1 Praca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Kinematyka Zad. 1.1

Praca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Kinematyka
Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych
Wprowadzenie: W wielu zagadnieniach interesuje nas przybliżona wartość wielkości fizycznej X. Może to
być spowodowane tym, że wyznaczenie dokładnej wartości trwałoby długo, wymagałoby dodatkowych informacji
lub danych, którymi nie dysponujemy albo są nam niepotrzebne. W innych przypadkach chcemy jedynie mieć
grube oszacowanie wartości wielkości fizycznej z dokładnością, jak mówimy, co do rzędu wielkości. Szacowanie
prowadzimy w następujący sposób: Liczbę x określającą miarę (liczbę jednostek) wielkości X w układzie SI
zaokrąglamy do jednej cyfry znaczącej i zapisujemy ją w systemie dziesiętnym w postaci wykładniczej (scientific
notation): M·10n; gdzie M – liczba rzeczywista, n – wykładnik. Np. jeśli znamy odległość 4243 m, to l ≅ 4·103
m, a jeśli znamy liczbę sekund 3641 s, to t ≅ 3·103 s. Następnie na tak otrzymanych liczbach dokonujemy operacji
algebraicznych i otrzymany wynik zapisujemy w postaci liczby wykładniczej o podstawie dziesięć z jedną cyfrą
znaczącą. Przykładowo, jeśli szacujemy rząd wartości prędkości v = l/t, gdzie l = 2 160 128 m i t = 3 641 s, to w
szacowaniu przyjmujemy kolejno l ≅ 2·106 m, t ≅ 4·103 s i otrzymujemy v ≅ (2·106 m)/(4·103 s) = 5·102 m/s.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zad. 1.1. Oszacuj grubość d kartki papieru wybranej przez siebie książki, mierząc najpierw jej
grubość i odczytując liczbę stron.
Zad 1.2. Oszacuj liczbę protonów we własnym ciele, zakładając, że ciało składa się w 85% z wody.
Zad.
1.3
Oszacuj
powierzchnię
i
objętość
swego
ciała;
więcej
na
stronach
https://pl.wikipedia.org/wiki/Powierzchnia_cia%C5%82a; https://en.wikipedia.org/wiki/Body_volume_index;
https://en.wikipedia.org/wiki/Body_mass_index;
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wska%C5%BAnik_masy_cia%C5%82a.
Zad. 1.4 Oszacuj liczbę uderzeń serca w ciągu prognozowanego samodzielnie czasu swego życia.
Zad. 1.5 Oszacuj liczbę oddechów w ciągu prognozowanego samodzielnie czasu swego życia.
Zad. 1.6 Oszacuj liczbę atomów miedzi w jednym metrze sześciennym tego metalu, niezbędne dane
znajdź w tablicach.
Zad. 1.7 Oszacuj liczbę atomów powietrza w pomieszczeniu, w którym aktualnie przebywasz.
Zad. 1.8 Oszacuj liczbę cząsteczek wody we własnym ciele, zakładając, że ciało składa się w 80%
z wody.
Uwaga: Niezbędne dane postaraj się określić/przyjąć/wyznaczyć samodzielnie.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Grupa 2. Podstawy analizy wymiarowej
Podstawy analizy wymiarowej (więcej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/metodologia_fizyki.pdf oraz
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/o-wym.pdf). Znak równości w fizyce oznacza równość wartości (liczby
jednostek) i wymiarów (jednostek) wielkości fizycznych znajdujących się po obu stronach znaku. Każda pochodna
wielkość fizyczna ma wymiar, który wyraża się za pomocą (wymiarów) wielkości podstawowych układu SI.
Wymiarami podstawowych wielkości fizycznych w SI są na podstawie definicji: długość – symbol L, czas –
symbol T, masa – symbol M, temperatura – symbol K, natężenie prądu – symbol I, światłość – symbol C. Wymiar
wielkości pochodnej X – symbol dim X = [X], jest określany za pomocą definicji tychże wielkości i jest wyrażany
jest w postaci iloczynu lub ilorazu wielkości/wymiarów podstawowych w odpowiednich potęgach (podniesionych
do odpowiednich potęg), wykładniki potęgowe nazywa się wykładnikami wymiarowymi. Jeśli pochodną
wielkością fizyczna jest praca, to dim P = [P]= (dim F)·L=MLT-2L= L2MT-2. Symbole pochodnych wielkości
fizycznych piszemy kursywą, a wymiar X oznaczamy zamiennie symbolami: dim X lub [X]. Analiza wymiarowa
traktuje wymiary jako wielkości algebraiczne, na których można wykonywać podstawowe działania algebraiczne
1
(dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie). Dwie podstawowe reguły
analizy wymiarowej:
R1. Wielkości fizyczne mogą być dodawane lub odejmowane pod warunkiem, że mają ten sam wymiar.
R2. Wymiary strony lewej i prawej poprawnie sformułowanej równości wielkości fizycznych powinny być takie
same.
Przykład 1. Czy poprawnym jest wzór s = const at2, określający zależność drogi od czasu w prostoliniowym ruchu
jednostajnie przyspieszonym?
Rozwiązanie: [s] = L, a wymiar prawej strony [at2] = [a][t2] = (LT-2)T2 = L. Odpowiedz: Wzór jest poprawny z
dokładnością do bezwymiarowego czynnika const.
Zastosujemy analizę wymiarową do wyznaczenia postaci zależności funkcyjnej typu iloczynowego między kilkoma
wielkościami fizycznymi.
Przykład 2. Załóżmy, ze hipotetyczna zależność między przyspieszeniem a ciała wykonującego ruch po okręgu o
promieniu R ze stała prędkością v jest postaci a = va ·Rb. Jakie są wartości wykładników wymiarowych a i b?
Rozwiązanie: Skorzystamy z tego, że dim a =[a]= LT-2 i że ten sam wymiar powinna mieć prawa strona wzoru, tj.
dim (va ·Rb)=[ va ·Rb] = (LT-1)a ·Lb = La+bT-a. Aby więc wymiary obu stron wzoru były zgodne winny zachodzić
równości a+b = 1 i –a = –2. Zatem mamy odpowiedź: a = 2 i b = 1, jak powinno być. Uwaga: Powyższą analizę
można przeprowadzić posługując się w miejsce wymiarów jednostkami wielkości fizycznych.
Przypomnijmy wartości i wymiary uniwersalnych stałych przyrody:
– stała grawitacji: G = 6,67·10 -11 L3/(MT2), dim G = [G] = L3M-1T-2,
– stała Diraca: ℏ = h/2π = 1,06·10-34 kg·m2/s, więc dim ℏ = dim h = M1L2T-1,
– prędkość światła: c = 3·108 m/s, dim c = M1T-1.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć zależność i obliczyć wartości wykładników a, b, c,
jeśli
założona
zależność
masy
Plancka
mP
=
( ℏ )a(c)b(G)c;
więcej
na
stronach
http://pl.wikipedia.org/wiki/Jednostki_Plancka i http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/metodologia_fizyki.pdf.
2. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć zależności i obliczyć wartości wykładników d, e, f,
jeśli założyć, że energia Plancka EP = ( ℏ )d (c)e (G)f;. oblicz wartość energii Planka oraz temperaturę Plancka ze
wzoru EP/kB, gdzie kB = 1,4⋅10-23 J/K – stała Boltzmanna
więcej na stronach
http://pl.wikipedia.org/wiki/Jednostki_Plancka i http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/metodologia_fizyki.pdf.
3. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć postać matematyczną zależności prędkości V fali
mechanicznej w metalu zakładają, że zależność ta ma postać (E)d (ρ)e, gdzie E – moduł Younga, ρ – gęstość
metalu, tj. należy wyznaczyć wartości wykładników d i e.
4. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć zależności czasu T obiegu gwiazdy o masie m planety
orbitującej wokół tej gwiazdy w odległości r, wiedząc, że szukana zależności jest dana wzorem (G)a (r)b(m)c, gdzie
G – stała grawitacji; należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c.
5. Siła F bezwładności Coriolisa, działa na ciała o masie m poruszające się z prędkością o wartości V w układzie
odniesienia obracającym się z prędkością kątowa ω, przy czym wartość F jest proporcjonalna do (m)a (V)b(ω)c;
należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c korzystając z reguł analizy wymiarowej.
6. Liczba Reynoldsa LRE służy do określania charakteru przepływu rzeczywistego płynu o lepkości dynamicznej µ
(jednostką jest Pa⋅s), gęstości ρ poruszającego się z prędkością V w rurze o średnicy D. Jeśli LRE < 2100 przepływ
płynu jest laminarny. Zakładając, że szukana zależność matematyczna ma postać (µ)a(V)b(D)c(ρ), należy
wyznaczyć wartości wykładników a, b, c korzystając z reguł analizy wymiarowej.
7. Wartość prędkości cząsteczek gazu idealnego V zależy od masy cząsteczki, stałej Boltzmanna kB oraz
temperatury bezwzględnej T gazu, przy czym wartość V dana jest (przypuszczamy) wzorem (m)a(kB)b(T)c; należy
wyznaczyć wartości wykładników a, b, c korzystając z reguł analizy wymiarowej.
8. Ciśnienie p wywierane przez falę o intensywności I rozchodzącej się z prędkością v i padającej prostopadle na
powierzchnię jest proporcjonalne do I a v b . Wyznacz, korzystając z reguł analizy wymiarowej, wartości
wykładników a i b wiedząc, że jednostką miary intensywności jest W/m2.
2
Grupa 3. Kinematyka
1. W ciągu dwóch sekund od wystrzelenia z powierzchni ziemi pocisk przemieścił się o 40 m w poziomie i o 53 m w pionie.
Wyznacz składowe prędkości początkowej pocisku: (a) poziomą, (b) pionową. (c) W jakiej odległości w poziomie od punktu
jego wystrzelenia znajdzie się pocisk w chwili, gdy osiągnie maksymalną wysokość nad ziemią?
2. Tor kolejki dziecięcej przedstawiono na rysunku poniżej. Fragment między punktami 1 i 3 jest łukiem okręgu o
promieniu 1 m i długości 3,14 m. Prostoliniowe odcinki mają taką długość jak łuk. Lokomotywa rusza z punktu 1 (patrz
2
rysunek), z przyspieszeniem stycznym do toru o wartości 1m/s .
s
1
2
3
4
Zaznacz poprawne dokończenie zdania. Po upływie czasu 1 s lokomotywa znajdzie się w punkcie oznaczonym cyfrą
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
s
Oceń poprawność poniższych zdań. Wpisz znak X w odpowiedniej kolumnie tabeli.
PRAWDA
FAŁSZ
Ponieważ lokomotywa porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym,
1. wartość przyspieszenia dośrodkowego w punkcie 4 wynosi 1m/s2
Gdyby lokomotywa pokonywała łuk między punktami 1 i 3 ruchem
2. jednostajnym z prędkością o wartości 2 m/s to czas potrzebny na jego
pokonanie wyniósłby 1,57 s.
Podczas ruchu lokomotywy po łuku z przyspieszeniem stycznym do toru
3. o wartości 1m/s2 wartość wypadkowej siły działającej na wagonik była stała.
3. Na wykresie obok przedstawiono
zależność
wartości
prędkości
poruszającego się po linii prostej
samochodu w funkcji czasu. Zaznacz
poprawne dokończenie zdania.
Na podstawie wykresu można
stwierdzić, że samochód poruszał się
ruchem:
A. jednostajnym.
B. jednostajnie opóźnionym.
C. jednostajnie przyspieszonym.
D. niejednostajnie przyspieszonym.
Na podstawie tego wykresu oszacuj z
nadmiarem wartość drogi pokonanej
przez samochód w czasie drugiej
sekundy jego ruchu.
4. A) Pasażer jadącego pociągu zaobserwował przez okno, że słupki rozmieszczone co 200 m po jednej ze stron linii
kolejowej mija dokładnie co 5 s. Zmierzył także, że jadącemu w przeciwnym kierunku pociągowi o długości 220 m
złożonemu z lokomotywy oraz 8 wagonów przejazd obok okna, przez które patrzył, zajęło 4 s. Oblicz wartości prędkości
obu pociągów, zakładając, że poruszały się ruchem jednostajnym. Wyniki wyraź w kilometrach na godzinę.
B) Układający się do drzemki kot spostrzega doniczkę przelatującą za oknem, najpierw w górę potem w dół. Łączny czas, w
jakim kot ma doniczkę w polu widzenia wynosi 0,5 s, a wysokość okna, przez które ją obserwuje jest równa 2 m. Jak wysoko
nad górną framugę okna wzniosła się doniczka?
5. A) Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v = 7,6i + 6,1j. Jaka jest
maksymalna wysokość i zasięg rzutu? Jaka była prędkość początkowa i końcowa (tuż przed upadkiem) kamienia? B) Lotkę
rzucono poziomo, z prędkością początkową o wartości 10 m/s w kierunku punktu P na tarczy i po 0,19 s lotu trafia ona w
3
punkt Q na obrzeżu tarczy, leżący poniżej punktu P. (a) Jaka jest odległość punktów P i Q? (b) Z jakiej odległości od tarczy
została rzucona ta lotka?
9
6. Elektron poruszający się poziomo z prędkością o wartości 1×10 cm/s, wchodzi w obszar między dwiema poziomymi,
naładowanymi elektrycznie płytami metalowymi. Ich obecność powoduje, że elektron doznaje stałego przyspieszenia,
17
2
skierowanego w dół, o wartości 1×10 cm/s . Wyznacz: (a) czas, potrzebny elektronowi na przebycie w tym obszarze 2 cm
w poziomie, (b) odległość przebytą przez niego w tym czasie w pionie. Oblicz ponadto wartości składowych prędkości
elektronu: (c) poziomej, (d) pionowej, po przebyciu tej drogi.
7. W wysokiej wieży (rys, obok po prawej stronie) zamku księcia Arnolda
zamknięta została księżniczka Eliza. Pewnego dnia udało się jej zdobyć
plany zamku, dzięki którym możliwa była jej ucieczka. Plany umieściła
wewnątrz kapsułki, którą zamierzała rzucić w taki sposób, aby
wylądowała u stóp ukochanego rycerza Rolanda. Roland znajduje się po
drugiej stronie fosy, w odległości 15 m od wieży. W chwili wyrzutu
kapsułka znajduje się na wysokości 20 m (patrz rysunek). Zakładamy,
że podczas lotu na kapsułkę nie działają siły oporu powietrza, a kierunek
początkowy prędkości kapsułki był poziomy. Oblicz wartość prędkości, z
jaką księżniczka Eliza powinna wyrzucić kapsułkę, aby ta upadła u stóp
Rolanda.
8. Do latającego lampionu przymocowano ciężarek o masie 20 g w taki
sposób, że może on być od niego odłączony w każdej chwili podczas lotu
(rys. po lewej stronie). Lampion wraz z ciężarkiem
wznosił się pionowo do góry ze stałą co do
wartości prędkością 2 m/s. Po 4 s lotu lampionu z powierzchni ziemi wyrzucono pionowo do góry
gumową piłeczkę nadając jej prędkość początkową o wartości v0. Oblicz, z jaką prędkością v0 należy
wyrzucić z powierzchni ziemi piłeczkę, aby spotkała się z lampionem tylko raz. Opory ruchu pomijamy. Oblicz
wartość prędkości ciężarka tuż przed uderzeniem w ziemię.
Wrocław, 24 II 2017
W. Salejda
4