Klasa 3. System dziesiątkowy. Klasa 3. System rzymski.

Klasa 3. System dziesiątkowy.
1. Powierzchnia Litwy jest równa 65 200 000 000 m2 . Wielkość ta zapisana w notacji wykładniczej ma postać:
A. 6,52 ⋅ 1010 m2
B. 6, 52 ⋅ 10−10 m2
C. 0,652 ⋅ 1011 m2
D. 652 ⋅ 108 m2
2. Zapisz podane liczby w notacji wykładniczej.
a) 0,007
b) 8 070 000
c) 32 miliardy
3. Zapisz podane liczby bez użycia potęg.
a) 3,08 ⋅ 107
b) 7,4 ⋅ 10−5
4. Oszacuj wyniki działań. Wstaw odpowiedni znak < lub > w kratkę.
a) 5,178 + 0,6799
c) 3,51 ⋅ 200
6
b) 2,34567 + 4,5002
7
700
d) 15,0027 ⋅ 612
9000
5. Czy poprawnie zaokrąglono liczby? Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Liczba 276 954 zaokrąglona do dziesiątek tysięcy wynosi 280 000.
TAK
NIE
Liczba 3515,142 zaokrąglona do setek wynosi 3515,14.
TAK
NIE
Liczba 8451,134 zaokrąglona do części dziesiątych wynosi 8451,13.
TAK
NIE
Liczba 64 000 zaokrąglona do dziesiątek wynosi 64 000.
TAK
NIE
6. Wynik pewnego pomiaru zapisano za pomocą liczby zajmującej 6 miejsc po przecinku (ostatnia z zapisanych cyfr nie jest zerem). Po zaokrągleniu wyniku do części setnych otrzymano 2. Ustal, jaki mógł być
największy, a jaki najmniejszy wynik tego pomiaru.
*7. Uzasadnij, że jeśli liczba naturalna ma sumę cyfr podzielną przez 90 i dwucyfrową końcówkę równą 90,
to jest podzielna przez 90.
Klasa 3. System rzymski.
1. Liczby CCXL i DCCXX zapisz w systemie dziesiątkowym, a liczby 85 i 991 w systemie rzymskim.
2. Na ścianie frontowej ratusza zapisano dwie daty mówiące o rozpoczęciu oraz zakończeniu jego budowy:
MCDLXXVI i MDXLII. Ile lat budowano ten ratusz?
3. W roku 2000 dziadek Marty miał 55 lat. W którym roku urodził się dziadek?
A. MCMXLV
B. MCMLXV
C. MDXLV
D. MMLV
4. Wskaż liczbę mniejszą od DCXLV.
A. DCLXIV
B. DCLV
C. CDXLV
D. DCLXV
5. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Jeżeli w liczbie MDCXL zamienimy miejscami cyfry D i C, to wartość
prawda
fałsz
prawda
fałsz
prawda
fałsz
prawda
fałsz
liczby wzrośnie.
Liczba zapisana w systemie rzymskim za pomocą 6 cyfr może być mniejsza niż liczba zapisana za pomocą 5 cyfr.
Liczba, której zapis w systemie rzymskim zaczyna się od cyfry X, nie
może być większa od 100.
Zapis każdej liczby większej od 50 w systemie rzymskim zaczyna się
cyfrą L.
6. Uzupełnij zdanie właściwą liczbą zapisaną w systemie dziesiątkowym.
Za pomocą cyfr: L, M, D, C zapisano wszystkie możliwe liczby, używając każdej z cyfr co najmniej raz.
Różnica między największą a najmniejszą z zapisanych liczb wynosi
. . . . . . . .
.
Klasa 3. Liczby wymierne i niewymierne.
2
1. Rozwinięcie dziesiętne liczby 2 15
po zaokrągleniu do części setnych jest równe:
A. 2,13
B. 2,1(3)
C. 2,(13)
D. 2,14
2. Która z podanych liczb jest niewymierna?
B. √0,25
A. √169
4
16
C.
1
D.
1 36
3. Odwrotnością liczby 1 13 jest liczba:
3
3
A. 4
B. 1 1
3
1
C. − 4
D. −1 3
4. Liczby całkowite większe od −√8 i mniejsze od √5 to:
A. −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4
B. −3, −2, −1, 0, 1, 2
C. −2, −1, 0, 1, 2
D. −2, −1, 0, 1, 2, 3
5. Znajdź dwie kolejne liczby całkowite, tak aby jedna z nich była mniejsza, a druga większa od √27.
6. Oszacuj: 19 metra to
A. więcej niż pół metra.
C. mniej niż 10 cm.
B. więcej niż ćwierć metra.
D. mniej niż 12 cm.
7. W kolejności od najmniejszej do największej zapisano liczby:
A. 1,33, 1,3, 1,3(2)
B. 2,5, 2,45, 2,4(5)
C. 3,7, 3,6(7), 3,67
D. 1,(56), 1,57, 1,5(7)
8. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Liczba 0,7(51) jest większa od
1
2
i mniejsza od
3
4
.
Liczba −0,3 jest większa od − 12 i mniejsza od − 14 .
9. Oszacuj:
1
25
prawda
fałsz
prawda
fałsz
tygodnia to
A. więcej niż 7 godzin.
B. mniej niż 7 godzin, ale więcej niż 5 godzin.
C. mniej niż 5 godzin, ale więcej niż godzina.
D. mniej niż 1 godzina.
10. Czy prawdą jest, że ułamek
50√2
2√50
jest równy 1? Wybierz poprawną odpowiedź i poprawne uzasadnienie.
licznik i mianownik tego ułamka są równe √100, czyli ułamek jest równy
10
10
TAK,
ułamek można skrócić najpierw przez 50, potem przez 2 i otrzymujemy
ponieważ
NIE,
= 1.
1√1
1√1
= 1.
wartość tego ułamka jest liczbą niewymierną, a 1 jest liczbą wymierną.
50√2
2√50
= 25
2
50
= 25
1
25
= 25 ⋅
1
5
= 5.
11. Wstaw znak < lub >.
a) −37
−38
b) 10−4
7−4
1 5
2
c)
1 7
2
d) 2−3
3−2
12. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Suma dwóch liczb niewymiernych nie może być liczbą wymierną.
prawda
fałsz
Różnica liczb wymiernej i niewymiernej może być liczbą wymierną.
prawda
fałsz
Iloczyn dwóch liczb niewymiernych nie może być liczbą wymierną.
prawda
fałsz
Iloraz liczb wymiernej i niewymiernej może być liczbą wymierną.
prawda
fałsz
*13. O trzech różnych liczbach 𝑎, 𝑏, 𝑐 wiemy, że 𝑎𝑏𝑐 = 0 i 𝑎 + 𝑏 = 0. Uzasadnij, że tylko jedna z tych liczb
jest liczbą ujemną.
Klasa 3.Podstawowe działania na liczbach
1. Wartość wyrażenia 7 21 + 4 ⋅ 2 − 6 : 3 + 32 wynosi:
2
1
A. 13 3
1
B. 22 2
1
C. 16 6
D. 20 2
2. Oblicz:
a)
2
1
1,75 + 1 6 : 7
b) 1,9 − 0,9 ⋅ 3
3. Oblicz:
a) −2 − 8 :(−4)
b) (−10) ⋅ (−18 + 15)
4. Uzupełnij poniższe zdania, jeśli 𝑎 = − 32 , 𝑏 = 0,2.
Suma liczb 𝑎 i 𝑏 wynosi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Iloczyn liczb 𝑎 i 𝑏 wynosi
Suma liczb 𝑎 i 𝑏 jest
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
od ich iloczynu.
większa / mniejsza
5. Oblicz:
3
4
− 53
2,4 ⋅
a)
2,4
b)
2 −1
1
24 ⋅ 4 + 3
6. W butelce było 1 21 litra soku. Jarek wypił
1
2
: − 43
3
zawartości butelki, a Ania 0,4 tego, co zostało. Ile litrów soku
zostało w butelce?
7. Poniższe wyrażenie należy uzupełnić, wpisując w kółkach jeden znak dodawania, jeden odejmowania
i jeden mnożenia, tak aby otrzymać jak największy wynik. W jakiej kolejności powinny być wpisane te
znaki?
6
3
5
4
A. odejmowanie, dodawanie, mnożenie
C. mnożenie, dodawanie, odejmowanie
B. dodawanie, mnożenie, odejmowanie
D. dodawanie, odejmowanie, mnożenie
8. Oceń, czy poniższe równości są prawdziwe. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
3
4
+ (−1,4) = 20
13
3
5
1
5
3
8
TAK
NIE
− 1,4 = 5
4
TAK
NIE
⋅ 6,25 = 4
5
TAK
NIE
3
:(−0,16) = − 50
TAK
NIE
9. Wpisz w wykropkowanych miejscach właściwą liczbę.
Suma liczb ośmiocyfrowej i dziewięciocyfrowej ma co najwyżej
Iloczyn liczb pięciocyfrowej i sześciocyfrowej ma co najmniej
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cyfr.
cyfr.
Klasa 3.Działania na potęgach i pierwias
1. Iloczyn √21 ⋅ √3 jest równy:
B. √7
A. √63
C. √18
D. √24
2. Wartość wyrażenia √32 + 5√2 − √200 + √2 jest równa:
A. √116
B. −78√2
C. 0
D. 116
3. Liczbą przeciwną do √50 jest liczba:
A. −5√2
B. −25
C.
1
5√2
√2
D. 10
4. Oceń, czy poniższe równości są prawdziwe. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
3
TAK
NIE
3
√(−16)3 = √(−4)4
TAK
NIE
8
√12
TAK
NIE
TAK
NIE
√8 = √4
= √2
4 ⋅ √42 + 32 = 20
5. Oblicz: √5 ⋅ 12 45 − 27 : 25 .
6. Oblicz. Wynik podaj z dokładnością do części dziesiątych. Przyjmij, że √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,24.
b) (√48 + √32) : 100
a) 0,1(√20 − √8)
c) 5
1
5
+ √5
7. Oceń prawdziwość równości. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
37 + 37 + 37 = 321
prawda
fałsz
45 ⋅ 43 = 216
prawda
fałsz
10−5 = 0,15
prawda
fałsz
8. Czy prawdą jest, że 35 + 35 + 35 = 36 ? Wybierz poprawną odpowiedź i poprawne uzasadnienie.
lewa strona jest równa 95 , a to jest to samo, co 36 .
TAK,
35 + 35 + 35 = 3 ⋅ 35 = 36 .
ponieważ
NIE,
lewa strona jest równa 315 .
lewa strona jest liczbą nieparzystą, a prawa – parzystą.
9. Uzasadnij, że √4⋅√20 +
√5
0,5√5 + √5
6
2
jest liczbą wymierną.
10. Uzupełnij luki w poniższych zdaniach liczbami wybranymi spośród: 20, 26, 30, 53.
Nierówność √3 ⋅ √8 < √𝑎 < √5 ⋅ √6 jest prawdziwa dla 𝑎 =
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Nierówność √8 + √18 < √𝑏 < √6 + √24 jest prawdziwa dla 𝑏 =
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Klasa 3.Obliczenia procentowe.
1. 30 % liczby 1 31 to:
4
A. 3 9
4
4
B. 10
1
C. 100
D. 10
2. Oskar kupił bilet do kina za 10 zł i książkę za 15 zł. Jaki procent wydanych pieniędzy stanowi cena książki?
A. 40 %
B. 150 %
C. 60 %
2
D. 66 3 %
3. Ania kupiła podręcznik do matematyki za 15 zł, co stanowiło 5 % ceny kompletu książek do gimnazjum
dla klasy trzeciej. Cały zestaw podręczników dla klasy trzeciej kosztuje:
A. 15,75 zł
B. 300 zł
C. 75 zł
D. 150 zł
4. Do Gimnazjum Nr 1 uczęszcza 1000 uczniów, w tym 529 chłopców. Oblicz (z dokładnością do 1 %), jaki
procent wszystkich uczniów tego gimnazjum stanowią chłopcy.
5. W pewnej szkole w roku 2011 było 200 uczniów. W roku 2012 uczęszczało do tej szkoły 186 uczniów.
O ile procent zmalała liczba uczniów uczęszczających do tej szkoły?
6. W głosowaniu na wójta gminy pan A zdobył 53 % głosów. Pozostałych 423 głosujących wybrało pana B.
Ilu wyborców wzięło udział w tym głosowaniu?
7. W pewnym prostokącie długość zmniejszono o 45 %, a szerokość o 20 %. Czy prawdą jest, że pole tego
prostokąta zmalało o ponad 50 %?
45 % + 20 % to więcej niż 50 %.
pole tego prostokąta zmniejszono o 0,45 ⋅ 0,20 = 0,09, czyli o 9 %.
TAK,
ponieważ
NIE,
pole zmniejszonego prostokąta stanowi 44 % pola początkowego prostokąta.
ani długości, ani szerokości nie zmniejszono więcej niż o 50 %.
8. Jaki procent wszystkich liczb dwucyfrowych stanowią liczby dwucyfrowe podzielne przez 5?
9. Mama upiekła 60 ciasteczek. Wojtek zjadł 20 % wszystkich wypieków. Po nim przyszła Asia, która zjadła
1
4
tego, co zostało. 50 % pozostałych ciasteczek zjadł tata, a resztę zjadła mama. Jaki procent wszystkich
ciasteczek stanowiły ciasteczka zjedzone przez mamę?
10. Pan Karol chciałby, by jego wynagrodzenie wzrastało co roku o 5 %. Ile wyniosłoby wynagrodzenie pana
Karola za 2 lata, jeśli obecnie zarabia on 5000 zł?
11. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
1 % liczby 5347 to mniej niż 54.
prawda
fałsz
Liczba 115 stanowi ponad 1 % liczby 11555.
prawda
fałsz
Liczba, której 1 % jest równy 0,27, jest mniejsza od 170.
prawda
fałsz
1‰ liczby 47800 to tyle samo co 1 % z liczby 478.
prawda
fałsz
12. W pewnym roztworze soli o stężeniu 11 % zwiększono ilość wody o 15 % i ilość soli o 15 %. Jakie stężenie
ma otrzymany roztwór?
13. Uzasadnij, że cena obniżona o 20 %, a następnie o 15 % nie jest równa cenie uzyskanej po jednorazowej
obniżce o 35 %.
*14. Uczniowie napisali pracę klasową. Oceny bardzo dobre otrzymało 30 % uczniów, oceny dobre – 40 % uczniów, oceny dostateczne – 8 uczniów, a pozostali uczniowie dostali oceny dopuszczające. Średnia wszystkich ocen z tej klasówki wynosiła 3,9. Ilu uczniów otrzymało poszczególne oceny?
Klasa 3. Przekształcenia algebraiczne.
1. Wyrażenie 7(𝑥2 − 4) − (11 − 5𝑥2 ) doprowadź do prostszej postaci.
2. Zapisz wyrażenie 4𝑡(3𝑡 + 2𝑠) + 2𝑠(𝑡 − 3𝑠) w najprostszej postaci.
3. Uzupełnij.
a) 5𝑥𝑦 − 15𝑦2 𝑥 =
. . . . . . . .
⋅ (1 − 3𝑦)
b) 4𝑒 + 14𝑒3 𝑓2 = 2𝑒 ⋅
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Liczba o 62 % większa od liczby 𝑎 to:
A. 0,62𝑎
B. 1,38𝑎
C. 1,62𝑎
D. 0,38𝑎
5. Zapisz wyrażenie (5𝑥 + 2)(𝑥 − 1) − 5(𝑥2 − 4) w jak najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla 𝑥 = 3.
Klasa 3. Równania i układy.
1. Rozwiązując pewne równanie metodą równań równoważnych, otrzymaliśmy równość 0 = 1. Wnioskujemy
stąd, że:
A. popełniliśmy błąd w obliczeniach.
B. równanie nie ma rozwiązania.
C. rozwiązaniami równania są wszystkie liczby rzeczywiste
D. równanie ma dwa rozwiązania: 0 i 1
2. Rozwiąż układ równań:
3. Ze wzoru 𝑉 =
.
.
⎧
⎪3𝑥 + 𝑦 = 0
⎨
⎪7𝑥 + 2𝑦 = 1
⎩
𝑎2 ⋅ℎ
wyznacz ℎ.
3
4. Ania ma 53 złote w monetach dwuzłotowych i pięciozłotowych. W sumie ma 16 monet. Jaką kwotę ma
Ania w dwuzłotówkach?
5. Wojtek pomyślał o pewnej liczbie. Pomnożył ją przez 5, do wyniku dodał 5, a otrzymany rezultat podzielił
przez 5. Od tak otrzymanego wyniku odjął 5 i otrzymał 55. O jakiej liczbie pomyślał Wojtek?
6. Rozwiąż równania:
𝑥
4
a) 7 = 5
7. Ze wzoru 𝑀 =
b)
𝑥−2
5
𝑥
= 6
(3𝑤 + 𝑘)⋅𝑙
wyznacz 𝑘.
3
8. Dla jakiej wartości parametru 𝑎 wyrażenie (𝑎 + 2)2 − (𝑎 − 3)2 przyjmuje wartość 5?
9. Jedyną liczbą spełniającą pewne równanie jest liczba 1. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Jeśli do obu stron tego równania dodam 7,6, to otrzymam równanie, któ-
prawda
fałsz
prawda
fałsz
rego rozwiązaniem jest liczba 8,6.
Jeśli obie strony tego równania pomnożę przez 3, to otrzymam równanie,
którego rozwiązaniem jest liczba 1.
+3
𝑥
10. Rozwiąż równanie 𝑥
𝑥−1 = 𝑥−2.
11. Kasia jest o 15 lat młodsza od Tomka. Za 3 lata będzie od niego 4 razy młodsza. Ile lat ma Tomek?
12. W numerze telefonu Magdy występują tylko dwie różne cyfry, których suma jest równa 9. Jedna z cyfr
występuje cztery razy, druga dwa razy, a suma wszystkich sześciu cyfr wynosi 28. Jaki numer telefonu
może mieć Magda, jeśli jest on liczbą, która czytana od końca jest równa liczbie czytanej od początku?
Podaj wszystkie możliwości.
*13. Niektóre współczynniki w układzie równań
⎧
⎪𝑥 − 𝑘𝑦 = 𝑝
zastąpiono literami. Uzasadnij, że układ ma
⎨
⎪𝑘𝑥 + 𝑦 = 𝑞
⎩
zawsze jedno rozwiązanie, niezależnie od wartości współczynników 𝑘, 𝑝, 𝑞.
*14. Jeśli zarówno długość, jak i szerokość prostokąta zwiększymy o 2 cm, to jego pole zwiększy się o 10 cm2 .
Oblicz, o ile zwiększy się pole tego prostokąta, jeśli jego długość i szerokość zwiększymy o 5 cm.