Logika pierwszego rzędu, składnia i semantyka

Transkrypt

Logika pierwszego rz¦du skªadnia i semantyka
Logika pierwszego rz¦du nazywana jest te» rachunkiem predykatów
lub rachunkiem kwantykatorów.
Sygnatura
Σ to rodzina
R
Σn , dla n ≥ 1.
Sygnatura
zbiorów
zbiorów
ΣFn ,
dla
n ≥ 0 oraz rodzina
Sygnatura
Σ to rodzina
R
Σn , dla n ≥ 1.
Sygnatura
zbiorów
Elementy
ΣFn
zbiorów
ΣFn ,
to symbole operacji
dla
n-argumentowych.
Sygnatura
Σ to rodzina
R
Σn , dla n ≥ 1.
Sygnatura
zbiorów
zbiorów
ΣFn ,
Elementy
ΣFn
to symbole operacji
Elementy
ΣR
n
to symbole relacji
Znak równo±ci
=
nie nale»y do
dla
n-argumentowych.
n-argumentowych.
Σ.
Sygnatura
Σ to rodzina
R
Σn , dla n ≥ 1.
Sygnatura
zbiorów
zbiorów
ΣFn ,
Elementy
ΣFn
to symbole operacji
Elementy
ΣR
n
to symbole relacji
Znak równo±ci
=
nie nale»y do
dla
n-argumentowych.
n-argumentowych.
Σ.
Gdy sygnatura jest sko«czona to cz¦sto zapisuje si¦ j¡ jako ci¡g
symboli, np.
+, ·, 0, 1
Zmienne i termy
Ustalamy niesko«czony przeliczalny zbiór
zmiennych indywiduowych.
X
Zmienne i termy
X
Zbiór termów
T Σ (X )
nad sygnatur¡
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
Zmienne i termy
X
Zbiór termów
T Σ (X )
nad sygnatur¡
Σ
Zmienne indywiduowe s¡ termami
i zbiorem zmiennych
X:
Zmienne i termy
X
Zbiór termów
T Σ (X )
nad sygnatur¡
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
n ≥ 0 i ka»dego symbolu operacji f ∈ ΣFn , je±li
t1 , . . . , tn s¡ termami, to f (t1 , . . . , tn ) jest te» termem
Dla ka»dego
Zmienne i termy
X
Zbiór termów
T Σ (X )
nad sygnatur¡
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
Zbiór FV (t ) zmiennych wyst¦puj¡cych w t :
Dla ka»dego
Zmienne i termy
X
Zbiór termów
T Σ (X )
nad sygnatur¡
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
FV (x ) = {x }.
Dla ka»dego
Zmienne i termy
X
Zbiór termów
T Σ (X )
nad sygnatur¡
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
FV (x ) = {x }.
S
FV (f (t1 , . . . , tn )) = ni=1 FV (ti ).
Dla ka»dego
Formuªy atomowe
Zbiór formuª atomowych nad sygnatur¡
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
Formuªy atomowe
Faªsz
⊥
jest formuª¡ atomow¡
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
Formuªy atomowe
Faªsz
⊥
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
n ≥ 1, ka»dego symbolu r ∈ ΣRn , oraz dla
dowolnych termów t1 , . . . , tn ∈ TΣ (X ), napis r (t1 , . . . , tn ) jest
Dla ka»dego
formuª¡ atomow¡
Formuªy atomowe
Faªsz
⊥
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
n ≥ 1, ka»dego symbolu r ∈ ΣRn , oraz dla
dowolnych termów t1 , . . . , tn ∈ TΣ (X ), napis r (t1 , . . . , tn ) jest
Dla ka»dego
formuª¡ atomow¡
Dla dowolnych termów
atomow¡.
t1 , t2 , napis (t1 = t2 ) jest formuª¡
Formuªy
Zbiór formuª nad sygnatur¡
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
Formuªy
Σ
i zbiorem zmiennych
Formuªa atomowa jest formuª¡.
X:
Formuªy
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
Je±li
ϕ, ψ
s¡ formuªami, to
(ϕ → ψ)
jest formuª¡.
Formuªy
Σ
i zbiorem zmiennych
X:
Je±li
ϕ, ψ
s¡ formuªami, to
Je±li ϕ jest formuª¡ a
(∀x ϕ) jest formuª¡.
(ϕ → ψ)
x ∈X
jest formuª¡.
jest zmienn¡ indywiduow¡, to
Zmienne wolne formuªy
Zbiór zmiennych wolnych
FV (ϕ) wyst¦puj¡cych w ϕ:
FV (⊥) = ∅;
FV (⊥) = ∅;
S
FV (r (t1 , . . . , tn )) = ni=1 FV (ti );
FV (⊥) = ∅;
S
FV (r (t1 , . . . , tn )) = ni=1 FV (ti );
FV (t1 = t2 ) = FV (t1 ) ∪ FV (t2 );
FV (⊥) = ∅;
S
FV (r (t1 , . . . , tn )) = ni=1 FV (ti );
FV (t1 = t2 ) = FV (t1 ) ∪ FV (t2 );
FV (ϕ → ψ) = FV (ϕ) ∪ FV (ψ);
FV (⊥) = ∅;
S
FV (r (t1 , . . . , tn )) = ni=1 FV (ti );
FV (t1 = t2 ) = FV (t1 ) ∪ FV (t2 );
FV (ϕ → ψ) = FV (ϕ) ∪ FV (ψ);
FV (∀x ϕ) = FV (ϕ) − {x }.
FV (⊥) = ∅;
S
FV (r (t1 , . . . , tn )) = ni=1 FV (ti );
FV (t1 = t2 ) = FV (t1 ) ∪ FV (t2 );
FV (ϕ → ψ) = FV (ϕ) ∪ FV (ψ);
FV (∀x ϕ) = FV (ϕ) − {x }.
Formuªa bez kwantykatorów to formuªa otwarta.
Formuªa bez zmiennych wolnych to zdanie, lub formuªa zamkni¦ta.
Skróty skªadniowe
Dodatkowe spójniki zdaniowe traktujemy jako skróty:
(¬ϕ)
oznacza
ϕ→⊥
(ϕ ∨ ψ)
oznacza
((¬ϕ) → ψ)
(ϕ ∧ ψ)
oznacza
(¬((¬ϕ) ∨ (¬ψ)))
(ϕ ↔ ψ)
oznacza
((ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ))
Kwantykator egzystencjalny jest tak»e skrótem:
(∃x ϕ)
oznacza
(¬(∀x ¬ϕ)).
Wyst¡pienia wolne a wyst¡pienia zwi¡zane w
formule
Wyst¡pienia zmiennych w formuªach atomowych s¡ wolne.
formule
Wolne (zwi¡zane) wyst¡pienia w
w formule
ϕ → ψ.
ϕiψ
pozostaj¡ wolne (zwi¡zane)
formule
w formule
ϕiψ
ϕ → ψ.
Wolne wyst¡pienia
x
w
ϕ
staj¡ si¦ zwi¡zane w
∀x ϕ.
Wyst¡pienia innych zmiennych nie zmieniaj¡ charakteru.
formule
w formule
ϕiψ
ϕ → ψ.
Wolne wyst¡pienia
x
w
ϕ
staj¡ si¦ zwi¡zane w
∀x ϕ.
Wyst¡pienia innych zmiennych nie zmieniaj¡ charakteru.
Rozró»nienie pomi¦dzy zmiennymi wolnymi a zwi¡zanymi jest
analogiczne do rozró»nienia pomiedzy identykatorami lokalnymi a
globalnymi w j¦zykach programowania.
Semantyka formuª
Struktura
A
nad sygnatur¡
Σ
to:
Semantyka formuª
Struktura
A
nad sygnatur¡
niepusty zbiór
A:
Σ
to:
no±nik lub uniwersum
A
Semantyka formuª
Struktura
A
nad sygnatur¡
niepusty zbiór
A:
Σ
to:
interpretacja ka»dego symbolu operacji
argumentowej
f
A
: An → A
A
f
∈ ΣFn
jako funkcji
n
Semantyka formuª
Struktura
A
nad sygnatur¡
niepusty zbiór
A:
Σ
to:
argumentowej
f
A
: An → A
A
f
∈ ΣFn
interpretacja ka»dego symbolu symbolu relacji
relacji
n-argumentowej r
A
⊆ An .
jako funkcji
r ∈ ΣRn
jako
n
Semantyka formuª
Struktura
A
nad sygnatur¡
niepusty zbiór
A:
Σ
to:
argumentowej
f
A
: An → A
A
f
∈ ΣFn
interpretacja ka»dego symbolu symbolu relacji
relacji
n-argumentowej r
Zapis: krotka postaci
A
⊆ An .
jako funkcji
r ∈ ΣRn
A i,
A = hA, f1A , . . . , fnA , r1A , . . . , rm
jako
gdzie
f1 , . . . , fn , r1 , . . . , rm s¡ wszystkimi symbolami danej sygnatury.
n
Warto±ciowanie
Warto±ciowanie w
Σ-strukturze A
to funkcja
% : X → A.
Warto±ciowanie
Warto±ciowanie w
Σ-strukturze A
to funkcja
% : X → A.
x ∈ X oraz elementu a ∈ A
a
deniujemy nowe warto±ciowanie %x : X → A:
Dla warto±ciowania
%,
zmiennej
%ax (y ) =
(
%(y )
a
y 6= x
w p.p.
Warto±ci termów
t ∈ TΣ (X ) w Σ-strukturze A przy warto±ciowaniu %
A
oznaczamy przez [[t ]]% , lub [[t ]]% .
Warto±¢ termu
Warto±ci termów
A
Warto±¢ termu
[[x ]]A
% = %(x ).
Warto±ci termów
A
Warto±¢ termu
[[x ]]A
% = %(x ).
A
A
A
[[f (t1 , . . . , tn )]]A
% = f ([[t1 ]]% , . . . , [[tn ]]% ).
Znaczenie formuª
(A, %) |= ϕ
czytamy:
formuªa
ϕ jest speªniona w strukturze A przy warto±ciowaniu %.
formuªa
ϕ
%.
jest prawdziwa w strukturze
A
przy warto±ciowaniu
Znaczenie formuª
(A, %) |= ϕ
czytamy:
formuªa
formuªa
ϕ
%.
Nie zachodzi
(A, %) |= ⊥.
A
Znaczenie formuª
(A, %) |= ϕ
czytamy:
formuªa
formuªa
ϕ
A
%.
(A, %) |= ⊥.
R
Dla n ≥ 1, r ∈ Σn oraz termów t1 , . . . , tn
A
A
(A, %) |= r (t1 , . . . , tn ) wtw, gdy h[[t1 ]]A
% , . . . [[tn ]]% i ∈ r .
Nie zachodzi
Znaczenie formuª
(A, %) |= ϕ
czytamy:
formuªa
formuªa
ϕ
A
%.
(A, %) |= ⊥.
R
A
A
(A, %) |= r (t1 , . . . , tn ) wtw, gdy h[[t1 ]]A
% , . . . [[tn ]]% i ∈ r .
A
(A, %) |= t1 = t2 , wtw, gdy [[t1 ]]A
% = [[t2 ]]% .
Nie zachodzi
Znaczenie formuª
(A, %) |= ϕ
czytamy:
formuªa
formuªa
ϕ
A
%.
(A, %) |= ⊥.
R
A
A
(A, %) |= r (t1 , . . . , tn ) wtw, gdy h[[t1 ]]A
% , . . . [[tn ]]% i ∈ r .
A
(A, %) |= t1 = t2 , wtw, gdy [[t1 ]]A
% = [[t2 ]]% .
Nie zachodzi
(A, %) |= (ϕ → ψ),
(A, %) |= ψ .
gdy nie zachodzi
(A, %) |= ϕ
lub zachodzi
Znaczenie formuª
(A, %) |= ϕ
czytamy:
formuªa
formuªa
ϕ
A
%.
(A, %) |= ⊥.
R
A
A
(A, %) |= r (t1 , . . . , tn ) wtw, gdy h[[t1 ]]A
% , . . . [[tn ]]% i ∈ r .
A
(A, %) |= t1 = t2 , wtw, gdy [[t1 ]]A
% = [[t2 ]]% .
Nie zachodzi
(A, %) |= (ϕ → ψ),
(A, %) |= ψ .
(A, %) |= (∀x ϕ)
(A, %ax ) |= ϕ.
gdy nie zachodzi
(A, %) |= ϕ
wtw, gdy dla dowolnego
lub zachodzi
a ∈ A zachodzi
Niezale»no±¢ speªniania od zmiennych zwi¡zanych
Σ-struktury A i dowolnej formuªy ϕ je±li
0
warto±ciowania % i % przyjmuj¡ równe warto±ci dla wszystkich
zmiennych wolnych w ϕ, to
Fakt Dla dowolnej
(A, %) |= ϕ
wtw, gdy
(A, %0 ) |= ϕ.
0
Fakt Dla dowolnej
(A, %) |= ϕ
Uªatwienie notacyjne:
gdy
Je±li
%(x ) = a i %(y ) = b
ϕ
wtw, gdy
(A, %0 ) |= ϕ.
(A, x : a, y : b) |= ϕ zamiast (A, %) |= ϕ,
i w ϕ wyst¦puj¡ wolno tylko x i y .
jest zdaniem, to warto±ciowanie mo»na caªkiem pomin¡¢
0
Fakt Dla dowolnej
(A, %) |= ϕ
Uªatwienie notacyjne:
gdy
Je±li
%(x ) = a i %(y ) = b
ϕ
wtw, gdy
(A, %0 ) |= ϕ.
(A, x : a, y : b) |= ϕ zamiast (A, %) |= ϕ,
i w ϕ wyst¦puj¡ wolno tylko x i y .
jest zdaniem, to warto±ciowanie mo»na caªkiem pomin¡¢
St¡d notacja
A |= ϕ
Izomorzm struktur
Dane dwie struktury
A = hA, . . .i i B = hB , . . .i
nad sygnatur¡
Σ.
Izomorzm struktur
Dane dwie struktury
Funkcja
je±li:
h:A→B
A = hA, . . .i i B = hB , . . .i
jest izomorzmem
Σ-struktur
nad sygnatur¡
(ozn.
Σ.
h:A∼
= B)
Izomorzm struktur
Dane dwie struktury
Funkcja
h:A→B
A = hA, . . .i i B = hB , . . .i
jest izomorzmem
Σ-struktur
je±li:
h jest bijekcj¡ (ró»nowarto±ciowe i na)
nad sygnatur¡
(ozn.
Σ.
h:A∼
= B)
Izomorzm struktur
Dane dwie struktury
Funkcja
h:A→B
A = hA, . . .i i B = hB , . . .i
jest izomorzmem
Σ-struktur
nad sygnatur¡
(ozn.
Σ.
h:A∼
= B)
je±li:
F
Dla n ≥ 0, f ∈ Σn oraz a1 , . . . , an ∈ A
h(f A (a1 , . . . , an )) = f B (h(a1 ), . . . , h(an ))
Izomorzm struktur
Dane dwie struktury
Funkcja
h:A→B
A = hA, . . .i i B = hB , . . .i
jest izomorzmem
Σ-struktur
nad sygnatur¡
(ozn.
h:A∼
= B)
je±li:
F
Dla n ≥ 0, f ∈ Σn oraz a1 , . . . , an ∈ A
h(f A (a1 , . . . , an )) = f B (h(a1 ), . . . , h(an ))
Dla
n ≥ 1, r ∈ ΣRn
oraz
r A (a1 , . . . , an )
a1 , . . . , an ∈ A
wtw, gdy
Σ.
r B (h(a1 ), . . . , h(an ))
Wªasno±ci izomorzmów
Zªo»enie dwóch izomorzmów jest izomorzmem
Funkcja odwrotna do izomorzmu jest izomorzmem
Funkcja odwrotna do izomorzmu jest izomorzmem
Identyczno±¢
idA : A ∼
=A
idA : A → A
jest zawsze izomorzmem
Strktury izomorczne
Je±li istnieje izomorzm z
ozn.
A∼
=B
A
w
B
to te struktury s¡ izomorczne,
Strktury izomorczne
ozn.
A∼
=B
Relacja izomorzmu jest
przechodnia
A
w
B
Strktury izomorczne
ozn.
A∼
=B
przechodnia
symetryczna
A
w
B
Strktury izomorczne
ozn.
A∼
=B
przechodnia
symetryczna
zwrotna
A
w
B
Izomorzmy a logika
Twierdzenie
Je±li
h:A∼
= B to dla ka»dej formuªy ϕ
(A, %) |= ϕ
wtw, gdy
(B, h ◦ %) |= ϕ
Izomorzmy a logika
Twierdzenie
Je±li
h:A∼
(A, %) |= ϕ
Je±li
wtw, gdy
(B, h ◦ %) |= ϕ
x1 , . . . , xn to zmienne wolne w ϕ, to
(A, x1 : a1 , . . . , xn : an ) |= ϕ
wtw, gdy
(B, x1 : h(a1 ), . . . , xn : h(an )) |= ϕ
Izomorzmy a logika cd
Twierdzenie
Je±li
A∼
=B
to dla ka»dego zdania
A |= ϕ
ϕ
wtw, gdy
B |= ϕ
Elementarna równowa»no±¢
AiB
s¡ elementarnie równowa»ne (ozn
zdania
ϕ
struktur,
A |= ϕ
A ≡ B),
gdy dla ka»dego
logiki pierwszego rz¦du nad wspóln¡ sygnatur¡ tych
wtedy i tylko wtedy, gdy
B |= ϕ.
AiB
zdania
ϕ
struktur,
A |= ϕ
Wniosek
Je±li
A ≡ B),
gdy dla ka»dego
A∼
=B
to
A ≡ B.
B |= ϕ.
AiB
zdania
ϕ
A ≡ B),
gdy dla ka»dego
struktur,
A |= ϕ
B |= ϕ.
Wniosek
Je±li
A∼
=B
to
A ≡ B.
Intuicyjnie, struktury izomorczne s¡ logicznie nieodró»nialne.
Prawdziwo±¢ i speªnialno±¢ formuª
ϕ jest speªnialna
»e (A, %) |= ϕ.
Formuªa
takie,
w
A,
gdy istnieje warto±ciowanie
%
w
A
ϕ jest speªnialna
»e (A, %) |= ϕ.
Formuªa
takie,
Formuªa
ϕ
speªnialna.
w
A,
jest speªnialna, gdy istnieje struktura
A,
%
w której
w
ϕ
A
jest
ϕ jest speªnialna
»e (A, %) |= ϕ.
Formuªa
takie,
Formuªa
ϕ
w
A,
jest speªnialna, gdy istnieje struktura
A,
w której
speªnialna.
ϕ
A, gdy dla
(A, %) |= ϕ.
jest prawdziwa (lub speªniona) w
warto±ciowania
%
w
A
zachodzi
%
ka»dego
w
ϕ
A
jest
Prawdziwo±¢ i speªnialno±¢ zda«
Zdanie
ϕ
jest speªnialne, gdy istnieje struktura
prawdziwe.
A,
w której
ϕ
jest
Zdanie
ϕ
prawdziwe.
A
jest wtedy modelem zdania
ϕ
(ozn.
A |= ϕ).
A,
w której
ϕ
jest
Zdanie
ϕ
A,
w której
ϕ
A |= Γ),
gdy
jest
prawdziwe.
A
ϕ
(ozn.
A |= ϕ).
Σ-struktura A jest modelem zbioru zda« Γ
A |= ϕ zachodzi dla ka»dego ϕ ∈ Γ.
( ozn.
Zdanie
ϕ
A,
w której
ϕ
A |= Γ),
gdy
jest
prawdziwe.
A
ϕ
(ozn.
A |= ϕ).
Σ-struktura A jest modelem zbioru zda« Γ
A |= ϕ zachodzi dla ka»dego ϕ ∈ Γ.
Zdanie
ϕ
w ka»dej
jest tautologi¡ (ozn.
Σ-strukturze.
|= ϕ),
( ozn.
gdy jest ono prawdziwe
Pierwszy dowód: twierdzenie
Je±li
h:A∼
(A, %) |= ϕ
wtw, gdy
(B, h ◦ %) |= ϕ
Pierwszy dowód: Lemat
Je±li
h:A∼
= B to dla ka»dego termu t
h([[t ]]A% ) = [[t ]]Bh◦%
Dowód indukcyjny:
Je±li
h:A∼
h([[t ]]A% ) = [[t ]]Bh◦%
Dowód indukcyjny:
Je±li
t
to
x , to teza h(%(x )) = (h ◦ %)(x ) zachodzi
Je±li
h:A∼
h([[t ]]A% ) = [[t ]]Bh◦%
Dowód indukcyjny:
x , to teza h(%(x )) = (h ◦ %)(x ) zachodzi
Je±li t to f (t1 , . . . , xn ) to
Je±li
t
to
h([[f (t1 , . . . , xn )]]A% = h(f A ([[t1 ]]A% , . . . , [[tn ]]A% ))
A
= f B (h([[t1 ]]A
% ), . . . , h([[tn ]]% ))
B
= f B ([[t1 ]]B
h◦% , . . . , [[tn ]]h◦% )
= [[f (t1 , . . . , xn )]]B
h◦%
Pierwszy dowód: formuªy atomowe
(A, %) 6|= ⊥ i (B, h ◦ %) 6|= ⊥
(A, %) 6|= ⊥ i (B, h ◦ %) 6|= ⊥
(A, %) |= r (t1 , . . . , tn )
wtw
wtw
wtw
wtw
A
A
h[[t1 ]]A
% , . . . , [[tn ]]% i ∈ r
A
B
hh([[t1 ]]A
% ), . . . , h([[tn ]]% )i ∈ r
B
B
h[[t1 ]]B
h◦% , . . . , [[tn ]]h◦% i ∈ r
(B, h ◦ %) |= r (t1 , . . . , tn )
(A, %) 6|= ⊥ i (B, h ◦ %) 6|= ⊥
(A, %) |= r (t1 , . . . , tn )
wtw
wtw
wtw
wtw
(A, %) |= t1 = t2
A
A
h[[t1 ]]A
% , . . . , [[tn ]]% i ∈ r
A
B
hh([[t1 ]]A
% ), . . . , h([[tn ]]% )i ∈ r
B
B
h[[t1 ]]B
h◦% , . . . , [[tn ]]h◦% i ∈ r
(B, h ◦ %) |= r (t1 , . . . , tn )
wtw
A
[[t1 ]]A
% = [[t2 ]]%
h([[t1 ]]A% ) = h([[t2 ]]A% )
B
B
wtw [[t1 ]]h◦% = [[t2 ]]h◦%
wtw (B, h ◦ %) |= t1 = t2
wtw
Pierwszy dowód: formuªy zªo»one
(A, %) |= (ϕ → ψ)
wtw
(A, %) 6|= ϕ
wtw
(B, h ◦ %) 6|= ϕ
wtw
lub
(A, %) |= ψ
lub
(B, h ◦ %) |= ψ
(B, h ◦ %) |= (ϕ → ψ)
(A, %) |= (ϕ → ψ)
wtw
(A, %) 6|= ϕ
wtw
(B, h ◦ %) 6|= ϕ
wtw
(A, %) |= (∀x ϕ)
lub
(A, %) |= ψ
lub
(B, h ◦ %) |= ψ
(B, h ◦ %) |= (ϕ → ψ)
a ∈ A takie, »e (A, %ax ) |= ϕ
a
wtw istnieje a ∈ A takie, »e (B, h ◦ (%x )) |= ϕ
h(a)
wtw istnieje h (a) ∈ B takie, »e (B, (h ◦ %)x
) |= ϕ
b
wtw istnieje b ∈ B takie, »e (B, (h ◦ %)x ) |= ϕ
wtw (B, h ◦ %) |= (∀x ϕ)
wtw istnieje
Podstawianie termów
ϕ(t /x )
to wynik podstawienia termu
wyst¡pienia zmiennej
x
w
ϕ.
t
na wszystkie wolne
ϕ(t /x )
Przykªad: Formuªy
∀y (y ≤ x )
∀z (z ≤ x )
oznaczaj¡ to samo.
x
w
ϕ.
t
na wszystkie wolne
ϕ(t /x )
x
w
t
na wszystkie wolne
ϕ.
Przykªad: Formuªy
∀y (y ≤ x )
∀z (z ≤ x )
oznaczaj¡ to samo.
y na x
∀y (y ≤ y )
∀z (z ≤ y )
Podstawienie
które s¡ ró»ne
w tych formuªach daje
Dopuszczalne podstawienie
⊥(t /x ) = ⊥,
gdy
x 6∈ FV (ϕ);
⊥(t /x ) = ⊥,
x 6∈ FV (ϕ);
r (t1 , . . . , tn )(t /x ) = r (t1 (t /x ), . . . , tn (t /x ));
gdy
⊥(t /x ) = ⊥,
x 6∈ FV (ϕ);
r (t1 , . . . , tn )(t /x ) = r (t1 (t /x ), . . . , tn (t /x ));
(t1 = t2 )(t /x ) = (t1 (t /x ) = t2 (t /x ));
gdy
⊥(t /x ) = ⊥,
x 6∈ FV (ϕ);
r (t1 , . . . , tn )(t /x ) = r (t1 (t /x ), . . . , tn (t /x ));
(t1 = t2 )(t /x ) = (t1 (t /x ) = t2 (t /x ));
(ϕ → ψ)(t /x ) = ϕ(t /x ) → ψ(t /x );
gdy
⊥(t /x ) = ⊥,
x 6∈ FV (ϕ);
r (t1 , . . . , tn )(t /x ) = r (t1 (t /x ), . . . , tn (t /x ));
(t1 = t2 )(t /x ) = (t1 (t /x ) = t2 (t /x ));
(ϕ → ψ)(t /x ) = ϕ(t /x ) → ψ(t /x );
(∀x ϕ)(t /x ) = ∀x ϕ;
gdy
⊥(t /x ) = ⊥,
x 6∈ FV (ϕ);
r (t1 , . . . , tn )(t /x ) = r (t1 (t /x ), . . . , tn (t /x ));
(t1 = t2 )(t /x ) = (t1 (t /x ) = t2 (t /x ));
(ϕ → ψ)(t /x ) = ϕ(t /x ) → ψ(t /x );
(∀x ϕ)(t /x ) = ∀x ϕ;
(∀y ϕ)(t /x ) = ∀y ϕ(t /x ), gdy y 6= x , oraz y 6∈ FV (t );
gdy
⊥(t /x ) = ⊥,
x 6∈ FV (ϕ);
r (t1 , . . . , tn )(t /x ) = r (t1 (t /x ), . . . , tn (t /x ));
(t1 = t2 )(t /x ) = (t1 (t /x ) = t2 (t /x ));
(ϕ → ψ)(t /x ) = ϕ(t /x ) → ψ(t /x );
(∀x ϕ)(t /x ) = ∀x ϕ;
(∀y ϕ)(t /x ) = ∀y ϕ(t /x ), gdy y 6= x , oraz y 6∈ FV (t );
gdy
W pozostaªych przypadkach podstawienie jest niedopuszczalne.
Lemat o podstawieniu
Niech:
A
dowolna struktura
%:X →A
t
dowolne warto±ciowanie w
dowolny term
A
Niech:
A
dowolna struktura
%:X →A
t
A
dowolny term
Wtedy:
Dla dowolnego termu
s
i zmiennej
x
A
[[s (t /x )]]A
% = [[s ]]%ax
gdzie
a = [[t ]]A% .
Niech:
A
dowolna struktura
%:X →A
t
A
dowolny term
Wtedy:
Dla dowolnego termu
s
i zmiennej
x
A
[[s (t /x )]]A
% = [[s ]]%ax
gdzie
a = [[t ]]A% .
Dla dowolnej formuªy
ϕ,
to
gdzie
ϕ,
je±li term
(A, %) |= ϕ(t /x )
a = [[t ]]A% .
t
jest dopuszczalny dla
wtw, gdy
(A, %ax ) |= ϕ,
x
w

Logika pierwszego rzędu, składnia i semantyka

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zadanie 11 - Wydział Biologii UW

pHotoFlex®STD – czysta fotometria

Pomiar przepływu - WTW Pomiarowy i Analityczny Sprzęt

Pytanie o euro: Czy kraj mo»e opu±ci¢ stref¦ euro lub zosta¢ z niej

bielkówko – sobota

Prezentacje biznesowe i wyst¹pienia publiczne

regulamin organizacyjny - Warszawskie Towarzystwo Wioślarskie

Bulaj z bocznokołowego statku pasażerskiego „Kościuszko”