Kategoria starsza - druga seria

ETAP INTERNETOWY
Edycja 2014/15, seria 2.
Kategoria starsza – rozwiązania
Zadanie 1. Borsuk Sylwek ułożył dla Was kolejne zadanie: spośród liczb naturalnych od
1 do 10 000 wybierz taką, żeby iloczyn tej liczby i liczby 1536 miał na końcu jak najwięcej
zer. Ile jest takich liczb, przy których otrzymamy maksymalną liczbę zer?
Odpowiedź. 3.
Rozwiązanie. Szukamy takich liczb naturalnych x nie większych niż 10 000, że liczba
1536 · x ma największą możliwą liczbę zer na końcu, czyli takich, które dzielą się przez 10
w największej możliwej potędze.
Zaobserwujmy, że 56 = 15625 > 10000, zatem liczba naturalna nie większa niż 10000 nie
może dzielić się przez 56 .
To oznacza, że dla dowolnej liczby naturalnej x nieprzekraczającej 10 000 liczba 1536x =
29 · 3 · x nie dzieli się przez 56 . Skoro zaś 56 jest dzielnikiem liczby 106 , to 1536x nie może
dzielić się przez 106 . Stąd wynika, że liczba 1536x nie może kończyć się sześcioma lub
większą liczbą zer.
Z drugiej strony, 1536 · 3125 = 4800000, więc istnieje liczba naturalna x nie większa niż
10000, dla której 1536x kończy się pięcioma zerami. To oznacza, że największa możliwa
liczba zer wynosi 5.
Naszym zadaniem jest obliczyć, ile jest takich x nie większych niż 10000, że 1536x = dzieli
się przez 105 , czyli takich, że 1536x dzieli się zarówno przez 25 jak i 55 .
1536x = 29 · 3 · x, więc podzielność przez 25 zachodzi niezależnie od wyboru x. Aby
zachodziła podzielność 55 potrzeba i wystarcza, by liczba x była podzielna przez 55 .
Musimy więc obliczyć, ile liczb spośród 1, 2, ..., 10 000 jest podzielnych przez 55 = 3125.
Są to wyłącznie wielokrotności liczby 3125, czyli 3125, 6250, 9375. Są trzy takie liczby.
Zadanie 2. Borsuk Tymek i borsuk Romek postanowili wybrać się na wycieczkę w góry!
Pierwszego dnia do południa przebyli 80 borsukometrów, zaś wieczorem 1/16 pozostałej do
końca trasy. Drugiego dnia rano przeszli 88 borsukometrów, a po południu 1/16 pozostałej
trasy. Trzeciego dnia przed obiadem pokonali 96 borsukometrów, zaś pod wieczór 1/16
pozostałej trasy. Podróż Tymka i Romka trwała jeszcze kilka dni, po których okazało się,
że każdego dnia pokonywali ten sam dystans. Powiedz nam, ile dni trwała ich wyprawa.
Odpowiedź. 6.
Rozwiązanie. Przypuśćmy, że cała trasa miała długość x borsukometrów. Z treści zadania
1
wiemy, że pierwszego dnia borsuki przeszły 80 +
· (x − 80) borsukometrów, a drugiego
16
1
1
dnia 88+ · x − 80 +
· (x − 80) + 88 . Wiemy, że powyższe dwie liczby są równe,
16
16
bo piechurzy pokonali każdego dnia taki sam dystans. Dostajemy równanie
1
1
1
80 +
· (x − 80) = 88 +
· x − 80 +
· (x − 80) + 88
,
16
16
16
które po otworzeniu nawiasów zapisuje się następująco:
1
1
1
5
11
· x − 5 = 88 +
·x−5−
·x+
− .
16
16
256
16
2
13
1
· x = 2 , skąd otrzymujemy x = 720.
Po przegrupowaniu wyrazów otrzymujemy
256
16
1
Każdego dnia został pokonany dystans 80+ ·720 = 120 borsukometrów, więc wycieczka
16
720
= 6 dni.
trwała
120
Uwaga. Informacja o tym, co działo się trzeciego dnia nie była potrzebna, mogła jednak
ułatwiać rozwiązywanie zadania innymi sposobami niż powyższy.
80 +
Zadanie 3. Zadanie rachunkowe borsuka Ramiego: ile wynosi poniższa suma?
√
1
1
1
√ +√
√ + ··· + √
√
1+ 2
2+ 3
99 + 100
Odpowiedź. 9.
Rozwiązanie. Usuwając niewymierności z mianowników otrzymujemy
1
1
1
√ +√
√ + ··· + √
√
=
1+ 2
2+ 3
99 + 100
√
√
√
√
√
√
2− 1
3− 2
100 − 99
√ √
√ + √
√ √
√ + ··· + √
√
√
√
=
= √
( 2 + 1)( 2 − 1) ( 3 + 2)( 3 − 2)
( 100 + 99)( 100 − 99)
√
√
√
√
√
√
√
√
2− 1
3− 2
4− 3
100 − 99
=
+
+
+ ··· +
=
2−1
3−2
4−3
100 − 99
√
√
√
√
√
√
√
√
= 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + · · · + 100 − 99
√
√
√
Każdy ze składników ostatniej sumy (oprócz 1 i 100) występuje raz z plusem i raz z
minusem.√Składniki
te nic nie wnoszą do sumy, możemy je więc pominąć. Otrzymujemy
√
zatem − 1 + 100 = −1 + 10 = 9.
Zadanie 4. W lesie, w którym mieszka wiewiór Grześ, drzewa
były rozstawione w regularnych odstępach co 5 metrów, jednak
po wczorajszej burzy dwa z nich zostały powalone. Teraz układ
drzew wygląda jak na rysunku obok. Grześ potrafi skakać na
odległość co najwyżej 6 metrów. Chce przedostać się najkrótszą
możliwą drogą ze swojej dziupli w drzewie oznaczonym literą D
do skrytki z orzechami znajdującej się w drzewie O, nie schodząc
na ziemię. Na ile sposobów może to zrobić?
Odpowiedź. 77.
O
D
Rozwiązanie. Każda z najkrótszych tras składa się z dziesięciu
odcinków — z pięciu poziomych i pięciu pionowych. Grześ poruszając się takimi trasami idzie jedynie „w górę” i „w prawo”.
Zliczymy osobno trasy, które zawierają zielony, niebieski, czerwony oraz pomarańczowy punkt. Jest jasne, że każda trasa musi
przejść przez któryś z tych punktów oraz że żadna trasa nie może
przejść przez więcej niż jeden z nich.
Każda trasa, która przechodzi przez zielony punkt, musi zawierać zaznaczony fragment trasy. Należy zliczyć liczbę tras wiodących z domu Grzesia do drzewa A. Jest ich dokładnie 21 —
wszystkie są wyrysowane poniżej.
O
D
A
O
D
O
Każda trasa, która przechodzi przez niebieski punkt, musi zawierać zaznaczony fragment trasy. Należy znaleźć liczbę tras
wiodących z domu Grzesia do drzewa B oraz liczbę tras łączących drzewo C z drzewem O. Tych pierwszych jest dokładnie
10, a tych drugich dokładnie 3. Zatem wszystkich tras zawierających niebieskie drzewo jest 10 · 3 = 30.
B
C
D
O
Każda trasa, która przechodzi przez czerwony punkt, składa się
z dwóch części — jedna łączy dom Grzesia z drzewem E, a
druga łączy drzewo E z drzewem O. Jest pięć różnych ścieżek
łączących E z O (rysunek przedstawia je wszystkie) oraz pięć
różnych ścieżek łączących D z E (są to odbicia symetryczne
poniższych pięciu względem diagonali). Zatem liczba wszystkich
tras przechodzących przez czerwone drzewo wynosi 5 · 5 = 25.
E
D
O
Jest tylko jedna trasa prowadząca z domu Grzesia do skrytki z
orzechami przechodząca przez żółte drzewo.
Zatem liczba najkrótszych tras wynosi 21 + 30 + 25 + 1 = 77.
D
Zadanie 5. Borsuk Bartek ma urodziny. Do czapki urodzinowej w
kształcie stożka chce przyczepić czerwoną wstążeczkę tak, by połączyła dwa zaznaczone punkty. Jeden z nich leży na podstawie, a drugi w
połowie tworzącej stożka. Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60◦ , a średnica podstawy to 10 centymetrów. Jaka jest najmniejsza długość wstążki,
która wystarczy Bartkowi do urzeczywistnienia swego zamiaru?
Odpowiedź. 11.18 centymetrów.
Rozwiązanie. Przekrój stożka zawierający jego wierzchołek oraz
średnicę podstawy jest trójkątem równoramiennym o kącie między
ramionami 60◦ , czyli trójkątem równobocznym. Zatem tworząca
stożka jest równa średnicy jego podstawy, czyli ma długość 10 cm.
60◦
60◦
A
Rozetnijmy czapkę wzdłuż tworzącej zawierającej punkt A. Otrzymujemy wycinek koła o promieniu 10 cm.
B
Średnica podstawy stożka ma długość 10 cm, więc jej obwód
ma długość π · 10 cm = 10π cm, czyli długość łuku naszego wycinka
koła też ma taką długość. Obwód koła o promieniu 10 cm ma długość
2 · 10π cm = 20π cm. To oznacza, że kąt rozwarcia wycinka koła ma
10π cm
· 360◦ = 180◦ .
miarę
20π cm
Najmniejsza długość wstążki mogącej połączyć punkty A i B
jest równa długości odcinka AB. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa
otrzymujemy
p
√
√
AB = (5 cm)2 + (10 cm)2 = 25 + 100 cm = 5 5 cm ≈ 11.18 cm
5cm
A
10cm
B