Twierdzenie typu Cantora dla niezstępujących ciągów

Warsztaty z Analizy Rzeczywistej
Konopnica, 14 maja, 2016 r.
Instytut Matematyki
Politechnika Lódzka
Jacek Jachymski
i jego zastosowania
niezstȩpuja̧cych cia̧gów zbiorów
Twierdzenie typu Cantora dla
(Lech Górniewicz, Mathematical Reviews, recenzja artykulu
S. Reicha i A.J. Zaslavskiego pt. Convergence of iterates for
a class of mappings of contractive type, J. Fixed Point Theory
Appl. 2007)
”The authors establish an interesting local version of the Banach Contraction Principle. The proof is rather standard, but
technically quite complicated.”
∀M, ε > 0 ∃k ∈ N ∀(xi)n
i=0 ⊆ K [(d(x0 , x∗ ) ≤ M i xi = T xi−1
dla i = 1, ...n) ⇒ d(xi, x∗) < ε dla i = k, ..., n].
Twierdzenie 1 (Reich–Zaslavski). Zalóżmy, że K jest niepustym,
domkniȩtym podzbiorem przestrzeni metrycznej zupelnej (X, d),
T : K → X i L(T ) < 1, gdzie L(T ) jest stala̧ Lipschitza T .
Zalóżmy, że K0 ⊆ K jest niepusty, ograniczony i taki, że dla
dowolnego n ∈ N istnieje xn ∈ K0, dla którego T nxn jest dobrze
określone. Wówczas T ma dokladnie jeden punkt staly x∗ ∈ K
oraz
Lemat 2. Niech A ∈ P(X) i An ∈ P(X) dla n ∈ N oraz
H(An, A) → 0. Wówczas (An) ma dokladnie jedna̧ granicȩ wtedy
i tylko wtedy, gdy Ad = ∅.
diam B ≤ diam A + 2D(B, A).
H(A, B) ≤ diam A + D(B, A);
∀a ∈ A, b ∈ B d(a, b) ≤ diam A + d(b, A);
Lemat 1. Niech A, B ∈ P(X). Wówczas zachodza̧ nierówności:
D(A, B) := sup{d(x, B) : x ∈ A}, H(A, B) := max{D(A, B), D(B, A)}.
P(X) := 2X \ {∅}. Dla A, B ∈ P(X)
Oznaczenia
D(An+1, An) < ∞
i=n
D(Ai+1, Ai).
∀ε > 0 ∃ k ∈ N ∀(ai) ∈ Πi∈NAi ∀n ≥ k d(an, a∗) < ε.
Sta̧d dla dowolnego cia̧gu (an) takiego, że an ∈ An, d(an, a∗) → 0
i zbieżność ta jest jednostajna wzglȩdem takich cia̧gów, tj.
H(An, {a∗}) ≤ diam An +
∞
X
to cia̧g (An) jest zbieżny w (P(X), H), ma dokladnie jedna̧ granicȩ,
przy tym lim An = {a∗} dla pewnego a∗ ∈ X. Ponadto
n=1
∞
X
Twierdzenie 2 (typu Cantora). Zalóżmy, że (X, d) jest przestrzenia̧
metryczna̧ zupelna̧, An ∈ P(X) dla n ∈ N i diam An → 0. Jeśli
D(An+1, An) = 0.
Z tw. 2, H(An, {a∗}) → 0 dla pewnego a∗ ∈ X. Z lematu 3
T
wynika, że {a∗} = n∈N An.
n=1
∞
X
Dowód. Gdy An+1 ⊆ An to D(An+1, An) = 0 wiȩc
Wniosek 1. Z twierdzenia 2 wynika klasyczne twierdzenie Cantora o przeciȩciu.
Lemat 3. Niech A ∈ P(X) i An ∈ P(X) oraz An+1 ⊆ An dla
T
n ∈ N. Jeśli H(An, A) → 0 to A = n∈N An.
diam K0 ∪ T (K0)
diam K0 +
1−α
.
Kn := T (Kn−1) ∩ K.
Dowód. Stosujemy tw. 2 do cia̧gu (Kn)∞
n=0 , gdzie dla n ∈ N
n
α
n
W szczególności, jeśli K0 = {x0} to d(T x0, x∗) ≤ 1−α d(x0, T x0).
p(x) ≥ n ⇒ d(T nx, x∗) ≤ αn
!!
Wówczas T ma punkt staly wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
taki niepusty i ograniczony zbiór K0 ⊆ K, że supx∈K0 p(x) = ∞.
Ponadto, jeśli zachodzi ostatni warunek to Fix T = {x∗} dla pewnego x∗ ∈ K oraz dla dowolnego x ∈ K0 i n ∈ N
p(x) := sup{n ∈ N : T ix ∈ K dla i = 0, 1, ..., n − 1}.
Twierdzenie 3. Zalóżmy, że K jest niepustym, domkniȩtym
podzbiorem przestrzeni metrycznej zupelnej (X, d), T : K → X
i α := L(T ) < 1. Dla x ∈ K polóżmy
diam K00 ∪ T (K00 ) ≤ diam K00 + diam T (K00 ) ≤ 2M + 2αM.
Wtedy x∗ ∈ K00 ∩ T (K00 ) wiȩc
K00 := B(x∗, M ) ∩ K.
Dowód. Stosujemy tw. 3 biora̧c kolejno za K0 zbiór K0 z tw.
R–Z, a nastȩpnie zbiór
∀M > 0 ∀(xi)n
i=0 ⊆ K [(d(x0 , x∗ ) ≤ M i xi = T xi−1
αi
dla i = 1, ...n) ⇒ d(xi, x∗) < 4M 1−α
dla i = 1, ..., n].
Wniosek 2. Z tw. 3 wynika twierdzenie Reicha–Zaslavskiego.
Ponadto przy zalożeniach tw. R–Z mamy:
Stosuja̧c twierdzenie 3 dwa razy (!) dostajemy