5 Punkt materialny w STW

Punkt materialny w STW
1.
Rozważę swobodny punkt materialny (pm) wykorzystując podejście wariacyjne.W tym podejściu,punkt materialny
porusza się w ten sposób.aby jego trajektoria stanowiła ekstremum funkcjonału działania "S".W STW,przestrzenią w
której porusza się punkt materialny jest 4-wymiarowa czasoprzestrzeń,trajektorię {x m HtL} którą zakreśla pm nazywamy linią świata tego pm (matematycznie jest to krzywa w 4-wymiarowej przestrzeni). Z założeń STW
czasoprzestrzeń ma strukturę metryczną ds2 =Hd x0 L2 -Hd x1 L2 -Hd x2 L2 -Hd x3 L2 (x0 jest współrzędną czasową).
Czasoprzestrzeń z tą strukturą metryczną nazywamy przestrzenią Minkowskiego "M".Jeżeli w M wprowadzimy jakiś
układ współrzędnych (bazę) to położenie pm będziemy reprezentować przez 4-wektor wodzący x m .Jeżeli teraz zmienimy bazę na inną,to ogólnie możemy to przedstawić jako transformację liniową:
x 'm = Pm a xa + am ; a = const - wektor translacji
Teraz wykorzystamy drugie fundamentalne założenie STW - zasadę względności.Mówi ona,że prawa fizyki
wyglądają tak samo (są forminwariantne) w układach powiązanych transformacjami ortogonalnymi - tzn takimi w
których ds jest niezmiennicze.Te transformacje tworzą grupę,którą nazywamy grupą Poincare'go,albo grupą ruchów.(Jest to podgrupa powyższej, szerszej grupy (P,a))
x 'm = Lm a xa + am
-1
0
0
0
H gab L =
gab dx 'a dx 'b
gab dxa dxb =
takie ze
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Wektor a reprezentuje translacje,a L obroty przestrzenne i właściwe transformacje Lorentza.Wróćmy teraz do pm.Z
zasady względności wynika,że prawa ruchu muszą być niezmiennicze ze względu na grupę ruchów,z tego wynika,że
działanie dla punktu materialnego jest skalarem ze wzg. na tę grupę.Jedynym skalarem,który mamy do dyspozycji jest
ds,tak więc rozsądne jest założyć,że działanie "S" jest proporcjonalne do "długości" linii świata pm.
S@x HtLD = -l ‡ „ s = -l ‡
y
x
t1
t0
gab x£a x£b „ t
;
x£a HtL =
dxa
dt
Parametr t parametryzuje nam linię świata.Zauważmy teraz BARDZO WAŻNĄ rzecz - działanie S jest niezależne od
dowolnej zmiany parametryzacji : t' -> f(t) - taką transformację zależną od dowolnej funkcji f nazywamy
transformacją cechowania.Ta własność S objawi nam tym,że kanoniczny hamiltonian =0.Parametr l musi być skalarem (aby działanie było skalarem),wyliczymy go później korzystając z tego,że w granicy nierelatywistycznej,S musi
odtwarzać ruch pm w mechanice klasycznej.Równanie ruchu dostajemy z warunku stacjonarności :
dS
=0.
dx
STW.nb
2
dS = -l ‡
x£m
t1
t0
l‡
t1
t0
gab
x£a
d
x£b
x£m
d
dt
£a
gab x
dxm „ t =
dt
dxm „ t -
t1
x£m
l
£b
dxm
£a
x
gab x
£b
x
t0
Ponieważ zakładamy,że dxm (t0 )=dxm (t1 )=0,drugi człon znika.A z tego,że dxm jest dowolne mamy:
dS = 0 ï
d
lx£m
dt
x£a
gab
dt
x£b
Jest to równanie ruchu swobodnego pm.- Dostaniemy
x£m
d
=0 ï
x£m
=0
£2
x
x£2
=const.Wyrażenie
x£m
x£2
to nic innego tylko
d
ds d
->
,wtedy dostaniemy u m = const.Spośród 4 składowych
dt
dt ds
niezależne,ponieważ u2 = 1. Ustalmy teraz cechowanie wybierając jako parametr
czteroprędkość - wystarczy zmienić
czteroprędkości tyko 3 są
współrzędną x0 ,a ściślej t = x0 ë c.Wtedy działanie możemy zapisać:
S = -l ‡
t1
t0
”2
c2 - v „ t = -l ‡
t1
c2 -
t0
”2
v
2
+o
v
c
„t
”
” dx
gdzie v =
dt
W granicy nierelatywistycznej : (v/c) -> 0 dostajemy stałą (którą możemy pominąć,ponieważ nie wpływa na równania
”2
ruchu) plus l Ÿtt1 v „ t .Porównując to z działaniem pm w mechanice klasycznej dostajemy : l = m.Widać więc,że
0 2
masa pm jest to współczynnik przy działaniu,jak powiedziałem wcześniej jest skalarem i jest to ta sama masa co w
mechanice Newtona.
2.
Z poprzednich rozważań wynika,że lagranżjan swobodnego pm jest
L@x£ HtLD = -m
gab x£a x£b
;
pm = -
∂L
∂ Hx£m L
=m
xm £
x£2
(Znak minus przy def. pędu jest wybrany,aby w granicy nierelatywistycznej część przestrzenna czteropędu
odpowiadała "zwykłemu" pędowi). Aby skonstruować hamiltonian trzeba odwikłać zależność na pęd - czyli znaleźć
x' m HpL,da się to zrobić pod warunkiem,że
detB
∂2 L
∂ Hx£m L ∂ Hx£a L
F≠0
Jeżeli ten wyznacznik = 0 to takie systemy nazywamy osobliwymi (albo z więzami).Tak się składa,że większość
interesujących fizycznie systemów -takich jak elektrodynamika,teoria el. Diraca,wszystkie teorie z cechowaniem - są
osobliwe.Ogólną teorię układów osobliwych podał Dirac,ale nie ma tu miejsca aby ją prezentować.Okazuje się , że
system pm jest też osobliwy:
STW.nb
3
Jeżeli ten wyznacznik = 0 to takie systemy nazywamy osobliwymi (albo z więzami).Tak się składa,że większość
interesujących fizycznie systemów -takich jak elektrodynamika,teoria el. Diraca,wszystkie teorie z cechowaniem - są
osobliwe.Ogólną teorię układów osobliwych podał Dirac,ale nie ma tu miejsca aby ją prezentować.Okazuje się , że
system pm jest też osobliwy:
detB
∂2 L
∂ Hx£m L ∂ Hx£a L
F = detB
m
-gma +
x£2
xm £ xa £
x£2
F=0
Aby dostać ostatnią równość wystarczy zauważyć,że xm £ jest wektorem własnym tej macierzy do wartości własnej
0.Latwo też pokazać,że rząd tej macierzy = 3.Wynika z tego,że będziemy mieli jeden więz pierwotny.Policzmy
formalnie hamiltonian:
H = -pm x£m - L ª 0
p2 - m2 = 0
wiez Ø
è
Zgodnie ze znaną procedurą,skonstruujmy nowy H ,w ten sposób,że do kanonicznego H (który tożsamościowo=0 )
dodajmy więz przemnożony przez współczynnik Lagrange'a.
è
è
H = -b HtL Ip2 - m2 M ö x£m HtL = 9xm , H= = 2 b pm
è
Skonstruujjmy teraz L
-1
1
-1 £2
è
è
L = -pm x£m - H =
xm £ x£m +
xm £ x£m - b m2 =
x - b m2
2b
4b
4b
è
Zapiszmy teraz L wprowadzając e=2b ,w następującej postaci (dlaczego tak,to okaże się później).Powoli ujawnia się
też cel naszych manipulacji - jest taki,że pierwiastek w działaniu jest trochę niewygodny -to raz,po drugie działanie to
nie dotyczy przypadku m=0.Oczywiście dostaniemy nowy L,kosztem wprowadzenia nowej zmiennej e(t).
S@e, xD = -
1
2
‡
t1
t0
e HtLBe-2 HtL
dxm dxm
dt
dt
+ m2 F „ t
Równania ruchu są efektem wariacji S po "e" i "x"
dS
de
dS
dx
=0
=0
ï
ï
-e-2 x£2 + m2 = 0
d
x£m
dt
e
ï
e=
x£2
m
=0
Jeżeli podstawimy e z 1-szego równania to dostaniemy stare działanie,a podstawiając e do 2 równania dostaniemy
równanie ruchu to samo jakie wynikało ze starego S.Udowodniliśmy zatem równoważność tych działań,ale to drugie
pozwala nam wprowadzić m=0,wtedy dostanimy x£2 =0,czyli linia świata cząstki o m=0 leży na stożku światła.Aby
działanie miało symetrię cechowania (tzn było niezależne od wyboru parametryzacji) , e musi się transformować:
STW.nb
4
t ' = f HtL
Ø
e ' Ht 'L =
df
dt
-1
e HtL
Zauważmy,że e transformuje się jak kontrawariantny wektor w 1-wymiarowej przestrzeni parametru.Korzystając z
symetrii cechowania możemy położyć warunek,który ustala konkretny wybór parametryzacji,np wybierzmy taką w
której e=1.Dostajemy wtedy (pominę wypisanie działania)
pm = x£m
;
p2 - m2 = 0
;
d
dt
Ipm M = 0
Nasze nowe działanie S[e,x] jest po pierwsze - wygodniejsze,pozbyliśmy się pierwiastka - co jest szczególnie przydatne przy kwantowaniu,zyskaliśmy opis cząstek o m=0.Na koniec, chciałbym powiedzieć,że wzór na S[e,x] można w
pewien sposób "odgadnąć",wykorzystując rozważania geometryczne.Potraktujmy linię świata pm jako 1-wymiarową
rozmaitość,zanurzoną w przestrzeni M.Tensor metryczny tej rozmaitości będzie macierzą 1x1,czyli liczbą [ gtt ].Wtedy miara niezmiennicza to
kwadratowe w
x£m ,tak
S = a‡
t1
t0
gtt dt.Ogólnie możemy zapisać następujące wyrażenie na S - zakładając,że jest
aby było niezmiennicze ze względu na zmianę parametryzacji:
gtt Bgtt
dxm dxm
dt
dt
+ gF „ t
;
a, g = const
a i g wyznaczamy tak aby równania ruchu były te same co w wypadku pierwotnego działania.Widzimy teraz,że e
możemy zidentyfikować jako
gtt .Geometrycznie e jest jakby "wewnętrznym" lokalnym promieniem krzywizny 1-
wymiarowej rozmaitości,jaką jest linia świata punktu materialnego.
Marek Józefowski.