Dwa nieskończenie długie przewody o przewody o przekroju

Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym
LABORATORIUM 2
Dwa nieskończenie długie przewody o przekroju okrągłym umieszczone są w powietrzu równolegle
do siebie. Promień każdego z przewodów wynosi R1 = R2 = 4 cm, odległość między osiami
przewodów wynosi D = 16 cm. W powietrzu spełnione jest równanie Laplace’a, w przewodach
równanie Poissona, warunkiem brzegowym na powierzchni każdego przewodu jest stały potencjał.
Zadania
1. Znaleźć rozkład potencjału wokół przewodów, przy założeniu, że każdy z nich ma potencjał
równy odpowiednio 1V oraz –1 V (zadanie do rozwiązania w Matlabie).
Zadanie można rozwiązać analitycznie posługując się rozwiązaniem uzyskanym dla nieskończenie
cienkich linii obdarzonych ładunkiem o gęstości liniowej τ i -τ, umieszczonych w odległości 2b od siebie:
V=

2
gdzie: r 1= y 2 b−x  ,
r
τ
ln 2 ,
2 πε r 1
(1)

2
r 2 = y 2  b+x  , ε = 8,854 pF/m.
Położenie osi elektrycznych przewodów (b i -b) znajduje się z zależności:
b= h 2− R12 ,
(2)
gdzie h jest położeniem osi geometrycznej przewodu. Wartość τ można znaleźć podstawiając za V
w równaniu (1) potencjał jednego z przewodów i odległości r1 i r2 odpowiadające dowolnemu punktowi
na jego powierzchni.
2. Z obliczonego potencjału znaleźć wartości natężenia pola elektrycznego, a następnie gęstość
energii zgromadzonej w polu elektrycznym linii i pojemność linii (na jednostkę długości).
Do obliczenia natężenia pola elektrycznego można wykorzystać funkcję Matlaba gradient. Należy
pamiętać, o zmianie znaku na przeciwny (E = -grad V). Do obliczenia gęstości energii wykorzystuje się
zależność:
ε E2
,
W=
2
(3)
którą należy zcałkować po całym obszarze obliczeń. Pojemność znajduje się z zależności:
W=
C U2
.
2
(4)
1
3. Porównać rozkłady potencjału przy różnych warunkach brzegowych na zewnętrznym obszarze:
a) zerowy warunek Dirichleta,
b) zerowy warunek Neumanna,
c) wartość potencjału na brzegu obliczona z równania (1),
d)* wartość pochodnej z potencjału obliczona na podstawie równania (1).
Do oceny prawidłowości rozwiązania zagadnienia w środowisku COMSOL Multiphysics przy różnych
warunkach brzegowych może posłuzyć pojemność obliczona z gęstości energii (tak jak w zadaniu 2).
4. Porównać rozkłady potencjału przy różnych wielkościach zewnętrznego obszaru (np. dla obszaru
obliczeń ograniczonego okręgiem o promieniu R, przyjąć wartości R = 0.3, 1, 3).
.
Zadanie 3 i 4 – do rozwiązania w Comsolu. Należy przyjąć układ współrzędnych 2D, prostokątny i wybrać
moduł elektrostatyczny. Wartości r1 , r2 i V na brzegu obszaru można wprowadzić jako funkcje. Wartości
τ oraz b można wprowadzić jako stałe. Rozwiązania można uzyskać budując tylko część obszaru obliczeń
w środowisku COMSOL Multiphysics i ustawiając odpowiednie warunki brzegowe.
Pytania
1. Jak wielkość zewnętrznego obszaru wpływa na dokładność obliczeń?
2. Jak poszczególne warunki brzegowe wpływają na dokładność obliczeń?
2
Poniższe wykresy przedstawiają potencjał obliczony na podstawie zależności analitycznej oraz
metodą elementów skończonych, przy różnych warunkach brzegowych.
Rys. 1 Rozwiązanie analityczne
Rys. 2 Rozwiązanie numeryczne, warunek brzegowy Dirichleta
3
Rys. 3 Rozwiązanie numeryczne, warunek brzegowy Neumanna
4