Badania Operacyjne - Uniwersytet Zielonogórski

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania Operacyjne
Laboratorium
Wprowadzenie do programowania liniowego
1. Dla następujących zadań programowania liniowego:
a)
min[−6x1 − 2x2 ]

 2x1 + 4x2 ¬ 9
3x1 + x2 ¬ 6

x1 , x2 ­ 0
b)
 max[x1 + 2x2 ]
x1 − x2 ­ 5



x1 + x2 ¬ 6
x1 ­ 0



x2 ¬ 0
• sprowadzić je do postaci standardowej,
• wyznaczyć wszystkie rozwiązania bazowe,
• określić zbiór rozwiązań dopuszczalnych i znaleźć rozwiązanie optymalne.
2. Metodą przeglądu rozwiązań bazowych znaleźć minimum funkcji
z = −3x1 − 4x2
przy ograniczeniach




x1
−x1
x1



+ x2
+ 4x2
x2
¬ 20
¬ 20
­ 10
­ 5
3. Wyznaczyć optymalne rozwiązanie bazowe dla problemu
min[2x1 + 3x2 ]
przy ograniczeniach x1 ­ 0, x2 ∈ R
x1
3x1
+ x2
+ 5x2
­ 10
¬ 15
4. Firma produkuje dwa produkty A i B, których rynek zbytu jest nieograniczony. Każdy z produktów
wymaga obróbki na każdej z maszyn I, II, III. Czasy obróbki (w godzinach) dla każdego z produktów są
następujące:
I
0.5
0.25
A
B
II
0.4
0.3
III
0.2
0.4
Tygodniowy czas pracy maszyn I, II, III wynosi odpowiednio 40, 36 i 36 godzin. Zysk ze sprzedaży jednej
sztuki A i B stanowi odpowiednio 5 i 3$.
Określić tygodniowe normy produkcji wyrobów A i B maksymalizujące zysk.
5. Sprowadzić następujące zadanie:
max[x1 + 2x2 ]
przy ograniczeniach x1 , x2 ­ 0

−x1



x1
x1



x1
+ 3x2
+ x2
− x2
+ 4x2
¬ 10
¬ 6
¬ 3
­ 4
do postaci standardowej. Pokazać, że istnieje 15 rozwiązań bazowych, z których 5 jest dopuszczalnych.
Przyporządkować te rozwiązania odpowiednim wierzchołkom zbioru punktów dopuszczalnych.
1
6. Układ równań Ax = b ma postać kanoniczną, jeżeli z macierzy A można wybrać kolumny, z których daje
się zbudować macierz jednostkową. Rozważmy układ
x1 + 3x2 + x3 + x4 =
12
−3x1 − 4x2 − 2x3 + x4 = −19
Za pomocą elementarnych operacji wierszowych sprowadzić go do postaci kanonicznej, a następnie wyznaczyć przynajmniej jedno rozwiązanie bazowe.
7. Wykorzystując metodę sympleks rozwiązać następujące ZPL:
a)
min[−4x1 − 4x2 ]

 2x1 + 4x2 ¬ 8
3x1 + x2 ¬ 8

x1 , x2 ­ 0
min[−x1 − x2 ]

 x1 − x2 ­ 1
x2 ¬ 2

x1 , x2 ­ 0
b)
8. Zastosować algorytm sympleks do znalezienia maksimum funkcji
z = 2x1 + x2 + 3x3
przy ograniczeniach x1 , x2 , x3 ­ 0

 x1
2x1

x1
+
−
+
x2
x2
2x2
¬ 14
¬ 6
¬ 10
+ x3
+ x3
− x3
9. Znaleźć minimum funkcji
z = −3x1 − x2
przy ograniczeniach x1 , x2 ­ 0




x1
x1
2x1



αx1
­
¬
¬
¬
+
x2
−
x2
+
x2
+ βx2
1
1
3
6
w przypadku gdy
a) α = β = 1,
b) α = 2, β = 2/3,
c) α = 6, β = −6
10. Firma potrzebuje węgiel z zawartością fosforu nie większą niż 0.03% i zawartością cynku nie większą niż
3.25%. Dostępne są trzy gatunki węgla A, B i C po następujących cenach za tonę:
Gatunek węgla
A
B
C
Zaw. P [%]
0.06
0.04
0.02
Zaw. Zn [%]
2.0
4.0
3.0
Cena [$]
30
30
45
Jak należy je zmieszać, aby otrzymać najniższą cenę i jednocześnie spełnić ograniczenia na zawartość
zanieczyszczeń?
11. Organizm mężczyzny pracującego fizycznie wymaga dostarczenia dziennie co najmniej 5000 jednostek
witaminy A i 1,4 jednostek witaminy B1 oraz co najmniej 75 jednostek witaminy C. Tabela podaje
zawartość witamin w 1 kg niektórych produktów oraz ceny tych produktów. Należy tak zaplanować zakup
produktów na 10 dni, aby łączny koszt zakupu był minimalny.
Witamina
A
B1
C
Cena 1 kg
Drób
2500
0,6
–
2,7
Ryby
10200
0,3
10
3,4
2
Mleko
1400
0,5
10
1,5
Chleb
–
3
–
3,5
12. W zakładzie doświadczalnym wyhodowano nową odmianę pszenicy, która daje wysokie plony z ha. Konieczne jest jednak stosowanie trzech nawozów: fosforowego, potasowego i naturalnego. Nawozy te zawierają cztery istotne składniki A, B, C, D. Zawartość tych składników w 1 kg poszczególnych nawozów
oraz minimalne ilości składników odżywczych, jakie powinny być dostarczone pszenicy w ciągu okresu
wegetatywnego (na 1 ha) podaje tabela.
Składniki
A
B
C
D
Zawartość składników odżywczych
w 1 kg nawozu
fosforowy potasowy naturalny
6
2
26
40
4
20
3
20
60
18
12
13
Minimalna
ilość
składnika
96
160
120
152
Określić optymalną dawkę nawozów ze względu na wielkość kosztów, jeśli ceny 1 kg poszczególnych nawozów kształtują się odpowiednio: 0,5 zł, 0,6 zł i 0,2 zł. Rozwiązać problem, jeśli proporcja użytych nawozów
wynosi 1 : 0,5 : 4.
13. W dwóch miejscowościach A i B istnieje zapotrzebowanie na opryski ochronne przy użyciu herbicydów. W
obu miejscowościach potrzeba po 6 samolotów celem realizacji zadania. Wiadomo, że 3, 4 i 5 samolotów
można otrzymać odpowiednio z lotnisk L1 , L2 i L3 .
Jak należy rozdzielić samoloty pomiędzy miejsca A i B, aby zminimalizować ich całkowity przelot? Odległości z lotnisk do miejscowości A i B przedstawia poniższa tabela:
Lotnisko
L1
L2
L3
Odległość od punktów
A
B
12
15
7
14
16
5
14. Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów A, B, C, D, które są obrabiane na trzech maszynach
M1 , M2 i M3 . Czas pracy maszyn w godz. przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów
podaje tabela poniżej.
Wyroby
A
B
C
D
M1
1,0
1,5
2,0
1,0
Czas pracy [h]
M2
M3
2,0
1,5
2,5
2,0
3,0
2,0
0,5
1,5
Rynek może wchłonąć każdą ilość produkcji. Jednostkowe zyski (w tys. zł) wynoszą przy produkcji wyrobu
A - 2,0, wyrobu B - 2,5, wyrobu C - 4,0, a wyrobu D - 1,5. Każda maszyna może pracować miesięcznie:
M1 - nie więcej niż 100 godz., M2 - co najmniej 50 godz., M3 - nie więcej niż 120 godz. Określić optymalny
asortyment produkcji umożliwiający maksymalizację zysku.
15. Sprowadzić do postaci standardowej programowania liniowego zadanie programowania nieliniowego
|x| + |y| + |v|
x + y
2x
+ v
3
−→ min
¬
1
=
3