wykład 2

Wykład nr.2
Skręcanie prętów cienkościennych
o profilach otwartych i
zamkniętych, zamknięte profile
wielospójne. Obliczenia
wytrzymałościowe skręcanych
prętów
Zastosowanie analogii Prandtla do rozwiązania
zagadnienia skręcania płaskownika
uproszczenie h>b
∂2w
=0
2
∂y
d 2w
p
=−
2
dx
T
rozwiązanie
warunki
p 2
w=−
x + C1 x + C2
2T
b

brzegowe w x = ±  = 0
2

b2 p
C1 = 0 C2 =
8T
równanie odkształconej błony
p
w=−
2T
 2 b2 
 x − 
4

równanie funkcji Prandtla
 2 b2 
T
Φ = 2Gθ w = −Gθ  x − 
p
4

moment skręcający
Ms = 2
∫∫
A
+b / 2
 2 b2 
Gθb 3 h
Φ dA = −2Gθh  x − dx =
= GθJ s
4
3
−b / 2 
czyli
∫
M s  2 b2 
Φ (x ) = − 1 3  x − 
4
3b h
składowe naprężenia
τ xz
Ms
∂Φ
∂Φ
=
= 0 τ yz = −
= 1 3 x
∂y
∂x
6b h
największe
naprężenie ścinające
τ max
Ms
Ms
= 1 3 x b/2 = 1 2
6b h
3b h
Przekroje profilowe otwarte
rozdział momentu
skręcającego
n
Ms =
∑M
si
i =1
warunki zgodności
θ = θ1 = L = θ n
gdzie
M si
M si
θi = 1 3 =
GJ si
3 Gbi hi
J si
M si = M s
Js
na każdy prostokąt przypada część
momentu skręcającego proporcjonalna
do jego sztywności
n
Js =
∑
i =1
n
J si =
∑
1
3
bi3hi
i =1
największe naprężenie liczone w środku
boku każdego prostokąta
τ maxi
M si
= 1 2
3 bi hi
Skręcanie prętów o przekrojach
wielospójnych
∇ 2 Φ = −2Gθ

Φ C = const = 0
Φ = const ≠ 0
 C
1
2
zmodyfikowana analogia błonowa
p
 2
∇ w = − T

w C = 0
 w = const
 C

1
2
Skręcanie pręta o przekroju rurowym
2
w 1 dw
p
d
2
∇ w=
+
=−
2
ρ dρ
T
dρ
d 2 w 1 dw 1 d  dw 

 ρ
+
=
2
ρ dρ ρ dρ  dρ 
dρ
1 d  dw 
p
 ρ
 = −
ρ dρ  dρ 
T
 dw 
p
 ρ
 = − ρ
T
 dρ 
dw
p ρ2
dw C1 p ρ
= C1 −
=
−
,
ρ
T 2
dρ
dρ
ρ T 2
p ρ2
w(ρ ) = C2 + C1 log ρ −
T 4
d
dρ
warunki: C1 = 0, w(R ) = 0
(
)
p 2
w( ρ ) =
R − ρ2
4T
Gθ 2
T
R − ρ2
Φ (ρ ) = 2Gθ w(ρ ) =
2
p
dΦ
τ (ρ ) =
= −Gθρ
dρ
(
)
moment skręcający
Ms =
∫∫
2π
R
∫
τρdA = dα
0
A
∫ (− Gθρ )ρ
r
2
dρ = −
πGθ
2
Ms
Ms
Ms
Gθ = −
=−
, τ (ρ ) =
ρ
4
4
J0
J0
π R −r
2
(
)
(R
4
− r4
)
Cienkościenne profilowe zamknięte
analogia hydrodynamiczna Kelvina
τ
vc
= const
warunek
ciągłości strugi
v c a = const
stąd
τa = const
moment skręcający M s = ∫ τaρds
C
element pola
1
2
ρds = dFsr
stąd M s = ∫ 2τadFsr = 2τaFsr
C
naprężenie
Ms
τ=
2aFsr
jednostkowy kąt skręcenia θ obliczamy z
warunku równoważności pracy i energii
∫
 τ
dA = M s d ϕ = d L = 
2G

C
dϕ
Ms
ds
θ=
=
dx 4GFsr2 C a
1
2
∫
2
(
)
τ
a

a dx d s =
dx


2G
∫
C
ds
a
przy stałej grubości ścianki a=const
M ss
θ=
4GFsr2
gdzie s oznacza długość linii środkowej
jeśli
2
4aFsr
Js =
s
to
Ms
θ=
GJ s
Przykład zastosowania analogii
hydrodynamicznej
rozdział momentu
skręcającego
M s = M s1 + M s 2
warunki zgodności
θ1 = θ 2
zatem
J s1
M s1 = M s
Js
M s2
J s2
= Ms
Js
gdzie
ale
4b1 Fsr2 4b1 Fsr2 2b1 Fsr2
=
=
J s1 =
πrsr
2πrsr
s
1 3
2 3
J s 2 = b2 2r = b2 r
3
3
J s = J s1 + J s 2
naprężenie w ściance rury oraz przegrody
M s1
τ1 =
2b1Fsr
M s1
τ2 = 2 3
3 b2 r