docpobierz zbiór pdf
download 
Reklamacja Transkrypt
pobierz zbiór pdf
I ROK PODSTAWY MATEMATYKI W FIZYCE Przykladowe zadania rachunkowe – Seria 3 1. Do opisu trajektorii na plaszczyźnie czȩsto używa siȩ ukladu wspólrzȩdnych biegunowych r, ϑ , zwia̧zanego z plaskim kartezjańskim ukladem wspólrzȩdnych x, y poprzez wyrażenia: x = r · cos ϑ y = r · sin ϑ Wersory (wektory jednostkowe) osi ukladu wspólrzȩdnych biegunowych, oznaczane jako êr , êϑ , wyrażaja̧ siȩ wzorami: ∂~r 1 ∂~r êr = êϑ = · ∂r r ∂ϑ Proszȩ dowieść, że wersory êr , êϑ , sa̧ wektorami jednostkowymi i wzajemnie prostopadlymi. 2. Uogólnieniem wspólrzȩdnych biegunowych do trzech wymiarów jest uklad wspólrzȩdnych sferycznych r, ϑ, ϕ , zwia̧zany z kartezjańskim ukladem wspólrzȩdnych x, y, z poprzez wyrażenia: x = r · cos ϑ · sin ϕ y = r · sin ϑ · sin ϕ z = r · cos ϕ Wersory (wektory jednostkowe) osi ukladu wspólrzȩdnych sferycznych, oznaczane jako êr , êϑ , êϕ , wyrażaja̧ siȩ wzorami: 1 ∂~r 1 ∂~r ∂~r êϑ = · êϕ = · êr = ∂r r · sin ϕ ∂ϑ r ∂ϕ Proszȩ dowieść, że wersory êr , êϑ , êϕ sa̧ wektorami jednostkowymi i wzajemnie prostopadlymi i sprawdzić, czy uklad wspólrzȩdnych serycznych jest ukladem prawoskrȩtnym. Wskazówki: • ~r = x · êx + y · êy + z · êz • Iloczyn skalarny wersorów, które definiuja̧ kartezjański uklad wspólrzȩdnych, musi spelniać êx ◦ êx = êy ◦ êy = êz ◦ êz = 1 oraz êx ◦ êy = êy ◦ êz = êz ◦ êx = 0 • Iloczyn wektorowy wersorów, które definiuja̧ kartezjański uklad wspólrzȩdnych, musi spelniać êx × êy = êz , êy × êz = êx oraz êz × êx = êy 3. Proszȩ rozważyć ruch na plaszczyźnie, zadany równaniami parametrycznymi x = R · cos ωt ; y = R · sin ωt gdzie R, ω - stale. We wspólrzȩdnych kartezjańskich i biegunowych wyrazić skladowe prȩdkości i przyspieszenia. Znaleźć także skladowe normalne i styczne tych wielkości i określić promień krzywizny toru w funkcji czasu.
