Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne PWT2004

www.pwt.et.put.poznan.pl
Wojciech Kabaciński
Tomasz Wichary
Instytut Elektroniki i Telekomunikacji
Politechnika Poznańska
Piotrowo 3a, 60-965 Poznań
[email protected], [email protected]
2004
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne
Poznań 9 - 10 grudnia 2004
WARUNKI NIEBLOKOWALNOŚCI W POLACH TYPU MULTI-LOG2N Z
POŁĄCZENIAMI ROZGŁOSZENIOWYMI TYPU MULTI-RATE DLA
PASMA DYSKRETNEGO
Streszczenie:
W artykule zostały przedstawione
twierdzenia oraz dowody warunków nieblokowalności w
polach multi-log2N z połączeniami rozgłoszeniowymi dla
pasma dyskretnego, gdy 1 ≤ t ≤ n 2 . Twierdzenie 1
dotyczy przypadku, gdy t = n 2 i n jest parzyste,
natomiast Twierdzenie 2, gdy t = n 2 i n jest nieparzyste
oraz gdy t ≤ n 2 . W celu zobrazowania najbardziej
niekorzystnych stanów posłużono się przykładami.
1. WPROWADZENIE
Warunki nieblokowalności w polach multi-log2N
po raz pierwszy były rozważane w [1],[2] dla
połączeń punkt-punkt. Dla połączeń rozgłoszeniowych warunki nieblokowalności podali Tscha i
Lea w [4], które zostały poprawione przez autorów w
[5]. Tscha i Lea rozważali nieblokowalność w
szerokim sensie oraz zaproponowali algorytm
bazujący na oknach blokowania. Wyniki te były
później uogólnione w pracach [6],[8] dla okien
blokowania o dowolnej wielkości. Pola multi-log2N
dla połączeń punkt-punkt typu multi-rate po raz
pierwszy były rozważane w pracach [9], [10].
W rozdziale drugim została przedstawiona
architektura pola komutacyjnego, reprezentacja grafu
dwudzielnego oraz algorytm wyboru drogi
połączeniowej w polu. W rozdziale trzecim podano
warunki nieblokowalności pól multi-log2N dla połączeń
rozgłoszeniowych typu multi-rate.
2. WSTĘP
2.1. Architektura pola komutacyjnego
W dzisiejszych badaniach pól komutacyjnych
dużym
zainteresowaniem
cieszą
się
pola
samosterujące (ang. self-routing networks). Pola
takie mają dwie charakterystyczne dla siebie
właściwości:
• samosterowanie ruchu odbywa się na podstawie
adresu wyjścia,
• O (log 2 N ) sekcji pomiędzy każdą parą wejść i
wyjść.
Jednym z problemów pól samosterujących jest
ich blokowalność, co oznacza, że w polu istnieją
takie stany, w których mamy wolne wejście i
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
wyjście, a połączenie przez pole nie może być
zestawione.
W
celu
przekształcenia
pól
samosterujących w pola nieblokowalne stosuje się
zwielokrotnienie przez dodanie płaszczyzn. W
artykule rozważane są pola zwielokrotnione przez
równoległe dodanie kolejnych płaszczyzn.
2.2. Reprezentacja grafowa
Do reprezentacji stanów pól komutacyjnych
wykorzystajmy grafy dwudzielne. Reprezentacja pola
komutacyjnego za pomocą takich grafów jest jednym
ze sposobów przedstawienia pola. W pracy
przyjmiemy, że każde wejście oraz każde wyjście
komutatora jest zastąpione przez wierzchołek grafu,
natomiast krawędzie grafu reprezentują możliwe
kierunki połączeń.
Ze względu na wymagania redakcyjne opis
reprezentacji grafów skrócono, więcej na ten temat
można znaleźć w pracach [2], [3].
Rozważmy w polu dwie ścieżki reprezentujące
trasy połączeń. Przecięcie tych ścieżek, co najmniej
w
jednym
wierzchołku
grafu
spowoduje
zablokowanie jednego z tych połączeń pod
warunkiem, że suma pasm zajmowanych przez oba
połączenia jest większa od pojemności łącza.
Oznacza to, że oba połączenia nie mogą być
zestawione w tej samej płaszczyźnie pola log 2 N .
W celu określenia połączeń, które w
najbardziej niekorzystnym stanie pola mogą
zablokować nowe połączenie dodawane do pola
wprowadźmy następujące definicje:
Definicja 1. Niech SI j będzie zbiorem wejść, z
wyłączeniem wejścia x oraz wszystkich SI i dla
i < j , gdzie 1 ≤ i ≤ n − 1 , 1 ≤ j ≤ n takich, że
połączenia
η ∈ [ b; B ]
k ; l ; η , gdzie
mogą
połączenia x ; y ; ω
k ∈ SI j ,
przeciąć
l ∈ SO j ,
ścieżkę
w sekcji j. Wejścia z SI j będą
nazywane wejściami dostępnymi z sekcji j.
Definicja 2. Niech SO j będzie zbiorem wyjść, z
wyłączeniem wyjścia y oraz wszystkich SOi dla
i < j . Połączenia
k ; l ; η , których wyjścia należą
do zbioru SO j mogą przeciąć ścieżkę połączenia
1
www.pwt.et.put.poznan.pl
x ; y ;ω
x ;Y ;ω
w sekcji j. Wyjścia z SO j będą nazywane
wyjściami dostępnymi z sekcji j.
wszystkie połączenia składowe
zestawione.
2.3. Okna blokowania
W polach multi-log2N do zestawiania połączeń
można używać algorytmu opartego na oknach
blokowania. Zastosowanie okien blokowania dla pól
nieblokowalnych może zmniejszyć złożoność
sprzętową pola komutacyjnego. Koncepcja ta polega
na analizie połączenia rozgłoszeniowego jako zbioru
połączeń składowych. Za połączenie składowe
przyjmuje się takie połączenie, którego wyjścia
należą do tego samego okna blokowania.
Podamy jeszcze dwie definicje, które pomogą
lepiej przedstawić stany blokady w najbardziej
niekorzystnym stanie pola:
Definicja 4. Maksymalna konfiguracja blokująca
3. WARUNKI NIEBLOKOWALNOŚCI
MKB( y; j;ω ) =
{x
k ; yl ; η
zostaną
Twierdzenie 1. Rozważmy pole komutacyjne
multi-log2N, utworzone przez równoległe połączenie
p kopii pola log2N. Pole to jest polem
nieblokowalnym w szerokim sensie dla t = n 2 i gdy
n jest parzyste oraz gdy do zestawiania połączeń
został użyty algorytm 1, w przypadku pasma
dyskretnego wtedy, gdy:
p≥
(
 2 j −1 β b  + R SO
n − j +1


(
B
b
)
b
−
+
1


j =1

t −1
∑
)


2 n−t − j
 R (SOn−t +1 ) + 2 n−t −1 β b ⊗ (1 − B + b ) b  
+

(1 − B + b) b


: xk ∈ SI n − j ; yl ∈ SOn − j ;
 R(SI t −1 ) + R (SOn−t )   2 n−t −1 β b  
+
 +1,
 +
 (1 − B + b ) b    (1 − B + b ) b 
2 j −1 ≤ k ≤ 2 j − 1; 2 n − j −1 ≤ l ≤ 2 n − j − 1 } i | V{x, y} ∩
V{xk , yk } | = 1 to taki stan pola komutacyjnego, w
(1)
którym suma pasm połączeń x k ; y l ; η przecinających wierzchołek ścieżki grafu w sekcji
n − j połączenia x ; y ; ω jest większa niż 1 − ω .
gdzie
Definicja
5.
rozgłoszeniowym
R (SI j ) = SI j β b  + R (SI j −1 ) ⊗ (1 − B + b ) b  ,
połączenie
wejście,
Maksymalnym
połączeniem
MPR( x ; j ; ω ; f i ; t )
jest
x ; Y ; ω , gdzie x ∈ SI j i oznacza
j sekcję, f j liczbę okien blokowania,
t
Y = { y i : y i ∈ SO j ; | Ok | = 2 ; | Y ∩ Ok | =1; 1 ≤ i ≤ f i }
natomiast t jest wykładnikiem funkcji
określającym liczbę wyjść w oknie blokowania.
2t
2.4. Algorytm wyboru drogi połączeniowej
Algorytm drogi połączeniowej można opisać
następująco:
Algorytm 1.
x ;Y ;ω
na
Krok 1. Podziel nowe połączenie
połączenia składowe x ; Yi ; ω . Wybierz jedno z
połączeń składowych.
Krok 2. Wybierz
dowolną
płaszczyznę
z
płaszczyzn, przez które jest już zestawione
jakiekolwiek połączenie. Jeżeli da się zestawić
połączenie składowe przez tę płaszczyznę, zestaw je.
Jeżeli nie to sprawdź inne płaszczyzny, przez które
jest już zestawione co najmniej jedno połączenie
składowe.
Krok 3. Jeżeli wszystkie płaszczyzny, przez które
zestawione są już połączenia składowe są
niedostępne dla nowego połączenia składowego lub
jeżeli wszystkie płaszczyzny są wolne to zestaw to
połączenie składowe przez płaszczyznę przez którą
nie zestawiono do tej pory żadnego połączenia
składowego.
Krok 4. Wybierz następne połączenie składowe i
przejdź do Kroku 2. Powtarzaj Kroki 2-4 dopóki
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
R(SOn ) = (β − B ) b , R(SI 0 ) = (β − B ) b ,
(
)
R (SOn − j ) = SOn − j β b  + R (SOn − j +1 ) ⊗ (1 − B + b ) b  ,
(
)
a ⊕ b oznacza resztę z dzielenia a przez b.
Dowód. Warunek dostateczny udowodnimy
przez pokazanie najbardziej niekorzystnego stanu
x ; y ;ω ,
pola
komutacyjnego.
Niech
0 < b ≤ ω ≤ B ≤ β ≤ 1 będzie nowym połączeniem,
które chcemy dodać do pola. Połączenie x ; y ; ω
jest połączeniem punkt-punkt lub składową
połączenia rozgłoszeniowego. Połączenie to może
być zablokowane przez inne połączenie o minimalnej
wadze ((1 − ω ) b  + 1)b = (1 − ω + b ) b b , które
zostało zestawione przez jeden z wierzchołków
ścieżki połączenia x ; y ; ω . W każdym z N − 1
wejść sekcji 1 oraz N − 1 wyjść sekcji n może być
zestawionych co najwyżej β b  połączeń o wadze
b. W łączu wejściowym x oraz na wyjściu y może
być zestawionych (β − ω ) b  połączeń o wadze b.
W polu komutacyjnym możliwe jest zestawienie
połączenia o wadze bk, k=1,2,…, K, co z punktu
widzenia pola komutacyjnego jest równoważne z
zestawieniem bk b połączeń o wadze b, zgodnie z
założeniem, że bk b jest liczbą całkowitą. Zakładając
wykorzystanie w polu tylko połączeń o wadzie b, nic
nie tracimy na ogólności dowodu.
W sekcji n, połączenie x ; y ; ω nie może
zostać zablokowane i możemy zestawić do wyjścia y
jeszcze R(SOn ) = (β − ω ) b połączeń o wadze b. W
sekcji n − 1 połączenie to może zostać zablokowane
2
www.pwt.et.put.poznan.pl
przez połączenia
l1 ∈ SOn −1
oraz
połączenia
k 2 ; y; b ,
gdzie
k1 ; l1 ; b
oraz
k 2 ∈ SI n −1 . W sumie połączenia
w
k 2 ; y; b
k1 ∈ SI n −1 ,
k1 ; l1 ; b , gdzie
n −1
sekcji
mogą
( SO n−1 β b + R(SOn )) (1 − ω + b ) b
zablokować
płaszczyzn
dla nowego połączenia. W sekcji n − 1 może zostać
jeszcze pasmo, do którego można zestawić
połączenia o wadze b, ale połączenia te nie zablokują
płaszczyzny i będą rozważane w sekcji poprzedniej.
W sekcji n − j , gdzie 1 ≤ j ≤ t , połączenie to
może zostać zablokowane przez połączenia
k1 ; l1 ; b , gdzie k1 ∈ SI n − j , l1 ∈ {y} ∪ U SOn −i  .
j

W sumie połączenia,
(
k1 ; l1 ; b
)
i =1

w sekcji n − j za-
blokują  SO n− j β b  + R(SO n− j +1 ) (1 − ω + b ) b 
płaszczyzn dla nowego połączenia.
W sekcji n − j może zostać jeszcze wolne
pasmo,
do
którego
można
zestawić
R (SO n − j ) = SOn − j β b  + R(SOn − j +1 ) ⊗ (1 − ω + b ) b 
(
)
połączeń o wadze b. Połączenia te nie zablokują
dodatkowej płaszczyzny i będą rozważane w sekcji
poprzedniej n − j − 1 .
W najbardziej niekorzystnym stanie pola
połączenia te zablokują (rys.1a, 1b)
(
 SOn − j β b + R SOn − j +1

p11 =

(1 − ω + b ) b 
j =1 
t −1
∑
)


(2)
płaszczyzn dla nowego połączenia.
W sekcji n − t + 1 , może zostać pasmo resztowe
R(SOn −t +1 ) . Pasmo to nie może być wykorzystane w
sekcji poprzedniej n − t , ponieważ SOn −t β b 
⊗ (1 − ω + b ) b = SI t β b  ⊗ (1 − ω + b ) b  .
Połączenia zestawione przez sekcję n − t
zablokują (rys.1c).
 SOn −t β b 
(3)
p12 = 

 (1 − ω + b ) b 
dodatkowych płaszczyzn dla nowego połączenia.
W sumie, w sekcjach od n − t do n − 1
połączenia k1 ; l1 ; b z
p1 = p11 + p12
(
p11
 2 j −1 β b  + R SOn − j +1
p1 =

(1 − ω + b) b
j =1 

t −1
∑
i
)
p12
zablokują
(4)
  SOn − t β b  
+

  (1 − ω + b ) b  
(5)
płaszczyzn.
W pozostałych sekcjach od 1 do t − 1 będziemy
rozważali połączenia rozgłoszeniowe. W sekcji 0,
połączenie x ; y ; ω nie może zostać zablokowane i
możemy
zestawić
z
wejścia
x
jeszcze R(SI 0 ) = (β − ω ) b połączeń o wadze b.
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
Rys.1. Przykład zablokowania płaszczyzn przez
połączenia z p1 , które zablokują: (a) płaszczyznę 1 i
(b) płaszczyznę 2, (c) - płaszczyzny 3-5, gdy
β = 0.99, B = 0.54, ω = 0.54, b = 0.09, n = 4, t = 2 .
W
sekcji
j
k1 ; L ; b ,
połączenia
gdzie


1 ≤ j ≤ t − 1 , k1 ∈ {x}∪ U SI i  , zestawionych do
i =1


j
L = 2 n −t − j − 1
( SI j β
(
okien
b + R SI j −1
blokowania,
zablokują
)) (1 − ω + b) b(2 n −t − j − 1)
płaszczyzn dla nowego połączenia. W sekcji j może
zostać jeszcze wolne pasmo, które można
( ) (
wykorzystać do zestawienia R SI j = SI j β b 
(
))
+ R SI j −1 ⊗ (1 − ω + b ) b  połączeń o wadze b.
Połączenia te nie zablokują dodatkowej
płaszczyzny w sekcji j i będą rozważane w sekcji
następnej. Połączenia te zablokują (rys. 2a, 2b)
p2 =
(
 2 j −1 β b + R SI j −1

(1 − ω + b ) b
j =1 

t −1
∑
)(2 n−t − j − 1)

(6)
płaszczyzn dla nowego połączenia.
W wejściach należących do SI t −1 może
pozostać jeszcze wolne pasmo, z którego można
zestawić R(SI t −1 ) = R(SOn −t +1 ) połączeń o wadze b.
W wejściach należących do SI t może również
pozostać wolne pasmo, z którego można zestawić
SI t β b  ⊗ (1 − ω + b ) b  = SO n −t β b 
⊗ (1 − ω + b ) b połączeń o wadze b.
3
www.pwt.et.put.poznan.pl
 R(SI t −1 ) + R(SOn −t ) 
p4 = 

 (1 − ω + b ) b 
(8)
W najbardziej niekorzystnym stanie pola p1 ,
p 2 , p3 i p 4 są rozłączne, co powoduje konieczność
dodatkowej płaszczyzny, aby można było zestawić
połączenie x ; y ; ω .
Rys.2. Przykład zablokowania płaszczyzn przez
połączenia z p 2 , które zablokują: (a) płaszczyznę 6
(b) płaszczyznę 7, gdy β = 0.99, B = 0.54,
ω = 0.54, b = 0.09, n = 4, t = 2 .
W sumie połączenia te, zrealizowane w sekcji
n − t − 1 zajmując niewykorzystane do tej pory
pasmo, mogą zająć dodatkową płaszczyznę (rys.3).
 R(SOn −t +1 ) + 2 n −t −1 β b ⊗ (1 − ω + b ) b 
p3 = 

(1 − ω + b ) b


(7)
Rys.4. Przykład zablokowania płaszczyzn przez
połączenia z p 4 , które zablokują (a) płaszczyznę 9,
gdy β = 0.99, B = 0.54, ω = 0.54,
b = 0.09, n = 4, t = 2 .
Z wzorów (6), (8), (10), (11) otrzymamy
końcowy wzór na dostateczną liczbę płaszczyzn dla
nowego połączenia.
p ≥ p1 + p 2 + p 3 + p 4 + 1
(
)
(
)(
 2 j −1 β b + R SO n − j +1

p=

(1 − ω + b ) b
j =1 

t −1
∑
 2 j −1 β b  + R SI j −1 
 2 n −t − j − 1

(
ω
b
)
b
1
−
+

 
j =1 

n
−
t
−
1
 R (SOn−t +1 ) + 2
β b ⊗ (1 − ω + b ) b 
+
(1 − ω + b) b


 R (SI t −1 ) + R (SOn −t ) 
+
(9)
 +1
 (1 − ω + b ) b 
+
Rys.3. Przykład zablokowania płaszczyzn przez
połączenia z p3 , które zablokują: (a) płaszczyznę 8,
gdy β = 0.99, B = 0.54, ω = 0.54,
b = 0.09, n = 4, t = 2 .
W wejściach należących do SI t −1 może
pozostać jeszcze wolne pasmo, z którego można
zestawić połączenia o wadze b. Na wyjściach
należących do SOn −t może również pozostać wolne
pasmo. Jeżeli suma tych pasm resztowych jest równa
lub
większa
od
pasma
blokującego
to
R(SOn −t ) = ( SOn−t β b + R (SOn−t +1 )) ⊗ (1 − ω + b) b
połączeń o wadze b zestawionych do wyjść SOn −t w
sekcji n − t oraz R(SI t −1 ) = ( SI t −1 β b  + R(SI t − 2 ))
⊗ (1 − ω + b ) b połączeń o wadze b zestawionych z
wejść w sekcji t − 1 zablokują dodatkową
płaszczyznę dla nowego połączenia (rys.4).
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
 2 n −t −1 β b  
+

  (1 − ω + b ) b  

 
t −1
∑
)
( ) (
Zauważmy, że SI j = SOn − j i R SI j = R SOn − j
)
dla 1 ≤ j ≤ t − 1 dlatego równanie (9) możemy
zredukować do równania (10):
p ≥ S (ω ) + 1 ,
(10)
gdzie
(
 2 j −1 β b  + R SO
n − j +1

S (ω ) =

(
ω
b
)
b
1
−
+


j =1

t −1
∑
)


2 n −t − j
 R (SOn −t +1 ) + 2 n −t −1 β b ⊗ (1 − ω + b ) b 
+

(1 − ω + b) b


 R (SI t −1 ) + R (SOn −t )   2 n −t −1 β b  
+

 +
 (1 − ω + b ) b   (1 − ω + b ) b 
(11)
4
www.pwt.et.put.poznan.pl
W najbardziej niekorzystnym stanie, gdy
ω ∈ [b; B]
dla nowego
połączenia
będzie
niedostępnych S (ω ) płaszczyzn. Liczba płaszczyzn
powinna być równa maksymalnej wartości dla
wszystkich możliwych ω . Otrzymamy więc
(12)
p ≥ max {S (ω )} + 1
b ≤ω ≤ B
gdzie S (ω ) jest wyrażone wzorem (11).
Funkcja S (ω ) przyjmuje wartość maksymalną
dla ω = B . Po podstawieniu do wzoru (10) za ω = B
otrzymamy wzór (1) co kończy dowód warunku
dostatecznego.
□
Twierdzenie 2. Rozważmy pole komutacyjne multilog2N utworzone przez równoległe połączenie p kopii
pola log2N. Pole to jest polem nieblokowalnym w
szerokim sensie dla 1 ≤ t < n 2 lub t = n 2 i gdy
n jest nieparzyste oraz gdy do zestawiania połączeń
został użyty algorytm 1, w przypadku pasma
dyskretnego, wtedy, gdy:
t  2 j −1 β b + R SI

 
j −1

 2 n −t − j
p≥
1
−
+
(
B
b
)
b




j =1 
(
∑
)
 β b + R (SI t )  n −2t −1
+ 
−1
2
 (1 − B + b ) b  
 R (SI t ) + R(SOn −t ) 
+
 + 1,
 (1 − B + b ) b 
(
gdzie
( ) (
)
(13)
))
(
R SI j = SI j β b  + R SI j −1 ⊗ (1 − B + b ) b  ,
R(SI 0 ) = (β − B ) b ,
a ⊕ b oznacza resztę z dzielenia a przez b
Dowód. Dowód jest bardzo podobny do dowodu z
twierdzenia 1. Różnica polega na tym, że w
przypadku, gdy n jest nieparzyste i t = n 2
możemy
rozważać
maksymalne
połączenia
rozgłoszeniowe z sekcji 1 do t, ponieważ
n − t = t + 1 . W sekcji t, w każdym dostępnym oknie
blokowania jest jeszcze wolne jedno wyjście.
Wyjścia te nie mogą być użyte, ponieważ brak jest
wolnych wejść, z których można zrealizować
połączenie. Gdy, t < n 2 również możemy
rozważać maksymalne połączenia rozgłoszeniowe z
sekcji 1 do t. Wolne pasmo na wyjściach dostępnych
w sekcji t, możemy wykorzystać do zrealizowania
maksymalnego połączenia rozgłoszeniowego w
sekcji t + 1 .
W sekcjach od n − t do n − 1 liczbę zajętych
płaszczyzn opiszemy wzorem (13).
t  SO

n − j β b  + R SO n − j +1


p1 =
(14)


(1 − ω + b) b
j =1 

∑
(
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
)
W sekcji n − t nie będziemy zestawiać połączeń
należących do wejść SI n −t −1 , tak jak to było w
dowodzie 1, ponieważ w tym przypadku w każdej
sekcji wielkość pasma z dostępnych wejść jest
zawsze większa od pasma w dostępnych wyjściach.
W pozostałych sekcjach, gdy n jest nieparzyste i
t = n 2 połączenia składowe maksymalnych
połączeń rozgłoszeniowych oraz połączenia z resztek
pasm z sekcji poprzednich mogą zająć
p2 =
(
 2 j −1 β b + R SI j −1

j =1 
 (1 − ω + b ) b
t
∑
)(2n −t − j − 1)
(15)

różnych płaszczyzn. Natomiast, gdy t < n 2 , w
najbardziej niekorzystnym stanie pola połączenia
możliwe
jest
zrealizowanie
β b  + R(SI t )
dodatkowych połączeń rozgłoszeniowych o wadze b
w
sekcji
t.
Połączenia
te
zajmą
n − 2t −1
−1
(β b + R(SI t )) (1 − ω + b ) b  2
dodatkowych płaszczyzn dla nowego połączenia
(rys.4a-4b). W sumie, gdy t < n 2 , maksymalną
liczbę płaszczyzn niedostępnych dla nowego
połączenia opiszemy wzorem (16).
t  j −1
2 β b  + R SI j −1  n − t − j
−1
p2 =
2

(1 − ω + b ) b  
j =1 

 β b + R (SI t )  n −2t −1
+ 
−1
(16)
2
 (1 − ω + b ) b 
(
(
∑
)
)(
(
)
)
Na wejściach SI t można jeszcze zestawić
połączenia o wadze b. Na wyjściach w sekcji n − t
może również pozostać pasmo resztowe. Jeżeli suma
tych pasm resztowych jest równa lub większa od
pasma blokującego to R(SOn −t ) połączeń o wadze b
zestawionych do wyjść SOn −t w sekcji n − t oraz
R(SI t ) połączeń o wadze b zestawionych z wejść w
sekcji t zablokują dodatkową płaszczyznę dla
nowego połączenia.
 R(SI t ) + R (SOn −t ) 
p4 = 
(17)

 (1 − ω + b ) b 
W najbardziej niekorzystnym stanie pola
p1 , p 2 i p 4 są rozłączne, co powoduje konieczność
dodatkowej płaszczyzny, aby można było zestawić
połączenie x ; y ; ω . Dla t = n 2 , gdy n jest
nieparzyste ze wzorów (14), (15) i (17)
otrzymujemy:
t  j −1
2 β b  + R (SOn − j +1 )


p=

(1 − ω + b ) b
j =1 

∑
(
 2 j −1 β b + R SI j −1

(1 − ω + b ) b
j =1 

t
+
∑
 R (SI t ) + R(SOn −t ) 
+
 +1
 (1 − ω + b ) b  
)

(2
n −t − j
)
−1
(18)
5
www.pwt.et.put.poznan.pl
dla t < n 2 z (14), (16) i (17) otrzymujemy
(
 2 j −1 β b  + R SOn − j +1

(1 − ω + b ) b 
j =1 

t
p=
∑
(
SPIS LITERATURY
)
)(

[1]
 2 j −1 β b  + R SI j −1 
+

 2 n −t − j − 1
1
−
+
(
ω
b
)
b




j =1 
 β b  + R(SI t )  n − 2t −1
−1
+ 
2
 (1 − ω + b ) b  
t
∑
(
)
)
 R(SI t ) + R (SOn −t )
+
 +1
 (1 − ω + b ) b  
(19)
Zauważmy, że dla n = 2t + 1 (19) redukuje się do
(18), dlatego również jest prawdziwe dla t = n 2
gdy n jest nieparzyste. Zauważmy również, że
( ) (
SI j = SOn − j
i R SI j = R SOn − j
)
dla 1 ≤ j ≤ t
dlatego (19) możemy zredukować do (20):
p ≥ S (ω ) + 1 ,
(20)
gdzie
S (ω ) =
(
 2 j −1 β b  + R SI j −1

(1 − ω + b ) b 
j =1 

t
∑
)

2 n −t − j
 β b  + R(SI t )  n − 2t −1
−1
+ 
2
 (1 − ω + b ) b  
(
)
 R(SI t ) + R (SOn −t )
+
(21)
 +1
 (1 − ω + b ) b 
W najbardziej niekorzystnym stanie, gdy ω ∈ b; B ,
dla nowego połączenia będzie niedostępnych (21)
płaszczyzn. Liczba płaszczyzn powinna być równa
maksymalnej wartości dla wszystkich możliwych ω .
Otrzymamy więc
(22)
p ≥ max {S (ω )} + 1
S.Kaczmarek, Własności równoległych połączeń pól komutacyjnych, Przegląd Telekomunikacyjny, vol. LVI, No. 2, 1983, pp. 54-56.
[2] C.-T.Lea, Multi-Log2N networks and their
applications in high-speed electronic and
photonic switching systems, IEEE Tran.
Commun., vol.38, No.10 Oct 1990, pp.1740-49.
[3] C.-T.Lea, D.-J.Shyy, Tradeoff of horizontal
decomposition versus vertical stacking in
rearrangeable nonblocking networks, Tran.
Commun., 39(6):899-904, Jun 1991.
[4] Y. Tscha, K.H. Lea, Non-blocking conditions
for multi-log2N multiconnection networks,
IEEE GLOBECOM 1992, pp.1600-1604.
[5] Y. Tscha, K.H. Lea, Yet another result on
multi-log2N networks, IEEE Tran. Commun.,
vol. 47, No. 9, September 1999, pp.1600-1604.
[6] G. Danilewicz, W. Kabaciński, Wide-Sense
Broadcast
Non-blocking
Multi-Log2N
Switching Networks, IEEE ICC, New Orleans,
LA USA, Jun 2000, pp. 1440-1444.
[7] G. Danilewicz, W. Kabaciński, Non-blocking
multicast multi-log2N switching networks, First
Polish-German Teletraffic Symposium, Drezno,
Sept 2000, pp. 201-210.
[8] G. Danilewicz, W. Kabaciński, Wide-sense and
strict-sense non-blocking operation of multicast
multi-log2N switching networks, IEEE Tran.
Commun., vol.50, No.6, Jun 2002, pp.1025-36.
[9] C.-T. Lea, Multirate Logd(N,e,p) Networks,
IEEE GLOBECOM 1994, pp.319-323.
[10] W. Kabaciński, M. Żal, Non-blocking operation
of multi-Log2N switching networks, System
Science, vol. 25, No. 4, 1999, pp.83-97.
b≤ω ≤ B
gdzie S (ω ) jest wyrażone wzorem (21)
Funkcja S (ω ) przyjmuje wartość maksymalną
dla ω = B . Po podstawieniu do wzoru (22) za ω = B
otrzymamy wzór (13) co kończy dowód warunku
dostatecznego.
□
PODSUMOWANIE
W artykule były rozważane pola multi- log 2 N
nieblokowalne w szerokim sensie dla połączeń
rozgłoszeniowych typu multi-rate. Udowodniono
warunek dostateczny dla założeń, gdy t = n 2 i n
jest parzyste, oraz dla t = n 2 i n jest nieparzyste
oraz gdy t ≤ n 2 . W trakcie badań są warunki
nieblokowalności
dla
pól
multi- log 2 N ,
gdy
n 2  + 1 ≤ t ≤ n − 1 .
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
6