Generate PDF of this page

Nazwa modułu:
Teoria Dystrybucji
Rok akademicki:
Wydział:
Kierunek:
2016/2017
Kod: AMA-2-123-BS-s
Punkty ECTS:
4
Matematyki Stosowanej
Matematyka
Poziom studiów:
Specjalność:
Studia II stopnia
Język wykładowy: Polski
(bez wyboru specjalności)
Forma i tryb studiów:
Profil kształcenia:
Ogólnoakademicki (A)
Stacjonarne
Semestr: 1
Strona www:
Osoba odpowiedzialna:
dr Golenia Jolanta ([email protected])
Osoby prowadzące: dr Golenia Jolanta ([email protected])
Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Kod EKM
Student, który zaliczył moduł zajęć
wie/umie/potrafi
Powiązania z EKK
Sposób weryfikacji
efektów kształcenia
(forma zaliczeń)
M_W001
zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii
dystrybucji (zbieżność w przestrzeni
dystrybucji, działania, ich własności,
dystrybucje temperowane, transformacja
Fouriera)
MA2A_W04, MA2A_W05,
MA2A_W06, MA2A_W07
Aktywność na
zajęciach, Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W002
zna przykłady zastosowań teorii dystrybucji
w teorii równań różniczkowych
MA2A_W06, MA2A_W07
Aktywność na
zajęciach, Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_W003
zna potrzebę uogólnienia pojęcia klasycznej
funkcji i zna przykłady fizyczne wymagające
takiego uogólnienia
MA2A_W07
Aktywność na
zajęciach, Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U001
potrafi wykonywać podstawowe działania na
dystrybucjach, umie wykorzystać poznaną
teorię w konkretnych zastosowaniach
MA2A_U16
Aktywność na
zajęciach, Kolokwium,
Odpowiedź ustna
M_U002
potrafi wykorzystać wiedzę z innych działów
matematyki w teorii dystrybucji
MA2A_U04
Aktywność na
zajęciach, Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Wiedza
Umiejętności
Kompetencje społeczne
1/4
Karta modułu - Teoria Dystrybucji
M_K001
rozumie potrzebę pogłębiania swojej wiedzy,
docenia pracę w grupie, umie dobrze
formułować pytania
MA2A_K01, MA2A_K03
Aktywność na
zajęciach, Kolokwium,
Odpowiedź ustna
Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć
Konwersatori
um
Zajęcia
seminaryjne
Zajęcia
praktyczne
Zajęcia
terenowe
Zajęcia
warsztatowe
zna podstawowe pojęcia i
twierdzenia teorii dystrybucji
(zbieżność w przestrzeni
dystrybucji, działania, ich
własności, dystrybucje
temperowane, transformacja
Fouriera)
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
M_W002
zna przykłady zastosowań
teorii dystrybucji w teorii
równań różniczkowych
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
M_W003
zna potrzebę uogólnienia
pojęcia klasycznej funkcji i
zna przykłady fizyczne
wymagające takiego
uogólnienia
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
M_U001
potrafi wykonywać
podstawowe działania na
dystrybucjach, umie
wykorzystać poznaną teorię w
konkretnych zastosowaniach
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
M_U002
potrafi wykorzystać wiedzę z
innych działów matematyki w
teorii dystrybucji
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
E-learning
Ćwiczenia
projektowe
M_W001
Inne
Ćwiczenia
laboratoryjne
Forma zajęć
Ćwiczenia
audytoryjne
Student, który zaliczył moduł
zajęć wie/umie/potrafi
Wykład
Kod EKM
Wiedza
Umiejętności
Kompetencje społeczne
M_K001
rozumie potrzebę pogłębiania
swojej wiedzy, docenia pracę
w grupie, umie dobrze
formułować pytania
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć)
Wykład
1. Konieczność uogólnienia pojęcia funkcji klasycznych. Przykłady fizyczne
wymagające takiego uogólnienia. Definicja rozwiązania uogólnionego równania
różniczkowego. Związek między rozwiązaniem klasycznym i uogólnionym.
2/4
Karta modułu - Teoria Dystrybucji
2. Funkcje gładkie i funkcje o zwartych nośnikach. Przestrzeń funkcji próbnych D,
topologia w tej przestrzeni. Działania w przestrzeni funkcji próbnych.
3. Przestrzeń dystrybucji D’. Przykłady dystrybucji. Dystrybucje regularne i syngularne.
Delta Diraca jako przykład dystrybucji syngularnej. Równość dystrybucji.
4. Działania na dystrybucjach: zamiana zmiennych, mnożenie dystrybucji przez
funkcję gładką. Różniczkowanie dystrybucji, własności różniczkowania, związki między
pochodną klasyczną i pochodną uogólnioną.
5. Nośnik dystrybucji. Twierdzenie o rozkładzie jedności.
6. Równania różniczkowe w przestrzeni dystrybucji D’. Twierdzenie o rozwiązaniu
równania f’(x)=0 w przestrzeni D’. Twierdzenie o rozwiązaniu układu równań
różniczkowych liniowych o współczynnikach z przestrzeni funkcji gładkich. Definicja
funkcji pierwotnej.
7. Pewne równanie algebraiczne w przestrzeni D’ i jego zastosowania do równań
różniczkowych w przestrzeni D’.
8. Rozwiązanie podstawowe operatorów różniczkowych liniowych. Przykłady rozwiązań
podstawowych. Zastosowania w teorii równań różniczkowych.
9. Definicja iloczynu tensorowego i jego własności.
10. Splot dystrybucji, problem istnienia. Przykłady dystrybucji, dla których splot jest
dobrze określony.
11. Własności splotu, różniczkowanie splotu, zastosowanie do równań różniczkowych.
12. Przestrzeń Schwartza S, własności. Działania oraz topologia w tej przestrzeni.
13. Przestrzeń dystrybucji temperowanych S’. Przykłady dystrybucji temperowanych.
Działania w przestrzeni S’. Topologia w tej przestrzeni.
14. Transformacja Fouriera w przestrzeni Schwartza S i przestrzeni dystrybucji
temperowanych S’. Własności transformacji Fouriera. Przykłady transformat. Uwagi o
zastosowaniach w teorii równań różniczkowych.
Ćwiczenia audytoryjne
Program ćwiczeń pokrywa się z programem wykładu
Rozwiązywanie problemów teoretycznych i zadań praktycznych dotyczących treści
przekazywanych na kolejnych wykładach.
Sposób obliczania oceny końcowej
Oceną końcową jest ocena z zaliczenia ćwiczeń.
Wymagania wstępne i dodatkowe
Nie podano wymagań wstępnych lub dodatkowych.
Zalecana literatura i pomoce naukowe
1. V.S. Vladimirov, Uravnienija Matiematicieskoj Fiziki, Nauka, Moskwa 1970.
2. V.A. Vladimirov, Wstęp do teorii dystrybucji (skrypt), WMS AGH, Kraków 2007.
3. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu
1) Blackmore, D.; Golenia, J.; Prykarpatsky, A.K.; Prykarpatsky, Ya.A.;
Invariant measures for discrete dynamical systems and ergodic properties of generalized Boole-type
transformations, Ukr. Math. J. 65, No. 1, 47-63 (2013) and Ukr. Mat. Zh. 65, No. 1, 44-57 (2013).
2) Prykarpatsky, Yarema A.; Blackmore, Denis; Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Anatoliy K.;
A vertex operator representation of solutions to the Gurevich-Zybin hydrodynamical equation;
Opusc. Math. 33, No. 1, 139-149 (2013).
3) Blackmore, Denis; Prykarpatsky, Yarema; Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Anatoliy;
The AKNS hierarchy and the Gurevich-Zubin dynamical system integrability revisited;
3/4
Karta modułu - Teoria Dystrybucji
Mat. Visn. Nauk. Tov. Im. Shevchenka 8, 258-282 (2011).
4) Golenia, Jolanta; Pavlov, Maxim V.; Popowicz, Ziemowit; Prykarpatsky, Anatoliy K.;
On a nonlocal Ostrovsky-Whitham type dynamical system, its Riemann type inhomogeneous
regularizations and their integrability; SIGMA, Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 6, Paper
002, 13 p., electronic only (2010).
5) Prykarpatsky, A.K.; Golenia, J.; Bogolubov, N.N. jun.; Taneri, U.
Introductory background to modern quantum mathematics with application to nonlinear dynamical
systems; Begehr, H. G. W. (ed.) et al., Further progress in analysis. Proceedings of the 6th international
ISAAC congress, Ankara, Turkey, August 13–18, 2007. Hackensack, NJ: World Scientific (ISBN 978-981283-732-5/hbk). 760-779 (2009).
6) Golenia, Jolanta; Prykarpatsky, Yarema A.; Wachnicki, Eugeniusz;
The Cartan-Monge geometric approach to the generalized characteristics method and its application to
the heat equation u t -u xx =0;
Opusc. Math. 29, No. 1, 27-39 (2009).
7) Bogolyubov, N.N.jun.; Golenia, J.; Prykarpatsky, A.K.; Taneri, U.
Quantum mathematics: backgrounds and some applications to nonlinear dynamical systems;
Nonlinear Oscil., N.Y. 11, No. 1, 4-17 (2008) and Nelinijni Kolyvannya 11, No. 1, 7-20 (2008).
8) Prykarpatsky, Anatoliy K.; Bogoliubov, Nikolai N. jun.; Golenia, Jolanta; Taneri, Ufuk
Introductive backgrounds to modern quantum mathematics with application to nonlinear dynamical
systems; Int. J. Theor. Phys. 47, No. 11, 2882-2897 (2008).
9) Prykarpatsky, Anatoliy K.; Bogoliubov, Nikolai N. jun.; Golenia, Jolanta
A symplectic generalization of the Peradzyński helicity theorem and some applications;
Int. J. Theor. Phys. 47, No. 7, 1919-1928 (2008).
10) Golenia, J.; Hentosh, O.Ye.; Prykarpatsky, A.K.
Integrable three-dimensional coupled nonlinear dynamical systems related to centrally extended
operator Lie algebras and their Lax type three-linearization;
Cent. Eur. J. Math. 5, No. 1, 84-104 (2007).
Informacje dodatkowe
Brak
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS)
Forma aktywności studenta
Obciążenie
studenta
Udział w wykładach
28 godz
Samodzielne studiowanie tematyki zajęć
20 godz
Udział w ćwiczeniach audytoryjnych
28 godz
Przygotowanie do zajęć
15 godz
Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe
2 godz
Dodatkowe godziny kontaktowe z nauczycielem
14 godz
Sumaryczne obciążenie pracą studenta
107 godz
Punkty ECTS za moduł
4 ECTS
4/4