze K = 200 realizacji sygnału
trajektorie EMSE estymacji amplitudy An , zaś na rysunku 6.6 - fazy ϕ . Podobnie jak
poprzednio, te same realizacje sygnału { yn } były przetwarzane za pomocą rozszerzonych
algorytmów estymacji: z adaptacyjnie sterowaną czułością (3.5)-(3.10) oraz stałą czułością
czujnika (3.5)-(3.9), (3.11) – rysunki 6.5b i 6.6b. Dla porównania, te same realizacje sygnału
były przetwarzane przez oba podstawowe algorytmy estymacji - odpowiednio rysunki 6.5a i
6.6a.
a)
b)
Rys. 6.5. Trajektorie EMSE estymacji amplitudy An otrzymane przy zastosowaniu algorytmów podstawowych
(rys. a) oraz algorytmów rozszerzonych (rys. b)
a)
b)
Rys. 6.6. Trajektorie EMSE estymacji fazy ϕ otrzymane przy zastosowaniu algorytmów podstawowych (rys. a)
oraz algorytmów rozszerzonych (rys. b)
Z wykresów tych wynika, że podstawowe algorytmy nie są w stanie śledzić prawidłowo
zmian amplitudy An (rys. 6.5a). Natomiast obie rozszerzone wersje algorytmów prawidłowo
82
estymują amplitudę An (rys. 6.5b), przy czym w przypadku rozszerzonego algorytmu z
adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika szybkość zbieżności estymat Ân jest znacznie
większa. I tak na przykład, od około 25 próbki błędy estymacji amplitudy An otrzymane przy
zastosowaniu rozszerzonego algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (linia
niebieska) są o około rząd mniejsze od błędów estymacji dla rozszerzonego algorytmu ze
stałą czułością czujnika (linia jasnoniebieska).
Również analiza zachowania trajektorii EMSE estymacji fazy ϕ (rys. 6.6), a także
parametrów As i β potwierdza sformułowane wyżej wnioski. Trajektorie EMSE estymacji
fazy wskazują, że szybkości zbieżności estymat ϕ̂ n dla podstawowych i rozszerzonych
algorytmów estymacji są podobne. W przypadku zastosowania podstawowego algorytmu z
adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (linia czerwona) pojawiają się zafalowania
trajektorii EMSE typu sinusoidalnego. Zafalowanie te świadczą o powstawaniu błędów
systematycznych estymacji fazy za pomocą tego algorytmu.
Wszystkie przedstawione rezultaty badań symulacyjnych potwierdzają, że adaptacyjne
sterowanie czułością czujnika w rozszerzonym algorytmie estymacji parametrów sygnałów
niestacjonarnych umożliwia dokonanie pomiaru nieznanych zmieniających się w trakcie
pomiaru amplitud i nieznanych stałych faz sygnałów sinusoidalnych, przy zadanym poziomie
dokładności pomiaru, w znacznie krótszym czasie, niż w przypadku rozszerzonego
algorytmu, w którym czułość czujnika jest stała. W przypadku obu wersji rozszerzonych
algorytmów obecność dryftu amplitudy sygnału sinusoidalnego nie powoduje pojawienia się
nieliniowych zniekształceń, czy destabilizacji pracy algorytmów. Mogą być one zatem
efektywnie wykorzystane w praktycznych zagadnieniach pomiarowych w sytuacjach, gdy
parametry sygnałów lub zakłóceń ulegają dryftom.
Podobne eksperymenty symulacyjne przeprowadzono także dla większej ilości
składowych sinusoidalnych w analizowanym sygnale. Otrzymane rezultaty prowadzą do
identycznych wniosków.
6.2.
Filtracja i estymacja parametrów stacjonarnych sygnałów
sinusoidalnych w obecności silnych niestacjonarnych zakłóceń
Zaproponowany w rozdziale 5 optymalny algorytm filtracji oparty na koncepcji
adaptacyjnej dopasowanej obserwacji umożliwia pomiary parametrów sygnałów i zakłóceń,
których zmiany są modelowane procesami Markowa. Również w tym przypadku w procesie
pomiaru jest uwzględnione ograniczenie zakresu liniowego przetwarzania oraz wpływ szumu
83
wewnętrznego czujnika. Zastosowanie tego algorytmu zostanie w tym punkcie zilustrowane
na przykładzie pomiaru nieznanych amplitud i faz sygnału sinusoidalnego w obecności
niestacjonarnego silnego zakłócenia. Będziemy rozważać następujący sygnał:
M
yn = ∑ [ Am sin( 2πf m n + ϕ m )] + ζ n + ν n ,
n = 1,2,... ,
(6.10)
m =1
gdzie f m są znanymi unormowanymi częstotliwościami, zaś Am i ϕ m są nieznanymi
amplitudami i odpowiednio fazami początkowymi poszczególnych składowych, m = 1, . . ., M .
Ciąg {ζ n } jest niestacjonarnym zakłóceniem opisanym procesem Markowa:
ζ n = ρζ n −1 + β ( n − 1) + ηn −1 ,
(6.11)
gdzie ρ jest znanym współczynnikiem korelacji, β - losowym nieznanym współczynnikiem
dryftu, ηn - szumem białym gaussowskim o zerowej wartości średniej i wariancji σ η2 :
p(ηn ) = N[ηn − 0 , σ η2 ] . Zakładamy, że dysponujemy pełną informacją o rozkładach a priori
p(ζ 0 ) i p ( β ) oraz że rozkłady te są gaussowskie o wartościach średnich odpowiednio ζ 0∗ ,
β 0 i wariancjach σ ζ2 , σ β2 , tzn. p(ζ 0 ) = N[ζ 0 − ζ 0∗ ,σ ζ2 ] i p( β ) = N[ β − β 0 ,σ β2 ] . O szumie
{v n } w modelu (6.10) zakładamy, że jest szumem białym gaussowskim o zerowej wartości
średniej i wariancji σ ν2 , tj.: p(νn ) = N[νn − 0, σν2 ] .
Sygnał (6.10), (6.11) można zapisać w postaci sygnału regresyjnego (5.1),
przedstawiając każdą ze składowych sinusoidalnych jako sumę składowej synfazowej i
składowej kwadraturowej:
yn =
M
∑[θ
( m ,1)
sin 2πf m n + θ ( m, 2 ) cos 2πf m n] + ζ n + ν n = θ nT X n + ν n ,
m =1
gdzie
X n = [sin 2πf1n, cos 2πf1n, . . ., sin 2πf M n, cos 2πf M n, 1]T
jest
(6.12)
2M+1-wymiarowym
wektorem sygnałów deterministycznych, a θ n = [θ n(1,1) ,θ n(1, 2 ) , . . .,θ n( M ,1) ,θ n( M , 2) ,θ n2 M +1 ]T
jest
2M+1-wymiarowym wektorem losowych parametrów, przy czym θ n( m ,1) = Am cos ϕ m ,
θ n( m , 2 ) = Am sin ϕ m dla m = 1, . . ., M oraz θ n( 2 M +1) = ρθ n( 2−1M +1) + β (n − 1) + ηn −1 = ζ n . Zmiany
parametrów θ n sygnału (6.12) można przedstawić w postaci procesu Markowa (5.2):
θ n = ρθ n −1 + βU n −1 + η n −1 ,
gdzie
ρ = diag(1, . . .,1, ρ ) ,
β = [0, . . .,0, β ]T ,
Σ η = diag(0, . . .,0, σ η2 ) .
84
U n = [0, . . .,0, n]T ,
(6.13)
η n = [0, . . .,0,ηn ]T ,
a
Podobnie jak w punkcie 6.1 przyjmujemy założenie, że parametry poszczególnych
składowych sinusoidalnych sygnału (6.10) są statystycznie niezależne oraz że amplitudy mają
rozkład Rayleigha p ( Am ) = Am / σ m2 exp(− Am2 / 2σ m2 ) , a rozkłady faz są równomierne w
przedziale [−π , π ) . Przyjęcie tego założenia zapewnia gaussowski rozkład a priori wektora
estymowanych parametrów θ n o zerowych wartościach średnich i diagonalnej macierzy
kowariancji P0 = diag (σ 12 , σ 12 , . . ., σ M2 ,σ M2 ,σ ζ2 ) .
Zagadnienie pomiaru nieznanych amplitud Am i faz ϕ m sygnału (6.10) w obecności
niestacjonarnego zakłócenia (6.11) polega na wyznaczeniu optymalnych estymat θˆn wektora
parametrów θ n , a następnie obliczeniu na podstawie estymat θˆn wartości estymat
parametrów Am i ϕ m sygnału (6.10) zgodnie z wzorami (6.3). Do rozwiązania tego
zagadnienia będziemy stosować algorytmy filtracji z adaptacyjnie sterowaną czułością
(5.10)-(5.22) oraz stałą czułością czujnika (5.10)-(5.21), (5.23), omówione w rozdziale 5.
Eksperyment 6.2
Eksperymenty symulacyjne przeprowadzono dla sygnału:
yn = A sin( 2πfn + ϕ ) + ζ n + ν n ,
(6.14)
gdzie {ζ n } jest niestacjonarnym zakłóceniem opisanym procesem Markowa (6.11). We
wszystkich eksperymentach przyjęto następujące wartości parametrów: wariancja szumu
zewnętrznego: σν2 = 10−2 ; parametry czujnika: D = 0,5 ; σ ξ2 = 10 −4 ; α = 7 ( µ = 10 −12 );
parametry składowej sinusoidalnej sygnału (6.14): A = 0,5 , ϕ = π / 6 , i f = 0,05 ; wartość
początkowa zakłócenia (6.11): ζ 0 = 5 ; współczynnik korelacji ρ = 0,75 ; współczynnik
dryfu: β = 0,01 ; wariancja szumu ηn : σ η2 = 5 ⋅10 −2 ; warunki początkowe algorytmu:
θ 0∗ = [0,0,0]T ;
P0 = L0 = diag(σ A2 , σ A2 , σ ζ2 ) ;
σ A2 = 25 ;
σ ζ2 = 25 ;
β 0 = [0,0,0]T ;
S0 = diag (0,0, σ β2 ) ; σ β2 = 0,01 ; V0 = U 0 = [0,0,0]T . Zasady przeprowadzenia eksperymentów
były identyczne jak w punkcie 6.1.
Na rysunku 6.7 przedstawiono przykładowe trajektorie estymat Ân amplitudy A
sygnału (6.14) obliczanych za pomocą poszczególnych algorytmów. Odpowiednie trajektorie
estymat fazy ϕ są pokazane na rysunku 6.8.
85
a)
b)
Rys. 6.7. Trajektorie estymat amplitudy A obliczanych za pomocą podstawowych algorytmów estymacji (rys. a)
i algorytmów filtracji (rys. b); linie czarne oznaczają prawdziwą wartość amplitudy
a)
b)
Rys. 6.8. Trajektorie estymat fazy ϕ obliczanych za pomocą podstawowych algorytmów estymacji (rys. a) i
algorytmów filtracji (rys. b); linie czarne oznaczają prawdziwą wartość fazy
Jak widać na rysunkach 6.7a i 6.8a, podstawowe wersje algorytmów nie zapewniają
prawidłowych wyników estymacji. Prawidłowe rezultaty otrzymuje się natomiast, stosując
algorytmy filtracji (rys. 6.7b i 6.8b). Zarówno w przypadku estymacji amplitudy A , jak i fazy
ϕ widoczna jest znacznie szybsza zbieżność estymat obliczanych za pomocą algorytmu
filtracji z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (linie niebieskie) w porównaniu z
algorytmem filtracji ze stałą czułością (linie jasnoniebieskie).
O przewadze algorytmów filtracji, szczególnie algorytmu filtracji z adaptacyjnie
sterowaną czułością czujnika, świadczą także wyniki filtracji sygnału, będącego sumą
składowej sinusoidalnej i niestacjonarnego sygnału {ζ n } . W tym przypadku sygnał {ζ n }
traktujemy jako część sygnału użytecznego. Na rysunkach 6.9a-d wykreślono realizację
sygnału (6.14) (linie czarne), dla której przeprowadzono eksperymenty zilustrowane na
rysunkach 6.7-6.8, oraz odpowiadające jej rezultaty filtracji uzyskane przy zastosowaniu
86
podstawowych algorytmów estymacji (rys. 6.9a i 6.9b) oraz algorytmów filtracji w obu
wersjach: ze stałą czułością (rys. 6.9c) i z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (rys.
6.9d). Przedstawiona na rysunku 6.9 przykładowa realizacja sygnału (6.14) ilustruje jak silna
jest składowa niestacjonarna {ζ n } występująca w analizowanym sygnale. Przypomnijmy, że
w tym eksperymencie amplituda składowej sinusoidalnej występującej w sygnale (6.14)
A = 0,5 .
a)
b)
c)
d)
Rys. 6.9. Trajektorie estymat wartości chwilowych sygnału (6.14) obliczanych za pomocą podstawowych
algorytmów estymacji (rys. a i b) i algorytmów filtracji (rys. c i d); linie czarne – rzeczywiste
wartości sygnału
Analizując przedstawione na rysunku 6.9 wykresy trajektorii estymat sygnału (6.14),
należy podkreślić bardzo dużą dokładność filtracji uzyskaną za pomocą algorytmu filtracji z
adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika. Realizacja sygnału oraz odpowiadająca jej
realizacja po filtracji za pomocą tego algorytmu (rys. 6.9c) praktycznie pokrywają się już od
trzeciej próbki.
Dokładność i szybkość zbieżności estymat amplitudy A i fazy ϕ sygnału (6.14) oraz
skuteczność filtracji sygnału (6.14) została także przeanalizowana na podstawie zachowania
87
trajektorii empirycznych błędów średniokwadratowych (EMSE) estymacji i filtracji. Na
rysunku 6.10 przedstawiono uśrednione po zbiorze K = 500 realizacji sygnału trajektorie
EMSE estymacji amplitudy A , a na rysunku 6.11 trajektorie EMSE estymacji fazy ϕ sygnału
(6.14) określone wzorami (6.9). Podobnie jak poprzednio, te same realizacje sygnału (6.14)
były przetwarzane za pomocą obu wersji algorytmu filtracji sygnałów niestacjonarnych, tj.
wersji z adaptacyjnie sterowaną czułością (5.10)-(5.22) oraz stałą czułością czujnika (5.10)(5.21), (5.23) – rysunki 6.10b i 6.11b. Dla porównania te same realizacje sygnału były
przetwarzane przez obie wersje algorytmu podstawowego – rysunki 6.10a i 6.11a.
a)
b)
Rys. 6.10. Trajektorie EMSE estymacji amplitudy A za pomocą podstawowych algorytmów estymacji (rys. a) i
algorytmów filtracji (rys. b)
a)
b)
Rys. 6.11. Trajektorie EMSE estymacji fazy ϕ za pomocą podstawowych algorytmów estymacji (rys. a) i
Na rysunku 6.12 przedstawiono trajektorie (EMSE) filtracji sygnału (6.14):
EMSE( yˆ n ) =
1
K
∑ ( yˆ
K
k =1
88
(k )
n
− yn
)
2
.
(6.15)
a)
b)
Rys. 6.12. Trajektorie EMSE filtracji sygnału (6.14) za pomocą podstawowych algorytmów estymacji (rys. a) i
Wyniki eksperymentów przedstawione na rysunkach 6.10a-6.12a potwierdzają, że
zastosowanie podstawowych algorytmów estymacji, optymalnych dla sygnałów stacjonarnych,
nie zapewnia poprawnego pomiaru amplitud i faz sygnałów sinusoidalnych występujących w
obecności silnych niestacjonarnych zakłóceń (6.11) i prowadzi do pojawienia się dużych błędów.
Z rysunków 6.10b-6.12b wynika natomiast, że efektywnym narzędziem, które może być
wykorzystywane w takich sytuacjach w systemach pomiarowych, są algorytmy filtracji
omówione w rozdziale 5. W szczególności wysoką jakością filtracji i estymacji charakteryzuje
się algorytm filtracji z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika.
6.3.
Pomiar parametrów sygnałów o złożonej strukturze składowych
użytecznych i zakłóceń w przypadku dryftu punktu pracy czujnika
oraz błędów zera jego charakterystyki
W koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji przyjmuje się, że analizowany
sygnał {yn } jest obserwowany za pomocą układu obserwacji (czujnika) opisanego modelem o
charakterystyce liniowej w ograniczonym zakresie obserwacji i z odcinkami nasycenia poza
tym zakresem (rys. 2.1):
 Cn ( yn − Bn ) + ξ n ,
~
yn = 
 D sgn ( yn − Bn ) + ξ n ,
gdy yn − Bn ≤ D Cn ,
gdy yn − Bn > D Cn ,
(6.16)
gdzie {Bn } jest sygnałem kompensującym. W niniejszym punkcie będziemy rozpatrywać
sytuację, w której występują błędy zera charakterystyki czujnika i przyjmiemy następujący
model czujnika (rys. 6.13):
89
 C n ( y n − Bn − G n ) + ξ n ,
~
yn = 
 D sgn( y n − Bn − Gn ) + ξ n ,
gdy y n − Bn − Gn ≤ D C n ,
gdy y n − Bn − Gn > D C n ,
(6.17)
gdzie ciąg {Gn } opisuje losowe błędy zera charakterystyki czujnika.
E[ ~
yn | en ]
D
− D / Cn
D / Cn
Gn
−D
en
en = yn − Bn
Rys. 6.13. Charakterystyka układu obserwacji (czujnika) opisanego modelem (6.17)
Będziemy zakładać, że oprócz losowego błędu ustawienia zera (ang. setting error)
występuje losowy liniowy dryft zera charakterystyki czujnika. Przyjmujemy zatem
następujący model błędów zera czujnika:
Gn = G + γ (n − 1) ,
(6.18)
gdzie G i γ są losowymi nieznanymi parametrami określającymi odpowiednio błąd
ustawienia oraz prędkość narastania liniowego dryftu zera charakterystyki czujnika.
Zakładamy, że znamy ich rozkłady a priori p (G ) i p (γ ) oraz że rozkłady te są gaussowskie
o
wartościach
średnich
p (G ) = N[G − G0 , σ G2 ]
i
odpowiednio
G0 ,
γ0
i
wariancjach
σ G2
i
σ γ2 , tzn.
p(γ ) = N[γ − γ 0 ,σ γ2 ] . Niestacjonarność zera charakterystyki
czujnika opisana modelem (6.18) może być uwzględniona w postaci dodatkowego zakłócenia
w modelu regresyjnym analizowanego sygnału.
Zakładamy, że analizowany sygnał ma postać:
yn = θ nT X n + ν n ,
(6.19)
gdzie θ n = [θ n(1) ,θ n( 2) , . . .,θ n( L ) ]T jest wektorem losowych zmiennych parametrów modelu, które
są nieznanymi amplitudami deterministycznych sygnałów X n = [ X n(1) , X n( 2) , . . ., X n( L ) ]T . Szum
{vn } jest określony jak w modelu (2.1).
Zagadnienie polega na pomiarze (wyznaczeniu optymalnych estymat) parametrów θ n
na podstawie obserwacji sygnału (6.19) za pomocą czujnika opisanego modelami (6.17) i
90
(6.18). Zagadnienie to sprowadza się do wyznaczenia optymalnych estymat rozszerzonego
nieznanego wektora parametrów θ n = [θ nT ,−G ,−γ ]T przy założeniu, że sygnał
yn = θ nT X n + ν n
(6.20)
jest obserwowany przez czujnik (6.16), w którym nie występują błędy zera charakterystyki.
W modelu sygnału (6.20) wektor
X n = [ X nT ,1, n − 1]T
jest rozszerzonym wektorem
składowych deterministycznych.
Stosując powyższe rozszerzenie wektora parametrów sygnału (6.20) do rozwiązania
zagadnienia estymacji parametrów sygnału (6.19) w przypadku występowania błędu
ustawienia oraz dryftu zera charakterystyki czujnika, możemy wykorzystywać wszystkie
algorytmy przetwarzania sygnałów oparte na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji
omówione w poprzednich rozdziałach. Dodatkowo mamy możliwość wyestymowania błędu
ustawienia zera charakterystyki czujnika G i parametru γ jego dryftu. Warunki początkowe
algorytmów
przybierają
wówczas
następującą
postać
θˆ0 = [θ 0T ,−G0 ,−γ 0 ]T ,
P0 = diag( P0 , σ G2 ,σ γ2 ) . W przypadku algorytmów filtracji opisanych w rozdziale 5,
rozszerzeniu ulegają również pozostałe zmienne występujące w modelu zmian parametrów
(5.2),
tj.:
ρ = diag ( ρ ,1,1) ,
β = [ β T ,0,0]T ,
U n = [U nT ,0,0]T ,
η = [η T ,0,0] T ,
Σ η = diag(Σ η ,0,0) .
Eksperyment 6.3
Poniżej przedstawiono rezultaty badań symulacyjnych pomiaru losowego napięcia V (t )
występującego na kondensatorze w obwodzie RC pobudzanym sygnałem losowym.
Równanie dla napięcia V (t ) ma postać:
1
dV (t )
=−
V (t ) + η (t ) ,
dt
RC
(6.21)
gdzie losowy sygnał η (t ) jest szumem gaussowskim o zerowej średniej i wariancji σ η2 .
Zakładamy, że pomiar napięcia V (t ) jest przeprowadzany w obecności szumu
gaussowskiego ν (t ) oraz sinusoidalnego zakłócenia A sin( 2πf 0t + ϕ ) o nieznanej amplitudzie
A i fazie ϕ i znanej częstotliwości f 0 . Przyjmujemy założenie, że amplituda i faza
sinusoidalnego zakłócenia są statystycznie niezależne oraz, że amplituda ma rozkład
Rayleigha
p( A) = A / σ A2 exp(− A2 / 2σ A2 ) ,
a
rozkład
prawdopodobieństwa
fazy
jest
równomierny w przedziale [−π ,π ) (por. punkt 6.1). Analizowany sygnał ma zatem postać:
91
y (t ) = V (t ) + A sin( 2πf 0t + ϕ ) + ν (t ) .
(6.22)
Przyjmując, że TS jest okresem próbkowania sygnału oraz wykorzystując następujące
oznaczenia: Vn = V (nTS ) , dV (t ) / dt = [V ((n + 1)TS ) − V ( nTS )] / TS = (Vn +1 − Vn ) / TS , ηn = η (nTS ) ,
równanie (6.21) można przedstawić w równoważnej dyskretnej postaci:
Vn = [1 − (1 / f S RC )]Vn −1 + ηn −1 = ρVn −1 + ηn −1 ,
(6.23)
gdzie f S = 1 / TS jest częstotliwością próbkowania, a ρ = 1 − (1 / f S RC ) . Zakładamy, że rozkład
a priori mierzonego napięcia p (V0 ) jest gaussowski o wartości średniej V0∗ i wariancji σ V2 ,
tzn. p (V0 ) = N[V0 − V0∗ , σ V2 ] .
Dyskretna postać analizowanego sygnału (6.22) jest następująca:
yn = Vn + A sin( 2πfn + ϕ ) + ν n ,
(6.24)
gdzie f = f 0 / f S jest unormowaną częstotliwością sinusoidalnego zakłócenia.
Zakładamy, że sygnał (6.24) jest obserwowany za pomocą czujnika (6.17), w którym
występują błąd ustawienia oraz dryft zera charakterystyki czujnika opisane modelem (6.18).
Stosując opisaną wyżej metodę, obserwację sygnału (6.24) za pomocą czujnika (6.17)
sprowadzamy do obserwacji sygnału
yn = Vn + A sin( 2πfn + ϕ ) − G − γ ( n − 1) + ν n ,
(6.25)
w którym uwzględniono błąd ustawienia oraz dryft zera charakterystyki, za pomocą czujnika
(6.16), w którym nie występują błędy zera charakterystyki.
Sygnał (6.25) można zapisać w postaci sygnału regresyjnego (6.20), przedstawiając
składową sinusoidalną jako sumę składowej synfazowej i składowej kwadraturowej:
yn = Vn + ( A cos ϕ ) sin 2πfn + ( A sin ϕ ) cos 2πfn − G − γ (n − 1) + ν n = θ nT X n + ν n ,
gdzie θ n = [Vn , A cos ϕ , A sin ϕ ,−G,−γ ]T
i
(6.26)
X n = [1, sin 2πfn, cos 2πn,1, n − 1]T . Zgodnie z
przyjętymi założeniami, rozkład a priori p(θ 0 ) wektora estymowanych parametrów θ n jest
gaussowski o wartości średniej θ 0∗ = [V0∗ ,0,0,−G0 ,−γ 0 ]T i diagonalnej macierzy kowariancji
P0 = diag(σ V2 , σ A2 , σ A2 , σ G2 , σ γ2 ) . Zmiany napięcia Vn opisane wzorem (6.23) można uwzględnić
przedstawiając wektor parametrów θ n w postaci procesu Markowa:
θ n = ρθ n −1 + η n −1 ,
(6.27)
gdzie ρ = diag ( ρ,1,1,1,1) , η n = [ηn ,0,0,0,0]T , a Σ η = diag(σ η2 ,0,0,0,0) . W zagadnieniu pomiaru
napięcia Vn , a także pomiaru parametrów zakłócenia sinusoidalnego jest zatem możliwe
wykorzystanie algorytmów filtracji opisanych w rozdziale 5.
92
W eksperymentach przyjęto następujące wartości parametrów: wariancja szumu
zewnętrznego: σν2 = 10−2 ; parametry czujnika: D = 0,5 ; σ ξ2 = 10 −4 ; α = 7 ( µ = 10 −12 );
parametry składowej sinusoidalnej sygnału (6.25): A = 1 , ϕ = π / 6 i f = 0,1 ; wartość
początkowa mierzonego napięcia: V0 = 2 ; współczynnik korelacji ρ = 0,75 ; wariancja
szumu
ηn :
σ η2 = 5 ⋅ 10−2 ;
warunki
początkowe
algorytmu:
θ 0∗ = [0,0,0,0,0]T ;
P0 = diag(σ V2 , σ A2 ,σ A2 , σ G2 , σ γ2 ) ; σ V2 = 100 , σ A2 = 25 ; σ G2 = 1 ; σ γ2 = 10 −2 . Sposób organizacji
eksperymentów jest identyczny jak w punktach 6.1 i 6.2.
Na rysunku 6.14 przedstawiono przykładowe trajektorie estymat napięcia V n
obliczanych za pomocą poszczególnych algorytmów dla G = 0,25 i γ = 0,01 .
a)
b)
c)
d)
Rys. 6.14. Trajektorie estymat napięcia Vn obliczanych za pomocą podstawowych algorytmów estymacji (rys. a i
b) i rozszerzonych algorytmów filtracji (rys. c i d); linie czarne – prawdziwe wartości napięcia Vn
Z przedstawionych na rysunku 6.14 wykresów trajektorii estymat napięcia Vn wynika,
że w rozpatrywanym przedziale obserwacji jedynie zastosowanie rozszerzonego algorytmu
filtracji z adaptacyjnym sterowaniem czułością czujnika umożliwia już od około 30 próbki
93
prawidłowy pomiar napięcia Vn (rys. 6.14d). W przypadku zastosowania podstawowych
algorytmów estymacji sygnałów stacjonarnych (rys. 6.14a i 6.14b), w których nie
uwzględniono błędu ustawienia i dryftu zera charakterystyki czujnika, widać wyraźnie
pojawienie się obciążenia związanego z błędami zera charakterystyki czujnika.
Na rysunku 6.15 przedstawiono trajektorie estymat amplitudy
A
składowej
sinusoidalnej (zakłócenia) uzyskane dla tej samej realizacji procesu (6.25). Odpowiednie
trajektorie estymat fazy ϕ pokazano na rysunku 6.16.
a)
b)
Rys. 6.15. Trajektorie estymat amplitudy A obliczanych za pomocą podstawowych algorytmów estymacji (rys.
a) i rozszerzonych algorytmów filtracji (rys. b); linie czarne – prawdziwa wartość amplitudy
a)
b)
Rys. 6.16. Trajektorie estymat fazy ϕ obliczanych za pomocą podstawowych algorytmów estymacji (rys. a) i
rozszerzonych algorytmów filtracji (rys. b); linie czarne – prawdziwa wartość fazy
Przedstawione na rysunkach 6.15 i 6.16 wyniki potwierdzają, że najlepszą jakość
estymacji amplitudy A i fazy ϕ zapewnia rozszerzony algorytm filtracji z adaptacyjnym
sterowaniem czułością czujnika (linie niebieskie). W celu uzupełnienia wyników, na
rysunkach 6.17a i 6.17b przedstawiono trajektorie estymat parametrów θ
94
( 4)
= −G , θ
( 5)
= −γ
procesu (6.25) obliczanych dla tej samej realizacji za pomocą rozszerzonych algorytmów
filtracji w obu wersjach. Rysunki te jeszcze raz potwierdzają skuteczność rozszerzonego
algorytmu filtracji z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika.
a)
b)
Rys. 6.17. Trajektorie estymat parametrów θ ( 4) (rys. a) i θ (5) (rys. b) procesu (6.25) obliczanych za pomocą
rozszerzonych algorytmów filtracji; liniami czarnymi zaznaczono prawdziwe wartości parametrów
θ ( 4) (a) i θ (5)
W drugiej części eksperymentów zbadano zachowanie trajektorii empirycznych błędów
średniokwadratowych (EMSE) estymacji poszczególnych parametrów procesu (6.25): Vn , A ,
ϕ,θ
( 4)
= −G , θ
( 5)
= −γ . Trajektorie te uśredniano po zbiorze K = 500 realizacji i obliczano
generując losowo w poszczególnych realizacjach procesu (6.25) różne wartości parametrów
G i γ , przy czym przyjęto p (G ) = N[G − 0, σ G2 ] i p(γ ) = N[γ − 0, σ γ2 ] . Na rysunku 6.18
przedstawiono trajektorie EMSE mierzonego napięcia V n :
EMSE (Vˆn ) =
1
K
∑ (Vˆ
K
(k )
n
− Vn
)
2
.
(6.28)
k =1
Zarówno wykresy trajektorii EMSE estymacji napięcia V n , przedstawione na rysunku
6.18, jak i obliczone dodatkowo przebiegi trajektorii EMSE amplitudy A i fazy ϕ
sinusoidalnego zakłócenia oraz parametrów θ
( 4)
= −G , θ
( 5)
= −γ , związanych z błędem
ustawienia i dryftem zera charakterystyki czujnika, potwierdzają wnioski wynikające z
analizy trajektorii estymat tych parametrów otrzymanych dla jednej przykładowej realizacji
(rys. 6.15-6.17). W szczególności potwierdzają fakt, że największą dokładność estymacji
parametrów uzyskuje się stosując rozszerzony algorytm filtracji z adaptacyjnym sterowaniem
czułością czujnika.
95
a)
b)
Rys. 6.18. Trajektorie EMSE estymacji napięcia Vn otrzymane przy zastosowaniu podstawowych algorytmów
estymacji (rys. a) i rozszerzonych algorytmów filtracji (rys. b)
Podsumowując otrzymane wyniki badań symulacyjnych w przypadku występowania
błędów zera charakterystyki czujnika, należy stwierdzić, że zastosowanie podstawowych
algorytmów estymacji sygnałów stacjonarnych prowadzi do powstania błędów grubych
pomiaru poszczególnych parametrów sygnału. Prawidłowe wyniki pomiaru uzyskuje się za
pomocą rozszerzonych algorytmów filtracji, przy czym zastosowanie rozszerzonego
algorytmu filtracji z adaptacyjnie sterowaną czułością czujnika (linie niebieskie na rys. 6.146.18) umożliwia osiągnięcie wyraźnie lepszej dokładności i szybkości zbieżności estymat
parametrów, niż w przypadku zastosowania rozszerzonego algorytmu filtracji ze stałą
czułością czujnika (linie jasnoniebieskie). Ponadto przedstawiona w tym punkcie metoda
umożliwia nie tylko dokładny pomiar parametrów sygnału, ale również jednoczesny pomiar
błędu ustawienia i prędkości narastania liniowego dryftu zera charakterystyki czujnika.
Można zatem stwierdzić, że omawiane algorytmy są efektywnym narzędziem estymacji
złożonych niestacjonarnych sygnałów pomiarowych występujących na tle niestacjonarnych
zakłóceń złożonych z różnorodnych składowych. Podkreślić należy również, że w wielu
rzeczywistych sytuacjach pomiarowych występują wielkości, które mogą być opisane
równaniami różniczkowymi analogicznymi do (6.21) [125]. Otrzymane w tym punkcie
rezultaty świadczą, że do pomiaru tych wielkości mogą być wykorzystywane omówione w
rozdziale 5 algorytmy filtracji (por. np. [98, 99]).
96
Uniwersalne stanowisko do fizycznych i symulacyjnych badań systemów pomiarowych
7. Uniwersalne stanowisko do fizycznych i symulacyjnych badań
systemów pomiarowych
W rozdziale tym omówiono koncepcję uniwersalnego stanowiska przeznaczonego do
fizycznych i symulacyjnych badań adaptacyjnych systemów pomiarowych. Przedstawiono
jego praktyczną realizację oraz omówiono wyniki wstępnych badań laboratoryjnego modelu
analogowej części szerokozakresowego adaptacyjnego woltomierza spełniającego - oprócz
funkcji pomiarowych - rolę analizatora struktury sygnału użytecznego i zakłóceń.
Zasadniczym celem przeprowadzonych prac było zaprojektowanie oraz fizyczna realizacja
prostego modelu adaptacyjnego woltomierza umożliwiającego praktyczną weryfikację
doświadczalną omówionych w pracy algorytmów.
7.1.
Koncepcja i struktura stanowiska badawczego
Omówione w pracy algorytmy przetwarzania sygnałów stwarzają możliwość
konstruowania nowej klasy analogowo-cyfrowych adaptacyjnych systemów pomiarowych,
pracujących w warunkach zmieniających się w trakcie obserwacji parametrów sygnałów oraz
w obecności różnorodnych szumów i zakłóceń. W ramach badań teoretycznych uzyskano
szereg nowych rezultatów, które stanowią podstawę do opracowanie konkretnych
adaptacyjnych wersji systemów pomiarowych, charakteryzujących się znacznie szerszym
zakresem pomiarowym, większą precyzją i większą szybkością pomiarów, niż systemy
konwencjonalne. Systemy te posiadałyby nieosiągalne w systemach klasycznych możliwości
szybkiego optymalnego dostrajania się do zmieniających się warunków pomiaru.
Pozwalałyby
również
efektywnie
wyróżniać
składową
użyteczną
na
tle
silnych
niestacjonarnych zakłóceń oraz korygować dryfty punktu pracy czujnika i błędy zera jego
charakterystyki.
Dotychczasowe badania, prowadzone w Instytucie Systemów Elektronicznych PW w
zakresie problematyki poruszanej w pracy, były skoncentrowane na opracowaniu coraz
efektywniejszych
metod
analitycznego
projektowania
i
optymalizacji
systemów
pomiarowych, wykorzystujących algorytmy przetwarzania sygnałów oparte na koncepcji
adaptacyjnej dopasowanej obserwacji. Uzyskiwane rezultaty weryfikowano za pomocą
zaawansowanych eksperymentów symulacyjnych, w których z jednej strony wykorzystywano
proponowane algorytmy, z drugiej zaś - matematyczne modele systemów pomiarowych.
Dalszy rozwój badań nad zastosowaniami teorii spowodował w sposób naturalny rozpoczęcie
cyklu prac nad stworzeniem stanowiska badawczego, które umożliwiałoby przeprowadzenie
97
różnorodnych doświadczeń, poczynając od wstępnych, czysto symulacyjnych, badań
wirtualnych
modeli
systemów
pomiarowych,
poprzez
badania
ich
rzeczywistych
analogowych podzespołów, aż do analizy pracy całych laboratoryjnych prototypów systemów
pomiarowych, wykorzystujących różnorodne algorytmy przetwarzania danych pomiarowych i
sterowania parametrami systemu.
W wyniku przeprowadzonych przez autora prac inżynieryjno-implementacyjnych
powstało uniwersalne stanowisko badawcze, umożliwiające przeprowadzenie doświadczeń
we wszystkich istotnych możliwych sytuacjach, występujących w różnego rodzaju
zagadnieniach praktycznych, w tym także krytycznych, z punktu widzenia rozważań
teoretycznych, dla pracy analizowanych systemów pomiarowych. Uniwersalne stanowisko
zaprojektowano w taki sposób, aby rodzaj i parametry stosowanych algorytmów
przetwarzania danych oraz parametry analogowych podzespołów systemów pomiarowych
mogły być dobierane w zależności od rozważanego zagadnienia, przyjętego modelu sygnału
użytecznego, jak również typu szumów i zakłóceń.
Centralną częścią stanowiska jest komputer klasy PC wyposażony w karty
przetworników analogowo-cyfrowych (A/C) i cyfrowo-analogowych (C/A) oraz pakiet
specjalistycznych programów. Komputer wraz z odpowiednim oprogramowaniem jest
wykorzystywany przede wszystkim do komputerowych symulacji pracy systemów
pomiarowych. Badania symulacyjne stanowią ważny etap w projektowaniu systemów
pomiarowych [122], umożliwiają bowiem określenie wielu właściwości systemu jeszcze
przed jego zbudowaniem, m.in. przeanalizowanie wpływu poszczególnych parametrów
systemu na dokładność pomiarów.
Komputer wraz z kartami przetworników A/C i C/A może także spełniać rolę cyfrowej,
przetwarzającej części systemu pomiarowego. Możliwe jest podłączenie do kart przetworników
analogowej części systemu pomiarowego i stworzenie mieszanego analogowo-cyfrowego
modelu systemu pomiarowego w celu przebadania zmian zachodzących przy zastąpieniu
poszczególnych matematycznych modeli części analogowej ich rzeczywistymi prototypami.
Zastąpienie matematycznych modeli analogowej części systemu układami rzeczywistymi
powoduje konieczność dopasowania warunków ich pracy do pozostałej, cyfrowej części
systemu, realizowanej za pomocą komputera z kartami przetworników. Wymaga to dopasowania
części cyfrowej do sygnałów na wejściu i wyjściu części analogowej, m.in. zastosowania
przetworników A/C i C/A z odpowiednio dobranymi zakresami, rozdzielczością i
częstotliwościami próbkowania. Jeżeli sygnały na wejściu analogowej części systemu
pomiarowego nie są elektryczne (np. w systemach z czujnikami opto- lub piezoelektrycznymi),
98
potrzebne są dodatkowo siłowniki (ang. actuators) do formowania odpowiednich oddziaływań
na badany czujnik. Komputer wraz z kartą przetworników cyfrowo-analogowych może
jednocześnie pełnić funkcję generatora złożonych rzeczywistych sygnałów, szumów lub
zakłóceń.
Na rysunku 7.1 pokazano schemat blokowy uniwersalnego stanowiska do fizycznych i
symulacyjnych badań systemów pomiarowych wykorzystujących algorytmy oparte na
koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji.
θtT X t
Miernik
uniwersalny
~
yt
yt
θtT X t
Komputer
yt
yt Oscyloskop
Analogowy
generator
sygnałów
θtT X t
Sumator
νt
Adaptacyjny
układ
pomiarowy
yt
ξt
Analogowy
generator
szumów
~
yt
Karta A/C
Ct
Karta C/A
yt
ξt
~
yn
Bn , Cn
Bt
Karta C/A
yn , ξ n
Część generująca analizowany sygnał
doświadczenia symulacyjno-fizyczne
doświadczenia fizyczne (analogowe)
Rys. 7.1. Schemat uniwersalnego stanowiska do fizycznych i symulacyjnych badań systemów pomiarowych
Zarówno opracowane stanowisko pomiarowe, jak i pakiet oprogramowania są
zorganizowane w sposób modułowy, pozwalający na modyfikację, uzupełnianie i
rozszerzanie możliwości i zakresu przeprowadzanych doświadczeń.
7.2.
Realizacja sprzętowa stanowiska badawczego
Do realizacji uniwersalnego stanowiska badawczego użyto komercyjnych kart
przetworników analogowo-cyfrowych i cyfrowo-analogowych firmy LATECH [126],
współpracujących z komputerem. Karty przetworników wraz z oprogramowaniem napisanym
w języku C, wykorzystującym standardowe sterowniki kart firmy LATECH [127] i
pracującym w środowisku MATLAB w postaci tzw. MEX-plików [128, 129], umożliwiają
podłączenie analogowych części badanych systemów pomiarowych.
99
Wykorzystując
stanowisko
badawcze,
zaprojektowano
i
wykonano
model
adaptacyjnego szerokozakresowego woltomierza umożliwiającego, obok funkcji czysto
pomiarowych, przeprowadzenie analizy struktury sygnału użytecznego występującego na tle
różnorodnych złożonych zakłóceń i szumów. Woltomierz ten wykorzystuje algorytmy
adaptacyjnego przetwarzania sygnałów i sterowania parametrami woltomierza oparte na
koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji.
Opracowane stanowisko, po odpowiedniej modyfikacji, pozwala na przeprowadzenie
badań systemów pomiarowych wykorzystujących różne rodzaje przetworników i czujników
pomiarowych. Przyczyny, dla których zdecydowano się na wybór adaptacyjnego
woltomierza, jako przykładu układu pomiarowego, były następujące:
• praktyczne znaczenie układów pomiarowych tej klasy;
• istnienie koncepcyjnie bliskich, ale heurystycznych rozwiązań, stosowanych w produkcji
nowych
typów woltomierzy o
zwiększonych
charakterystykach
jakości
(tzw.
woltomierzy z wieloprzebiegową kompensacją; ang. residue conversion [130-132]);
• adekwatność adaptacyjnego dopasowanego modelu układu obserwacji (2.4)-(2.5) do
rzeczywistych układów woltomierzy, co pozwala mieć pewność, że zbudowany prototyp
adaptacyjnego
woltomierza
będzie
funkcjonował
zgodnie
z
przewidywaniami
teoretycznymi;
• możliwość wykorzystania standardowej i najprostszej bazy laboratoryjnej do stworzenia
fizycznego modelu adaptacyjnego woltomierza i odpowiedniego stanowiska badawczego;
• łatwość wprowadzenia cyfrowego sterowania czułością i położeniem zera charakterystyki
woltomierza.
Model analogowej części adaptacyjnego woltomierza wykonano, stosując uniwersalny
moduł LAD-EXT-KIT [133] dostosowany do prac z kartami przetworników firmy LATECH,
na którym wykonano kompensacyjny układ wzmacniacza ze sterowanym wzmocnieniem
oparty na sterowanym napięciowo wzmacniaczu operacyjnym VCA610 firmy Burr-Brown.
W skład stanowiska badawczego wchodzą następujące elementy:
• komputer PC wraz z oprogramowaniem, służącym do analizy pracy badanego systemu
pomiarowego, realizujący również cyfrową część systemu pomiarowego;
• karta przetworników analogowo-cyfrowych LTI16V07 firmy LATECH s.c. wyposażona
w dwukanałowy przetwornik cyfrowo-analogowy, realizująca analogowo-cyfrowe
przetwarzanie sygnału i umożliwiająca generację analogowych sygnałów: kompensacji
oraz sterowania wzmocnieniem układu pomiarowego;
100
• karta przetworników analogowo-cyfrowych LTI16V03 firmy LATECH s.c. wyposażona
w dwukanałowy przetwornik cyfrowo-analogowy, umożliwiająca generację złożonych,
stacjonarnych i niestacjonarnych sygnałów, szumów i zakłóceń;
• generator funkcyjny umożliwiający generację różnorodnych sygnałów i zakłóceń;
• standardowy panel laboratoryjny Laboratorium Teorii Obwodów i Sygnałów ISE PW
wyposażony w dwa generatory szumów [134] wykorzystywane do generacji
analogowego szumu zewnętrznego, dodawanego do sygnału użytecznego, oraz
dodatkowego
analogowego
szumu
wewnętrznego
analogowej
części
systemu
pomiarowego;
• oscyloskop oraz miernik uniwersalny, umożliwiające obserwację i pomiar parametrów
sygnałów i zakłóceń;
• moduł uniwersalny LAD-EXT-KIT, na którym zrealizowano model laboratoryjny
analogowej części adaptacyjnego woltomierza wykorzystując wzmacniacz VCA610
firmy Burr-Brown ze wzmocnieniem sterowanym napięciem.
Podstawowym elementem opracowanego modelu laboratoryjnego analogowej części
adaptacyjnego woltomierza jest wzmacniacz operacyjny VCA610, umożliwiający napięciowe
sterowanie wzmocnieniem (czułością) analogowej części woltomierza i pracujący w układzie
przedstawionym na rysunku 7.2.
ξt
10kΩ
1kΩ
WO2
WE2
yt = θ T X t + ν t
WE1
47kΩ
ξt
47kΩ
WY1
1kΩ
WO1
et
VCA610
Offset
C/A2
Ct et + ξ t
1kΩ
47kΩ
C/A1
− Bt
WO3
Ct
Ct et
WY2
UC
10kΩ
Rys. 7.2. Uproszczony schemat analogowej części laboratoryjnego modelu adaptacyjnego woltomierza z
kompensacją sygnału wejściowego i adaptacyjnie sterowaną czułością
Sygnał sterujący czułością analogowej części woltomierza jest podawany z komputera
przez przetwornik cyfrowo-analogowy (C/A2) umieszczony na karcie przetworników.
Wzmacniacz operacyjny WO1, pracujący w układzie sumatora, zapewnia odejmowanie
101
sygnału kompensacji, podawanego z komputera przez przetwornik C/A1, od analogowego
sygnału wejściowego (WE1). Wzmacniacz operacyjny WO3, również spełniający funkcję
sumatora, umożliwia dodanie losowego sygnału modelującego szum wewnętrzny (z wejścia
WE2) analogowej części woltomierza do wyjścia (WY2) wzmacniacza VCA610. Sygnał
sumaryczny, otrzymywany na wyjściu (WY1) wzmacniacza WO3, jest podawany na wejście
przetwornika analogowo-cyfrowego, a następnie przetwarzany przez komputer, który po
wykonaniu obliczeń podaje sygnał kompensacji oraz sygnał sterujący czułością układu na
przetworniki C/A1 i C/A2. Wzmacniacz WO2 pełni rolę bufora dla szumu wewnętrznego.
Wszystkie wzmacniacze operacyjne systemu zostały wyposażone w układy redukcji napięcia
niezrównoważenia (offset), zgodnie z wymaganiami katalogowymi.
Stanowisko pomiarowe jest wyposażone w uniwersalny pakiet procedur do
symulacyjnych badań projektowanych systemów pomiarowych napisany w języku MATLAB
w wersji 5.2 i przystosowany do pracy pod kontrolą systemu operacyjnego Windows95.
W pakiecie zaimplementowano różnorodne algorytmy przetwarzania sygnałów pomiarowych
i sterowania pomiarem, wywodzące się z koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji, w
tym algorytmy przetwarzania sygnałów niestacjonarnych omówione w niniejszej pracy.
Pakiet zawiera również oprogramowanie sterujące pracą analogowych części projektowanych
systemów przy wykorzystaniu kart przetworników A/C i C/A. Oprogramowanie
współpracujące z kartami przetworników napisano w języku C, wykorzystując standardowe
sterowniki kart przetworników firmy LATECH [127]. Oprogramowanie to pracuje w
środowisku MATLAB w postaci tzw. MEX-plików [128, 129].
Dla potrzeb prowadzenia doświadczeń z analogowymi częściami systemów pomiarowych
również same algorytmy przetwarzania danych pomiarowych zaimplementowano w postaci
procedur języka C (MEX-plików). Umożliwia to przyspieszenie obliczeń i pracę w czasie
rzeczywistym systemów analogowo-cyfrowych wykorzystujących komputer jako część
cyfrową systemu pomiarowego. Pakiet zawiera również oprogramowanie do generacji
złożonych analogowych sygnałów, szumów i zakłóceń za pomocą kart z przetwornikami C/A.
7.3.
Badania prototypu szerokozakresowego adaptacyjnego woltomierza
Podstawową
cechą
wyróżniającą
opracowany
prototyp
szerokozakresowego
adaptacyjnego woltomierza jest zastosowanie optymalnych algorytmów przetwarzania danych
pomiarowych, umożliwiających adaptacyjne dostrajanie parametrów woltomierza do
istniejących warunków pomiaru. Dostrajanie to zapewnia najlepszą (przy występujących
szumach i zakłóceniach) kompensację analizowanego sygnału oraz optymalne sterowanie
102
wzmocnieniem analogowego toru pomiarowego w taki sposób, aby w każdej chwili napięcie
na jego wyjściu osiągało maksymalne wartości, przy których nie występują jeszcze
ograniczenia sygnału lub jego nieliniowe zniekształcenia.
Wykorzystując opracowane stanowisko badawcze oraz model analogowej części
adaptacyjnego woltomierza, przeprowadzono szereg doświadczeń mających na celu zbadanie
efektywności stosowania tych algorytmów w rzeczywistych układach pomiarowych. Niektóre z
rezultatów otrzymanych w przypadku podstawowego algorytmu estymacji sygnałów
stacjonarnych (2.7)-(2.11) przedstawiono w pracy [102].
Działanie opracowanego stanowiska badawczego połączonego z modelem analogowej
części adaptacyjnego woltomierza zbadano na przykładzie pomiaru losowego napięcia stałego
oraz losowej amplitudy sygnału sinusoidalnego, przy czym w trakcie pomiaru występują
losowe skoki zarówno stałego napięcia, jak i amplitudy składowej sinusoidalnej. W
przykładzie tym zastosowano omawiany w punkcie 3.4 zmodyfikowany algorytm estymacji
parametrów sygnałów niestacjonarnych.
Przyjęto następujący model analizowanego sygnału:
y n = Vn + An sin( 2πfn + ϕ ) + ν n =
= [V s + ∆V 1(n − N V )] + [ As + ∆A1(n − N A )] sin( 2πfn + ϕ ) + ν n ,
(7.1)
gdzie Vn jest sygnałem napięcia, którego stała wartość Vs zmienia się w chwili n = NV o
wartość ∆V . Podobnie, początkowa wartość As amplitudy An składowej sinusoidalnej
zmienia się w chwili n = N A o wartość ∆A . W sygnale (7.1) f jest znaną unormowaną
częstotliwością składowej sinusoidalnej, zaś ϕ jej nieznaną fazą początkową. O szumie {v n }
zakładamy, że jest szumem białym gaussowskim o zerowej wartości średniej i wariancji σ ν2 .
Postępując podobnie jak w rozdziale 6, sygnał (7.1) zapiszemy w postaci modelu
regresyjnego (2.1), przedstawiając składową sinusoidalną jako sumę składowej synfazowej i
składowej kwadraturowej:
yn = Vn + ( An cos ϕ ) sin 2πfn + ( An sin ϕ ) cos 2πfn + ν n = θ nT X n + ν n ,
(7.2)
gdzie θ n = [Vn , An cos ϕ , An sin ϕ ]T i X n = [1, sin 2πfn, cos 2πfn]T . Wówczas wartości estymat
amplitudy Ân i fazy ϕ̂ n mogą być obliczane na podstawie estymat θˆn wektora parametrów
θ n zgodnie z wzorami (6.3).
Podobnie jak w rozdziale 6, przyjmujemy, że amplituda i faza składowej sinusoidalnej
są statystycznie niezależne oraz że amplituda ma rozkład a priori Rayleigha
103
p( A0 ) = A0 / σ A2 exp(− A02 / 2σ A2 ) , a rozkład prawdopodobieństwa fazy jest równomierny w
przedziale [−π , π ) (por. punkt 6.1). Zakładamy również, że mierzone napięcie stałe ma
gaussowski rozkład a priori
p (V0 ) o wartości średniej V0∗ i wariancji σ V2 , tzn.
p (V0 ) = N[V0 − V0∗ , σ V2 ] . Przy tych założeniach rozkład a priori wektora estymowanych
parametrów θ n jest gaussowski o wartościach średnich θ 0 = [V0∗ ,0,0]T i diagonalnej macierzy
kowariancji P0 = diag (σ V2 , σ A2 , σ A2 ) .
W trakcie wykonywania eksperymentów przyjęto następujące wartości parametrów:
częstotliwość próbkowania
f S = 2 kHz ; parametry składowej stałej: Vs = 1 ; NV = 60 ;
∆V = 1 ; parametry składowej sinusoidalnej: As = 1 ; N A = 30 ; ∆A = 1 ;
f 0 = 200 Hz ;
wariancja szumu zewnętrznego σν2 = 10−2 ; parametry analogowej części woltomierza:
D = 1,5 ;
α = 5;
σ ξ2 = 2 ⋅ 10−4
oraz
warunki
początkowe:
θ 0 = [0,0,0]T ;
P0 = diag (σ V2 , σ A2 , σ A2 ) ; σ V2 = 10 ; σ A2 = 10 .
W pierwszej części eksperymentów wykorzystano model analogowej części
woltomierza opisany w punkcie 7.2. W części cyfrowej woltomierza, której rolę pełnił
komputer, zastosowano zmodyfikowany algorytm estymacji z adaptacyjnie sterowaną
czułością woltomierza (3.18)-(3.22) oraz, w celu porównania, zmodyfikowany algorytm ze
stałą czułością (3.18)-(3.21), (3.23). Eksperymenty przeprowadzono dla trzech wartości stałej
zapominania: λ = 0,6 , λ = 0,8 i λ = 1 . W tym ostatnim przypadku oznacza to zastosowanie
podstawowych algorytmów estymacji sygnałów stacjonarnych (2.7)-(2.11) oraz (2.7)-(2-10),
(2,19). Wszystkie eksperymenty przeprowadzono dla tych samych realizacji sygnału yt i
szumu wewnętrznego czujnika ξ t , generowanych przez kartę przetworników C/A i
podawanych na wejścia układu wzmacniacza ze sterowanym wzmocnieniem (rys. 7.2).
Na rysunku 7.3 przedstawiono przykładowe trajektorie estymat napięcia V n mierzonego
za pomocą fizycznego modelu woltomierza, wykorzystującego zmodyfikowane algorytmy
estymacji z poszczególnymi stałymi zapominania ( λ = 0,6 - linia zielona - woltomierz z
adaptacyjnie sterowaną czułością, linia żółta - woltomierz ze stałą czułością i odpowiednio:
λ = 0,8 - linia niebieska i linia jasnoniebieska oraz λ = 1 - linia czerwona i linia różowa;
liniami czarnymi zaznaczono prawdziwe wartości napięcia V n ). Na rysunku 7.4
przedstawiono trajektorie estymat amplitudy An składowej sinusoidalnej uzyskane dla tej
samej realizacji sygnału (7.1).
104
a)
b)
Rys. 7.3. Trajektorie estymat napięcia Vn mierzonego za pomocą fizycznego modelu woltomierza ze stałą
czułością (rys. a) oraz woltomierza, którego czułość jest sterowana adaptacyjnie (rys. b); linie czarne prawdziwe wartości napięcia Vn
a)
b)
Rys. 7.4. Trajektorie estymat amplitudy An mierzonej za pomocą fizycznego modelu woltomierza ze stałą
czułością (rys. a) oraz woltomierza, którego czułość jest sterowana adaptacyjnie (rys. b); linie czarne prawdziwe wartości amplitudy An
Przedstawione na rysunkach 7.3 i 7.4 wykresy trajektorii estymat parametrów
potwierdzają jednoznacznie, że zastosowanie podstawowych algorytmów estymacji sygnałów
stacjonarnych (linie czerwona i różowa) nie pozwala na efektywne śledzenie skokowych
zmian parametrów sygnałów. Natomiast zastosowanie zmodyfikowanych algorytmów ze stałą
zapominania zapewnia znacznie szybszą reakcję estymat na wystąpienie skoku parametru.
Przedstawione wykresy trajektorii świadczą także o przewadze woltomierza, którego
czułość jest sterowana adaptacyjnie (linie zielone i niebieskie na rys. 7.3b i 7.4b) nad
woltomierzem ze stałą czułością (linie żółte i linie jasnoniebieskie na rys. 7.3a i 7.4a).
Trajektorie otrzymane dla woltomierza ze stałą czułością charakteryzują się znacznie
105
mniejszą dokładnością estymacji w porównaniu z woltomierzem, w którym czułość jest
sterowana adaptacyjnie.
Podobnie jak w poprzednich rozdziałach, dokładność pomiaru parametrów sygnału za
pomocą woltomierzy, wykorzystujących poszczególne algorytmy estymacji, analizowano
również na podstawie przebiegu trajektorii EMSE estymacji parametrów. Na rysunkach 7.4 i
7.5 wykreślono uśrednione po zbiorze K = 200 realizacji sygnału trajektorie EMSE estymacji
napięcia V n oraz amplitudy An mierzonych za pomocą fizycznego modelu woltomierza, które
obliczano zgodnie ze wzorami (6.28) i (6.9).
a)
b)
Rys. 7.5. Trajektorie EMSE estymacji napięcia Vn mierzonego za pomocą fizycznego modelu woltomierza ze
stałą czułością (rys. a) oraz woltomierza, którego czułość jest sterowana adaptacyjnie (rys. b)
a)
b)
Rys. 7.6. Trajektorie EMSE estymacji amplitudy An mierzonej za pomocą fizycznego modelu woltomierza ze
Wykresy trajektorii EMSE estymacji poszczególnych parametrów, przedstawione na
rysunkach 7.5 i 7.6, potwierdzają sformułowane wyżej wnioski. Z otrzymanych rezultatów
wynika, że w analizowanych warunkach skokowych zmian wartości parametrów sygnału,
106
największą dokładność pomiaru i zarazem dużą szybkość reakcji na skokowe zmiany
parametrów zapewnia zastosowanie w części cyfrowej woltomierza zmodyfikowanego
algorytmu z adaptacyjnie sterowaną czułością, w którym λ = 0,8 (linie niebieskie).
Celem drugiej części eksperymentów było porównanie wyników eksperymentów,
uzyskanych dla fizycznego modelu woltomierza, z wynikami symulacji komputerowych,
przeprowadzonych dla tych samych parametrów sygnałów, szumów i matematycznego
modelu analogowej części woltomierza. Wyniki te są zbieżne zarówno pod względem
jakościowym, jak i ilościowym. Na rysunku 7.7 przedstawiono uzyskane na drodze badań
symulacyjnych trajektorie EMSE estymacji amplitudy An . Przebieg trajektorii EMSE z
rysunku 7.7 jest niemal identyczny w porównaniu z trajektoriami uzyskanymi przy
zastosowaniu laboratoryjnego modelu analogowej części woltomierza i przedstawionymi na
rysunku 7.6.
a)
b)
Rys. 7.7. Trajektorie EMSE estymacji amplitudy An otrzymane dla matematycznego modelu woltomierza ze
uzyskane w wyniku symulacji komputerowych
Przedstawione rezultaty badań rzeczywistego modelu analogowej części woltomierza
potwierdziły tezę, że istnieją możliwości praktycznej realizacji systemów pomiaru
parametrów sygnałów, których efektywność pracy może być zwiększona przez zastosowanie
algorytmów opartych na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji. Systemy takie
mogą być m.in. stosowane w sytuacjach, w których sygnał użyteczny lub jego zakłócenia są
niestacjonarne.
Otrzymane rezultaty pokazują także przewagę systemów pomiarowych, w których
stosowane są czujniki z optymalnym adaptacyjnym dostrajaniem czułości oraz optymalną
kompensacją sygnału, nad systemami ze stałą czułością czujnika. Należy podkreślić, że
107
pozytywne efekty sterowania czułością są tym wyraźniejsze, im moc σ ξ2 szumu
wewnętrznego czujnika jest większa. W praktyce do szumu wewnętrznego ξ n mogą być
odniesione także szumy przetwornika A/C i całej analogowej części systemu pomiarowego.
Oznacza to, że adaptacyjne sterowanie czułością stwarza możliwość konstrukcji precyzyjnych
szerokozakresowych adaptacyjnych systemów pomiarowych, nawet przy zastosowaniu
niskobitowych szybkich przetworników A/C. Wynikiem tego może być przyspieszenie
pomiarów, bez straty ich dokładności. Należy jednak zwrócić uwagę, że jakość pracy
omawianych systemów zależy w dużym stopniu od jakości przetworników C/A, które sterują
parametrami systemu pomiarowego.
Opracowana koncepcja adaptacyjnego woltomierza jest punktem wyjścia do dalszych
badań nad metodami projektowania nowej klasy adaptacyjnych woltomierzy przeznaczonych
do precyzyjnego szerokozakresowego pomiaru napięć w warunkach różnorodnych zakłóceń i
szumów. Wskazuje ona również na możliwość poprawy efektywności istniejących wzorców
woltomierzy z wieloprzebiegową kompensacją. Innym ważnym wnioskiem, wynikającym z
otrzymanych rezultatów, jest jakościowa i ilościowa zgodność rezultatów doświadczalnych z
przewidywaniami teoretycznymi oraz wynikami symulacji komputerowych.
108
Podsumowanie
8. Podsumowanie
Głównym celem niniejszej rozprawy było zbadanie możliwości wykorzystania
koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji w wybranych zagadnieniach przetwarzania
sygnałów niestacjonarnych. W rozprawie przedstawiono i przeanalizowano cztery typy
nowych algorytmów przetwarzania sygnałów niestacjonarnych, które wykorzystują tę
koncepcję:
• rozszerzony algorytm estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych, w których
występują dryfty parametrów;
• zmodyfikowany algorytm estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych, w którym
wprowadzono mechanizm zapominania;
• algorytm jednoczesnej detekcji zmian parametrów typu dryftów i estymacji parametrów
sygnałów;
• algorytm filtracji i estymacji parametrów sygnałów niestacjonarnych typu Kalmana.
Na podstawie analizy teoretycznej, symulacji komputerowych i badań doświadczalnych
wykazano, że, dzięki wprowadzeniu optymalnego adaptacyjnego sterowania czułością układu
obserwacji, zastosowanie proponowanych w pracy algorytmów przetwarzania sygnałów
niestacjonarnych pozwala na szybszą i dokładniejszą estymację parametrów sygnałów w
porównaniu z algorytmami klasycznymi ze stałą czułością układu obserwacji.
Przedstawione w rozprawie wyniki badań autora prowadzą do następujących wniosków:
• Podstawowy optymalny algorytm estymacji parametrów sygnałów stacjonarnych oparty
na koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji nie zapewnia poprawnej estymacji
parametrów sygnałów niestacjonarnych, m.in. w przypadku występowania dryftów,
skoków lub zmian parametrów sygnałów opisanych procesem Markowa.
• Efektywnymi algorytmami, które zapewniają prawidłowe wyniki estymacji i które mogą
być wykorzystywane w takich sytuacjach, są algorytmy proponowane w pracy.
• Algorytmy estymacji parametrów i filtracji sygnałów niestacjonarnych, oparte na
koncepcji adaptacyjnej dopasowanej obserwacji, zachowują najważniejsze zalety
podstawowego algorytmu estymacji parametrów optymalnego w przypadku sygnałów
stacjonarnych, m.in. zapewniają:
- bardzo szybką (wykładniczą) początkową szybkość zbieżności estymat parametrów
sygnału;
- osiągnięcie efektywności estymacji (scharakteryzowanej przez dokładność i szybkość
zbieżności estymat), która jest największa do uzyskania w danych warunkach;
109
Podsumowanie
- rozszerzenie zakresu dynamicznego analizowanych sygnałów, w którym są one
przetwarzane bez zniekształceń nieliniowych, przy zachowaniu dokładności estymacji;
- prawie całkowite wyeliminowanie wpływu szumu wewnętrznego układu obserwacji na
dokładność przetwarzania.
• Zaproponowana procedura detekcji zmian parametrów sygnałów typu dryftów,
wykorzystująca optymalne adaptacyjne sterowanie czułością układu obserwacji, jest
znacznie bardziej efektywna w porównaniu z procedurami klasycznymi, w których
czułość układu obserwacji jest stała. Poprawa efektywności jest konsekwencją
przyspieszonej początkowej zbieżności estymat parametrów, umożliwiającej szybsze
podjęcie decyzji o obecności lub braku zmian parametrów.
Omówione w pracy algorytmy przetwarzania sygnałów niestacjonarnych mogą być
wykorzystywane
w
wielu
praktycznych
problemach
przetwarzania
sygnałów
niestacjonarnych, występujących w różnych dziedzinach nauki i techniki, m.in. umożliwiają
opracowanie nowych systemów pomiarowych charakteryzujących się szerszym zakresem
pomiarowym, większą precyzją i większą szybkością pomiarów niż systemy klasyczne.
Proponowane algorytmy pozwalają na szybkie optymalne dostrajanie parametrów systemu
pomiarowego
do
zmieniających
się
warunków
pomiaru
w
przypadku
sygnałów
niestacjonarnych. Zastosowania praktyczne omawianych w pracy algorytmów zostały
zilustrowane następującymi przykładami:
• pomiaru parametrów sygnałów sinusoidalnych w obecności losowych dryftów ich
amplitud;
• filtracji i estymacji parametrów stacjonarnych sygnałów sinusoidalnych w obecności
silnych niestacjonarnych zakłóceń;
• pomiaru parametrów sygnałów o złożonej strukturze składowych użytecznych i zakłóceń
w przypadku występowania dryftu punktu pracy czujnika oraz błędów zera jego
charakterystyki;
• pomiaru parametrów sygnałów w przypadku losowych skoków ich parametrów.
Wyniki badań symulacyjnych przedstawione w pracy otrzymano wykorzystując
opracowany przez autora pakiet programów, będący elementem uniwersalnego stanowiska do
fizycznych i symulacyjnych badań systemów pomiarowych. Wszystkie analizowane w pracy
algorytmy zaimplementowano w postaci procedur języka MATLAB w wersji 5.2, a w
przypadku badań przeprowadzonych z wykorzystaniem laboratoryjnego modelu analogowej
części adaptacyjnego woltomierza, w postaci procedur języka C, pracujących w środowisku
110
Podsumowanie
MATLAB w postaci tzw. MEX-plików. Przeprowadzone badania symulacyjne umożliwiły
analizę pracy proponowanych algorytmów przetwarzania sygnałów niestacjonarnych w
różnorodnych sytuacjach pomiarowych. Rezultaty badań symulacyjnych w pełni potwierdziły
wysoką efektywność proponowanych w pracy algorytmów.
Zaprojektowane i wykonane przez autora uniwersalne stanowisko badawcze do analizy
pracy systemów pomiarowych posłużyło do doświadczalnej weryfikacji proponowanych w
pracy algorytmów. Wykorzystując to stanowisko, wykonano i przebadano prosty
laboratoryjny model woltomierza spełniającego – oprócz funkcji pomiarowych – rolę
analizatora struktury sygnału użytecznego i zakłóceń. Uzyskane rezultaty doświadczalne są
zbieżne pod względem jakościowym i ilościowym z przewidywaniami teoretycznymi i
wcześniej przeprowadzanymi symulacjami komputerowymi. Świadczy to o celowości
prowadzenia dalszych intensywnych badań zarówno nad bardziej zaawansowanymi
prototypami woltomierzy, jak i nad wykorzystaniem proponowanych algorytmów w
systemach pomiarowych innych wielkości fizycznych.
111
Dodatki
Dodatki
Dodatek 1. Wyznaczenie rekursji (5.10) i (5.11)
Korzystając z reguły Bayesa, FGP (5.5) możemy zapisać w postaci:
p( ~
yn , ~
y1n −1 ,θn ) p( ~
yn | ~
y1n −1 ,θn ) p( ~
y1n −1 ,θn )
p( ~
yn | ~
y1n −1 ,θn )
n
n −1
~
~
p(θn | y1 ) =
=
= p(θn | y1 )
p( ~
yn , ~
y1n −1 )
p( ~
yn | ~
y1n −1 )
p( ~
y1n −1 )
p( ~
yn | ~
y1n −1 )
(D.1-1)
Przy przyjętych założeniach FGP p ( ~yn | ~y1n −1 ,θ n ) i p ( ~yn | ~y1n −1 ) , występujące w wyrażeniu
(D.1-1), mają postać:
p( ~
yn | ~
y1n −1 ,θ n ) =
=
∞
∞
−∞
−∞
∞
∞
−∞
−∞
~ |~
y1n −1 ,θ n ,ν n , ξ n ) p(ν n , ξ n | ~
y1n −1 ,θ n ) dν n dξ n =
n
∫ ... ∫ p( y
~ − C (θ T X − B ) − C ν − ξ ] p (ν ) p (ξ ) dν dξ =
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
∫ ... ∫ δ [ y
(D.1-2)
= N[ ~
yn − Cn (θ nT X n − Bn ),σ ξ2 + Cn2σ ν2 ] ,
p( ~
yn | ~
y1n −1 ) =
∞
∞
n −1
~ |~
,θ n ) p (θ n | ~
y1n −1 ) dθ n =
n y1
∫ ... ∫ p( y
−∞, −∞
∞
=
∞
n −1
~ |~
,θ n ,ν n , ξ n ) p (θ n | ~
y1n −1 ,ν n ,ξ n ) p (ν n ,ξ n | ~
y1n −1 ,θ n )dθ ndν n dξ n =
n y1
∫ ... ∫ p( y
− ∞, −∞
∞
=
(D.1-3)
∞
∫ ... ∫ δ [ ~y
n
− Cn (θ nT X n − Bn ) − Cnν n − ξ n ] p (θ n | ~
y1n −1 ) p (ν n ) p (ξ n )dθ n dν ndξ n =
− ∞, −∞
= N[ ~
yn − Cn (θˆnT, n −1 X n − Bn ),σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn , n −1 X n )] .
Uwzględniając wyrażenia (D.1-2) i (D.1-3) we wzorze (D.1-1) i wykorzystując FGP (5.6),
otrzymujemy:
N[θ n − θˆn , Pn ] =
= N[θ n − θˆn , n −1 , Pn, n −1 ]
N[ ~
yn − Cn (θ nT X n − Bn ),σ ξ2 + Cn2σ ν2 ]
.
N[ ~
yn − Cn (θˆnT, n −1 X n − Bn ),σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn , n −1 X n )]
(D.1-4)
Dalej do wyznaczenia parametrów rozkładu (5.5) zastosujemy metodę wydzielania
pełnych kwadratów, tj. będziemy przedstawiać wykładniki rozkładów w postaci pełnego
kwadratu plus człon liniowy. Równość (D.1-4) zastępujemy równoważną równością dla
wykładników występujących w niej rozkładów:
(θ n − θˆn )T Pn−1 (θ n − θˆn ) + H n = (θ n − θˆn, n −1 )T Pn−, n1 −1 (θ n − θˆn, n −1 ) +
[~
yn − Cn (θˆnT, n −1 X n − Bn )]2
[~
y − Cn (θ nT X n − Bn )]2
+ n
−
.
σ ξ2 + Cn2σ ν2
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn , n −1 X n )
112
(D.1-5)
Dodatki
Obliczając gradient względem θn obu stron równania (D.1-5), otrzymujemy:
Cn [ ~
y n − Cn (θ nT X n − Bn )]
−1
$
$
P (θ n − θ n ) = Pn ,n −1 (θ n − θ n ,n −1 ) −
Xn .
σ ξ2 + Cn2σ ν2
−1
n
(D.1-6)
Po ponownym zróżniczkowaniu względem θn otrzymujemy:
−1
n
P
−1
n ,n −1
=P
Cn2 X n X nT
+ 2
.
σ ξ + Cn2 σ ν2
(D.1-7)
Stosując do wzoru (D.1-7) lemat o rekurencyjnym odwracaniu macierzy (por. np. [14]), po
przekształceniach otrzymujemy rekursję dla macierzy kowariancji (5.11):
Pn = Pn ,n −1 −
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n )
.
(D.1-8)
Równość (D.1-6) zachodzi dla każdego θn , zatem kładąc θn = θ$n ,n −1 , otrzymujemy rekursję
dla optymalnych estymat parametrów (5.10):
Cn [ ~
yn − Cn (θˆnT, n −1 X n − Bn )]
ˆ
ˆ
Pn X n =
θ n = θ n, n −1 +
σ ξ2 + Cn2σ ν2
C P X [~
y − C (θˆT X − Bn )]
= θˆn, n −1 + n n , n2−1 n 2 n 2 n Tn, n −1 n
.
σ ξ + Cn (σ ν + X n Pn , n −1 X n )
(D.1-9)
Zgodnie z oznaczeniami (5.8) i (5.9), FGP (5.6) ma postać:
∞
∞
−∞
-∞
p (θ n | ~
y1n −1 ) = ∫ ... ∫ p(θ n | ~
y1n −1 , β ) p ( β | ~
y1n −1 ) dβ =
∞
∞
−∞
-∞
(D.2-1)
= ∫ ... ∫ N[θ n − θ n , n −1 , Ln , n −1 ]N[ β − β n −1 , S n −1 ] dβ .
y1n − 1 , β ) możemy zapisać w postaci:
Uwzględniając model (5.2) zmian wektora θ n , FGP p(θn | ~
∞
∞
−∞
-∞
p(θ n | ~
y1n −1 , β ) = ∫ ... ∫ p (θ n | θ n −1 , ~
y1n −1 , β ) p (θ n −1 | ~
y1n −1 , β ) dθ n −1 =
∞
∞
−∞
-∞
= ∫ ... ∫ N[θ n − ρθ n −1 − U n −1 β , Σ η ] N[θ n −1 − θ n −1 , Ln −1 ] dθ n −1 =
(D.2-2)
= N[θ n − ρθ n −1 − U n −1 β , Σ η + ρLn −1 ρ T ] .
Ze wzoru (D.2-2) wynikają następujące zależności dla wektora θn ,n −1 i macierzy Ln , n −1 :
θ n , n − 1 = ρθ n − 1 + U n − 1 β ,
113
(D.2-3)
Dodatki
Ln , n −1 = ρLn −1ρ Τ + Ση .
(D.2-4)
Wyznaczymy teraz zależności opisujące parametry FGP (5.7): θn i Ln . W tym celu
FGP (5.7) przedstawimy w postaci:
p (θ n , ~y1n , β ) p ( ~
yn , ~
y1n −1 , θ n , β )
=
=
p (θ n | ~
y1n , β ) =
p( ~
yn,β)
p ( ~y , ~y n −1 , β )
1
n
1
p( ~
yn | ~
y1n −1 , θ n , β ) p ( ~y1n −1 , θ n , β )
p( ~
y n | ~y1n −1 , θ n , β )
n −1
~
=
= p (θ n | y1 , β )
.
p ( ~y n | ~
y1n −1 , β )
p ( ~y1n −1 , β )
p( ~
yn | ~
y1n −1 , β )
(D.2-5)
FGP p ( ~yn | ~
y1n −1 ,θ n , β ) i p( ~yn | ~y1n −1 , β ) występujące we wzorze (D.2-5) można przedstawić
w postaci:
∞
∞
−∞
−∞
p( ~
yn | ~
y1n −1 , θ n , β ) = ∫ ... ∫ p ( ~
yn | ~
y1n −1 , θ n , β ,ν n , ξ n ) p (ν n , ξ n | ~
y1n −1 , θ n , β ) dν n dξ n =
∞
∞
−∞
−∞
= ∫ ... ∫ δ [ ~
y n − C n (θ nT X n − Bn ) − C nν n − ξ n ] p (ν n ) p (ξ n ) dν n dξ n =
(D.2-6)
= N[ ~
y n − C n (θ nT X n − Bn ), σ ξ2 + C n2σ ν2 ] ,
p( ~
yn | ~
y1n −1 , β ) =
∞
=
=
∞
∫ ... ∫ p( ~y
−∞,
−∞
∞
∞
−∞,
−∞
n
∞
∞
−∞,
−∞
~ ~ n −1
~ n −1
∫ ... ∫ p( y n | y1 , θ n , β ) p(θ n | y1 , β ) dθ n =
| ~y1n −1 , θ n , β ,ν n , ξ n ) p(θ n | ~
y1n −1 , β ,ν n , ξ n ) p (ν n , ξ n | ~y1n −1 , θ n , β )dθ n dν n dξ n =
n −1
~ − C (θ T X − B ) − C ν − ξ ] p (θ | ~
, β ) p(ν n ) p(ξ n )dθ n dν n dξ n =
n
n
n
n
n
n n
n
n y1
∫ ... ∫ δ [ y
= N[ ~y n − C n (θ nT, n −1 X n − B n ), σ ξ2 + C n2 (σ ν2 + X nT Ln , n −1 X n )] .
(D.2-7)
Uwzględniając te wyrażenia we wzorze (D.2-5), otrzymujemy zależność:
N[θ n − θ n , Ln ] =
= N[θ n − θ n ,n −1 , Ln ,n −1 ]
N[ ~
yn − Cn (θ nT X n − Bn ), σ ξ2 + Cn2σ ν2 ]
.
N[ ~
yn − Cn (θ nT, n−1 X n − Bn ), σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Ln ,n −1 X n )]
(D.2-8)
Podobnie jak w przypadku wyrażenia (D.1-4), w celu znalezienia związków między
parametrami odpowiednich rozkładów stosujemy metodę wydzielania pełnych kwadratów.
Równość (D.2-8) zastępujemy równoważną równością dla wykładników występujących w
niej rozkładów:
114
Dodatki
(θ n − θ n )T L−n1 (θ n − θ n ) + Gn = (θ n − θ n ,n −1 )T L−n1,n −1 (θ n − θ n,n −1 ) +
yn − Cn (θ nT,n −1 X n − Bn )]2
[~
y − Cn (θ nT X n − Bn )]2 [ ~
+ n
−
.
σ ξ2 + Cn2σ ν2
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Ln ,n −1 X n )
(D.2-9)
Obliczając gradient względem θn obu stron wzoru (D.2-9), otrzymujemy:
L−n1 (θn − θn ) = L−n1,n −1 (θ n − θ n ,n −1 ) −
Cn [ ~
y n − Cn (θnT X n − Bn )]
Xn .
σ ξ2 + Cn2σ ν2
(D.2-10)
Po ponownym zróżniczkowaniu względem θn otrzymujemy:
L−n1 = L−n1,n −1 +
Cn2 X n X nT
.
σ ξ2 + Cn2 σ ν2
(D.2-11)
Stosując lemat o rekurencyjnym odwracaniu macierzy, otrzymujemy:
Ln = Ln ,n −1 −
Cn2 Ln ,n −1 X n X nT Ln ,n −1
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Ln ,n −1 X n )
.
(D.2-12)
Równość (D.2-10) zachodzi dla każdego θn , zatem kładąc θn = θ n ,n −1 , mamy:
θ n = θn ,n −1 +
Cn [ ~
y n − Cn (θ n T,n −1 X n − Bn )]
σ ξ2 + Cn2σ ν2
Ln X n .
(D.2-13)
Wzór (D.2-11) możemy napisać w następującej postaci:
Ln L−n1,n −1 = I −
Cn2 Ln X n X nT
.
σξ2 + Cn2σν2
(D.2-14)
Uwzględniając wyrażenia (D.2-3) i (D.2-14) we wzorze (D.2-13), otrzymujemy zależność:
θ n = ρθ n −1 + U n −1β +
Cn [ ~
yn − Cn (( ρθ n −1 + U n −1β )T X n − Bn )]
Ln X n =
σ ξ2 + Cn2σ ν2
= Ln L−n1, n −1 ρθ n −1 + Ln L−n1, n −1U n −1β +
Cn2 Ln X n ( ρθ n −1 + U n −1β )T X n
+
σ ξ2 + Cn2σ ν2
Cn [ ~
yn − Cn (( ρθ n −1 + U n −1β )T X n − Bn )]
+
Ln X n =
σ ξ2 + Cn2σ ν2
C L X (~
y +C B )
= Ln L−n1, n −1 ρθ n −1 + Ln L−n1, n −1U n −1β + n n 2n n 2 2 n n = Anθ n −1 + Wn −1β + Z n −1.
σ ξ + Cn σ ν
Występujące we wzorze (D.2-15) zmienne są określone następująco:
C L X (~
y +C B )
An = Ln L−n1, n −1 ρ , Wn −1 = Ln L−n1, n −1U n −1 , Z n −1 = n n 2 n n 2 2 n n .
σ ξ + Cn σ ν
115
(D.2-15)
(D.2-16)
Dodatki
Zastępując we wzorze (D.2-15) θ n− m dla m = 1,2, . . . przez odpowiadające im rekursje,
otrzymujemy:
θ n = An ( An −1θ n − 2 + Wn − 2 β + Z n − 2 ) + Wn −1β + Z n −1 =
= An An −1 ( An − 2θ n − 3 + Wn − 3 β + Z n − 3 ) + ( AnWn − 2 + Wn −1 ) β + An Z n − 2 + Z n −1 =
n
n −1
 n −1 n

= ∏ Aiθ 0 +  ∑ ∏ AiWn − m −1  β + ∑
m=0
i =1
 m = 0 i = n − m +1

= ϕ nθ 0 +Ψ n β + χ n .
n
∏AZ
i
n − m −1
(D.2-17)
=
i = n − m +1
Wielkości ϕn , Ψn , χ n są odpowiednimi współczynnikami w wyrażeniu (D.2-17). Zakładamy,
że dla m = 0 zachodzi równość
n
∏ A = 1 oraz że Ψ
i
0
= 0 . Macierz Ψn możemy przedstawić
i = n − m +1
w postaci:
n −1
Ψn =∑
n −1
n
∏ AiW n−m−1 = ∑
m = 0 i = n − m +1
n−2
= An ∑
n −1
n
∏ AiW n −m−1 + W n −1 = An ∑
m =1 i = n − m +1
n −1
∏ AW
i
m = 0 i = ( n −1) − m +1
( n −1) − m −1
n −1
∏ AW
i
n − m −1
+ W n −1 =
m =1 i = n − m +1
(D.2-18)
+ W n −1 = AnΨ n −1 + W n −1 .
Łącząc wzory (D.2-16) i (D.2-18), otrzymujemy:
Ψn = Ln L−n1,n −1 ρΨn −1 + Ln L−n1,n −1U n −1 = Ln L−n1,n −1 ( ρΨn −1 + U n −1 ) = Ln L−n1,n −1Vn −1 ,
(D.2-19)
gdzie:
Vn = ρΨ n + U n .
(D.2-20)
Uwzględniając wyrażenia (D.2-14) i (D.2-19) we wzorze (D.2-20), otrzymujemy:

Cn2 Ln X n X nT 

V + U n .
Vn = ρ  I − 2
σ ξ + Cn2σ ν2  n −1

(D.2-21)
Uwzględniając wyrażenia (D.2-3) i (D.2-17) we wzorze (D.2-1), otrzymujemy:
∞
∞
−∞
-∞
p (θ n | ~
y1n −1 ) = ∫ ... ∫ N[θ n − ρθ n −1 − U n −1 β , Ln , n −1 ]N[ β − βˆ n −1 , S n −1 ] dβ =
∞
∞
−∞
-∞
(D.2-22)
= ∫ ... ∫ N[θ n − ρϕ n −1θ 0 − ρΨ n −1 β − ρχ n −1 − U n −1 β , Ln ,n −1 ]N[ β − βˆ n −1 , S n −1 ] dβ =
= N[θ n − ρϕ n −1θ 0 − V n −1 βˆ n −1 − ρχ n −1 , Ln , n −1 + V n −1 S n −1V nT−1 ] .
116
Dodatki
Rozpatrzymy ponownie FGP (5.5):
p (θ n | ~
y1n ) =
∞
∫ ... ∫ p(θ
−∞
∞
=
=
n
|~
y1n , β ) p ( β | ~
y1n ) dβ =
-∞
∞
∫ ... ∫ N[θ
−∞
-∞
∞
∞
∫ ... ∫ N[θ
−∞
∞
n
− θ n , Ln ]N[ β − βˆn , S n ] dβ =
n
− ϕ nθ 0 −Ψ n β − χ n , Ln ]N[ β − βˆ n , S n ] dβ =
.
(D.2-23)
-∞
= N[θ n − ϕ nθ 0 −Ψ n βˆn − χ n , Ln +Ψ n S nΨ nT ] .
Ze wzoru (D.2-23) wynikają następujące zależności:
θ$n = ϕ nθ0 + Ψn β$n + χ n ,
(D.2-24)
Pn = Ln + Ψn SnΨnT .
(D.2-25)
Z wyrażenia (D.2-22) wynika, że:
Pn, n −1 = Ln , n −1 + Vn −1 S n −1VnT−1 = Ln , n −1 + ( ρΨ n −1 + U n −1 ) S n −1 ( ρΨ n −1 + U n −1 )T =
= Ln , n −1 + ρΨ n −1 S n −1Ψ nT−1 ρ T + U n −1 S n −1Ψ nT−1 ρ T + ρΨ n −1 S n −1U nT−1 + U n −1 S n −1U nT−1 =
= Σ η + ρLn −1 ρ T + ρ ( Pn −1 − Ln −1 ) ρ T + U n −1 S n −1 (Vn −1 − U n −1 )T +
(D.2-26)
+ (Vn −1 − U n −1 ) S n −1U nT−1 + U n −1 S n −1U nT−1 .
Po uporządkowaniu otrzymujemy ostatecznie wyrażenie (5.13) dla macierzy kowariancji
Pn ,n −1 :
Pn ,n −1 = Σ η + ρPn −1 ρ T + U n −1 S n −1VnT−1 + Vn −1 S n −1U nT−1 − U n −1 S n −1U nT−1 .
(D.2-27)
Z wyrażenia (D.2-22) wynika również wzór:
θˆn , n −1 = ρϕ n −1θ 0 + Vn −1βˆ n −1 + ρχ n −1 = ρϕ n −1θ 0 + ρΨ n −1βˆ n −1 + ρχ n −1 + U n −1 βˆn −1 .
(D.2-28)
Uwzględniając zależność (D.2-24) we wzorze (D.2-28), otrzymujemy rekursję (5.12):
θˆn, n −1 = ρθˆn −1 + U n −1βˆ n −1 .
(D.2-29)
FGP (5.9), w której występują parametry β$n i S n , przedstawimy w postaci:
~ ~ n −1 , β )
p( ~
yn , ~
y1n −1 , β ) p( ~
yn | ~
y1n −1 , β ) p( ~
y1n −1 , β )
n
n −1 p ( y n | y1
~
~
p( β | y1 ) =
=
= p( β | y1 )
.
p( ~
yn , ~
y1n −1 )
p( ~
yn | ~
y1n −1 ) p( ~
y1n −1 )
p( ~
yn | ~
y1n −1 )
(D.3-1)
Wykorzystując zależności (D.1-3) i (D.2-7), równość (D.3-1) możemy przedstawić w postaci:
117
Dodatki
N[ β − βˆ n , S n ] =
N[ ~
yn − Cn (θ nT,n −1 X n − Bn ), σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Ln,n −1 X n )]
ˆ
= N[ β − β n −1 , S n −1 ] ~
.
N[ yn − Cn (θˆnT, n−1 X n − Bn ), σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n )]
(D.3-2)
Równość (D.3-2) zastępujemy równoważną równością dla wykładników występujących w
niej rozkładów:
( β − βˆn )T S n−1 ( β − βˆ n ) + K n = ( β − βˆ n −1 )T S n−−11 ( β − βˆn −1 ) +
[~
y − C (θ T X − Bn )]2
[~
y − C (θˆT X − Bn )]2 .
+ 2 n 2 n 2n, n −1 Tn
− 2 n 2 n 2n , n −1 Tn
.
σ ξ + Cn (σ ν + X n Ln, n −1 X n ) σ ξ + Cn (σ ν + X n Pn, n −1 X n )
(D.3-3)
Ze wzorów (D.2-3) i (D.2-17) wynika następująca zależność:
θ n, n −1 = ρθ n −1 + U n −1β = ρϕ n −1θ 0 + ( ρΨ n −1 + U n −1 ) β + ρχ n −1 =
= ρϕ n −1θ 0 + Vn −1β + ρχ n −1 .
(D.3-4)
Uwzględniając zależność (D.3-4), po obliczeniu gradientu względem β obu stron wzoru
(D.3-3), otrzymujemy:
Cn [ ~
y n − Cn (θ n T,n −1 X n − Bn )] T
−1
$
$
S ( β − βn ) = S n −1 ( β − βn −1 ) − 2
V X .
σ ξ + Cn2 (σ ν2 + X nT Ln ,n −1 X n ) n −1 n
−1
n
(D.3-5)
Po ponownym zróżniczkowaniu względem β otrzymujemy:
S
−1
n
=S
−1
n −1
Cn2VnT−1 X n X nT Vn −1
+ 2
.
σ ξ + Cn2 (σ ν2 + X nT Ln ,n −1 X n )
(D.3-6)
Mnożąc obie strony wyrażenia (D.3-6) prawostronnie przez S n−1 oraz lewostronnie przez S n ,
dostajemy:
S n −1
Cn2 S nVnT−1 X n X nT Vn −1 S n −1
= Sn + 2
,
σ ξ + Cn2 (σ ν2 + X nT Ln ,n −1 X n )
(D.3-7)
a następnie mnożąc (D.3-7) prawostronnie przez VnT−1 X n , otrzymujemy:
S n −1V
T
n −1
X n = S nV
T
n −1


Cn2 X nT Vn −1 S n −1VnT−1 X n
X n 1 + 2
.
2
2
T
 σ ξ + Cn (σ ν + X n Ln ,n −1 X n ) 
(D.3-8)
Z wzoru (D.3-8) wynika, że
S nVnT−1 X n
S n −1VnT−1 X n
=
.
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Ln ,n −1 X n ) σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT ( Ln ,n −1 + Vn −1 S n −1VnT−1 ) X n )
(D.3-9)
Biorąc pod uwagę zależność Pn ,n −1 = Ln ,n −1 + Vn −1 S n −1VnT−1 (por. wzór D.2-22) i podstawiając
wzór (D.3-9) do wyrażenia (D.3-7), otrzymujemy rekursję (5.15):
118
Dodatki
S n = S n −1
Cn2 S n −1VnT−1 X n X nT Vn −1 S n −1
− 2
.
σ ξ + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n )
(D.3-10)
Równość (D.3-5) zachodzi dla każdego β , zatem kładąc β = β$n −1 oraz uwzględniając
zależności (D.2-28), (D.3-4) (we wzorze (D.3-4) także kładziemy β = β$n −1 ) i (D.3-9),
otrzymujemy rekursję (5.14) dla optymalnych estymat wektora β$n :
β$n = β$n −1 +
Cn S n −1VnT−1 X n
y − Cn (θ$nT,n −1 X n − Bn )] .
[~
σ ξ2 + Cn2 (σ ν2 + X nT Pn.n −1 X n ) n
(D.3-11)
Dodatek 4. Wyznaczenie optymalnych reguł sterowania parametrami {Bn , Cn } układu
obserwacji
Dysponując optymalnymi estymatami θˆn (5.10), znajdujemy optymalne w każdej
chwili n wartości parametrów Bn i Cn układu obserwacji, zapewniające osiągnięcie
globalnego minimum błędu średniokwadratowego filtracji (5.3) i jednocześnie spełniające
warunek statystycznego dopasowania (2.5). Błąd średniokwadratowy (5.3) dla optymalnych
estymat sygnału yˆ n = θˆnT X n ma postać:
Rn = E[( yn − yˆ n ( ~
y1n )) 2 | ~
y1n ] = E[( yn − θˆnT ( ~
y1n ) X n ) 2 | ~
y1n ] =
= E[(ν n + (θ n − θˆn )T X n ) 2 | ~
y1n ] = σ ν2 + X nT Pn X n .
(D.4-1)
Ze wzoru (D.4-1) oraz rekursji (D.1-8), (D.2-27), (D.3-10), (D.2-21), (D.2-12) i (D.2-4)
wynika, że wartość błędu średniokwadratowego filtracji, dla optymalnych estymat θˆn , nie
zależy od wartości Bn , lecz tylko od wartości czułości Cn i zmniejsza się, gdy czułość C n
wzrasta. Zatem czułość C n powinna być jak największa. Jednak czułość C n nie może być
zwiększana nieograniczenie, ponieważ nie może być naruszony warunek statystycznego
dopasowania:

D ~ n −1 
Pr  yn − Bn ≤
y1  =
C
n


Bn +
D
Cn
∫
p ( yn ~
y1n −1 ) dyn ≥ 1 − µ .
(D.4-2)
D
Bn −
Cn
FGP p( yn | ~
y1n −1 ) występująca we wzorze (D.4-2) ma postać:
p ( yn | ~
y1n −1 ) = N[ yn − yˆ n , n −1 , S n, n −1 ] ,
(D.4-3)
yˆ n ,n −1 = θˆnT,n −1 X n
(D.4-4)
gdzie:
119
Dodatki
jest optymalną jednokrokową prognozą sygnału { yn } , a
S n, n −1 = E[( yn − yˆ n , n −1 ) 2 | ~
y1n −1 ] = E[(ν n + (θ n − θˆn, n −1 )T X n ) 2 | ~
y1n −1 ] =
(D.4-5)
= σ ν2 + X nT Pn, n −1 X n
jest wariancją błędu prognozy sygnału { yn } .
Uwzględniając we wzorze (D.4-2) FGP (D.4-3), otrzymujemy:
Bn +
D
Cn
∫
[2π (σ ν2 + X nT Pn, n −1 X n )]−1 2
Bn −
D
Cn

( yn − θˆnT, n −1 X n ) 2 
exp−
dyn =
2
T
 2(σ ν + X n Pn , n −1 X n ) 
(D.4-6)
 Bn − θˆnT, n −1 X n − D Cn 
 B − θˆT X + D Cn 
= Φ  n 2 n , n −T1 n
−
Φ
≥ 1 − µ,
 2
12 
12 
T
 (σ ν + X n Pn, n −1 X n ) 
 (σ ν + X n Pn, n −1 X n ) 
gdzie Φ(⋅) jest całką prawdopodobieństwa. Z nierówności (D.4-6) wynika, że czułość Cn
osiąga wartość maksymalną wtedy, gdy spełniona jest równość Bn − θˆnT, n −1 X n = 0 i czułość
Cn przyjmuje największą wartość nie naruszającą nierówności. Wówczas dla każdego n łatwo
wyznaczyć graniczną wartość czułości Cn , która określa optymalne reguły sterowania
parametrami układu obserwacji:
Bn = θˆnT,n −1 X n ,
Cn =
D
α σ ν2 + X nT Pn ,n −1 X n
,
(D.4-7)
gdzie stała α jest rozwiązaniem równania (2.12).
W podobny sposób można wyprowadzić optymalne reguły sterowania parametrami
układu obserwacji przy założeniu, że jego czułość jest stała dla każdego n i równa C0 .
Również i w tym przypadku musi być spełniony warunek statystycznego dopasowania:
{
}
Pr | yn − Bn |≤ D / C0 | ~
y1n −1 =
 Bn − θˆnT, n −1 X n + D / C0 
 Bn − θˆnT, n −1 X n − D / C0 
= Φ 2
− Φ 2
≥ 1 − µ.
T
12 
T
12 
 (σ ν + X n Pn, n −1 X n ) 
 (σ ν + X n Pn, n −1 X n ) 
(D.4-8)
Postępując analogicznie jak poprzednio, ale mając na uwadze, że C0 musi spełniać
nierówność (D.4-8) dla wszystkich n, otrzymujemy następujące optymalne wartości
parametrów układu obserwacji ze stałą czułością:
Bn = θˆnT, n −1 X n ,
C0 =
D
α σ ν + S max
2
gdzie wielkość Smax jest określona jak w zależności (5.23).
120
,
(D.4-9)
Bibliografia
Bibliografia
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
Basseville M., Nikiforov I.V.: Detection of abrupt changes. Theory and application. Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, NJ 1996.
Daponte P., Fazio G., Molinaro A.: Detection of echoes using time-frequency analysis techniques. IEEE
Trans. on Instrumentation and Measurement, vol. 45, No. 1, June 1996, pp. 30-39.
Lavielle M.: Optimal segmentation of random processes. IEEE Transaction on Signal Processing, vol. 46,
No. 5, May 1998, pp. 1365-1373.
Gollamudi S., Kapoor S., Nagaraj S., Huang Y.F.: Set-membership adaptive equalization and an updatorshared implementation for multiple channel communications systems. IEEE Transaction on Signal
Processing, vol. 46, No. 9, September 1998, pp. 2372-2385.
Baccigalupi A., Bernieri A., Pietrosanto A.: A digital-signal-processor-based measurement system for online fault detection. IEEE Trans. on Instrumentation and Measurement, vol. 46, No. 3, June 1997, pp. 731736.
Niedźwiecki M., Wasilewski A.: Application of extended Kalman filter to dynamic weighting of vehicles.
Proc. XVIII-th Nat. Conf. Circuit Theory and Electronic Circuit, Łódź-Polana Zgorzelisko 1995, pp. 521526.
Beghi A., Bertocco M.: A combined GLR/Kalman filter technique for fault detection in power systems. Proc.
IMEKO XIV World Congress, Tampere 1997, vol. 7, pp. 151-156.
Frenkel L., Feder M.: Recursive expectation-maximization (EM) algorithms for time-varying parameters
with applications to multiple target tracking. IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 47, No. 2, February
1999, pp. 306-320.
Bar-Shalom Y.: Estimation and tracking. Principles, techniques, and software. Artech House, Boston,
London 1993.
Guu J.A., Wei Ch.H.: Maneuvering target tracking using IMM method at high measurement frequency.
IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, vol. 27, No. 3, June 1991, pp. 514-519.
Marcinkowski K.: Wielomodelowa filtracja kalmanowska w śledzeniu obiektów powietrznych. Prace
Przemysłowego Instytutu Telekomunikacji, z. 123, Warszawa 1999, s. 20-32.
Watanabe K., Komori A., Kiyama T.: Diagnosis of instrument fault. Proc. IMTC-94, vol. 1, Hamamatsu
1994, pp. 386-389.
Hlawatsch F., Boudreaux-Bartles G.F.: Linear and quadratic time frequency signal representations. IEEE
Signal Processing Magazine, vol. 9, No. 2, April 1992, pp. 21-67.
Haykin S.: Adaptive filter theory. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ 1996.
Benveniste A., Metivier M., Priouret P.: Adaptive algorithms and stochastic approximations. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York 1990.
Niedźwiecki M., Suchomski P.: On parallel estimation approach to adaptive filtering. Bulettin of the Polish
Academy of Sciences, Technical Sciences, vol. 44, No. 4, 1996, pp. 387-397.
Haykin S.: Neural networks: a comprehensive foundation. Macmillan College Publ. Comp., New York
1994.
Osowski S.: Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym. WNT, Warszawa 1996.
Tang K.S., Man K.F., Kwong S., He Q.: Genetic algorithms and their applications. IEEE Signal
Processing Magazine, No. 11, November 1996, pp. 22-37.
Pedrycz W.: Fuzzy control and fuzzy systems. Second, extended, edition. Research Studio Press / John Willey
& Sons, New York 1993.
Campello R., Nazzetta R., Amaral W.: A new methodology for fuzzy model identification. Proc. VII-th
International Fuzzy Systems Association World Congress, Prague 1997, vol. 2, pp. 366-370.
Gabor D.: Theory of communications. Journal of IEEE, vol. 93, 1946, pp. 429-457.
Rioul O., Vetterli M.: Wavelets and signal processing. IEEE Signal Processing Magazine, No. 10, October
1991, pp. 14-38.
Wickerhauser M.V., Coifman R.R.: Entropy-based method for best basis selection. IEEE Trans. on
Information Theory, vol. 38, 1992, pp. 713-718.
Honig M.L., Messerschmitt D.G.: Adaptive filters. Kluwer Academic Publishers, Boston 1984.
Widrow. B., Stearns S.D.: Adaptive signal processing. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 1985.
Alexander S.T.: Adaptive signal processing; theory and application. Springer-Verlag, New York, 1986.
Clarkson P.M.: Optimal and adaptive signal processing. CRC Press, Boca Raton 1993.
Anderson B.D.O., Moore J.B.: Filtracja optymalna. WNT, Warszawa 1984.
Balakrishnan A.V.: Kalman filtering theory. Optimization Software, Inc., Publications Division, New York
1984.
121
Bibliografia
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
[36]
[37]
[38]
[39]
[40]
[41]
[42]
[43]
[44]
[45]
[46]
[47]
[48]
[49]
[50]
[51]
[52]
[53]
[54]
[55]
[56]
[57]
[58]
[59]
Diniz P.S.R.: Adaptive filtering. Algorithms and practical implementation. Kluwer Academic Publishers
1997.
Rutkowski L.: Filtry adaptacyjne i adaptacyjne przetwarzanie sygnałów. WNT, Warszawa 1994.
Wiener N.: Extrapolation, interpolation & smoothing of stationary time series. The MIT Press,
Cambridge, Mass., 1949.
Kolmogorow A.N.: Interpolation and extrapolation. Bulletin de l’academie des sciences d’URSS, Ser.
Math. 5, 1941, pp. 3-14.
Kalman R.E.: A new approach to linear filtering and prediction problems. J. Basic Eng., Trans. ASME,
Series D, vol. 82, No. 1, 1960, pp. 35-45.
Kalman R.E., Bucy R.S.: New results in linear filtering and prediction theory. J. Basic Eng., Trans.
ASME, Series D, vol. 83, No. 3, 1961, pp. 95-108.
Widrow B., Hoff M.E.: Adaptive switching circuits. IRE WESCON Conf. Rec., 1960, part 4, pp. 96-104.
Godard D.: Channel equalization using a Kalman filter for fast data transmission. IBM J. Res. Dev. 18,
1974, pp. 267-273.
Macchi O.: Optimization of adaptive identification for time-varying filters. IEEE Trans. on Automatic
Control, vol. 31, 1986, pp. 283-287.
Benveniste A.: Design of adaptive algorithms for the tracking of time-varying systems. Int. Journal of
Adaptive Control & Signal Processing, vol. 1, 1987, pp. 3-29.
Ljung L., Gunnarsson S.: Adaptation and tracking in system identification - a survey. Automatica, vol. 26,
No. 1, January 1990, pp. 7-21.
Solo V., Kong X.: Adaptive signal processing algorithms: stability and performance. Prentice Halls
Englewood Cliffs, NJ 1994.
Guo L., Ljung L.: Performance analysis of general tracking algorithms. IEEE Trans. on Automatic Control,
vol. 40, No. 8, August 1995, pp. 108-112.
Niedźwiecki M.: Identyfikacja niestacjonarnych obiektów losowych. Zeszyty naukowe Politechniki
Gdańskiej, Nr 450, Elektronika LXIX, Gdańsk 1990.
Niedźwiecki M., Guo L.: Nonasymptotic results for finite memory WLS filters. IEEE Trans. on Automatic
Control, vol. 36, 1991, pp. 198-206.
Niedźwiecki M., Kłaput T.: Do WLS adaptive filters provide better tracking performance than LMS filters.
Proc. XXII-th Nat. Conf. Circuit Theory and Electronic Networks, Warszawa-Stare Jabłonki 1999, pp. 485490.
Kushner H.J., Yang J.: Analysis of adaptive step-size S.A. algorithms for parameter tracking. IEEE Trans.
on Automatic Control, vol. 40, No. 8, August 1995, pp. 1403-1410.
Pazaitis D.I., Constantinides A.G.: A novel kurtosis driven variable step-size adaptive algorithms. IEEE
Transaction on Signal Processing, vol. 47, No. 3, March 1999, pp. 864-872.
Haykin S., Sayed A.H., Zeidler J.R., Yee P., Wei P.: Tracking of linear time-variant systems. MILCOM
95, San Diego 1995.
Blom H.A.P., Bar-Shalom Y.: The interacting multiple model algorithm for systems with Markovian
switching coefficients. IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 33, No. 8, August 1988, pp. 780-783.
Suchomski P.: Adaptacyjna wielomodelowa estymacja stanu niestacjonarnych systemów liniowych
opisanych łańcuchami Markowa wysokiego rzędu. Prace Przemysłowego Instytutu Telekomunikacji, z.
119, Warszawa 1997, s. 1-14.
Isermann R.: Process fault detection based on modeling and estimation methods – a survey. Automatica,
vol. 20, 1984, pp. 387-404.
Willsky A.S., Jones H.L.: A generalized likelihood ratio approach to the detection and estimation of jumps
in linear systems. IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 21, No. 2, February 1976, pp. 108-112.
Nikiforov I.V. Sequential detection of changes in stochastic systems. W książce Basseville M., Benveniste A.:
Detection of abrupt changes in signals and dynamical systems. Chapter 7, pp. 216-258, Lecture Notes in
Control and Information Sciences, vol. 77, Springer, Berlin 1986.
Nikiforov I.V.: A generalized change detection problem. IEEE Trans. on Information Theory, vol. 41, No.
1, January 1995, pp. 171-187.
Nikiforov I.V.: Two strategies in the problem of change detection and isolation. IEEE Trans. on
Information Theory, vol. 43, No. 2, March 1997, pp. 770-776.
Płatonow A.A.: Optimalnaja adaptivnaja sistema ocenki znaczen sluczainyh wieliczin s ucziotom
ograniczienij na dinamicheskij diapazon registrirujemyh ustroistw. Międzyuczelniany Zbiór Prac
Naukowych "Woprosy Pieriedaczi i Prieobrazowanija Informacii", RRTI, Riazań 1986, s. 35-40.
Płatonow A.A., Abdulkaiumov R.A.: Optimalnyie sistiemy adaptivnowo nabliudienija i ocenki sostajanija
dinamichieskih sistiem s impulsnymi pomehami. Art. Dep. VINITI, No. 7969-B86, Moskwa 1986, s. 1-30.
Płatonow A.A., Abdulkaiumov R.A.: Diskretnyie adaptivnyie sistemy optimalnowo nabliudenia i ocenki
sostajaanija obiektov s impulsnymi sluchajnymi vozmushcheniami. Międzyuczelniany Zbiór Prac
122
Bibliografia
[60]
[61]
[62]
[63]
[64]
[65]
[66]
[67]
[68]
[69]
[70]
[71]
[72]
[73]
[74]
[75]
[76]
[77]
[78]
[79]
Naukowych „Matematicheskoie i programmnoie obespechenie wychislitelnyh mashin i kompleksow”,
MIEM, Moskwa 1988, s. 115-123.
Płatonow A.A., Abdulkaiumov R.A., Slepowa N.E.: Optimalnoie izmerenie sluchajnyh velichin pri adaptivnom upravlenii parametrami izmeritelia. Międzyuczelniany Zbiór Prac Naukowych „Matematicheskoie
i programmnoie obespechenie wychislitelnyh, informacionnyh i uprawliajushchih sistem”, MIEM,
Moskwa 1989, s. 86-91.
Platonov A.A.: The optimal estimation of the random process values under adaptive tuning of the
measurement device. Proc. Int. Conf. COSMEX-89, Wrocław 1989, pp. 67-68.
Płatonow A.A.: Optymalna adaptacyjna obserwacja i filtracja sygnałów zakłóconych addytywnym szumem o
nieznanej wartości średniej. Materiały XIII Krajowej Konferencji Teoria Obwodów i Układy Elektroniczne
Bielsko-Biała 1990, s. 647-652.
Płatonow A.A.: Optimalnoje izmierienije tiekushchih znaczienii i paramietrow słuchainyh procesow pri
adaptivnom uprawlienii paramietrami datczika. Proc. Intern. Conf. "Informacionno-Izmeritelnye Sistemy IIS94", Moskwa 1994, s. 84-86.
Platonov A.A.: Optimal identification of regression-type processes under adaptively controlled observations.
IEEE Transaction on Signal Processing , vol. 42, No. 9, September 1994, pp. 2280-2291.
Jędrzejewski K.: Algorytmy optymalnej detekcji sygnałów i estymacji ich parametrów przy adaptacyjnym
sterowaniu odbiornikiem. Praca magisterska, IPE PW, Warszawa 1995.
Platonov A.A., Szabatin J.: Analog-digital systems for optimal adaptive measurements and parameter
estimation of noisy processes. Proc. Int. Colloq. IMEKO TC-1 & TC-7 on State and Advances of the
Measurement and Instrumentation Science, London 1993, pp. 293-298.
Platonov A.A.: Basic theoretical principles for design of analog-digital measurement systems with adaptively
controlled sensors. Proc. IMEKO XIII World Congress, Torino 1994, vol. 2, pp. 1025-1031.
Platonov A.A., Szabatin J.: Analog-digital systems for adaptive measurements and parameter estimation of
noisy processes. IEEE Trans. on Instrumentation and Measurement, vol. 45, No. 1, February 1996, pp. 6069.
Platonov A.A.: General problems of designing the optimal measurement systems. Proc. XI-th Conf.
Application of Microprocessors in Automatic Control and Measurement, Warsaw 1998, vol. 1, pp. 107-109.
Płatonow A.A.: Optimalnaja sistema peredachi dannyh pri adaptivnom upravlenii rabotoy peredatchika s
ispol'zovaniem obratnogo kanala. Materiały Krajowego Sympozjum Telekomunikacji KST'89, Bydgoszcz
1989, t. E, s. 356-361.
Płatonow A.A.: O optymalnym dopasowaniu parametrów analogowych modulatorów do stochastycznych
charakterystyk sygnałów w układach transmisji danych z kanałem zwrotnym. Materiały Krajowego
Sympozjum Telekomunikacji KST'89, Bydgoszcz 1990, t. D, s. 100-108.
Platonov A.A., Szabatin J.: Phase range-finder with adaptively controlled receiver. Proc. XVI-th Nat. Conf.
Circuit Theory and Electronic Circuit, Koszalin 1993, vol. 2, pp. 433-438.
Platonov A.A., Szabatin J., Jędrzejewski K.: Adaptive method for detecting sinusoidal signals and estimating
its amplitudes and phases. Proc. XVII-th Nat. Conf. Circuit Theory and Electronic Circuit, Wrocław-Polanica
Zdrój 1994, vol. 1, pp. 257-262.
Platonov A.A., Szabatin J.: Joint detection and estimation of noisy signals using receivers with controlled
parameters. Proc. XVII-th Nat. Conf. Circuit Theory and Electronic Circuit, Wrocław-Polanica Zdrój 1994,
vol. 1, pp. 335-340.
Płatonow A.A., Szabatin J.: Sowmiestnoje obnarużenije i ocienka paramietrow signała pri statisticheski
sogłasowannym uprawlienii prijomnikom s ogranichionnym liniejnym diapazonom. Izwiestia Rosijskoj
Akademii Nauk Radiotiechnika i Elektronika, wyp. 10, 1995, s. 1506-1524 (tłum. na język ang. Płatonov
A.A., Szabatin J.: Joint detection and estimation of signal parameters in the presence of a statistically matched
control of the receiver with a finite linear range. Journal of Communications Technology and Electronics, vol.
40, No. 13, 1996, pp. 89-105).
Szabatin J., Płatonow A.A.: Szyrokodiapazonnyj kompiensacionnyj akcelerometr s adaptiwno uprawliajemoj
chuvstwitielnostiu i s cyfrowoj obrabotkoj izmierienii. Materiały VII Vserosiskoj Nauchno-Tiechn. Konf.
Datcziki i Prieobrazowateli Informacii Sistiem Izmierienija, Kontrola i Uprawlienija DATCZIK-95, KrymGurzuf 1995, s. 64-65.
Szabatin J., Platonov A.A.: Adaptive accelerometer with controlled sensitivity. Proc. XVIII-th Nat. Conf.
Circuit Theory and Electronic Circuit, Łódź-Polana Zgorzelisko 1995, pp. 103-108.
Szabatin J., Melnikov V.E., Platonov A.A.: Analog-digital wide-range measurement systems with adaptively
adjusted quartz glass sensors. Proc. IEEE Instr. and Meas. Techn. Conf. & IMEKO TC-7, Brussels 1996, vol.
1, pp. 1154-1159.
Płatonow A.A., Szabatin J., Melnikov V.E.: Adaptacyjne czujniki do pomiaru wielkości mechanicznych,
Materiały X Krajowej Konferencji Naukowo-Technicznej "Zastosowania mikroprocesorów w automatyce i
pomiarach", Warszawa 1996, t. 1, s. 287-296.
123
Bibliografia
[80]
Platonov A.A., Melnikov V.E., Szabatin J.: Miniaturization of electromechanical sensors and problems of
improvement of measurement accuracy. Proc. IMEKO XIV World Congress, Tampere 1997, vol. 4b, pp. 257262.
[81] Platonov A.A., Plekhanow V.E., Melnikov V.E., Szabatin J.: A possibility of electrostatic control of
sensitivity in adaptive compensatory microaccelerometers. Proc. X-th IMEKO Int. Symp. on
Development in Digital Measurement Instrumentation (ISDDMI’98), Naples 1998, pp. 649-653.
[82] Szabatin J., Platonov A.A., Melnikov V.E.: Smart wide range measurement using adaptively adjusted sensors.
Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, vol. 47, No. 1, 1999, pp. 15-27.
[83] Płatonow A.A., Szabatin J.: Sposób i urządzenie do szerokopasmowych pomiarów wielkości fizycznych.
Patent Nr P.304.530, Urząd Patentowy RP, styczeń 1998.
[84] Szabatin J., Płatonow A.A.: Strunowo-ramkowy akcelerometr kompensacyjny ze sterowaną czułością. Patent
Nr P.304.531, Urząd Patentowy RP, luty 1998.
[85] Płatonow A.A., Szabatin J.: Adaptacyjny strunowo-ramkowy akcelerometr kompensacyjny z czułością
sterowaną za pomocą mikroelektromagnesu umocowanego na ramce. Zgłoszenie patentowe Nr P.313.898,
Biuro patentowe PW, kwiecień 1996.
[86] Platonov A.A., Szabatin J.: Adaptive robust observation and parameter estimation of regression processes
with outliers. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, vol. 41, No. 3, 1993, pp. 221236.
[87] Szabatin J., Platonov A.A.: A Bayesian approach to the robust parameter estimation using nonlinearly
observed data. Proc. Int. Aero-Space Congress, Moscow 1994, p. 429.
[88] Platonov A.A., Gajo Z.K., Szabatin J.: Robust parameter estimation for short data sequences. Proc. XVII-th
Nat. Conf. Circuit Theory and Electronic Circuit, Wrocław-Polanica Zdrój 1994, pp. 263-268.
[89] Szabatin J.: New signal processing algorithms for robust adaptive measurements in the presence of noises,
harmonic disturbances and random trends. Proc. 7-th IMEKO TC-4 International Symposium on Modern
Electrical and Magnetic Measurement, Prague 1995, pp. 205-209.
[90] Szabatin J., Płatonow A.A., Gajo Z.G., Jędrzejewski K.: Niektóre problemy analizy odpornych algorytmów
modelowania i identyfikacji sygnałów niegaussowskich. Materiały Krajowego Sympozjum Telekomunikacji
KST'95, Bydgoszcz 1995, t. B, s. 39-48.
[91] Szabatin J.: A new approach to adaptive robust joint detection and estimation of discrete-time signals. Bulletin
of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, vol. 44, No. 4, 1996, pp. 449-474.
[92] Platonov A.A., Szabatin J.: Robust measurement of processes using nonlinear adaptive sensors. Proc. IMEKO
XIV World Congress, Tampere 1997, vol. 5, pp. 257-262.
[93] Szabatin J.: Odporne i silnie zgodne metody i algorytmy identyfikacji sygnałów. Politechnika
Warszawska. Prace naukowe. Elektronika z. 118, Warszawa 1998.
[94] Platonov A.A.: Optimal identification of non-stationary regression parameters under adaptively controlled
observations. Proc. 2nd Int. Symp. on Implicit and Robust Systems (ISIRS-2), Warszawa 1991, pp. 167-170.
[95] Platonov A.A, Peczarski M.: Optimal adaptive observation and filtering of the processes with disturbances
of the pulse or outlier kind. Proc. XIV-th Nat. Conf. Circuit Theory and Electronic Circuit, Waplewo 1991,
pp. 514-519.
[96] Platonov A.A., Szabatin J., Gajo Z.: A new method for detecting jumps of signal parameters. Proc. XVII-th
Nat. Conf. Circuit Theory and Electronic Circuit, Koszalin 1993, vol. 2, pp. 427-432.
[97] Platonov A.A.: Optimal filtering of random processes measured using sensors with adaptively controlled
parameters. Proc. 7-th IMEKO TC-4 International Symposium on Modern Electrical and Magnetic
Measurement, Prague 1995, pp. 210-214.
[98] Platonov A.A., Jędrzejewski K.: Optimal filtering of nonstationary random processes using smart sensors
with adaptively controlled parameters. Proc. IEEE Instr. and Meas. Techn. Conf. & IMEKO TC-7, Brussels,
Belgium, June 1996, vol. 1, pp. 480-485.
[99] Platonov A.A., Jędrzejewski K.: Optimal measurement of random processes with nonstationary parameters.
Proc. XX-th Nat. Conf. Circuit Theory and Electronic Circuit, Kołobrzeg 1997, vol. 2, pp. 469-474.
[100] Platonov A.A., Szabatin J., Jędrzejewski K.: Optimal design of smart measurement systems with automatic
correction of setting errors and drifts of the sensor's working point. Proc. Hungarian-Polish-Czech Workshop
on Circuits Theory and Applications, Budapest 1997, pp. 110-115.
[101] Platonov A.A., Szabatin J., Jędrzejewski K.: Optimal synthesis of smart measurement systems with
adaptive correction of drifts and setting errors of the sensor's working point. IEEE Trans. on
Instrumentation and Measurement, vol. 47, No. 3, June 1998, pp. 659-665.
[102] Platonov A.A., Jędrzejewski K.: Optimal synthesis of adaptive multipass voltmeter for the wide-range and
high-accuracy measurements in conditions of noises and disturbances. Proc. Polish-Chech-Hungarian
Workshop on Circuits Theory, Signal Processing and Applications, Kraków 1998, pp. 73-79.
124
Bibliografia
[103] Platonov A.A., Jędrzejewski K.: Adaptive model-based procedure for detection and estimation of drift-like
faults in objects of regression type. Proc. IX-th European Workshop on Dependable Computing EWDC’ 98 –
Testing Methods and Tools for Modern Computers Systems and Networks, Gdańsk 1998, pp. 77-81.
[104] Platonov A.A., Jędrzejewski K.: Optimal filtering of nonstationary processes using adaptive compensatory
sensors. Zgłoszony do International Journal of Adaptive Control and Signal Processing.
[105] Luenberg D.G.: An introduction to observers. IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 16, 1971, pp. 596602.
[106] Lueders G., Narenda K.S.: An adaptive observer and identifier for a linear system. IEEE Transaction on
Automatic Control, vol. 18, 1973, pp. 117-119.
[107] Van Der Schaft A.J.: On nonlinear observers. IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 30, 1985, pp. 12541256.
[108] Nagy F.: Measurement of signal parameters using nonlinear observers. IEEE Trans. on Instrumentation and
Measurement, vol. 41, 1992, pp. 152-155.
[109] Davis M.H.A.: Linear estimation and stochastic control. Champen & Hall Ltd., London 1977.
[110] Medith J.S.: Estymacja i sterowanie statystycznie optymalne w układach liniowych. WNT, Warszawa 1975.
[111] Schweppe F.C.: Układy dynamiczne w warunkach losowych. WNT, Warszawa 1978.
[112] Van Trees H.L.: Detection, estimation and modulation theory. Wiley, New York 1972.
[113] Morawski R.Z.: Metody odtwarzania sygnałów pomiarowych. Politechnika Warszawska, Instytut
Radioelektroniki, wyd. II – uzupełnione. W serii Metrologia i systemy pomiarowe, Warszawa 1989.
[114] Finkelstein L.: Measurement and instrumentation science - an analytical review. Measurement, No. 14,
1994, pp. 3-14.
[115] Van den Bos A.: Parametric statistical model-based measurement. Measurement, No. 14, 1994, pp. 55-61.
[116] Karcanias N.: Global process instrumentation - Issues and problems of a system and control theory
framework, Measurement, No. 14, 1994, pp. 103-113.
[117] Beyerer J.: The value of additional knowledge in measurement - a Bayesian approach. Measurement, No.
25, 1999, pp. 1-7.
[118] Fiok A.J.: Electrical measuring instruments. Some "philosophical" aspects. Proc. IMEKO TC-4, Vienna,
1992, OVE-Shriftenreihe, No. 2, pp. 23-30.
[119] Morawski R.Z.: Unified approach to measurand reconstruction. IEEE Trans. on Instrumentation and
Measurement, vol. 43, 1994, pp. 226-231.
[120] Jaworski J.M.: Pomiar jako identyfikacja parametryczna modelu matematycznego obiektu mierzonego.
Metrologia i systemy pomiarowe, t. II, z. I, 1995, s. 1-23.
[121] Morawski R.Z.: Modelowanie matematyczne a pomiar. Metrologia i systemy pomiarowe, t. II, z. I, 1995, s.
25-35.
[122] Gajda J., Szyper M.: Modelowanie i badania symulacyjne systemów pomiarowych. Jartek s.c., Kraków
1998.
[123] Sosulin Ju. G.: Tieorieticheskije osnovy radiolokacii i nawigacii. Radio i Swjaz’, Moskwa 1992.
[124] Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów. WKŁ, Warszawa 1990 (wyd. II).
[125] Sydenham P.H.: Podręcznik metrologii. t. I i II. WKŁ, Warszawa 1988 i 1990.
[126] Dokumentacja techniczna kart kontrolno-pomiarowych serii LTI16V07. LATECH s.c., Puławy 1998.
[127] Dokumentacja sterownika programowego dla Windows 3.x/95 LTIW32.DLL. LATECH s.c., Puławy 1998.
[128] MATLAB. The language of technical computing. Application program interface guide. Version 5. The
MathWorks, Inc. 1998.
[129] MATLAB. The language of technical computing. Application program interface reference manual. Version 5.
The MathWorks, Inc. 1998.
[130] Jones L.T., Ressmeyer J.J., Clark C.A.: Precision DVM has wide dynamic range and high systems speed.
Hewlett Packard Journal, April 1981, pp. 23-32.
[131] Epstein J.S., Engel G.R., Hiller D.R., Purdy G.L., Hoog B.C., Wicklund E.J.: Hardware design for dynamic
signal analyzer. Hewlett Packard Journal, December 1984, pp. 12-17.
[132] Stabrowski M.M.: Miernictwo elektryczne. Cyfrowa technika pomiarowa. Warszawa 1994.
[133] Złącze LAD-EXT dla modułów LTI16Vx. LATECH s.c., Puławy 1998.
[134] Szabatin J. (red.): Teoria sygnałów i modulacji. Preskrypt laboratoryjny. Warszawa 1995 .
125

Wykaz ważniejszych oznaczeń

Transkrypt

Podobne dokumenty

załącznik z plikiem

Ćwiczenie 1 Karta Pomiarowa

bezprzewodowy system rozgloszeniowy

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra

1. Podstawowe aspekty zarządzania projektami 2. Inicjacja projektu

Zadania - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

PROCESORY SYGNAŁOWE – PRZYKŁADOWE PYTANIA część I 1