Analiza matematyczna I (Elektrotechnika) Lista 3 1. Wyznaczyć

Analiza matematyczna I (Elektrotechnika)
Lista 3
1. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f w podanym punkcie x0 :
a) f (x) = x5 + x4 + x + 1,
c)
f (x) =
ex
,
x+1
x0 = 1,
b) f (x) = sin x + 2 cos x,
x0 = π2 ,
d) f (x) = ln (x + ex ), x0 = 0.
x0 = 0,
2. Obliczyć przybliżoną wartość podanych wyrażeń:
√
√
a) 15, 99,
b) 3 8, 01,
c) sin (0, 02),
d) cos (−0, 4).
3. Czy dla podanych funkcji zachodzi w przedziale [−1, 1] teza twierdzenia Rolle’a?
√
3
a) f (x) = −x2 + 1,
b) f (x) = 1 − x2 .
4. Czy funkcja f (x) = 3x2 − 5 spełnia w przedziale [−2, 0] warunki twierdzenia
Lagrange’a? Jeśli tak, to wyznaczyć punkt c, o którym jest mowa w twierdzeniu.
5. Wykazać prawdziwość następujących nierówności
a) |arctgx − arctgy| ≤ |x − y|, dla x, y ∈ R,
b)
a−b
a
≤ ln ab ≤
a−b
,
b
dla 0 < b ≤ a,
Wskazówka: skorzystać z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej.
6. Wykazać prawdziwość następujących nierówności
a) ln(1 + x) >
b)
ex +e−x
2
arc tgx
,
1+x
dla x > 0,
≥ 1 + 12 x2 , dla x ∈ R.
Wskazówka: skorzystać z monotoniczności funkcji.
7. Napisać wzór Taylora
a) dla funkcji f (x) = 2xex w punkcie x0 = 1 dla n = 4.
b) dla funkcji f (x) =
x
x−1
w punkcie x0 = 2 dla n = 3.
1
8. Jakie powinny być wymiary szklanki o grubości ścianek d = 2 mm i pojemności
V = 0, 2 dcm3 , aby ilość szkła potrzebnego do jej wytworzenia była najmniejsza?
9. Jakiej wielkości kwadraty należy wyciąć na rogach prostokątnego arkusza kartonu
o wymiarach a = 30 cm, b = 24 cm, aby pojemność pudełka otrzymanego po sklejeniu
kartonu była największa?
2