Wartość średnia

Wartość średnia
Wartość przeciętna (average value) − wartość zwykła, najczęściej spotykana, nie odbiegająca
od normy, wynikająca z pobieżnej oceny zbioru poszczególnych wartości, ustalona szacunkowo po odrzuceniu wartości skrajnych.
Wartość średnia (mean value, valeur moyenne) − wartość obliczona z wielu poszczególnych
wartości, dla ściśle określonego celu, według odpowiednio dobranego wzoru. W skrócie:
średnia (mean, moyenne).
Średnia arytmetyczna (arithmetic mean, moyenne arithmétique) − stosunek sumy poszczególnych wartości do ich liczby:
a1 + a 2 + ... + a n
n
M1 =
dla funkcji ciągłej całkowalnej:
x2
1
M1 =
x 2 − x1
∫ f ( x )dx
x1
Zastosowania:
wartość średnia (arytmetyczna) prądu przemiennego w ciągu pół okresu
2
I sr =
T /2
∫ i (t )dt
T
0
wartość średnia napięcia, moc średnia (moc czynna),
moc szczytowa (największa ze średnich arytmetycznych z przedziału 5, 15 lub 30 min)
Średnia kwadratowa (rms = root-mean-square value, moyenne quadratique, valeur efficace) −
pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów poszczególnych wartości podzielonej przez ich
liczbę:
M2 =
a12 + a22 + . . . + a n2
n
dla funkcji ciągłej całkowalnej
M2 =
x2
1
x2
− x1
∫f
2
( x )dx
x1
Zastosowania:
wartość średnia kwadratowa (wartość skuteczna) prądu przemiennego w ciągu okresu T
1
1
I =
T
T
∫i
2
( t ) dt
0
wartość skuteczna napięcia, prąd zwarciowy zastępczy cieplny, prąd roboczy zastępczy cieplny, moment oporowy zastępczy silnika
Średnia kwadratowa jest nie mniejsza niż średnia arytmetyczna!
Średnia geometryczna, średnia proporcjonalna (geometric mean, moyenne géométrique) −
pierwiastek stopnia równego liczbie poszczególnych wartości z iloczynu tych wartości:
n
G =
a1 ⋅ a2 ⋅ .... ⋅ an
Przykład: wyzwalacz wyłącznika różnicowoprądowego, którego zakres tolerancji prądu zadziałania wynosi (0,5÷1)IΔn, a odchyłki dodatnie i ujemne są równie prawdopodobne, powinien być fabrycznie nastawiony na prąd równy średniej geometrycznej dolnej i górnej granicy
zakresu tolerancji:
G ( I Δn ) =
2
0,5 I Δn ⋅ I Δn = 0,707 I Δn ≈ 0,71 I Δn
Średnia geometryczna jest nie większa niż średnia arytmetyczna!
Uogólnienie pojęcia średniej potęgowej
Średnia potęgowa rzędu k liczb dodatnich a1, a2, . . an
⎛ a + a + ... + a
M k = ⎜⎜
n
⎝
k
1
k
2
k
n
⎞
⎟⎟
⎠
1
k
gdzie
k≠0
M −∞ = lim M k = min (a1 , a 2 ... a n )
jeśli
k →-∞
otrzymuje się
jeśli
k = -1
otrzymuje się średnią harmoniczną
jeśli
k → 0
otrzymuje się średnią geometryczną G = M 0 = lim M k
jeśli
k = 1
otrzymuje się średnią arytmetyczną
M1
jeśli
k = 2
otrzymuje się średnią kwadratową
M2
jeśli
k →∞
otrzymuje się
M ∞ = lim M k = max (a1 , a 2 ... a n )
k→−∞
M -1
k →0
k →∞
Zachodzi zależność
M -∞ ≤ . . . ≤ M-1 ≤ M0 ≤ M1 ≤ M2 ≤ . . . ≤ M ∞
2
Średnia ważona (weighted mean, moyenne pondérée) z wagami p1, p2, . . . pn (pj > 0)
liczb odpowiednio a1, a2, . . . an
Mw =
p1 ⋅ a1 + p2 ⋅ a2 + . . . + pn ⋅ an
p1 + p2 + . . . + pn
Przykłady:
Średnia ważona ocen studenta za semestr, za cały okres studiów (wagą zwykle jest liczba godzin przeznaczona na przedmiot lub jej podwielokrotność, tzn. liczba modułów 15- albo 10godzinnych).
Średnie ważone natężenie oświetlenia w pomieszczeniu (np. z wagami: 0,25 w narożnikach,
0,50 w pasach przyściennych, 1,0 w pozostałych miejscach).
Edward Musiał
3