Lista pytań na egzamin licencjacki na kierunku Matematyka

Lista pytań na egzamin licencjacki
na kierunku Matematyka Komputerowa
w Instytucie Informatyki i Matematyki Komputerowej
w roku akademickim 2014/2015
1. Tautologia rachunku zdań: definicja i przykłady.
2. Teoria aksjomatyczna i dowód formalny: definicja i przykłady.
3. Relacja równoważności: definicja, przykłady, zastosowania.
4. Relacje częściowego i liniowego porządku: definicja i przykłady.
5. Zasada indukcji matematycznej: definicja, przykłady i zastosowania.
6. Moc zbioru. Twierdzenie Cantora i Cantora-Bernsteina.
7. Definicja granicy ciągu.
8. Twierdzenie o trzech ciągach.
9. Ciągłość funkcji, definicja, interpretacja graficzna, przykłady.
10. Kryteria zbieżności szeregów, przykłady.
11. Pochodna funkcji jednej zmiennej w ustalonym punkcie, interpretacja fizyczna.
12. Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej, przykłady zastosowań.
13. Warunek wystarczający na ekstremum lokalne funkcji jednej zmiennej.
14. Wzór Taylora dla funkcji jednej zmiennej, interpretacja i zastosowania.
15. Całka Riemana: definicja, istnienie i interpretacja geometryczna.
16. Całka nieoznaczona, proste techniki całkowania.
17. Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego.
18. Różne rodzaje zbieżności ciągów funkcji: punktowa i jednostajna. Kwestie ciągłości i różniczkowalności granicy.
19. Funkcje dane przez szeregi potęgowe, promień zbieżności, przykłady ex , sin x.
20. Wielomiany trygonometryczne i szeregi Fouriera.
21. Pochodna Frecheta funkcji wielu zmiennych.
22. Warunek konieczny na ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych.
23. Wielomian Taylora funkcji wielu zmiennych.
24. Gradient funkcji f : Rn → R. Związek gradientu, pochodnych cząstkowych i
różniczki.
25. Twierdzenie o wartości średniej dla funkcji wielu zmiennych.
26. Własności wektorów i wartości własnych macierzy kwadratowej.
27. Liniowa niezależność i liniowa zależność wektorów w przestrzeni wektorowej:
definicje i warunki równoważne.
28. Iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej (Rn , R, +, ·): definicja i własności.
29. Rodzaj struktury algebraicznej (Zm , +, ·) w zależności od liczby naturalnej m.
30. Odwzorowania afiniczne między przestrzeniami afinicznymi: definicja, własności
i przykłady.
31. Podstawowe bloki programowania strukturalnego.
32. Mechanizm przeładowania (przeciążania) funkcji i jego wykorzystywanie.
33. Klasy abstrakcyjne w językach programowania i ich zastosowania.
34. Sposoby kontroli typów w językach programowania.
35. Konstruktor jego budowa i zastosowania.
36. Rekurencja w językach programowania.
37. Polimorfizm w językach programowania.
38. Sprzątanie stosu przy obsłudze sytuacji wyjątkowych w programach w języku
C++.
39. Programowanie obiektowe: enkapsulacja, dziedziczenie.
40. Kryteria oceny języków programowania.
41. Sposoby zapisu algorytmów, omówić dokładnie wybrany zapis.
42. Liczby zmiennopozycyjne: sposoby kodowania, dokładność i zakres.
43. Odwrotna Notacja Polska: definicja, własności, zalety i wady, algorytm zamiany
zapisu wyrażenia z postaci tradycyjnej na ONP.
44. Złożoność obliczeniowa algorytmów: definicja, notacja i przykłady.
45. Maszyna Turinga.
46. Niezmiennik pętli w algorytmie, definicja dla wybranej konstrukcji i zastosowania.
47. Programowanie dynamiczne: definicja i przykład zagadnienia, do którego można
je zastosować.
48. Zasada algorytmu zachłannego, przykład poprawnego i niepoprawnego wykorzystania.
49. Metoda ”dziel i zwyciężaj”: zalety i wady, przykłady zastosowań.
50. Szybkie algorytmy sortowania przez porównanie: złożoności, zalety i wady; omówić wybraną metodę.
51. Abstrakcyjne struktury danych: lista, stos, kolejka; reprezentacje i metody dostępu.
52. Grafy: reprezentacje, metody przeglądania; omówić wybraną metodę.
53. Algorytmy znajdowania najkrótszych ścieżek w grafie; omówić wybrany algorytm.
54. B-drzewa: definicja, typowe operacje i ich złożoność.
55. Implementacja struktury drzewa, drzewa binarne, preorder, inorder, postorder.
56. Drzewa BST: definicja, zastosowania i metody dostępu.
57. Algorytmy wyszukiwania wzorca, omówić jeden z nich.
58. Typowe mechanizmy synchronizacji procesów.
59. Pojęcie procesu, stany procesu, różnica między procesem i wątkiem.
60. Przejścia między stanami procesu, organizacja kolejki procesów gotowych, różnica między procesami ograniczonymi procesorem a procesami ograniczonymi
wejściem-wyjściem.
61. Wymienić znane modele obliczeń oraz omówić jeden z nich.
62. Pojęcie grupy, podgrupy i podgrupy niezmienniczej.
63. Twierdzenia Lagrange’a w teorii grup i jego zastosowania.
64. Grupy abelowe jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, ich własności i
przykłady.
65. Algorytmy dzielenia w pierścieniu liczb całkowitych oraz w pierścieniach wielomianów.
66. Klasyfikacja grup abelowych skończenie generowanych.
67. Omówić algorytm diagonalizacyjny Smitha.
68. Określić liczby Stirlinga I i II rodzaju i omówić czego dotyczą.
69. Przedstawić twierdzenie Eulera i Fermata; podać własności funkcji Eulera; obliczyć 7122 mod 11.
70. Zdefiniować konfigurację kombinatoryczną i omówić wykorzystanie tego pojęcia
w pojektowaniu.
71. Przedstawić twierdzenie Forda-Fulkersona i omówić problem, którego to twiedzenie dotyczy.
72. Omówić liniowe równania rekurencyjne i rolę funkcji generujących w rozwiązywaniu tych równań. Przy wykorzystaniu metody funkcji generujących rozwiązać
równanie rekurencyjne un+2 − 6un+1 + 9un = 0 dla warunków u0 = 1 i u1 = 0.
73. Zmienna losowa: definicja, rodzaje i rozkłady.
74. Przestrzeń probabilistyczna i aksjomaty Kołmogorowa.
75. Centralne twierdzenia graniczne.
76. Wzory na prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite; wzór Bayesa i przykład
jego zastosowania.
77. Prawa wielkich liczb i ich znaczenie.
78. Twierdzenie Peano i twierdzenie Picarda.
79. Definicja układu dynamicznego. Przykłady.
80. Stabilność i asymptotyczna stabilność punktu stałego.
81. Zbiór rozwiązań równania x0 = Ax, gdzie A jest rzeczywistą macierzą kwadratowa.
82. Najważniejsze diagramy UML używane w projektowaniu systemów.
83. Pojęcia związane z testowaniem oprogramowania.
84. Fazy techniczne cyklu życia oprogramowania.
85. Wytwarzanie oprogramowania w środowisku zintegrowanym; funkcjonalności.
86. Biało- i czarno-skrzynkowe metody testowania oprogramowania.
87. Zalety i wady obliczeń wynikające z kodowania zmiennopozycyjnego.
88. Metoda Newtona rozwiązywania układu równań nieliniowych. Przypadek jednowymiarowy: zalety i wady, porównanie z innymi metodami.
89. Metoda potęgowa wyznaczania wartości i wektorów własnych macierzy; warianty metody.
90. Metody interpolacji wielomianowej.
91. Rozwiązywanie układu równań liniowych: metoda eliminacji Gaussa i metoda
Gaussa-Seidla; porównanie metod.
92. Topologia ilorazowa na przykładzie torusa i butelki Kleina.
93. Przestrzeń zwarta i jej własności.
94. Zbiory spójne i składowe spójne.
95. Lemat Spernera i Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym.
96. Grupa podstawowa i grupa krawędziowa.
97. Grupa homologii symplicjalnych kompleksu symplicjalnego.