Paired bondage in trees

Gdańsk, 18 grudnia 2008r.
Katarzyna Dokrzewska
Matematyka stosowana
Semestr IX
Paired bondage in trees
(Liczba związania parami w drzewach.)
Streszczenie
Niech G = (V, E) będzie grafem, gdzie δ(G) ≥ 1 (δ(G) - najmniejszy stopień
wierzchołka w G). Zbiór D ⊆ V jest zbiorem parami dominującym, jezeli
zbiór D jest dominujący oraz indukowany podgraf hDi zawiera idealne skojarzenie.
Moc najmniejszego zbioru dominującego parami grafu G oznaczamy
przez γp (G).
Liczba związana parami bp (G) to moc najmniejszego zbioru pośród wszystkich zbiorów krawędzi E 0 ⊆ E, takich że δ(G − E 0 ) ≥ 1 i γp (G − E 0 ) > γp (G).
Mówimy, że G jest γp -silnie stabilnym grafem (strongly stable graph), jeżeli dla wszystkich E 0 ⊆ E γp (G − E 0 ) = γp (G) lub δ(G − E 0 ) = 0.
Omówimy podstawowe własności zmiennych parami związanych (paired bondage) i scharakteryzujemy γp -silnie stabilne drzewo.
Wstęp
Niech G = (V, E) będzie grafem ze zbiorem wierzchołków V i zbiorem krawędzi
E. Zbiór D ⊆ V jest zbiorem dominującym zbiór G, jeśli każdy wierzchołek w
zbiorze V − D jest sąsiadujący do wierzchołka w D (inaczej: jeśli każdy wierzchołek spoza D posiada co najmniej jednego sąsiada w D). Zapisujemy jako
hDi podgraf indukowany przez D.
Zbiór D ⊆ V jest zbiorem parami dominującym zbioru G, jeżeli zbiór D jest
dominujący oraz hDi zawiera idealne skojarzenie. Moc najmniejszego zbioru
dominującego parami grafu G oznaczamy przez γp (G).
Liczba związania b(G) (bondage number) niepustego grafu G to moc zbioru
pośród wszystkich zbiorów krawędzi E 0 ⊆ E, dla których γ(G − E 0 ) > γ(G).
Definiujemy liczbę związania parami (paired bondage number) bp (G) grafu G,
gdzie δ(G) ≥ 1, jako moc najmniejszego zbioru pośród wszystkich zbiorów krawędzi E 0 ⊆ E, takich że δ(G − E 0 ) ≥ 1 i γp (G − E 0 ) > γp (G).
Mówimy, że G jest γp -silnie stabilnym grafem (strongly stable graph), jeżeli dla wszystkich E 0 ⊆ E γp (G − E 0 ) = γp (G) lub δ(G − E 0 ) = 0 i piszemy
bp (G) = 0.
1
Zapis S(p, r) bedzie oznaczał podwójny graf gwiazdę uzyskany poprzez umieszczenie krawędzi pomiędzy środkowymi wierzchołkami K1,p i K1,r .
Wstępne wyniki
Niech G będzie grafem z δ(G) ≥ 1. Obserwacje poniżej wynikają wprost z
definicji zmiennej związanej parami.
• Jeżeli H jest podgrafem G, takim że δ(H) ≥ 1, wtedy bp (H) ≤ bp (G).
• Jeżeli H jest podgrafem G, takim że bp (H) = 1 i k jest liczbą usuniętych
krawędzi z H, wtedy 1 ≤ bp (G) ≤ k + 1.
• Jeżeli uv ∈ E(G), tak że dG (u), dG (v) > 1 i uv należą do każdego idealnego
skojarzenia z każdego minimalnego parami dominującego zbioru z G, wtedy
bp (G) = 1.
Bazując na tych obserwacjach, bp (Pn ) ≤ 2. Ten fakt jest użyteczny w dowodzeniu poniższego twierdzenia.
Twierdzenie 1.
Niech Pn będzie ścieżką z n ≥ 2 wierzchołkami i niech k ∈ Z+ . Wtedy

 0 dla n = 2, 3, 5,
1 dla n = 4k, 4k + 3, 4k + 6,
bp (Pn ) =

2 dla pozostałych.
Dowód:
Łatwo jest sprawdzić, że bp (Pn )= 0 dla n = 2, 3, 5 i że bp (P6 ) = 2. Wykorzystamy fakt, że γp (Pn ) = 2 n4 . Przyjmujemy, że Pn = (x1 , x2 , . . . , xn ) oraz
ei = xi xi+1 dla i = 1, 2, . . . , n − 1.
Zalóżmy, że n = 4k. Wtedy γp (P4k ) = 2k i γp (P4k − e2 ) = γp (P2 ) + γp (P4k−2 ) =
2+2k.Zatem bp (P4k ) = 1. Podobnie, jeżeli n = 4k+3, wtedy γp (P4k+3 ) = 2k+2,
γp (P4k+3 − e2 ) = γp (P2 ) + γp (P4k+1 ) = 2 + 2(k + 1) = 2k + 4, więc bp (P4k+3 ) = 1.
Jeżeli teraz n = 4k + 6, wtedy γp (P4k+6 ) = 2k + 4, γp (P4k+6 − e5 ) = γp (P5 ) +
γp (P4k+1 ) = 4 + 2(k + 1) = 2k + 6, więc bp (P4k+6 ) = 1.
Ostatecznie zakładamy, że n = 4k + 5. Wtedy γp (P4k+5 ) = 2k + 4. Pokażemy,
że γp (P4k+5 ) = γp (P4k+5 − e) dla dowolnej krawędzi e ∈ E(P4k+5 ). Wyróżnimy
cztery przypadki zależne od e, gdzie e 6= e1 oraz e 6= e4k+4 .
• e ∈ {e2 , e6 , e10 , . . . , e4k+2 }. Wtedy e = e4t+2 dla jakiegoś t ∈ {0, 1, . . . , k} i
γp (P4k+5 − e) = γp (P4t+2 ) + γp (P4(k−t)+3 ) = 2(t + 1) + 2(k − t + 1) = 2k + 4 =
γp (P4k+5 ),
2
• e ∈ {e3 , e7 , e11 , . . . , e4k+3 }. Wtedy e = e4t+3 dla jakiegoś t ∈ {0, 1, . . . , k} i
γp (P4k+5 − e) = γp (P4t+3 ) + γp (P4(k−t)+2 ) = 2(t + 1) + 2(k − t + 1) = 2k + 4 =
γp (P4k+5 ),
• e ∈ {e4 , e8 , e12 , . . . , e4k }. Wtedy e = e4t dla jakiegoś t ∈ {0, 1, . . . , k} i
γp (P4k+5 −e) = γp (P4t )+γp (P4(k−t)+5 ) = 2t+2(k−t+2) = 2k+4 = γp (P4k+5 ),
• e ∈ {e5 , e9 , e13 , . . . , e4k+1 }. Wtedy e = e4t+1 dla jakiegoś t ∈ {0, 1, . . . , k} i
γp (P4k+5 − e) = γp (P4t+1 ) + γp (P4(k−t)+4 ) = 2(t + 1) + 2(k − t + 1) = 2k + 4 =
γp (P4k+5 ).
Skoro γp (P4k+5 ) = γp (P4k+5 −e) dla dowolnej krawędzi e ∈ E(P4k+5 )−{e1 , e4k+4 },
wnioskujemy, że bp (P4k+5 ) > 1. A zatem bp (P4k+5 ) = 2. Co kończy dowód.
Mamy γp (Cn ) = γp (Pn ) dla n ≥ 3, więc z Twierdzenia 1 otrzymujemy następujący wniosek.
Wniosek 2.
Niech Cn będzie cyklem z n ≥ 3 wierzchołkami i niech k ∈ Z+ . Wtedy

 0 dla n = 3, 5,
2 dla n = 4k, 4k + 3, 4k + 6,
bp (Cn ) =

3 dla pozostałych.
Twierdzenie 3.
Niech Kp,q , gdzie 1 < p ≤ q będzie pełnym grafem dwudzielnym. Wtedy
bp (Kp,q ) = p.
Dowód:
γp (Kp,q ) = 2. Oznaczmy A i B podzbiory dwudzielności V (Kp,q ), takie, że
|A| = p i |B| = q. Niech H będzie grafem powstałym przez usunięcie p niezależnych krawędzi z Kp,q . Wtedy każdy wierzchołek należący do A jest stopnia
q − 1 i z tego powodu γp (H) > 2. Co prowadzi za sobą bp (Kp,q ) ≤ p.
Z drugiej strony, jeżeli H będzie grafem powstałym przez usunięcie dowolnych p − 1 krawędzi z Kp,q , wtedy istnieje wierzchołek stopnia q w A oraz
istnieje wierzchołek stopnia p w B. Zatem γp (H) = 2 i skutkiem tego jest
bp (Kp,q ) > p − 1. Zatem wnioskujemy, że bp (Kp,q ) = p. C.N.D.
Koło Wn , gdzie n ≥ 4, jest grafem z n wierzchołkami, powstałym poprzez dodawanie pojedynczego wierzchołka do wszystkich wierzchołków z cyklu Cn−1 . I
oczywiście γp (Wn ) = 2.
3
Twierdzenie 4.
Jeżeli Wn jest kołem, gdzie n ≥ 4, wtedy

 4 dla n = 4,
3 dla n = 5,
bp (Wn ) =

2 dla pozostałych.
Dowód:
Łatwo sprawdzić, że bp (W4 ) = 4 i bp (W5 ) = 3. Niech n ≥ 6 i niech x będzie
wierzchołkiem o maksymalnym stopniu z Wn . Oznaczmy przez v1 i v2 dowolny
sąsiadujący wierzchołek stopnia 3. Niech H będzie grafem powstałym z Wn
poprzez uzunięcie krawędzi xv1 oraz xv2 . Wtedy żadne dwa sąsiadujące wierzchołki nie dominują H, zatem γp (H) > 2 i z tego powodu bp (Wn ) ≥ 2. Ponadto,
usunięcie dowolnej krawędzi z Wn niezmniejsza mocy najmniejszego zbioru dominującego parami, zatem bp (Wn ) > 1. Wnioskujemy, że bp (Wn ) = 2.
Fink udowodnił, ze jezeli T jest nietrywialnym drzewem to wtedy b(T ) ≤ 2.
Jednakże nie ma podobnego rezultatu dla zmiennych związanych parami.
Twierdzenie 5.
Dla każdego nieujemnego k istnieje drzewo T , dla którego bp (T ) = k.
Dowód:
Niech T będzie drzewem powstałym przez podzielenie na mniejsze części wszystkich oprócz jednej krawędzi z gwiazdy K1,k+1 (jak na Obrazku 1.). Łatwo zauważyć, że bp (T ) = k. C.N.D.
4
Niech T będzie drzewem zdefiniowanym w Twierdzeniu 5. dla k = 3. Wtedy
b(T ) ≤ 2 oraz bp (T ) = 3. Z drugiej strony, b(P4 ) = 2 i bp (P4 ) = 1. Zatem
otrzymujemy co najstępuje.
Wniosek 6.
Liczba związania i liczba związania parami są nieporównywane nawet dla drzew.
Charakteryzacja γp - silnych stabilnie drzew
Konstruktywna charakteryzacja drzew z b(T ) = 2 jest podana przez Hartnell’a
i Rall’a. My podamy konstruktywną charakteryzację drzew z bp (T ) = 0.
Niech T będzie drzewem i niech Ω(T ) będzie zbiorem liści drzewa T . Mówimy,
że wierzchołek v jest wierzchołkiem wspierającym (support vertices) T , jeżeli v
jest sąsiadujący do liścia. Krawędź e jest nazywana krawędzią wiszącą (pendent
edge), jezeli e jest incydentna (sąsiadująca) z liściem. Jako S(T ) zapisujemy
zbiór wszystkich wierzchołków wspierających T . Wiadomo, że S(T ) ⊆ D, gdzie
D jest dowolnym zbiorem parami dominującym T .
Scharakteryzujemy teraz γp -silne drzewa. Zdefiniujemy trzy proste operacje na
drzewie T . Niech y ∈ V (T ) i niech l(y) będzie etykietą przydzieloną do y.
• Operacja T1 . Jeżeli l(y) = B, dodajemy wierzchołek x i krawędź yx i niech
l(x) = A.
• Operacja T2 . Jeżeli l(y) = C, dodajemy ścieżkę (x1 , x2 ) i krawędź yx1 i
niech l(x1 ) = B oraz l(x2 ) = A.
• Operacja T3 . Jeżeli l(y) = B, dodajemy ścieżkę (x1 , x2 , x3 ) i krawędź yx1 i
niech l(x1 ) = C, l(x2 ) = B oraz l(x3 ) = A.
Niech P2 = (u, v), gdzie l(u) = A oraz l(v) = B. Niech T będzie klasą wszystkich drzew powstałych z etykietowania P2 poprzez skończoną sekwencję operacji
T1 ,T2 ,T3 . Pokażemy, że T ∈ T ⇔ bp (T ) = 0. Drzewo z Obrazka 2. należy do
rodziny T .
Niech T ∈ T . Zapisujemy jako A(T ), B(T ), C(T ) zbiory tych wierzchołków T
oetykietowano A, B oraz C odpowiednio. Obesrwacje poniżej wynikają wprost
z konstrukcji drzewa T .
Obsrwacja 7.
Niech T ∈ T oraz niech v ∈ V (T ).
(1) Ω(T ) = A(T ) jeżeli T 6= P2 ;
(2) S(T ) = B(T ) jeżeli T 6= P2 ;
(3) NT (v) ⊆ B(T ) jeżeli l(v) = A;
(4) NT (v) ⊆ A(T ) ∪ C(T ) jeżeli l(v) = B;
(5) NT (v) ⊆ B(T ) jeżeli l(v) = C.
5
Obsrwacja 8.
Jeżeli w każda krawędź drzewa T jest wisząca, wówczas bp (T ) = 0 i istnieje
etykietowanie T , takie, że T należy do rodziny T .
Lemat 09.
Niech T będzie drzewem i niech u ∈ S(T 0 ). Jeżeli T jest drzewem, które powstało z T 0 przez dodanie wierzchołka v i krawędzi vu, wtedy γp (T ) = γp (T 0 ) i
bp (T ) = bp (T 0 ).
Dowód:
Przypomnijmy, że u jest w każdym parami dominującym zbiorze z T i w każdym
parami dominującym zbiorze z T 0 . Odkąd vu jest wiszącą krawędzią, otrzymujemy tezę.
Lemat 10.
Jeżeli T należy do T , wtedy γp (T ) = 2|B(T )|.
Dowód:
Niech D będzie minimalnym parami dominującym zbiorem (minimum paired
dominating) z T . Wtedy B(T ) = S(T ) ⊆ D i odkąd żadne dwa wspierające
wierzchołki nie są sąsiadujace w T , mamy γp (T ) ≥ 2|B(T )|. Z Obserwacji 7,
każdy wierzchołek z T jest również w B(T ) lub sąsiaduje do wierzchołka w
B(T ). Stąd γp (T ) = 2|B(T )|, co kończy dowód.
Lemat 11.
Jeżeli oetykietowane drzewo T należy do rodziny T i uv jest niewiszącą krawędzią z T , wtedy oba elementy z T − uv należą do rodziny T .
Dowód:
Niech Tu oraz Tv będą dwoma elementami z T − uv takimi, że u ∈ V (Tv )
oraz v ∈ V (Tv ). Aby pokazać, że Tu , Tv ∈ T użyjemy indukcji na s(T ), liczbie operacji wymagających skonstruowania drzewa T . Jeżeli s(T ) = 1, wtedy
T ∈ {P3 , P5 }.
Niech T ∈ T będzie drzewem z s(T ) = k, gdzie k ≥ 2, k ∈ Z i przyjmijmy to
także dla każdego drzewa T 0 ∈ T , gdzie s(T 0 ) < k i oba elementy T 0 − uv należą
6
do T , gdzie uv jest niewiszącą krawędzią z T 0 . Rozważymy trzy przypadki.
Przypadek I. T powstało z T 0 ∈ T przez Operację T1 . Niech uv będzie niewiszącą krawędzią z T . Wtedy uv jest także niewiszącą krawędzią z T 0 . Przez
indukcję, dwa elementy z T 0 − uv, to jest Tu0 i Tv0 należą do T . Ponadto albo
Tu = Tu0 albo Tv = Tv0 . Jeżeli Tu = Tu0 , wtedy Tv powstało z Tv0 przez Operację
T1 . Wnioskujemy, że zarówno Tu , jak i Tv należą do T . Przypadek gdy Tv = Tv0
jest analogiczny.
Przypadek II. T powstało z T 0 ∈ T przez Operację T2 , gdzie y ∈ V (T 0 ), takie że l(y) = C i (x1 , x2 ) jest ścieżką przyłączoną do y przez krawędź yx1 .
Niech uv będzie niewiszącą krawędzią z T . Jeżeli uv = x1 y, wtedy P2 i T 0 są
dwoma elementami z T − uv i należą do T . Jeżeli uv 6= x1 y, wtedy uv jest również niewiszącą krawędzią z T 0 i reszta dowodu jest analogiczna do Przypadku I.
Przypadek III. T powstało z T 0 ∈ T przez Operację T3 , gdzie y ∈ V (T 0 ), takie
że l(y) = B i (x1 , x2 , x3 ) jest ścieżką przyłączoną do y przez krawędź yx1 . Niech
uv będzie niewiszącą krawędzią z T . Jeżeli uv = x1 y, wtedy Tx1 = P3 i Ty = T 0
są elementami z T −uv i należą do T (jeśli zmienimy etykietę l(x1 ) = A). Jeżeli
uv = x2 x1 , wtedy Tx2 = P2 i Tx1 są elementami z T − uv i należą do T , (jeśli
zmienimy etykietę l(x1 ) = A), podczas gdy Tx1 jest drzewem powstałym z T 0
poprzez użycie Operacji T1 . W obu przypadkach, oba elementy z T − uv należą
do T . W innym przypadku, jeżeli uv 6= x1 y i uv 6= x2 x1 , wtedy uv jest również
niewiszącą krawędzią z T 0 i dowód jest analogiczny do Przypadku I.
Zatem teza została udowodniona.
Lemat 12.
Jeżeli T należy do T to bp (T ) = 0.
Dowód:
Będziemy postępować, używając indukcji na p(T ), liczbie niewiszących krawędzi drzewa T . Jeżeli p(T ) = 0, wtedy bp (T ) = 0 z Obserwacji 8.
Niech T ∈ T będzie drzewem, gdzie p(T ) = k, k ∈ Z+ . Przyjmujemy, że
bp (T 0 ) = 0 dla każdego T 0 ∈ T , gdzie p(T 0 ) < k. Niech uv będzie niewiszącą krawędzią z T i niech Tu oraz Tv będzie zdefiniowane, jak w dowodzie
z poprzedniego lematu. Wystarczy pokazać, że bp (Tu ) = bp (Tv ) = 0 oraz
γp (Tu ) + γp (Tv ) = γp (T ). Z Obserwacji 7. wynika, że jeden z wierzchołków
u lub v należy do T , wtedy przez indkukcję hipotezy, bp (Tu ) = bp (Tv ) = 0. Ponadto obserwujemy, że u ∈ B(Tu ), v ∈ A(Tv ) ∪ C(Tv ) i B(Tu ) ∪ B(Tv ) = B(T ).
Zatem z Lematu 10. wynika, że γp (Tu ) + γp (Tv ) = γp (T ) i ponadto bp (T ) = 0.
C.N.D.
Lemat 13.
Jeżeli T jest drzewem, takim że bp (T ) = 0, wtedy T ∈ T .
Dowód:
Niech T będzie drzewem, gdzie bp (T ) = 0 i niech P = (s0 , s1 , . . . , sk ) będzie
najdłuższą ścieżką w T . Jeżeli k ∈ {1, 2}, wtedy T jest gwiazdą i T należy do
T dla jakiegoś etykietowania. Zauważmy, że k 6= 3, inaczej T będzie podwójną
gwiazdą i bp (T ) ∈ Z+ . Zatem przyjmijmy, że k ≥ 4 i rezultat jest prawdziwy dla
7
wszystkich drzew T 0 z bp (T 0 ) = 0 i n(T 0 ) < n(T ). Rozróżnimy dwa przypadki
zależne od stopnia s1 .
Przypadek I. dT (s1 ) > 2. Rozważmy drzewo T 0 = T − s0 . Z Lematu 9.
bp (T ) = 0, zatem z indukcji hipotezy mamy T 0 ∈ T . Jeśli s1 jest wierzchołkiem
wspierającym w T 0 , wnioskujemy, że l(s1 ) = B. Zatem T poestało z T 0 poprzez
Operację T1 i ponadto T ∈ T .
Przypadek II. dT (s1 ) = 2. Najpierw zakładamy, że s2 nie jest wierzchołkiem
wspierającym wierzchołka. Aby to pokazać przypuśćmy, że v1 , . . . , vi są liściami
sąsiadującymi do s2 . Zdefiniujmy E1 , jako zbiór niewiszących krawędzi incydentnych z s2 , ale nie z s1 . Wtedy δ(T − E1 ) ≥ 1 i podwójna gwiazda S(1, i) ze
środkowymi wierzchołkami s1 i s2 jest elementem z T − E1 . Zatem b)p(T ) > 0
jest sprzecznością. Więc s2 nie jest wierzchołkiem wspierającym wierzchołka.
Rozważymy teraz 2 przypadki.
a) dT (s2 ) > 2. Rozważamy drzewo T 0 = t − {s0 , s1 }. Z tego, że bp (T ) = 0
wiadomo, że bp (T − s1 s2 ) = 0 i ponadto bp (T 0 ) = 0. Zatem, z indukcji hipotezy,
T 0 ∈ T . Skoro s2 nie jest ani wierzchołkiem wspierającym wierzchołka, ani
liściem w T 0 , mamy l(s2 ) = C. Zatem T może powstać z T 0 przez Operację T2
iT ∈T.
b) dT (s2 ) = 2. Zakładamy, że s3 jest wierzchołkiem wspierającym wierzchołka.
Przypuśćmy niewsprost, że s3 nie jest wierzchołkiem wspierającym wierzchołka.
Niech E2 będzie zbiorem niewiszących krawędzi z s3 , ale nie incydentny z s2 .
Wtedy podwójna gwiazda S(1, 1) ze środkowymi wierzchołkami s1 i s2 jest elementem z T − E2 . Zatem bp (T ) > 0 to sprzeczność. Więc s3 jest wierzchołkiem
wspierającym wierzchołka. Niech T 0 = T − {s0 , s1 , s2 }. Skoro bp (T ) = 0 to
mamy bp (T − s2 s3 ) = 0 i ponadto bp (T 0 ) = 0. Z indukcji hipotezy mamy
T 0 ∈ T . Skoro s3 jest wierzchołkiem wspierającym wierzchołka w T 0 mamy, że
l(s3 ) = B. Zatem T może powstać z T 0 poprzez użycie Operacji T3 i T ∈ T .
C.N.D.
Bezpośrednią konsekwencją Lematów 12 13 jest następująca charakteryzacja
wszystkich drzew T z bp (T ) = 0.
Twierdzenie 14.
Niech T będzie drzewem. Wtedy bp (T ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy T ∈ T .
Bibliografia:
Opracowano na podstawie artykułu J. Raczek, Paired bondage in trees, Discrete Mathematics (2007), doi:
10.1016/j.disc.2007.10.010.
8