PiS_Analiza autokorelacji

Analiza autokorelacji
Oblicza się wartości współczynników korelacji między yt oraz yt-i (dla i=1,2,...,k), czyli
współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników.
Jeśli współczynniki dla kilku pierwszych rzędów są duże i statystycznie istotne, to wskazuje to na
występowanie trendu. Jeśli występuje statystycznie istotny współczynnik autokorelacji rzędu
równego liczbie faz cyklu sezonowego, to wskazuje to na występowanie wahań sezonowych. Należy
zwrócić uwagę na kierunek autokorecji.
Test współczynnika korelacji liniowej Pearsona
Dla zbadania czy współczynnik korelacji liniowej ρ XY pomiędzy zmiennymi Y i Xi jest równy
zero posłużymy się poniższym twierdzeniem.
Niech (yt, xit) dla t = 1, 2, …n, będzie próbą prostą z populacji (Y, Xi) o dwuwymiarowym
rozkładzie normalnym, ze współczynnikiem korelacji ρ YX i oraz niech rYX i będzie współczynnikiem
korelacji liniowej z próby obliczonym ze znanego wzoru.
Jeśli ρ YX i = 0 to statystyka:
t = rYX i
n−2
1− r2
,
(*)
YX i
ma rozkład t Studenta z m = n-2 stopniami swobody.
Zapiszmy hipotezy:
Ho : ρ YX i = 0,
H1 : ρ YX i ≠ 0 .
W celu weryfikacji hipotezy Ho należy obliczyć wartość statystyki (*). Obszar krytyczny dla
poziomu istotności α zdefiniowany jest za pomocą nierówności:
*
P( t ≥ t (α ; m)) ≤ α ,
*
gdzie: t (α ; m) jest wartością krytyczną rozkładu t-Studenta dla prawdopodobieństwa α oraz m= n-
2 stopni swobody. Jeśli spełniona jest nierówność:
rYX i ≤ r * ,
gdzie:
r* =
(t * (α ; m)) 2
.
(t * (α ; m)) 2 + n − 2
Przykład.
Dane są następujące szeregi czasowe dotyczące miesięcznej wielkości sprzedaży pewnego produktu
(tys. zł). Jakie metody prognozowania można zastosować do postawienia prognozy na kolejne
okresy? Do dekompozycji szeregu wykorzystaj metodę oceny wzrokowej wykresu rozrzutu punktów
empirycznych oraz analizę autokorelacji.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
yt
177,0166
214,2169
397,8964
294,188
165,0348
252,9817
275,1226
341,477
201,769
232,3437
449,4711
358,1827
211,6088
288,2686
429,4394
yt
128,7191
141,7219
152,5871
145,5124
186,0922
157,7378
181,8923
217,381
178,0151
194,3411
211,0232
245,208
184,8195
246,86
208,839
217,7666
292,9431
244,7659
278,8276
284,0827
yt
151,5972
131,77
161,1542
139,5006
159,1746
153,0072
156,5444
140,0083
157,1847
169,8081
173,2663
129,7031
143,3046
147,7781
131,1875
127,3377
139,6759
152,9273
169,3273
152,1501
155,3566
131,4374
138,869
Rozwiązanie
a) Pierwsze dane (15 obserwacji)
W komórce I2 znajduje się wartość poziomu istotności
Występuje korelacja dla parzystych rzędów badanych autokorelacji. Co druga istotna korelacja jest
doda tkania a co druga ujemna, wskazuje to na występowanie wahań okresowych z czterema fazami
w cyklu (w sytuacji dwóch faz wszystkie korelacje byłyby ujemne lub dodatnie). Wzrokowa ocena
wykresu również wskazuje na cztery fazy w każdym cyklu. Występują również wahania przypadkowe
oraz brak trendu.
W związku z tym, do prognozowania można (należy) wykorzystać metody uwzględniające wahania
sezonowe – metodę wskaźników, model Wintersa, metodę trendów jednoimiennych okresów,
analizę harmoniczną…
b) Drugie dane (20 obserwacji)
Dla kilku pierwszych rzędów autokorelacja jest istotna – występuje trend, potwierdza to również
analiza wzrokowa wykresu rozrzutu punktów empirycznych. Występują również wahania
przypadkowe. Brak wahań okresowych.
Można wykorzystać: metodę analityczną, model Holta, model trendu pełzającego.
c) Trzecie (ostatnie) dane – 23 obserwacje
Brak autokorelacji. Brak wahań okresowych, brak trendu. Można zastosować (pod warunkiem
dopuszczalnej zmienności losowej): metodę naiwną, metodę średniej ruchomej ważonej, prosty
model wygładzania wykładniczego.
Uzupełnienie
Jakie metody prognozowania można zastosować do postawienia prognozy na kolejne okresy? Do
dekompozycji szeregu wykorzystaj metodę oceny wzrokowej wykresu rozrzutu punktów
empirycznych oraz analizę autokorelacji.
yt
316,9337
394,2247
622,9068
540,7261
378,3453
432,9515
754,6442
605,8492
457,6502
604,0228
763,2993
657,1564
549,944
642,6769
893,0822
733,122
689,6191
680,0005
1072,55
972,9558
703,9051
874,8925
1038,458
Rozwiązanie
Analiza autokorelacji nie daje odpowiedzi dotyczącej wahań okresowych (na wahanie okresowe
wskazuje analiza wzrokowa wykresu). Należy najpierw wyeliminować trend.
Po eliminacji trendu analiza autokorelacji wskazuje na cztery fazy w każdym cyklu…
Można zastosować: metodę Wintersa, metodę wskaźników, metodę trendów jednoimiennych
okresów, analizę harmoniczną.