STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI

Transkrypt

www.kwmimkm.polsl.pl
INTELIGENTNE
TECHNIKI
KOMPUTEROWE
STANDARDOWE
FUNKCJE
PRZYNALEŻNOŚCI
wykład 110
1
GAUSSOWSKA F. PRZYNALEŻNOŚCI
⎛ ⎛ x − x ' ⎞2 ⎞
⎟ ⎟⎟
⎝ ⎝ a ⎠ ⎠
2
⎧0
⎪
2
⎪2 ⎛ x - a ⎞
⎪⎪ ⎝⎜ c - a ⎠⎟
s( x; a, b, c ) = ⎨
2
⎛ x-c⎞
⎪
⎪1 − 2 ⎜⎝ c - a ⎟⎠
⎪
⎪⎩1
μ A ( x; x ', a ) = exp ⎜⎜ − ⎜
μ(x)
1
a=2
a=0.5
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s
dla x ≤ a
dla b ≤ x ≤ a
b=
dla b ≤ x ≤ c
a+c
2
dla x ≥ c
0.5
μ (x )
1
0
x'
0
x
10
0.5
x’ – środek;
a – określa szerokość krzywej
0
a
0
b
c
x
10
3
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π
(zdef.
zdef. poprzez klasę s)
4
(alternatywa dla s)
μ (x )
dla x ≤ a
⎧ s( x; c - b, c - b / 2, c )
⎩1- s( x; c, c + b / 2, c + b) dla x ≥ c
1
π ( x; b, c ) = ⎨
0.5
0
0
μ (x )
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY γ
a
b
c
x
10
dla x ≤ a
⎧0
⎪⎪ x − a
γ ( x; a , b ) = ⎨
⎪b − a
⎩⎪1
dla a ≤ x ≤ b
dla x ≥ b
μ (x )
1
1
0.5
0
0
c-b
c-b/2
c
c+b/2
c+b
x
16
0
0
5
a
b
x
10
6
1
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY t
(alternatywa dla π)
μ (x )
1
0.5
0
0
c-b
c-b/2
c
c+b/2
x
c+b
16
⎧ 0
⎪x−a
⎪
⎪b − a
t ( x; a, b, c ) = ⎨
⎪c − x
⎪c −b
⎪ 1
⎩
dla x ≤ a
dla x ≤ a
⎧1
⎪⎪ b - x
L( x; a, b)= ⎨
⎪b - a
⎩⎪0
dla a ≤ x ≤ b
dla b ≤ x ≤ c
dla x ≥ c
μ (x )
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY L
dla a ≤ x ≤ b
dla x ≥ b
μ (x )
1
1
0
0
a
0
b
c
x10
a
0
b
x
10
7
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY singleton
⎧ 1 jeżeli x = x '
⎩0 jeżeli x ≠ x '
8
Np.: prędkość samochodu:
X: [0, xmax]
• Mała prędkość samochodu (A) – typ L
μ A ( x ) = δ ( x - x ')= ⎨
• Średnia prędkość samochodu (B) – typ t
• Duża prędkość samochodu (C) – typ γ
μ (x )
1
1
μA(x)
μB(x)
μC(x)
0.5
0.5
0
0
x'
x
10
Singleton charakteryzuje jednoelementowy zbió
zbiór rozmyty.
Funkcja ta jest wykorzystywana gł
głównie do operacji
rozmywania w systemach wnioskują
wnioskujących.
40
x=55
9
μ(x)
α
0
Jądro
80
xmax
⇒ μA(x) =0.25,
=0.25, μB(x)=0.7
)=0.75, μC(x)=0
x
10
Np.:
Np.:
A=
1
60
0.1 0.3 0.7 0.6 0.3
+
+
+
+
2
4
5
8 10
X={1, ..., 10}
x
α - przekrój
α -przekroje:
przekroje:
Baza
- Nośnik (baza) ZR A: zbiór elementów
ZR, dla których μ (x) >0
supp A = {x ∈ X; μ A ( x ) > 0}
Jądro ZR A: zbiór elementów ZR, dla których μ(x)=1
core( A) = { x ∈ X : μ A ( x ) = 1 }
- α -przekrój ZR A: zbiór nierozmyty taki, że:
Aα = { x ∈ X : μ A ( x ) ≥ α } ∀(α ∈ [0,1]
11
A0 = X = {1, ..., 10}
10},
A0.1 = {2, 4, 5, 8, 10},
A0.3 = {4, 5, 8, 10},
A0.6 = {5, 8},
A0.7 = {5}.
12
2
Wysokość zbioru rozmytego A:
Inkluzja (zawieranie sie ZR A w ZR B):
μ B(x)
μ (x)
h( A) = sup μ A ( x )
x∈A
Zbiór normalny:
normalny:
μ A(x)
h( A) = 1
Normalizacja zbioru: μ AN ( x ) =
x
μA ( x)
∧
h ( A)
ZR wypukły:
wypukły:
x∈ X
ZR niewypukły:
niewypukły:
μ (x)
Np.
Np.:
μ (x)
0.2 0.5 0.4
+
+
3
5
7
- przed normalizacją:
A=
- po normalizacji:
AN =
0.4 1.0 0.8
+
+
3
5
7
x
x
13
Równość dwu ZR A i B:
μA ( x ) = μB ( x ) ∀x ∈ X
14
PRZECIĘCIE
W literaturze istnieje wiele definicji przecięcia (iloczynu)
zbiorów rozmytych pod wspólną nazwą T-norm.
OPERACJE
NA ZBIORACH
ROZMYTYCH
μ A ∩ B ( x ) = T (μ A ( x ), μ B ( x ))
Najczęściej stosowana definicja przecięcia zbiorów A i B:
μ A∩B ( x ) = min {μ A ( x ), μ B ( x )}
1
μ (x)
μ A(x)
μ B(x)
μ A∩B(x)
x
0
15
lub (iloczyn algebraiczny):
algebraiczny):
μ (x)
T : [0,1] × [0,1] → [0,1]
nazywamy T -normą, jeżeli:
jest nierosnąca względem obu argumentów:
μ A(x)
T ( a, c ) ≤ T (b, d ) dla
μ B(x)
a≤b
c≤d
spełnia warunek przemienności:
μ A∩B(x)
0
T-norma
Funkcję 2 zmiennych T
μ A∩B ( x ) = μ A ( x ) ⋅ μ B ( x )
1
16
T (a, b) = T (b, a )
spełnia warunek łączności:
x
T (T ( a , b), c ) = T ( a , T (b, c) )
spełnia warunki brzegowe:
T ( a , 0) = 0, T ( a ,1) = a
17
gdzie a, b, c, d ∈ [0,1].
18
3
SUMA
Definicje sumy zbiorów rozmytych mają nazwę S-norm.
S-norma (T-konorma)
konorma)
S : [0,1] × [0,1] → [0,1]
Funkcję 2 zmiennych S
nazywamy S -normą, jeżeli:
Np.:
jest nierosnąca względem obu argumentów:
μ A∪B ( x ) = max {μ A ( x ), μ B ( x )}
S ( a, c ) ≤ S (b, d ) dla
a≤b
c≤d
spełnia warunek przemienności:
μ (x)
1
μ A(x)
S ( a, b) = S (b, a )
μ B(x)
spełnia warunek łączności:
μ A∪B(x)
S ( S ( a , b ), c ) = S ( a , S ( b, c) )
spełnia warunki brzegowe:
x
0
S ( a , 0) = a , S ( a ,1) = 1
19
Każdej T-normie odpowiada S-norma:
gdzie a, b, c, d ∈ [0,1].
Przykład:
S
a * b = 1 − ⎡⎢ (1 − a ) *(1 − b ) ⎤⎥
⎣
⎦
Przykłady T-norm i S-norm:
T
Nr
1
2
3
T(a, b)
min(a, b)
ab
max(a + b – 1, 0)
4
⎧ a gdy b = 1
⎪
⎨ b gdy a = 1
⎪ 0 gdy a, b ≠ 1
⎩
A=
S(a, b)
max(a, b)
a + b – ab
min(a + b, 1)
20
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
0.8 1 0.7
+ +
3
5
7
Przecięcie:
A∩ B =
B=
0.5 0.8 1
+
+
3
5
6
0.5 0.8
+
3
5
Suma:
⎧ a gdy b = 0
⎪
⎨ b gdy a = 0
⎪ 1 gdy a,b ≠ 0
⎩
A∪ B =
0.8 1 1 0.7
+ + +
3
5 6
7
21
μ Aˆ ( x ) = 1 − μ A ( x )
DOPEŁNIENIE zbioru rozmytego:
μ (x)
1
22
Przykład:
Przykład:
X = {2, 3, 4,5, 6, 7}
μ Â(x)
μ A(x)
A=
0.8 1 0.9 0.7
+ +
+
3
5
6
7
x
0
1 0.2 1 0.1 0.3
Aˆ = +
+ +
+
2
3
4
6
7
Dla ZR nie są spełnione prawa dopełnienia:
μ (x)
A ∪ Aˆ ≠ X
1
μ A(x)
μ Â(x)
μ (x)
1
A ∩ Aˆ ≠ ∅
0
0.2 0.1 0.3
+
+
≠∅
Przecięcie: A ∩ Aˆ =
x
0
μ A(x)
3
6
7
μ Â(x)
ˆ 1 0.8 + 1 + 1 + 0.9 + 0.7 ≠ X
Suma: A ∪ A = +
2
x
23
3
4
5
6
7
24
4
Liczby rozmyte to ZR zdefiniowane na osi liczb
rzeczywistych.
Wymagania:
• zbiór normalny: h(A)=1;
)=1;
LICZBY
ROZMYTE
11
μ (x)
0
• zbiór wypukły;
• funkcja przynależności przedziałami ciągła.
Liczby rozmyte:
x
x
μ (x)
• dodatnie
1
• ujemne;
• ani dodatnie ani ujemne.
x
0
x
25
Dodawanie liczb rozmytych:
rozmytych:
μ
1
μ A+ B ( x ) = max {μ A ( y ), μB ( z ) x = y + z}
μA(y)
μB(z)
26
Trójkątne liczby rozmyte:
rozmyte:
Opis:
μ (x)
- f. przynależności klasy t;
- jako: A = ( a1 , a M , a2 )
μA+B(x)
1
0
x
0
Wyostrzanie trójkątnej
liczby rozmytej:
x
Mnożenie liczb rozmytych:
rozmytych:
μ A⋅B ( x ) = min {μ A ( y ), μB ( z ) x = y ⋅ z}
μ
1
y(1) = a M
μA(y)
μB(z)
a1 + a M + a2
3
y(3) =
a1 + 2a M + a2
4
aM
y(4) =
a2
x
a1 + 4a M + a2
6
μ(x)
μA·B(x)
Płaskie
liczby rozmyte:
rozmyte:
x
0
y(2) =
x
a1
27
x
1
0
x
28
Logika tradycyjna (dwuwartościowa):
O prawdziwości zdań wnioskuje się na podstawie
prawdziwości innych zdań.
PRZYBLIŻONE
WNIOSKOWANIE
Schemat notowania:
• Nad kreską zdania, na podstawie których się wnioskuje;
• Pod kreską otrzymany wniosek.
Jeśli prawdziwe są wszystkie zdania powyżej kreski
to prawdziwy jest też wniosek.
wniosek.
Teraz: A, B – zdania.
zdania.
29
30
5
Zdanie logiczne o strukturze „jeśli p to q" (p
(p⇒q)
Funktory logiczne:
logiczne:
• p – poprzednik implikacji;
Operacja logiczna
Funktor
Czyta się:
negacja
~ lub ¬
nie jest prawdą, że...
• q – następnik implikacji.
koniunkcja
∧
i, oraz
alternatywa
implikacja
∨
⇒
lub
jeżeli... to ...
równoważność
⇔
≡
wtedy i tylko wtedy, gdy...
kwantyfikator
ogólny
∀
dla każdego...
kwantyfikator
szczególny
∃
istnieje takie...
tożsamość
Implikacja (wynikanie):
• A=1 : logiczną wartością zdania A jest prawda;
prawda;
• A=0 : logiczną wartością zdania A jest fałsz.
fałsz.
Implikacja jest prawdziwa:
• gdy q jest prawdziwe;
• gdy p i q są fałszywe.
jest tożsame...
31
REGUŁY WNIOSKOWANIA
Wniosek:
MODUS TOLLENS
Modus tollendo tollens–
tollens– sposób wnioskowania
prowadzący przez przeczenie do przeczenia.
MODUS PONENS
Modus ponendo ponens – sposób wnioskowania
przez twierdzenie p do twierdzenia q.
Przesł
Przesłanka:
Implikacja:
32
Przesł
Przesłanka:
Implikacja:
A
A →B
Wniosek:
B
~B
A →B
~A
Z prawdziwości przesłanki i implikacji
również wynika prawdziwość wniosku.
wniosku.
Np.:
Np.:
• B=0 (~B
=1) „Jacek nie ma prawa jazdy”
(~B=1)
• A=0 (~A=1)
~A=1) „Jacek nie jest kierowcą”
• Jeśli B=0 to A=0
Z prawdziwości przesłanki i implikacji
wynika prawdziwość wniosku.
wniosku.
Np.:
Np.:
• A=1 „Jacek jest kierowcą”
• B=1 „Jacek ma prawo jazdy”
• Jeśli A=1 to B=1
33
34
REGUŁY WNIOSKOWANIA W LOGICE ROZMYTEJ
Reguły, których przesłanki lub wnioski wyrażone
są w języku zbiorów rozmytych.
rozmytych.
Reguły mają postać IF...AND...THEN.
IF...AND...THEN. np.:
np.:
IF a is A1 AND b is B1 THEN c is C1
IF a is A2 AND b is NOT B2 THEN c is C2
• Reguły pochodzące od ekspertów zwykle wyrażone
są w języku nieprecyzyjnym.
nieprecyzyjnym.
gdzie:
a, b, c
– zmienne lingwistyczne,
A1, ..., C2 – zbiory rozmyte.
• Zbiory rozmyte pozwalają przełożyć ten język na
konkretne wartości liczbowe.
liczbowe.
Praca systemu decyzyjnego opartego na logice rozmyrozmytej zależy od definicji reguł rozmytych w bazie reguł.
reguł.
35
Zmienne lingwistyczne:
zmienne, które przyjmują jako wartości słowa lub
zdania wypowiedziane w języku naturalnym.
(również wartości liczbowe).
36
6
Różnice w porównaniu z klasycznymi regułami IFIF-THEN:
THEN:
• Wykorzystanie zmiennych opisujących zbiory rozmyte;
Implikacja:
• Występowanie mechanizmu określającego stopień
przynależności elementu do zbioru;
Przesł
Przesłanka:
Wniosek:
Prędkość samochodu jest duża
Jeś
Jeśli prę
prędkość
dkość samochodu jest bardzo duż
duża
→ poziom hał
hałasu jest wysoki
Poziom hałasu jest średniowysoki
• Wykorzystanie operacji na zbiorach rozmytych.
Np.:
Schemat wnioskowania, w którym przesłanka,
przesłanka,
implikacja i wniosek są nieprecyzyjne:
nieprecyzyjne:
Przes
Przesłanka:
anka:
Implikacja:
Wniosek:
Rozmyta reguła wnioskowania modus ponens :
Przesł
Przesłanka:
x jest A’
Implikacja:
Jeś
Jeśli x jest A→ y jest B
y jest B’
Wniosek:
Jeś
Jeśli prę
prędkość
duża
→ poziom hał
hałasu jest wysoki
37
Przesł
Przesłanka:
Implikacja:
Jeś
Jeśli prę
prędkość
duża
→ poziom hał
hałasu jest wysoki
Wniosek:
38
Do każdego elementu zbiorów T1 i T2 można
przyporządkować zbiór rozmyty o założonej przez
nas funkcji przynależności.
Tu:
A – „prędkość samochodu jest bardzo duża”;
A’ – „prędkość samochodu jest duża”;
B – „poziom hałasu jest wysoki”;
B’ – „poziom hałasu jest średniowysoki”.
średniowysoki”.
Zmienne lingwistyczne:
• x – prędkość samochodu
• y – poziom hałasu
• Implikacja ma tą samą postać (A→B)
w regule rozmytej jak i w nierozmytej.
nierozmytej.
Zbiór wartości zmiennych lingwistycznych:
• x: T1={„mała
”, „średnia
”, „duża
”, „bardzo
T1={„mała”,
„średnia”,
„duża”,
„bardzo duża”}
duża”}
• y: T2={„mały
”, „średni
”, „średniowysoki
”, „wysoki
”}
T2={„mały”,
„średni”,
„średniowysoki”,
„wysoki”}
39
Do każdego elementu zbiorów T1 i T2 można
przyporządkować zbiór rozmyty o założonej przez
nas funkcji przynależności.
Tu:
A – „prędkość samochodu jest bardzo duża”;
A’ – „prędkość samochodu jest duża”;
B – „poziom hałasu jest wysoki”;
B’ – „poziom hałasu jest średniowysoki”.
średniowysoki”.
• Implikacja ma tą samą postać (A→B)
w regule rozmytej jak i w nierozmytej.
nierozmytej.
• W regule rozmytej jej przesłanka nie dotyczy zb.
zb.
rozmytego A lecz A’,
A’, który może być zbliżony do
A, ale niekoniecznie A=A’.
A’.
41
• W regule rozmytej jej przesłanka nie dotyczy zb.
zb.
rozmytego A lecz A’,
A’, który może być zbliżony do
A, ale niekoniecznie A=A’.
A’.
40
• Ponieważ A≠A’ - wniosek jest inny niż byłby
w przypadku reguły nierozmytej.
nierozmytej.
• Zbiór rozmyty B’ jest określony przez złożenie zbioru
rozmytego A’ oraz implikacji A⇒B:
B ' = A ' °( A → B )
Rozmyta reguła wnioskowania modus tollens :
Przesł
Przesłanka:
y jest B’
Implikacja:
Jeś
Jeśli x jest A→ y jest B
x jest A’
Wniosek:
42
7
Wyznaczanie funkcji μA→B(x,y)
gdy μA(x) oraz μB(y) są znane:
1. Reguła Mamdaniego:
Mamdaniego:
μA→B ( x, y ) = min[ μA ( x ), μB ( y )]
STEROWNIKI
ROZMYTE
2. Reguła Larsena:
Larsena:
μ A→ B ( x, y ) = μ A ( x ) ⋅ μB ( y )
3. Reguła Łukasiewicza:
μ A→ B ( x, y ) = min [1,1- μ A ( x ) + μB ( y )]
4. Reguła Zadeha:
Zadeha:
...
μ A→ B ( x, y ) = max {min [ μ A ( x ), μ B ( y ) ] ,1 − μ A ( x )}
43
Zastosowania praktyczne:
•
sprzęt AGD (pralki, lodówki, odkurzacze);
•
kamery (autofokus
);
(autofokus);
•
nadzór wentylacji w tunelach;
•
sterowanie światłami na wjeździe na autostradę;
•
klimatyzacja;
•
automatyka przemysłowa;
•
sterowanie robotów;
•
...
44
STEROWNIK ROZMYTY:
ROZMYTY:
BAZA
REGUŁ
x
BLOK
BLOK
A' ⊆X
ROZMYWANIA
WNIOSKOWANIA
B'
BLOK
WYOSTRZANIA
Baza reguł (model lingwistyczny):
zbiór rozmytych reguł w postaci:
R ( k ) : IF ( x1 is A1k AND x2 is A2k K AND xn is Ank )
THEN (y1 is B1k AND y2 is B2k K AND ym is Bmk )
45
Np. Sterowanie ogrzewaniem:
mróz
zimno
chłodno
tanio
mocno
mocno
średnio
średnio
mocno
średnio
słabo
drogo
średnio
słabo
wcale
46
1
R
ROZMYWANIE (fuzzyfikacja)
fuzzyfikacja)
• Przejście od pomiarów (konkretna wartość x 1) do
funkcji przynależności przez określenie stopni przynaprzynależności zmiennych lingwistycznych do każdego ze
zbiorów rozmytych.
• Temperatura: T =15°
=15°C
Np.:
• Cena_ogrz: p =48zł/MBTU
R (3) : IF (Temperatura is chłodno AND Cena _ ogrz is tanio)
THEN (Grzać is średnio)
Temperatura
Cena
ogrzewania
R (1) : IF (Temperatura is mróz AND Cena _ ogrz is tanio)
THEN (Grzać is mocno)
(2)
y
: IF (Temperatura is chłodno AND Cena _ ogrz is drogo)
THEN (Grzać is wcale)
μchłodno(T)
0.5
μtanio(p)
0.3
0
47
1
15°C
T
0
48zł/MBtu
p
48
8
1
μchłodno(T)=0.5
1
0.5
μtanio(p)=0.3
Obliczanie stopnia prawdziwości wniosku:
• Wnioskowanie MIN:
MIN:
0.3
0
0
T
15°C
WNIOSKOWANIE
μwniosku = min{ μcałe , μśrednio}
p
48zł/MBtu
Stopień spełnienia reguły dla wszystkich przesłanek:
μcałe ( x) = min{ μchłodno (T ), μtanio ( p)}
μśrednio(h)
1
μcałe=0.3
= min{0.5,0.3} = 0.3
μwniosku(h)
0
„poziom zapłonu reguły”
reguły”
h
49
50
Jeżeli więcej niż jedna reguła ma niezerowy poziom
zapłonu, wyniki (zbiory rozmyte) sumuje się.
się.
• Wnioskowanie • (iloczyn alg.):
alg.):
THEN Grzać is słabo
THEN Grzać is średnio
THEN Grzać is mocno
μwniosku = μcałe μśrednio
1
μśrednio(h)
μwniosku
1
μcałe=0.3
słabo
μwniosku(h)
0
AGREGACJA
średnio mocno
h
0
h
51
WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja)
defuzzyfikacja)
Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa,
liczbowa, stosuje się
jedną z metod wyostrzania:
52
Tu:
μwniosku
1
• Metoda pierwszego maksimum:
słabo
COG
0
• Metoda środka maksimum:
średnio mocno
h
57°
COG dla zbiorów ciągłych:
h=
∑μ Ac
∑μ A
i
i i
i
i
Ai – powierzchnia zbioru i
i
i
μi – stopień przynależności do zbioru i
• Metoda środka ciężkości (COG):
53
ci – środek ciężkości zbioru i.
54
9

STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI

Transkrypt

Podobne dokumenty

Konsultacje CV.cdr - Biuro Karier Studenckich

Forum Wodne to debata, celem której jest otwarta dyskusja w

kontrola jakości części maszyn pod kątem dokładności wymiarowo

Sposób lutospawania laserowego złącza folia

ebm papst – plakat

Bezzałogowy statek latający HT-06 Falco