docSAB CDS Ø= Ø DCS ABS Ø= Ø SAB CDS Ø= Ø DCS ABS Ø= Ø
download 
Reklamacja Transkrypt
SAB CDS Ø= Ø DCS ABS Ø= Ø SAB CDS Ø= Ø DCS ABS Ø= Ø
l m ed ia .p zw ww .sq l Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kryteria oceniania po br an o Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: ʹ ଶ ݔെ ʹ ଶ ݔ ݔൌ ͳ െ ݔǡ w przedziale Ͳۃ א ݔǡʹߨۄ. Zdający otrzymuje: 2 pkt Przekształcenie równania do postaci: ʹ ଶ ݔሺͳ െ ݔሻ െ ሺͳ െ ݔሻ ൌ Ͳ 3 pkt Zapisanie alternatywy równań: 1 pkt 4 pkt Przekształcenie równania do postaci: ሺͳ െ ݔሻሺʹ ଶ ݔെ ͳሻ ൌ Ͳ ሺͳ െ ݔሻ ൌ Ͳ݈ܾݑ൫ξʹ ܿ ݔ ݏെ ͳ൯ ൌ Ͳ݈ܾݑ൫ξʹ ܿ ݔ ݏെ ͳ൯ ൌ Ͳ గ Rozwiązanie równania: ݔൌ ݈ ݔ ܾݑൌ ସ గ ଶ lub ݔൌ ଷగ ସ lub ݔൌ ହగ ସ Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. lub ݔൌ గ ସ . Zadanie 2. (4 pkt) Dany jest czworokąt ܦܥܤܣǤ Niech ܵ będzie punktem przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że czworokąt ܦܥܤܣmożna wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy ȁௌȁ ȁௌȁ ൌ ȁௌȁ ȁௌȁ . Zdający otrzymuje: cz.I 1 pkt 2 pkt cz.II Udowodnienie, że jeżeli czworokąt ܦܥܤܣmożna wpisać w okrąg, to ȁௌȁ ȁௌȁ ൌ ȁௌȁ . ( Þ ) ȁௌȁ Wskazanie równych kątów i stwierdzenie, że trójkąt ܣܵܦjest podobny do trójkąta 1 (ܥܵܤcecha kk): ÐADS = ÐASB , ÐADS = ÐACB , ÐDSA = ÐBSC 2 ȁௌȁ ȁௌȁ Wnioskowanie z podobieństwa trójkątów, że ȁௌȁ ൌ ȁௌȁ . Udowodnienie, że jeżeli ( Ü) 3 pkt 4 pkt ȁௌȁ ȁௌȁ ൌ ȁௌȁ ȁௌȁ ǡ to czworokąt ܦܥܤܣmożna wpisać w okrąg. Zauważenie, że trójkąt ܦܵܣjest podobny do trójkąta ܥܵܤoraz trójkąt ܥܵܦjest podobny do trójkąta (ܣܵܤcecha bkb) i wskazanie równych kątów: ÐCDS = ÐSAB i ÐABS = ÐDCS oraz ÐCDS = ÐSAB i ÐABS = ÐDCS Zauważenie, że sumy przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta są równe i wnioskowanie na mocy twierdzenia, że na czworokącie można opisać okrąg. 1 l m ed ia .p po br an o zw ww .sq l Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kryteria oceniania Zadanie 3. (4 pkt) Dane są funkcje ݂ሺݔሻ ൌ ଵଵ ଶ௫ା ௫ାଵ oraz ݃ሺ ݔሻ ൌ ௫ା , o których wiadomo, że ich wykresy mają ௫ାଵ ହ punkt wspólny ܲሺെͻǡ ሻǡ a miejscem zerowym funkcji ݃ jest liczba:- . Wyznacz wartości parametrów ܽǡ ܾǡ ܿǤ ଵଷ ଷ Zdający otrzymuje: 1 pkt 2 pkt ହ Zapisanie zależności: ܿ ൌ ଷ ܽ Zapisanie zależności wynikającej z faktu, że punkt ܲ należy do funkcji ݃ǣ ଵଵ 3 pkt ଵଷ ିଽା ൌ ିଽାଵ 4 pkt 11 5 Rozwiązanie układu równań g (- ) = 0 i g (-9) = : ܽ ൌ ͵ǡ ܿ ൌ ͷǤ 13 3 Uwaga. i obliczenie ܾ ൌ െͶǤ Zapisanie zależności wynikającej z faktu, że punkt ܲ należy do funkcji ݂ 5 11 i na tym poprzestanie za 1. Jeśli uczeń zapisze tylko g (- ) = 0 i f (-9) = g (-9) = 3 13 całe zadanie otrzymuje 1 punkt. Zadanie 4. (4 pkt) Narysuj wykres funkcji ݂ሺ ݔሻ ൌ ୡ୭ୱ ௫ାȁ௦௫ȁ ௦௫ dla א ݔቀെ zbiór rozwiązań nierówności Ͳ ݂ሺ ݔሻ ൏ ʹǤ ଷగ ଶ గ గ గ గ ଷగ ǡ െ ଶ ቁ ቀെ ଶ ǡ ଶ ቁ ቀ ଶ ǡ ଶ ቁǤ Podaj Zdający otrzymuje: 1 pkt Zapisanie wzoru funkcji w postaci: ߨ ߨ ͵ ͳ ݔ݃ݐǢ א ݔ൬െ ߨ ǡ െߨ ۄቀͲǡ ቁ ቀ ǡ ߨۄ ʹ ʹ ʹ ݂ ሺ ݔሻ ൌ ൞ ߨ ߨ ͵ ͳ െ ݔ݃ݐǢ א ݔቀെߨǡ െ ቁ ቀെ ǡ Ͳ ۄ൬ߨǡ ߨ൰ ʹ ʹ ʹ 3 pkt Naszkicowanie wykresu funkcji: patrz rysunek 4 pkt Podanie zbioru rozwiązań nierówności Ͳ ݂ሺ ݔሻ ൏ ʹǣ ͷ ͵ ߨ ߨ ͵ ͷ ۃ א ݔെ ߨǡ െ ߨ ۄቀെ ǡ ቁ ߨ ۃ ǡ ߨۄ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ 2 l m ed ia .p po br an o zw ww .sq l Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kryteria oceniania Uwaga. 1.Jeśl uczeń błędnie narysuje wykres tylko w jednym z przedziałów i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy merytoryczne, to za całe zadanie otrzymuje 2 punkty. 2. Jeśli uczeń błędnie narysuje wykres tylko w jednym z przedziałów i konsekwentnie poda zbiór rozwiązań nierówności, to za całe zadanie otrzymuje 3 punkty. Zadanie 5. (4 pkt) Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa 52. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej12, a do trzeciej 6, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg. Zdający otrzymuje: Schemat 1 1 pkt ܽଵ ǡ ܽଶǡ ܽଷ -wyrazy rosnącego ciągu geometrycznego, ܽଵ ʹǡ ܽଶ ͳʹǡ ܽଷ -wyrazy ciągu arytmetycznego Zapisanie zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego: ሺܽଶ ͳʹሻ െ ሺܽଵ ʹሻ ൌ ሺܽଷ ሻ െ ሺܽଶ ͳʹሻǤ 2 pkt Zapisanie układu równań z wykorzystaniem definicji lub wzoru ogólnego ciągu geometrycznego i arytmetycznego. ଵ 3 pkt Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego ݍൌ lub ݍൌ ͵. 4 pkt ଵ ଷ Odrzucenie ݍൌ i podanie wyrazów szukanego ciągu: Ͷǡ ͳʹǡ ͵Ǥ ଷ Schemat 2 1 pkt ݔǡ ݕǡ – ݖwyrazy rosnącego ciągu geometrycznego Zapisanie zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego: ሺ ݕ ͳʹሻ െ ሺ ݔ ʹሻ ൌ ሺ ݖ ሻ െ ሺ ݕ ͳʹሻǤ 3 l m ed ia .p zw ww .sq l po br an o 2 pkt 3 pkt 4 pkt Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kryteria oceniania Zapisanie układu równań z wykorzystaniem własności ciągu geometrycznego ݔ ݕ ݖൌ ͷʹ ݕଶ ൌ ݖݔ i arytmetycznego, np. ቐ ሺ ݕ ͳʹሻ െ ሺ ݔ ʹሻ ൌ ሺ ݖ ሻ െ ሺ ݕ ͳʹሻ Obliczenie ݕൌ ͳʹ. Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą, np.: ݔଶ െ ͶͲ ݔ ͳͶͶ ൌ Ͳ i podanie wyrazów szukanego ciągu: Ͷǡ ͳʹǡ ͵Ǥ Zadanie 6. (5 pkt) Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość 6, a kąty do niego przyległe mają miaryͶͷ° i ͳͲͷ°. Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na podstawie. Oblicz objętość ostrosłupa. Wynik podaj w postaci ܽ ܾξܿ, gdzie ܽǡ ܾǡ ܿ są liczbami wymiernymi. Zdający otrzymuje: 1 pkt ξାξଶ . ସ 2 pkt Obliczenie ͳͲͷι ൌ 3 pkt kąta ͳͲͷι ǣ ݔൌ ͵ξ ͵ξʹ. Obliczenie z twierdzenia sinusów długości promienia okręgu opisanego na 4 pkt podstawie: ܴ ൌ ܪൌ Ǥ 5 pkt Skorzystanie z twierdzenia sinusów i obliczenie długości boku leżącego naprzeciw Obliczenie pola podstawy trójkąta: ܲ ൌ ͻξ͵ ͻǤ Obliczenie objętości: ܸ ൌ ͳͺξ͵ ͳͺǤ Uwaga. 1. Jeśli uczeń prowadzi poprawne rozumowanie, ale w rozwiązaniu korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych za całe zadanie otrzymuje 4 punkty. 4 l m ed ia .p po br an o zw ww .sq l Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kryteria oceniania Zadanie 7. (4 pkt) Dany jest wielomian ܹሺݔሻ stopnia ݊ ʹ, którego suma wszystkich współczynników jest równa 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta ܴሺ ݔሻz dzielenia tego wielomianu przez wielomian ܲሺ ݔሻ ൌ ሺ ݔ ͳሻሺ ݔെ ͳሻ jest równa ܴሺݔሻ ൌ ʹ ݔ ʹ. Zdający otrzymuje:: 2 pkt Zapisanie układu warunku: ݓሺͳሻ ൌ Ͷ 3 pkt Zastosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian 1 pkt Zapisanie układu warunków: ݓሺͳሻ ൌ Ͷi ݓሺെͳሻ ൌ ͲǤ i zapisanie warunku ܴ ሺͳሻ ൌ Ͷi ܴሺെͳሻ ൌ Ͳǡgdzie ܴሺ ݔሻ ൌ ܽ ݔ ܾǤ (lub R(1) = w(1) i R(-1) = w(-1) ) 4 pkt ì a+b = 4 Rozwiązanie układu równań í : a=2, b=2 i zapisanie ܴሺݔሻ ൌ ʹ ݔ ʹ. î- a + b = 0 Zadanie 8. (5 pkt) ଵ ଷ Narysuj wykres funkcji ݂ሺ ݔሻ ൌ ݈݃ଶ ሺെ ݔଷ െ ͷ ݔଶ െ ͵ ݔ ͻሻ െ ݈݃ଶ ቀെ ݔଶ െ ݔ ଶቁǤ ଶ Zdający otrzymuje: 1 pkt 2 pkt 3 pkt 4 pkt 5 pkt Rozłożenie wielomianu na czynniki: ݓሺ ݔሻ ൌ െ ݔଷ െ ͷ ݔଶ െ ͵ ݔ ͻ ൌ െሺ ݔെ ͳሻሺ ݔ ͵ሻଶ Rozwiązanie nierówności: െ ݔଷ െ ͷ ݔଶ െ ͵ ݔ ͻ Ͳ: א ݔሺെλǡ െ͵ሻ ሺെ͵ǡͳሻ ଵ ଷ Rozwiązanie nierówności െ ݔଶ െ ݔ Ͳi podanie dziedziny funkcji ݂ǣ ଶ ଶ ܦൌ ሺെ͵ǡͳሻ Przekształcenie wzoru funkcji do postaci: ݂ሺ ݔሻ ൌ ݈݃ଶ ሺ ݔ ͵ሻ ͳ Naszkicowanie wykresu funkcji: 5 l m ed ia .p po br an o zw ww .sq l Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kryteria oceniania Uwaga. 1.Jeśli uczeń doprowadzi wzór funkcji do postaci f ( x) = log 2 (2 x + 6) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy otrzymuje 4 punkty. 2. Jeśli uczeń doprowadzi wzór funkcji do postaci f ( x) = log 2 (2 x + 6) i na jego podstawie sporządzi wykres będący wykresem funkcji f ( x) = log 2 ( x + 3) + 1(wskaże asymptotę) otrzymuje 5 punków 3.Jeśli uczeń doprowadzi wzór funkcji do postaci f ( x) = log 2 (2 x + 6) i na jego podstawie sporządzi wykres, ale nie wskaże asymptoty x=-3 otrzymuje 4 punkty. Zadanie 9. (4 pkt) Ze zbioru liczb ሼͳǡʹǡ͵ǡͶǡͷǡǡǡͺሽ wybieramy losowo jednocześnie cztery liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia ܣpolegającego na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą będzie ͵ lub największą wylosowaną liczbą będzie . Zdający otrzymuje: 1 pkt 2 pkt ന ൌ ቀͺቁ Podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: π Ͷ Zapisanie zdarzenia ܣൌ ܣଵ ܣ ଶ , gdzie zdarzenie ܣଵ polega na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą jest 3, zdarzenie ܣଶ polega na tym, że największą wylosowaną 3 pkt 4 pkt ͷ ܣଵ ൌ ቀ ቁ i ധധധ ܣଶ ൌ ቀ ቁ. liczbą jest 7 i podanie liczby zdarzeń sprzyjających: ധധധ ͵ ͵ ͵ Podanie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniuܣଵ ܣ תଶ : ധധധധധധധധധധ ܣଵ ܣ תଶ ൌ ቀ ቁ. ʹ ଶ Obliczenie ܲሺܣሻ ൌ . Uwaga. 1. Jeśli uczeń otrzyma P(A)>1 za całe zadanie otrzymuje 0 punktów. Zadanie 10. (5 pkt) Punkty ܤൌ ሺͷǡሻ i ܥൌ ሺͲǡሻ są wierzchołkami trapezu równoramiennego ܦܥܤܣ, którego ଵ podstawy ܤܣi ܦܥsą prostopadłe do prostej ݇ o równaniu ݕൌ െ ଶ ݔ ͳǤ Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt ܦnależy do prostej ݇. Zdający otrzymuje: 1 pkt 2 pkt 3 pkt 4 pkt 5 pkt Wyznaczenie równania prostej ܦܥǣ ݕൌ ʹ ݔ Ǥ Obliczenie współrzędnych punktu ܦǣ ܦൌ ሺെʹǡʹሻ Wyznaczenie równania prostej ABǣ ݕൌ ʹ ݔെ ͶǤ Zapisanie równania wynikającego z zależności ȁܦܣȁ ൌ ȁ ܥܦȁǣ ඥሺ ݔ ʹሻଶ ሺʹ ݔെ ሻଶ ൌ ͷ Obliczenie współrzędnych punktu ܣǣ ܣൌ ሺͳǡ െʹሻ lub ܣൌ ሺ͵ǡʹሻ 6 l m ed ia .p po br an o zw ww .sq l Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kryteria oceniania Zadanie 11. (3 pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych ܽǡ ܾǡ ܿ ܴ אzachodzi nierówność ܽଶ Ͷܾଶ ͵ܿ ଶ ͳ͵ ʹܽ ͳʹܾ ܿ. Zdający otrzymuje: 1 pkt 2 pkt 3 pkt Pogrupowanie wyrazów do postaci: ሺܽଶ െ ʹܽ ͳሻ ሺͶܾଶ െ ͳʹܾ ͻሻ ͵ሺܿ ଶ െ ʹܿ ͳሻ Ͳ Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia i zapisanie: ሺܽ െ ͳሻଶ ሺʹܾ െ ͵ሻଶ ͵ሺܿ െ ͳሻଶ Ͳ Uzasadnienie: Kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną oraz suma liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną. Zadanie 12. (4 pkt) W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości ͵ i ͷ, zaś odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku ͷǣ ͳͳ. Oblicz długości podstaw trapezu. Zdający otrzymuje: 2 pkt Zastosowanie twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i zapisanie: ܽ ܾ ൌ ͺ 3 pkt ݔൌ 1 pkt 4 pkt Wyznaczenie długości odcinka łączącego środki nierównoległych boków trapezu: ା ଶ ൌͶ Zapisanie stosunku pól obu części: ್శర మ ೌశర మ ൌ ହ ଵଵ ì a+b =8 ïb+ 4 ï Rozwiązanie układu równań í 2 = 5 : ܽ ൌ ǡ ܾ ൌ ͳǤ ï a + 4 11 ïî 2 7
