Linia styku zębów przekładni ślimakowej o stożkopochodnym

KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN – ODDZIAŁ W POZNANIU
Vol. 26 nr 2
Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji
2006
LESZEK SKOCZYLAS ∗
LINIA STYKU ZĘBÓW PRZEKŁADNI ŚLIMAKOWEJ
O STOŻKOPOCHODNYM ZARYSIE ŚLIMAKA
W artykule przedstawiono matematyczny opis zarysu zęba ślimaka stożkopochodnego. Podano
sposób obliczenia współrzędnych linii styku zębów dla stożkopochodnej przekładni ślimakowej.
Na przykładzie wybranej przekładni ślimakowej opracowano charakterystyki zmian zarysu zęba
ślimaka oraz przebiegu linii styku zębów w funkcji parametrów konstrukcyjnych przekładni.
Słowa kluczowe: przekładnie ślimakowe, zazębienie
1. WSTĘP
W zazębieniu każdej przekładni właściwy styk pomiędzy współpracującymi
zębami jest bardzo istotny. Może on mieć charakter punktowy lub liniowy.
W przekładniach ślimakowych styk jest liniowy, a kształt linii styku zależy od
wielu czynników. Jednym z nich jest zarys zęba ślimaka, zasadniczo wpływający na nośność przekładni. Należy podkreślić, że opis geometrii zazębienia przekładni ślimakowych nie jest łatwy. Szczególnie skomplikowany jest opis
w przypadku stożkopochodnego zarysu ślimaka. Wykorzystując rachunek macierzowy oraz metody numeryczne, można utworzyć model geometrii zazębienia
tego typu przekładni oraz przeanalizować przebieg linii styku.
2. ZARYS ZĘBA ŚLIMAKA STOŻKOPOCHODNEGO
Do obróbki uzębienia ślimaków stożkopochodnych wykorzystywane są narzędzia obrotowe o zarysie trapezowym. Narzędzie może mieć formę krążkową,
palcową lub garnkową. Niniejszy artykuł dotyczy ślimaka kształtowanego narzędziem krążkowym.
∗
Dr inż. – Katedra Technologii Maszyn i Organizacji Produkcji Politechniki Rzeszowskiej.
192
L. Skoczylas
Kinematykę obróbki ślimaka przedstawiono na rys. 1. Zarys zęba powstaje
w wyniku względnego ruchu obrotowego i postępowego ślimaka i narzędzia
(rys. 1). Podczas obróbki oś narzędzia jest odsunięta i skręcona względem osi
ślimaka o kąt wzniosu linii śrubowej. Szerokość wrębu i kąt zarysu zęba ślimaka
zależą od szerokości i kąta zarysu narzędzia. Śrubowa powierzchnia boczna
zębów ślimaka jest następstwem liniowego styku ze stożkową powierzchnią
narzędzia. Aby ją opisać, należy zacząć od opisu geometrii narzędzia. Parametry
opisujące powierzchnię stożkową przedstawiono na rys. 2. W oparciu o dwa
parametry, tj. odległość u od wierzchołka stożka oraz kąt obrotu ξ względem osi
zN narzędzia, można określić współrzędne dowolnego punktu (x,y,z) leżącego na
powierzchni bocznej narzędzia. Służą do tego następujące zależności [2, 4]:
x N = u cos α N cos ξ ⎫
⎪
y N = u cos α N sin ξ ⎬
z N = h − u sin α N ⎪⎭
(1)
Współrzędne powierzchni, zgodnie z równaniem, zależą ponadto od wysokości
stożka h oraz kąta zarysu stożka αN. Wysokość stożka h zależy bezpośrednio od
wymiarów narzędzia, wobec czego można ją wyznaczyć z zależności:
h=
dN
b
tgα N + N
2
2
Rys. 1. Układ kinematyczny kształtowania zarysu zęba
ślimaka stożkopochodnego
Fig. 1. Kinematic system of K-worm tooth profile creation
(2)
Rys. 2. Geometria narzędzia stożkowego
Fig. 2. Geometry of conical tool
Linia styku zębów przekładni ślimakowej ...
193
W równaniu dN oznacza średnicę podziałową narzędzia, a bN szerokość narzędzia na średnicy podziałowej.
Współrzędne linii styku pomiędzy narzędziem a ślimakiem otrzymuje się,
wychodząc z następującej zależności:
nxtx + n y t y + nztz = 0
(3)
gdzie nx, ny, nz oznaczają składowe wektora normalnego do powierzchni, a tx, ty,
tz składowe wektora stycznego do powierzchni.
W zależności (3) składowe wektora normalnego można obliczyć na podstawie równań (1) opisujących powierzchnię narzędzia jako odpowiednie wyznaczniki względem parametrów powierzchni stożkowej u i ξ. Składowe wektora stycznego obliczane są w oparciu o wektor prędkości względnej przemieszczania narzędzia względem kształtowanego ślimaka. Wykonując obliczenia
[2, 4], uzyskuje się równanie, które wspólnie z zależnościami (1) tworzy układ
równań opisujących linię styku pomiędzy narzędziem a ślimakiem w układzie
narzędzia xNyNzN (rys. 1). Wyliczona linia styku jest jedną z tworzących powierzchni bocznej zębów ślimaka. Powierzchnia ta tworzona jest przez obrót
o kąt ψ (rys. 1) i przesunięcie o wartość (pz⋅ψ/(2π)) obliczonej uprzednio linii
styku. Po uwzględnieniu macierzy przejścia pomiędzy układami współrzędnych
xNyNzN , x0y0z0 oraz x2y2z2 (rys. 1) końcowa postać zależności, opisująca płat
stożkopochodnej powierzchni śrubowej zęba ślimaka w układzie x2y2z2 (rys. 1),
przedstawia się następująco [2,4]:
x 2 = u (cos α N cos γ sin ξ sin ψ + cos α N cos ξ cos ψ − sin α N sin γ sin ψ ) + ⎫
⎪
+ a N cos ψ + h sin γ sin ψ
⎪
⎪
y 2 = u (cos α N cos γ sin ξ cos ψ − cos α N cos ξ sin ψ + sin α N sin γ cos ψ ) − ⎪
⎪
⎪⎪
− a N cos ψ + h sin γ cos ψ
⎬
pψ
⎪
z 2 = u (cos α N sin γ sin ξ + sin α N cos γ ) − z − h cos γ
2π
⎪
aN
⎪
(ctgγ sin ξ sin α N + cos α N ) +
u = h sin α N −
⎪
cos ξ
⎪
pz
⎪
(ctgγ cos α N − sin α N sin ξ )
+
⎪⎭
2π cos ξ
(4)
gdzie pz oznacza skok linii śrubowej ślimaka, a γ kąt wzniosu linii śrubowej.
Układ równań (4) umożliwia analizę zarysu ślimaka stożkopochodnego
w dowolnym przekroju w zależności od różnych parametrów. Charakterystycznym zarysem zęba ślimaka w większości przypadków jest zarys osiowy. Przyjmując w równaniu (4) współrzędną y = 0, uzyskuje się opis osiowego zarysu
194
L. Skoczylas
ślimaka, który poddano analizie. Parametry stożkopochodnej przekładni ślimakowej, w odniesieniu do której prowadzono analizy, przedstawiono w tablicy 1.
Tablica 1
Parametry przekładni ślimakowej
Worm gear parameters
Lp.
Nazwa parametru
Wartość
1.
Moduł osiowy ślimaka
5 mm
2.
Wskaźnik średnicowy
10
3.
Współczynnik grubości zęba ślimaka
0,5
4.
Liczba zębów ślimacznicy
30
5.
Współczynnik luzu wierzchołkowego
0,2
5.
Współczynnik korekcji
6.
Odległość osi przekładni
7.
Kąt zarysu narzędzia
0
100 mm
20o
a)
b)
c)
d)
Rys. 3. Zależność zarysu zęba ślimaka stożkopochodnego od liczby zębów i średnicy narzędzia:
a) ślimak jednozębny, b) ślimak dwuzębny, c) ślimak czterozębny, d) ślimak sześciozębny
Fig. 3. Dependence of K-worm tooth profile from the number of teeth and tool diameter: a) one-tooth worm, b) two-tooth worm, c) four-tooth worm, d) six-tooth worm
Linia styku zębów przekładni ślimakowej ...
195
Przedstawione w tablicy 1 parametry oraz liczba zębów ślimaka i średnica
podziałowa narzędzia mają bezpośredni wpływ na zarys zęba ślimaka oraz przebieg linii styku przekładni. Liczba zębów ślimaka przy stałej odległości osi
i liczbie zębów ślimacznicy narzuca jednocześnie kąt wzniosu linii śrubowej
ślimaka. Im większa liczba zębów, tym większa wartość kąta. Decydujący
wpływ na zarys zęba ślimaka stożkopochodnego ma również średnica narzędzia
użytego do wykonania ślimaka. Charakterystyki kształtu osiowego przekroju
zęba ślimaka w zależności od wymienionych parametrów przedstawiono na rys. 3.
Na podstawie rys. 3 można stwierdzić, że największy wpływ na zarys zęba
ma liczba zębów ślimaka, a przez to kąt wzniosu linii śrubowej. Wzrost tych
wartości wpływa na zwiększenie wypukłości zęba. Również średnica narzędzia
daje podobny skutek, jednak o znacznie mniejszym nasileniu. Największe zmiany obserwowane są przy małych średnicach narzędzi. Im większe średnice narzędzi, tym ich wpływ na wypukłość jest coraz mniejszy. Należy również zauważyć, że występują różnice w przyroście wypukłości na głowie i stopie zęba.
Przy małej liczbie zębów wzrost średnicy narzędzia powoduje większe zmiany
krzywizny na głowie niż na stopie zęba. Ze wzrostem liczby zębów jest odwrotnie – większe zmiany występują na stopie zęba.
3. LINIA STYKU ZĘBÓW PRZEKŁADNI
W celu określenia linii styku zębów pomiędzy ślimakiem stożkopochodnym
a ślimacznicą postępowano podobnie jak przy wyznaczeniu linii styku pomiędzy
ślimakiem a narzędziem. Za znaną geometrię przyjęto powierzchnię śrubową
ślimaka, która opisana jest zależnością (4). W przedstawionej formie matematyczny opis stożkopochodnej powierzchni śrubowej jest bardzo skomplikowany.
Wykorzystując metody numeryczne [3], powierzchnię boczną ślimaka w układzie x2y2z2 można zapisać w postaci:
x 2 = cos ϕ ⋅ x − sin ϕ ⋅ y ⎫
⎪
⎪
y 2 = sin ϕ ⋅ x + cosϕ ⋅ y ⎬
⎪
p
z2 = z + z ϕ
⎪
2π
⎭
(5)
W równaniu x, y, z oznacza funkcję opisującą jedną z tworzących powierzchni
śrubowej, wyrażoną parametrycznie, a ϕ parametr powierzchni śrubowej.
Linia styku pomiędzy zębami ślimaka i ślimacznicy spełnia również warunek
styczności (3). Korzystając z twierdzenia o normalnych do powierzchni, końcowe zależności opisujące składowe wektora normalnego obliczone na podstawie
równania (5) można przedstawić następująco:
196
L. Skoczylas
⎛p
⎞
⎛p
⎞⎫
n x = sin ϕ ⎜ z x ′ + yz ′ ⎟ + cosϕ ⎜ z y ′ − xz ′ ⎟ ⎪
⎝ 2π
⎠
⎝ 2π
⎠⎪
pz
⎛ pz ′
⎞
⎛
⎞⎪
n y = sin ϕ ⎜
y − xz ′ ⎟ − cos ϕ ⎜
x ′ + yz ′ ⎟ ⎬
(6)
⎝ 2π
⎠
⎝ 2π
⎠⎪
n z = x ′x + y ′y
⎪
⎪
⎭
gdzie przez x’, y’, z’ oznaczono pochodne funkcji opisującej tworzącą powierzchni.
Wektor styczny do powierzchni można określić z kinematyki przekładni ślimakowej. Jego składowe obliczane są jako różniczka toru ruchu punktu położonego w jednym układzie współrzędnych w stosunku do drugiego układu współrzędnych [1]. Układy współrzędnych związane są ze ślimakiem i ślimacznicą,
a ich wzajemne położenie przedstawiono na rys. 4. Zgodnie z rysunkiem, oś
ślimaka jest odsunięta od osi ślimacznicy i skręcona o kąt 90o.
Rys. 4. Układ kinematyczny zazębienia ślimaka i ślimacznicy
Fig. 4. Kinematic system of worm and wormwheel meshing
Wykorzystując rachunek macierzowy, powiązanie układów ślimaka (x2y2z2)
i ślimacznicy (x1y1z1) można opisać zależnościami [1]:
Linia styku zębów przekładni ślimakowej ...
⎡ x1 ⎤
⎢ y ⎥ = [ϕ ][χ ]T [ϕ ]T
1
2
⎢ 1⎥
⎣⎢ z1 ⎦⎥
⎡ x2 ⎤
⎡a ⎤
⎢ y ⎥ + [ϕ ]⎢ b ⎥
1 ⎢ ⎥
⎢ 2⎥
⎣⎢ z 2 ⎦⎥
⎣⎢ c ⎦⎥
⎡ x2 ⎤
⎢ y ⎥ = [ϕ ][χ ][ϕ ]T
2
1
⎢ 2⎥
⎢⎣ z 2 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎡a ⎤
⎢ y ⎥ − [ϕ ][χ ]⎢ b ⎥
2
⎢ 1⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ z1 ⎥⎦
⎢⎣ c ⎥⎦
197
(7)
(8)
W powyższych równaniach [ϕ] oznacza macierz obrotu układu współrzędnych
wokół osi z, [χ] – macierz obrotu układu współrzędnych wokół osi x, a współrzędne wektora względnego przesunięcia układów oznaczono a, b, c.
Uzależnienie ruchu względnego ślimaka i ślimacznicy może być określone
na dwa sposoby. Pierwszy sposób to sprzężenie ruchu obrotowego ślimaka ϕ2
z ruchem obrotowym ślimacznicy ϕ1 zgodnie z założonym przełożeniem przekładni. Drugi sposób to sprzężenie poosiowego przemieszczenia liniowego ślimaka z ruchem obrotowym ślimacznicy. Wybierając drugi sposób, w wyniku
zróżniczkowania zależności (8) względem obrotu ślimacznicy otrzymuje się
współrzędne wektora stycznego:
⎡t x ⎤
⎢t ⎥ = [ϕ ][χ ][ϕ& ]T
2
1
⎢ y⎥
⎢⎣ t z ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎡0⎤
⎢ y ⎥ − [ϕ ][χ ]⎢ p ⎥
2
⎢ 1⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ z1 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
(9)
gdzie przez p oznaczono poosiowe przemieszczenie ślimaka.
Ponieważ w prowadzonej analizie znane są współrzędne powierzchni śrubowej ślimaka, więc w zależności (9) współrzędne x1y1z1 należy wyrazić za pomocą współrzędnych x2y2z2 z wykorzystaniem zależności (7).
Po powrocie do równania (3) oraz dokonaniu przekształceń otrzymuje się zależność w postaci:
p ⎞
p ⎞
⎛p
⎞⎛
⎛p
⎞⎛
sin ϕ ⎜ z x ′ + yz ′ ⎟⎜ z + z ϕ ⎟ + cosϕ ⎜ z y ′ − xz ′ ⎟⎜ z + z ϕ ⎟ +
2π ⎠
2π ⎠
⎝ 2π
⎠⎝
⎝ 2π
⎠⎝
+ ( x ′x + y ′y )(sin ϕy − cosϕx − a + p ) = 0
(10)
Zależność (10) łącznie z zależnością (5) tworzy układ równań opisujących linię
styku pomiędzy ślimakiem a ślimacznicą w układzie ruchomym ślimaka x2y2z2.
Powiązanie układu ruchomego ślimaka z układem nieruchomym x0y0z0 (rys. 3)
opisuje zależność:
198
L. Skoczylas
⎡ x2 ⎤ ⎡ a ⎤
⎡ x0 ⎤
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥
T
⎢ y0 ⎥ = [χ ] ⎢ y 2 ⎥ + ⎢ pϕ1 ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥
⎢⎣ z 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣ z 0 ⎥⎦
(11)
W oparciu o powyższe zależności można obliczyć współrzędne linii styku
zazębienia stożkopochodnego ślimaka i ślimacznicy. Przykładowy przebieg linii
styku dla przekładni o parametrach podanych w tablicy 1 przedstawiono na rys. 5.
Analizie poddano skrajne przypadki rozważanych wcześniej zarysów ślimaka, tj.
ślimak jedno- i sześciozębny, wykonane narzędziami o średnicy 50 i 200 mm.
Linie styku zębów ślimaka jednozębnego odpowiadają zakresowi obrotu ślimaka
800o z krokiem co 200o. Zakres obrotu ślimaka sześciozębnego wynosi 140o,
a krok obrotu, któremu odpowiadają kolejne linie styku, to 35o. Jak widać z rysunku, decydujący wpływ na przebieg linii styku ma liczba zębów ślimaka.
Wpływ średnicy narzędzia tworzącego zarys ślimaka jest nieznaczny. Podobnie
jak w przypadku zarysu zęba ślimaka, większy wpływ średnicy narzędzia występuje przy większej liczbie zębów, powodując odsuwanie linii styku na głowie
zęba ślimaka od przekroju osiowego oraz niewielkie zacieśnienie położenia kolejnych linii styku.
a)
b)
c)
d)
Rys. 5. Przebieg linii styku zębów przekładni ślimakowej o stożkopochodnym zarysie ślimaka:
a) ślimak jednozębny, średnica podziałowa narzędzia 50 mm, b) ślimak jednozębny, średnica
podziałowa narzędzia 200 mm, c) ślimak sześciozębny, średnica podziałowa narzędzia 50 mm,
d) ślimak sześciozębny, średnica podziałowa narzędzia 200 mm
Fig. 5. The course of worm gear contact line of K-worm profile: a) one-tooth worm, the pitch tool
diameter 50 mm, b) one-tooth worm, the pitch tool diameter 200 mm, c) six-tooth worm, the pitch
tool diameter 50 mm, d) six-tooth worm, the pitch tool diameter 200 mm
Linia styku zębów przekładni ślimakowej ...
199
4. PODSUMOWANIE
Skomplikowany opis styku narzędzia ze ślimakiem, a następnie ślimaka ze
ślimacznicą wymaga wykorzystania do obliczeń techniki komputerowej oraz
metod numerycznych. Przedstawione w niniejszym opracowaniu obliczenia
dotyczyły wpływu na geometrię zazębienia stożkopochodnej przekładni ślimakowej tylko dwóch parametrów konstrukcyjnych. Podobne obliczenia można
wykonać w odniesieniu do każdego innego parametru, jak również do przekładni
ślimakowych o nietypowym zarysie ślimaka czy nietypowej budowie przekładni
[6], a uzyskane wyniki wykorzystać w pracach optymalizacyjnych. Przedstawione zależności mogą być również wykorzystane do geometrycznego opisu
zęba ślimacznicy celem porównań z wynikami metod symulacyjnych [5] czy do
bezpośredniego wykonania kół zębatych [7].
LITERATURA
[1] Koć A., Teoretyczne podstawy konstrukcji narzędzi obwiedniowych, Warszawa, PWN 1991.
[2] Kornberger Z., Przekładnie ślimakowe, Warszawa, WNT 1973.
[3] Kosma Z., Metody numeryczne dla zastosowań inżynierskich, Radom, Wyd. Politechniki
Radomskiej 1999.
[4] Marciniak T., Przekładnie ślimakowe walcowe, Warszawa, PWN 2001.
[5] Markowski T., Skoczylas L., Modelowanie kół zębatych metodą symulacji obróbki, Proektovannia, vyrobnyctvo ta èkspluataciâ avtotransportnyh zasobyv poizdyv ta nafto-gazoprovody, 2002, nr 9, Lvuv, czasopismo Naukowego Centrum Ukraińskiej Uczelni Transportu.
[6] Skoczylas L., Wpływ parametrów konstrukcyjnych na właściwości eksploatacyjne walcowośrubowego mechanizmu różnicowego, rozprawa doktorska, Rzeszów, Politechnika Rzeszowska 1998 (niepublikowana).
[7] Skoczylas L., Wytwarzanie kół zębatych z wykorzystaniem techniki CAD/CAM, Przegląd
Mechaniczny, w druku.
Praca wpłynęła do Redakcji 23.03.2006
Recenzent: prof. dr hab. inż. Ryszard Grajdek
TEETH CONTACT LINE OF WORM GEAR OF K-WORM PROFILE
S u m m a r y
The paper presents mathematical description of K-worm tooth profile. The method of calculation of teeth contact line coordinates of K-worm gear is given. Basing on the selected worm gear,
the characteristics of changes of worm tooth profile and course of teeth contact line, in dependence on gear construction parameters were elaborated.
Key words: worm gears, gearing