www.zadania.info – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA

www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 1
Dla jakich wartości parametru k nierówność x4 + kx2 + 1 > 0 jest prawdziwa dla każdego x ∈ R?
Z ADANIE 2
Wyznacz wszystkie wartości parametrów a, b, dla których nierówność
( x2 − x − 2)( x2 − 2ax + 3bx − 6ab) > 0
jest spełniona przez każda˛ liczb˛e rzeczywista.˛
Z ADANIE 3
Rozwia˛ż nierówność
x4 − 3x3 − 6x2 + 28x − 24 6 0.
Z ADANIE 4
Wyznacz dopełnienie zbioru A = { x ∈ R : x4 − 10x2 + 9 6 0} w zbiorze liczb rzeczywistych.
Z ADANIE 5
Dany jest wielomian W ( x ) = x3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba˛ pierwsza.˛ Znajdź p wiedzac,
˛ że W ( x ) ma
pierwiastek całkowity.
Z ADANIE 6
Pierwiastkami wielomianu W ( x ) = x3 − x2 + ax + b sa˛ tylko dwie liczby: 2 oraz (-3).
a) Oblicz a i b.
b) Zapisz wielomian w postaci czynników liniowych.
Z ADANIE 7
√
Wiedzac,
˛ że liczba 1 − 3 jest pierwiastkiem wielomianu W ( x ) = x3 − 3x2 + m, wyznacz wartość parametru
m.
Z ADANIE 8
Rozwia˛ż równanie x4 − 3x2 = 3 − x2 .
Z ADANIE 9
Miejscem zerowym wielomianu W ( x ) = 2x3 + ax2 − 6x jest liczba (-1).
a) Oblicz a.
b) Wyznacz pozostałe miejsca zerowe W ( x ).
1
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 10
Liczby x = 1 i x = −2 sa˛ pierwiastkami wielomianu ax4 + 2x3 − 3ax2 + 2ax − 6x + 4. Wiedzac,
˛ że wielomian
ten jest kwadratem wielomianu stopnia 2, oblicz a.
Z ADANIE 11
Wielomian x3 − 9x + 4 = 0 ma 3 pierwiastki rzeczywiste.
a) Oblicz sum˛e odwrotności tych pierwiastków.
b) Ustal, ile jest pierwiastków dodatnich.
c) Oblicz odwrotność sumy kwadratów pierwiastków.
d) Oblicz sum˛e kwadratów odwrotności tych pierwiastków.
Z ADANIE 12
Rozwia˛ż równanie x3 + 3x2 + 2x + 4 = ( x + 2)2 .
Z ADANIE 13
Dla jakich wartości parametru m równanie mx3 − (2m + 1) x2 + (2 − 3m) x = 0 ma rozwiazania,
˛
których suma
jest dodatnia?
Z ADANIE 14
Wyznacz te wartości parametru p, dla których równanie x4 + ( p + 1) x2 + p2 − 1 = 0 ma dokładnie dwa różne
pierwiastki.
Z ADANIE 15
√
√
√
Rozwia˛ż równanie x3 − 2x2 + 2 3x − 2 6 = 0.
Z ADANIE 16
√
√
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba 3 + 2 − 1.
Z ADANIE 17
Wielomian W ( x ) = (m − 4) x3 − (m + 6) x2 − (m − 1) x + m + 3 jest podzielny przez dwumian x + 1. Dla jakich
wartości parametru m wielomian W ( x ) ma dokładnie dwa pierwiastki?
Z ADANIE 18
Dla jakich wartości parametru m wielomian W ( x ) = 2x4 − 2x3 − 6x2 + 10x + m ma pierwiastek trzykrotny?
2
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 19
Wiedzac,
˛ że suma kwadratów pierwiastków równania
mx3 + 6mx2 + (8m − 5) x − 10 = 0
jest równa 30, wyznacz m.
Z ADANIE 20
√
Rozważmy równanie 9x4 + 2 − 5x2 − 1 = 0.
a) Uzasadnij, że równanie to ma 4 pierwiastki.
b) Oblicz sum˛e szóstych pot˛eg wszystkich pierwiastków tego równania.
Z ADANIE 21
Dla jakich wartości parametru m równanie ( x − m)2 [m( x − m)2 − m − 1] + 1 = 0 ma wi˛ecej pierwiastków
dodatnich niż ujemnych?
Z ADANIE 22
Wyznacz współczynniki c i d wielomianu W ( x ) = x3 − 4x2 + cx + d wiedzac,
˛ że liczba 1 jest dwukrotnym
pierwiastkiem wielomianu W ( x ).
Z ADANIE 23
Udowodnij, że jeżeli wielomian W ( x ) = x3 + px + q ma trzy pierwiastki, to p jest liczba˛ ujemna.˛
Z ADANIE 24
Dla jakich wartości parametru m równanie x5 + (1 − 2m) x3 + (m2 − 1) x = 0 ma
a) pi˛eć pierwiastków;
b) dokładnie 3 pierwiastki;
c) tylko jeden pierwiastek?
Z ADANIE 25
Dla jakich wartości parametru p wielomian W ( x ) = x3 − 3px + 9p − 27 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste?
Z ADANIE 26
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
( x2 + 3mx + 1)( x2 + 2x + m) = 0
ma cztery różne pierwiastki, których suma sześcianów jest równa 4.
3
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 27
Wykaż, że jeżeli wielomian W ( x ) = x3 + ax + b ma pierwiastek dwukrotny, to 4a3 + 27b2 = 0.
Z ADANIE 28
Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie mx3 + (9m − 3) x2 + (2 − m) x = 0 ma co najmniej
jedno rozwiazanie
˛
dodatnie.
Z ADANIE 29
Wyznacz wartości parametrów a i b dla których jedynymi rozwiazaniami
˛
równania
x4 + ( a − b) x3 − ( ab + 1) x2 − ( a − b) x + ab = 0
sa˛ liczby x = −1 i x = 1.
Z ADANIE 30
Jednym z pierwiastków wielomianu W ( x ) stopnia trzeciego jest liczba 1, a suma pozostałych dwóch pierwiastków jest równa 0. Do wykresu tego wielomianu należy punkt A(3, 1). Wiedzac,
˛ że reszta z dzielenia
wielomianu W ( x ) przez dwumian ( x − 2) jest równa −2, wyznacz wzór tego wielomianu.
Z ADANIE 31
Dany jest wielomian W ( x ) = 2x3 + x + 1
a) Uzasadnij, że wielomian W ( x ) nie ma dodatnich pierwiastków.
b) Uzasadnij, że wielomian W ( x ) nie ma pierwiastków wymiernych.
c) Uzasadnij, że wielomian W ( x ) ma co najmniej jeden pierwiastek.
Z ADANIE 32
Wykaż, że równanie 1 − 2x + 4x2 − 8x3 + 16x4 = 0 nie ma rozwiaza
˛ ń rzeczywistych.
Z ADANIE 33
Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiaza
˛ ń równania x4 + mx2 − m = 0 jest dwuelementowy?
Z ADANIE 34
Wyznacz wartość parametru m, dla którego równanie
x3 + (m − 2) x2 + (6 − 2m) x − 12 = 0
ma trzy pierwiastki x1 , x2 , x3 spełniajace
˛ warunki x3 = − x1 oraz x2 = x1 − 1.
Rozwiazania
˛
zadań znajdziesz na stronie
HTTP :// WWW. ZADANIA . INFO /3680_8252R
4