Zadanie 1. (4 punkty) (a) Wyznaczyć obszar zbieżności punktowej i

Zadanie 1. (4 punkty)
(a) Wyznaczyć obszar zbieżności punktowej i funkcję graniczną ciągu fn : [0, 1] → R określonego
wzorem fn (x) = nxn (1 − x).
(b) Znaleźć promień oraz przedział zbieżności szeregu
∞
X
5n−2 xn+1
n7n+3
n=1
.
Znaleźć sumę podanego szeregu.
Zadanie 2. (4 punkty) Obliczyć, jeżeli istnieją, podane granice
(a)
(xy)2
;
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
(b)
xy 2
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 4
(c) Czy funkcja f : R2 → R określona wzorem
lim


f (x, y) = 
xy 2
,
x2 +y 4
gdy (x, y) 6= (0, 0)
0,
gdy (x, y) = (0, 0).
jest ciągła?
Zadanie 3. (4 punkty) Niech odwzorowania d : N × N → [0, ∞), d2 , dP : R × R → [0, ∞) będą
zadane następującymi wzorami:
d(x, y) =
x
1 + x
q
d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
y −
,
1 + y
(y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2
oraz


dP ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = 
d2 ((x1 , x2 ), (P1 , P2 )) + d2 ((P1 , P2 ), (y1 , y2 )),
gdy (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 )
0,
gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ),
gdzie P = (P1 , P2 ) = (3, 2).
(a) Uzasadnić, że odwzorowanie d jest metryką.
(b) Narysować kule otwarte B((1, 2), 4), B((−2, 3), 1) w metrykach d2 i dP .
Zadanie 4. (a) (3 punkty) Znaleźć pochodną następującej funkcji:
f (x, y) = (logx y, xy , sin((2x + y)2012 )).
(b) (3 punkty) Napisać wzór Taylora z resztą R3 dla funkcji
f (x, y) = −x2 + 2xy + 3y 2 − 6x − 2y − 4 w punkcie (x0 , y0 ) = (−2, 1).
(c) (2 punkty) Obliczyć pierwszą pochodną funkcji uwikłanej y = y(x) określonej przez równanie
2 sin x − 3xy + ey − 1 = 0 w punkcie x0 = 0.