O pewnym zapomnianym twierdzeniu Sierpinskiego

1
O pewnym zapomnianym twierdzeniu
Sierpińskiego
Jacek Cha̧dzyński
Niech R bȩdzie zbiorem liczb rzeczywistych i X niepustym podzbiorem R.
Rozważać bȩdziemy dalej nieskończony cia̧g funkcji fn : X → R, n = 1, 2, . . ..
Szeregiem funkcyjnym o wyrazach fn nazywamy symbol
f1 + f2 + · · · .
(1)
Cia̧g funkcji (sn )∞
n=1 , którego n-ty wyraz określony jest wzorem
sn = f1 + · · · + fn ,
nazywamy cia̧giem sum czȩściowych szeregu (1).
Mówimy, że szereg (1) jest zbieżny, gdy istnieje funkcja f : X → R taka,
że dla każdego x ∈ X, limn→∞ sn (x) = f (x), tzn.
∀x∈X ∀ε>0 ∃N ∈R ∀n>N |sn (x) − f (x)| < ε.
Funkcjȩ f nazywamy suma̧ szeregu (1).
Przyklad 1 (Szereg geometryczny). Niech X = (−1, 1), fn (x) = axn−1 dla
n = 1, 2, . . ., x ∈ X, a ∈ R. Wtedy,
sn (x) = a
1 − xn
1−x
i
lim sn (x) =
n→∞
a
.
1−x
Zatem funkcja f dana wzorem
f (x) =
a
1−x
jest suma̧ szeregu a + ax + ax2 + · · · .
dla x ∈ (−1, 1)
2
Oznaczmy przez N zbiór liczb naturalnych. Niech σ : N → N bȩdzie
dowolna̧ funkcja̧ różnowartościowa̧ odwzorowuja̧ca̧ zbiór N na N.
Przyjmijmy
fn∗ = fσ(n) dla n = 1, 2, . . . .
O szeregu
f1∗ + f2∗ + · · ·
mówimy, że powstal z szeregu (1) przez zamianȩ porza̧dku wyrazów.
O szeregu (1) mówimy, że jest zbieżny bezwarunkowo, gdy każdy szereg,
który powstal z szeregu (1) przez zamianȩ porza̧dku wyrazów ma tȩ sama̧
sumȩ f .
O szeregu (1) mówimy, że jest zbieżny bezwzglȩdnie, gdy zbieżny jest szereg
|f1 | + |f2 | + · · · .
Twierdzenie 1. Szereg (1) jest zbieżny bezwarunkowo dokladnie wtedy, gdy
jest on zbieżny bezwzglȩdnie.
Wprowadzimy jeszcze jedno pojȩcie odgrywaja̧ce ważna̧ rolȩ w analizie
matematycznej.
Mówimy, że szereg (1) jest zbieżny jednostajnie, gdy istnieje funkcja
f : X → R, że
∀ε>0 ∃N ∈R ∀n>N ∀x∈X |sn (x) − f (x)| < ε.
Różnica miȩdzy zbieżnościa̧ szeregu (1) i zbieżnościa̧ jednostajna̧ tego
szeregu polega na tym, że w pierwszej definicji liczba N zależy od x i ε, w
drugiej zaś zależy tylko od ε i jest wspólna dla wszystkich x.
Oczywiste jest
Twierdzenie 2. Jeśli szereg (1) jest zbieżny jednostajnie, to jest zbieżny.
Przyklad 2 (Sierpiński). Niech X = [0, 1] i niech dla x ∈ X
l
x (1 − x)
dla n = 2l − 1,
(3)
fn (x) =
−xl (1 − x) dla n = 2l.
3
Rozważmy szereg o wyrazach fn , tj. szereg
(4)
x(1 − x) − x(1 − x) + x2 (1 − x) − x2 (1 − x) + · · · .
Suma̧ szeregu (4) jest oczywiście funkcja f (x) = 0 dla x ∈ X. Latwo pokazujemy, że dla dowolnego l ∈ N i x ∈ X,
|f1 (x)| + · · · + |f2l (x)| < 2.
Sta̧d, szereg (4) jest bezwzglȩdnie zbieżny i w konsekwencji jest bezwarunkowo zbieżny. Niech sn oznacza n-ta̧ sumȩ czȩściowa̧ szeregu (4). Nierówność
|sn (x)| <
2
,
n+3
dla x ∈ X
i n = 1, 2, . . . ,
daje jednostajna̧ zbieżność szeregu (4).
Narzuca siȩ pytanie, czy każdy szereg, który powstaje z szeregu (4) przez
zamianȩ porza̧dku wyrazów jest również zbieżny jednostajnie.
Odpowiedź brzmi - nie.
Jeśli zmienimy porza̧dek wyrazów w szeregu (4) wypisuja̧c po każdych
dwóch dodatnich wyrazach jeden ujemny, to otrzymamy szereg
(4∗ ) x(1 − x) + x2 (1 − x) − x(1 − x) + x3 (1 − x) + x4 (1 − x) − x2 (1 − x) + · · · .
Niech s∗n bȩdzie n-ta̧ suma̧ czȩściowa̧ tego szeregu. Nietrudno pokazuje siȩ,
że dla dowolnego l ∈ N,
r !
1
∗ l 1 s3l
> √ ,
2 4 2
co daje, że szereg (4∗ ) nie jest jednostajnie zbieżny.
Twierdzenie, o którym mowa w tytule podaje warunek konieczny i wystarczaja̧cy na to by szereg (1) byl zbieżny jednostajnie po dowolnej zamianie
porza̧dku jego wyrazów.
4
Twierdzenie 3 (Sierpiński). Szereg (1) jest zbieżny jednostajnie po dowolnej zamianie porza̧dku jego wyrazów dokladnie wtedy, gdy szereg
|f1 | + |f2 | + · · ·
(6)
jest zbieżny jednostajnie.
To piȩkne i zapomniane twierdzenie znalazlo ostatnio zastosowanie w podstawach funkcji wielu zmiennych dotycza̧cych rodzin funkcyjnych jednostajnie sumowalnych.
Waclaw Sierpiński
urodzony 14 marca 1882 w Warszawie
zmarl 21 października 1969 w Warszawie.
Profesor Waclaw Sierpiński jeden z najwybitniejszych polskich matematyków, twórca warszawskiej szkoly matematycznej, byl autorem 724 prac
glównie z teorii liczb, teorii mnogości, topologii i funkcji rzeczywistych oraz
autorem 50 monografii i podrȩczników z różnych dzialów matematyki.
Byl wspólzalożycielem znanego w świecie czasopisma matematycznego
Fundamenta Mathematicae i jego redaktorem ponad 30 lat.
Byl pierwszym Polakiem, który wyglosil odczyt plenarny na Kongresie
Matematycznym (Zurich 1932).
Byl czlonkiem wielu Akademii i Towarzystw Naukowych w tym:
Polskiej Akademii Umiejȩtności (1921), Niemieckiej Akademii Nauk (1950),
Polskiej Akademii Nauk (1952), Amerykańskiej Akademii Sztuk i Nauk (1959),
Akademii Paryskiej (1960), Papieskiej Akademii Nauk (1967).
Byl doktorem honorowym miȩdzy innymi Uniwersytetu we Lwowie (1929),
Amsterdamie (1931), Sofii (1939), Pradze (1947), Wroclawiu (1947) i Moskwie
(1967).
5
Bibliografia
[1] W. Sierpiński, Analiza t.1, cz.2: Dzialania nieskończone, Warszawa
1925, §116.
[2] W. Sierpiński, O wplywie porza̧dku skladników na zbieżność jednostajna̧,
Sprawozdania Towarzystwa Naukowego, Warszawa (1910), 353-357.
[3] A. Schinzel, Rola Waclawa Sierpińskiego w historii matematyki polskiej,
Wiadomości Matematyczne 26(1) (1984), 1-9.
[4] Z. Adamowicz, Wklad Waclawa Sierpińskiego do ogólnej teorii mnogości,
ibid. 9-18.
[5] R. Engelking, O pracach Waclawa Sierpińskiego z topologii, ibid. 18-24.
[6] A. Schinzel, Prace Waclawa Sierpińskiego z teorii liczb, ibid. 24-31.