Intuicjonistyczne zbiory rozmyte i ich zastosowania w podejmowaniu

Instytut Badañ Systemowych PAN
Badania Systemowe – Teoria i Zastosowania
Sesja Sprawozdawcza
Intuicjonistyczne zbiory rozmyte
i ich zastosowania
w podejmowaniu decyzji
Eulalia Szmidt
Warszawa, marzec 2004
1
Wprowadzenie
Intuicjonistyczne zbiory rozmyte zaproponowane przez Atanassowa w połowie
lat osiemdziesiątych są jak dotąd jedynym pełnym rozszerzeniem teorii zbiorów
rozmytych (Zadeh, 1965), które doczekało się obszernej monografii (Atanassow,
1999).
Ogólnie biorąc, w teorii Atanassowa przyjmuje się, że nie jest spełnione
podstawowe założenie teorii zbiorów rozmytych polegające na tym, że jeśli
określamy stopień przynależności elementu do zbioru jako liczbę rzeczywistą z
przedziału [0, 1], powiedzmy a, wówczas stopień nieprzynależności tego
elementu jest automatycznie wyznaczony jako 1-a. W zamian zakłada się, że,
stopień nieprzynależności nie może być większy niż 1-a. Zaistniała różnica
(niepewność) jest efektem naszego braku wiedzy i nazywa się marginesem
wahania.
Wydaje się, że zastosowanie elementów teorii intuicjonistycznych zbiorów
rozmytych, ze względu na wprowadzenie dodatkowego stopnia swobody przy
opisie elementów zbioru daje możliwość pełniejszego ujęcia ludzkiego sposobu
wyrażania opinii (w sensie możliwości uwzględnienia charakterystycznego dla
człowieka niezdecydowania, niepełnej wiedzy), co prowadzi do opisu wielu
realnych problemów podejmowania decyzji w bardziej adekwatny sposób.
1.1 Intuicjonistyczne zbiory rozmyte
W przeciwieństwie do zbiorów rozmytych (Zadeh, 1965) zdefiniowanych jako
A' = {< x, µ A ( x) >| x ∈ X }
'
'
gdzie µ A' : X → [0,1] jest funkcją przynależności elementu x do zbioru A , intuicjonistyczny
zbiór rozmyty (Atanassov, 1999) zdefiniowany jest następująco:
A = {< x, µ Α ( x ),ν A ( x ) >| x ∈ X }
(1)
gdzie µ A : X → [ 0,1] , ν A : X → [0,1] oraz
0 ≤ µ A ( x ) + ν A ( x ) ≤ 1 ∀x ∈ X
(2)
Liczby µ A ( x ) , ν A ( x ) ∈[0,1] oznaczają odpowiednio stopień przynależności i stopień
nieprzynależności.
π
x
X
D ( 0,0,1)
x'
C(0,0,0)
A (1,0,0)
µ
B(0,1,0 )
ν
Rys.1 Geometryczna reprezentacja intuicjonistycznych zbiorów rozmytych
'
Każdy zbiór rozmyty A odpowiada danemu intuicjonistycznemu zbiorowi rozmytemu
A = {< x,µ A ' ( x ),1 − µ A ' ( x ) >| x ∈ X }
Dla każdego elementu x należącego do intuicjonistycznego zbioru A mamy
π A ( x) = 1 − µ A ( x) − ν A ( x)
czyli tzw. intuicjonistyczny indeks rozmyty (margines wahania) reprezentujący brak wiedzy
czy element x należy do A czy nie należy do A (Atanassov, 1999).
Dla dowolnych dwóch zbiorów intuicjonistycznych A i B zawierających n elementów
unormowana odległość Hamminga wynosi (Szmidt 2000, Szmidt i Kacprzyk 2000):
l IFS ( A, B ) =
1
2n
∑ (µ
n
i =1
A
( xi ) − µ B ( xi ) + ν Α ( xi ) − ν Β ( xi ) + π Α ( xi ) − π B ( xi ) ) (3)
1.2 Miara podobieństwa dla intuicjonistycznych zbiorów rozmytych
Wykorzystując geometryczną reprezentację intuicjonistycznych zbiorów rozmytych
(Rys. 1.) (Szmidt 2000, Szmidt i Kacprzyk 2000, 2001), wprowadzamy miarę podobieństwa
dla dwóch elementów należących do intuicjonistycznego zbioru rozmytego w sposób
przedstawiony na Rys.2.
D(0, 0 ,1)
X
b
a
Fc
F
A(1, 0 ,0)
G
B(0, 1 ,0)
Rys 2. Geometryczna interpretacja miary podobieństwa dla dwóch elementów należących do
intuicjonistycznego zbioru rozmytego
Podobieństwo dwóch elementów x i f należących do intuicjonistycznego zbioru rozmytego,
których parametry (przynależność, nieprzynależność i intuicjonistyczny indeks rozmyty)
przedstawiamy jako współrzędne punktów X i F (Rys. 1) obliczamy następująco
Sim( X , F ) =
lIFS ( X , F )
lIFS ( X , F C )
(4)
gdzie: l IFS ( X , F ) - odległość punktu X (µ ,ν , π ) od F (µ ,ν , π ) ,
l IFS ( X , F C ) - odległość punktu X (µ ,ν , π ) do punktu F C (ν , µ , π ) - dopełnienia punktu F;
odległości l IFS ( X , F ) i l IFS ( X , F C ) są liczone ze wzoru (3).
Właściwości w.w. miary podobieństwa są dyskutowane w pracach (Szmidt i Kacprzyk 2003,
Szmidt i Baldwin 2003).
1.3 Przykładowe zastosowania
Wprowadzona miara podobieństwa może być pomocna w
• grupowym podejmowaniu decyzji (Szmidt i Kacprzyk, 2004a)
• wspomaganiu stawiania diagnoz medycznych (Szmidt i Kacprzyk, 2004b),
• wyszukiwaniu podobnych obrazów w sekwencjach video (w przygotowaniu),
• procesach klasyfikacji (np. rozpoznawaniu rodzajów odłamków szkła na miejscu
przestępstwa)
Literatura
[1] Atanassov K.T., Intuitionistic fuzzy sets, Springer-Verlag 1999.
[2] Szmidt E., Baldwin J., New similarity measures for intuitionistic fuzzy set theory and
mass assignment theory, Notes on Intuitionistic Fuzzy Sets, Vol. 9, Nr 3, 2003.
[3] Szmidt E., Kacprzyk J., Distances between intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets and
Systems, Vol. 114, No.3, 2000.
[4] Szmidt E., Kacprzyk J., A measure of similarity for intuitionistic fuzzy sets, Proc.
EUSFLAT 2003.
[5] Szmidt E., Kacprzyk J., A concept of similarity for intuitionistic fuzzy sets and its use in
group decision making (submitted) 2004a.
[6] Szmidt E., Kacprzyk J., A similarity measure for intuitionistic fuzzy sets and its
application in supporting medical diagnostic reasoning (submitted) 2004b.
[7] Zadeh L.A., Fuzzy sets, Information and Control, Nr 8, 1965.