Aksjomaty klas charakterystycznych Stiefela–Whitney`a Przez cały

Aksjomaty klas charakterystycznych Stiefela–Whitney’a
Przez cały czas H q (X, Z2 ) będzie oznaczać q-ty Z2 -moduł kohomologii przestrzeni X (przestrzeń
L
q
liniową nad ciałem Z2 ). Przypomnijmy, że suma prosta H ∗ (B, Z2 ) =
q≥0 H (B, Z2 )
ma strukturę pierścienia (w przypadku gdy współczynniki są w Z2 – przemiennego), gdzie
mnożenie zdefiniowane jest jako cup-produkt. Poniższe aksjomaty charakteryzują tzw. klasy
charakterystyczne Siefela–Whitneya (rzeczywistej) wiązki wektorowej ξ = (E, B, π) w sposób
jednoznaczny. Na ich podstawie wykażemy najbardziej elementarne własności (nie podajemy
dowodu istnienia ani konstrukcji). O przestrzeni bazowej B zakładamy, że jest spójna, skąd
natychmiast dostajemy, że H 0 (B, Z2 ) = Z2 .
A.1: Istnieje ciąg funkcji w0 , w1 , . . . przyporządkowujący każdej rzeczywistej wiązce
wektorowej ξ klasę kohomologii wq (ξ) ∈ H q (B, Z2 ), q ≥ 0, przy czym w0 (ξ) jest
jedynką w H 0 (B, Z2 ) oraz wq (ξ) = 0 dla q > n, gdzie n jest wymiarem wiązki.
A.2 Naturalność: Jeśli istnieje odwzorowanie wiązek fˆ: η → ξ nakrywające odwzorowanie f : B(η) → B(ξ), to
wq (η) = f ∗ wq (ξ),
gdzie f ∗ : H q (B(ξ), Z2 ) −→ H q (B(η), Z2 ) jest homomorfizmem indukowanym.
A.3 Twierdzenie Whitney’a o iloczynie: Jeśli ξ i η są wiązkami nad tą samą
przestrzenią B, to
X
wk (ξ) ^ wl (η)
wq (ξ ⊕ η) =
k+l=q
W dalszym ciągu będziemy opuszczali oznaczenie ^ cup-iloczynu.
A.4 Nietrywialność: Jeśli oznaczymy przez γ11 kanoniczną wiązkę liniową nad RP1 ≈
S 1 , to klasa w1 (γ11 ) jest niezerowa.
Zauważmy, że jeśli wykluczymy aksjomat A.4, to dla wiązki ξ = (E, B, π) kładąc w0 (ξ) = 1
oraz wq (ξ) = 0 dla q ≥ 1 otrzymujemy ciąg spełniający aksjomaty A.1–3. Zatem aksjomat
ten gwarantuje nam nietrywialnośc klas Stiefela–Whitney’a, skąd pochodzi jego nazwa.
Niech ξ = (E1 , B1 , π1 ) i η = (E2 , B2 , π2 ) będą dwiema wiązkami wektorowymi. Przypomnijmy, że odwzorowaniem (homomorfizmem) wiązek nazywamy takie odwzorowanie ciągłe
fˆ: E1 −→ E2 , że dla każdego b ∈ B1 odwzorowanie
fˆ|π1−1 (b) : π1−1 (b) −→ π2−1 (fˆ(b))
jest izomorfizmem liniowym.
Jeśli ξ = (E, B, π) jest wiązką wektorową oraz f : A → B jest odwzorowanie ciągłym,
określonym na dowolnej przestrzeni topologicznej A, to możemy zdefiniować cofnięcie (pullback) f ∗ ξ następująco. Cofnięciem wiązki ξ za pomocą odwzorowania f jest wiązka f ∗ ξ =
1
(f ∗ E, A, π1 ), gdzie
f ∗ E = {(a, e) ∈ A × E : f (a) = π(e)}
oraz π1 : f ∗ E → A jest rzutowaniem na pierwszą współrzędną: π1 (a, e) := a. Mamy następujący diagram przemienny:
fˆ
A × E ⊃ f ∗ E −−−→


π1 y
E

π
y
−−−→ B
A
f
gdzie fˆ(a, e) := e. Strukturę przestrzeni wektorowej we włóknie π1−1 (a) definiuje się następująco:
α(a, e1 ) + β(a, e2 ) := (a, αe1 + βe2 ).
A zatem fˆ przeprowadza włókno π −1 (a) izomorficznie na włókno π −1 (f (a)).
1
Sumę prostą (lub sumę Whitney’a) wiązek ξ = (E1 , B, π1 ) oraz η = (E2 , B, π2 ) nad tą samą
przestrzenią bazową B otrzymujemy jako cofnięcie wiązki iloczynowej ξ × η = (E1 × E2 , B ×
B, π1 × π2 ) za pomocą odwzorowania diagonalnego ∆ : B → B × B, ∆(b) = (b, b). A zatem
ξ ⊕ η := ∆∗ (ξ × η).
Włóknem wiązki ξ ⊕ η nad punktem b jest iloczyn π1−1 (b) × π2−1 (b) kanonicznie izomorficzny
z sumą prostą π1−1 (b) ⊕ π2−1 (b).
Wnioski z aksjomatów A.1–4
W.1: Klasy wq (ξ) nie zależą od typu izomorficzności wiązki. Innymi słowy, jeśli ξ i η
są izomorficzne, to wq (ξ) = wq (η).
Z definicji izomorfizm wiązek jest homeomorfizmem przestrzeni wiązek f : E1 → E2
nakrywającym identyczność, tzn. mamy diagram:
f
E1 −−−→


π1 y
E2

π2
y
B −−−→ B
id
Ponieważ id∗ = id|H ∗ (B,Z2 ) , więc W.1 wynika z A.2.
Mamy następujący lemat: Jeśli f : E(η) → E(ξ) jest homomorfizmem wiązek i jeśli g : B(η) →
B(ξ) jest odpowiadającym mu odwzorowaniem baz1, to wiązki η oraz cofnięcie g ∗ ξ są izomorficzne.
W związku z powyższym, oraz wnioskiem W.1 możemy aksjomat A.2 zastąpić następującym:
1Odwzorowanie
wiązek jednoznacznie wyznacza ciągłe odwzorowanie baz
2
A.2’: Jeśli ξ = (E, B, π) oraz f : B 0 → B jest ciągłym odwzorowaniem, to
wq (f ∗ ξ) = f ∗ wq (ξ).
Należy oczywiście zwrócić uwagę, że f ∗ z lewej i prawej strony powyższej równości formalnie
oznacza co innego.
W.2: Jeżeli ε jest trywialną wiązką wektorową, to wq (ε) = 0 dla q > 0.
Załóżmy, że ε = (B × Rn , B, π). Wówczas ε = f ∗ ξ (izomorficzne), gdzie ξ = ({p} ×
Rn , {p}, π 0 ) oraz f : B → {p} jest odwzorowaniem stałym. Korzystając teraz z W.1 oraz
A.2’ mamy
wq (ε) = wq (f ∗ ξ) = f ∗ wq (ξ).
Ponieważ H q ({p}, Z2 ) = 0 dla q > 0 więc wq (ξ) = 0 = wq (ε) dla q > 0.
Zatem klasy charakterystyczne S–W są niezmiennikami mierzącymi niejako odchylenie
wiązki od iloczynu kartezjańskiego. Trywialność wiązki implikuje znikanie klas. Przekonamy
się, że odwrotna implikacja nie zachodzi.
W.3: wq (ε ⊕ ξ) = wq (ξ).
Jest to natychmiastowa konsekwencja A.3.
Własność W.3 można interpretować jako stabilność klas S–W.
Przykład. Niech τ S n oraz νS n oznaczają odpowiednio wiązkę styczną i normalną sfery
n-wymiarowej w Rn+1 :
τ S n = (x, v) ∈ S n × Rn+1 : hx, vi = 0 , νS n = (x, v) ∈ S n × Rn+1 : v = tx, t ∈ R .
Wiązka νS n jest izomorficzna z wiązką trywialną S n × R, więc wq (νS n ) = 0 dla q > 0.
Podobnie τ S n ⊕ νS n jest izomorficzna z S n × Rn+1 skąd wq (τ S n ⊕ νS n ) = 0 dla q > 0.
W konsekwencji, na mocy W.3 klasy S–W wiązki stycznej sfery n-wymiarowej znikają w
wymiarach dodatnich. Wiemy natomiast, że τ S n jest nietrywialna dla n 6= 1, 3, 7. Widzimy
więc, że znikanie klas S–W nie implikuje trywialności wiązki.
W.4: Jeśli ξ jest n-wiązką euklidesową2 dopuszczającą nigdzie niezerowy przekrój, to
wn (ξ) = 0. Jeżeli ξ dopuszcza k wszędzie liniowo niezależnych przekrojów, to
wn−k+1 (ξ) = wn−k+2 (ξ) = . . . = wn (ξ) = 0.
Zgodnie z twierdzeniem o dopełnieniu ortogonalnym pod-wiązki do wiązki mamy izomorfizm pomiędzy ξ oraz ε ⊕ ε⊥ , gdzie ε jest trywialną wiązką nad B o włóknie
πε−1 (b) = span(s1 (b), . . . , sk (b)).
Wiązka styczna do sfery parzysto-wymiarowej nie dopuszcza nieznikającego przekroju,
niemniej jednak wn (τ S 2k ) = 0.
2ξ
= (E, B, π) jest wiązką euklidesową, jeżeli istnieje ciągła funkcja µ : E → R, taka że jej obcięcie do
każdego włókna π −1 (b) jest dodatnio określoną formą kwadratową.
3