materialy_-_laboratorium_01
Transkrypt
materialy_-_laboratorium_01
Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem - Laboratorium 01 Problem doboru optymalnego asortymentu produkcyjnego Przykład 1. Firma Łakocie wytwarzająca wyroby czekoladowe, postanowiła uruchomić jednodniową produkcję próbną dwóch nowych batonów: Danek i Janek. Przedsiębiorstwo chce tak ustalić produkcję nowych batonów, aby z ich sprzedaży osiągnąć maksymalny zysk. Na uruchomienie produkcji próbnej można przeznaczyć sześć godzin pracy urządzania formującego batony oraz 240 kg masy bakaliowej, będącej podstawowym składnikiem batonów. Postanowiono, że pracownicy oddelegowani do tej produkcji powinni zarobić co najmniej 400 PLN. W przedsiębiorstwie tym, wielkość produkcji nie jest mierzona w sztukach, ale tzw. masą produkcji, przyjmując 100kg jako jednostkę podstawową. W tabeli 1. zestawiono wielkości określające nakłady jednostkowe poszczególnych elementów oraz wielkość zysku powstałego ze sprzedaży określonych batonów. Tabela 1. Asortyment Danek Janek Zasoby praca urządzeń (h/j.pr.) 2,0 1,2 6 Nakłady jednostkowe masa bakaliowa (kg/j.pr.) 40 60 240 robocizna (PLN/j.pr.) 100 200 400 Zysk (PLN/j.pr.) 480 210 - Przykład 2. Model matematyczny przykładowego zadania z nieograniczoną funkcją przedstawia się następująco: : Przykład 3. Model matematyczny przykładowego zadania ze sprzecznym układem warunków ograniczających przedstawia się następująco: : Zagadnienie transportowe Przykład 4. Firma „Karma” ma zakłady produkcyjne w Radomiu i Lesznie, w których produkuje paszę dla bydła w ilości odpowiednio 800 i 1200 t miesięcznie. Firma ma cztery hurtowanie poza miejscami produkcji, które zlokalizowane są w Pile, Łomży, Opolu i Tarnowie. Piąta część miesięcznej produkcji pozostaje w magazynie każdego z zakładów produkcyjnych, zaś pozostała część paszy (1600 t) ma zostać przetransportowana w proporcjach 20%, 30%, 25% i 25% dla odpowiednich hurtowni. Znając koszty przewozu jednej tony paszy z poszczególnych zakładów produkcyjnych do poszczególnych hurtowni należy wyznaczyć plan przewozów tak, aby globalny koszt transportu był minimalny. Dane dotyczące kosztów transportu przedstawiono w tabeli 2. Tabela 2. Podaż / Popyt Radom 640 Leszno 960 Piła 320 41,8 17,6 Łomża 480 23,5 46,6 Opole 400 27,5 18,4 Tarnów 400 19,1 43,9 Dla przedstawionego problemu można stworzyć ilustrację graficzną, która może ułatwić zrozumienie problemu i proces budowy modelu matematycznego – rysunek 1. Na tej podstawie można rozpocząć budowę modelu matematycznego. Należy zwrócić uwagę, że globalna podaż w zadaniu i globalny popyt są takie same i zadanie takie nosi nazwę zadania zbilansowanego lub zamkniętego. Zmienne od x13 do x26 zgodnie z przedstawionym grafem określają wielkość masy paszy, która ma zostać przewieziona między określonymi miejscowościami. 3 - Piła b3=320 ,1 19 5 – Opole b5=400 18 x24 5 x2 – ,4 6 x 15 ,6 – x2 5– 46 43 16 –x ,9 – 41 27, x14 3 x2 ,8 -x 13 – ,6 17 1 – Radom a1=640 2 – 3,5 4- Łomża b4=480 6 - Tarnów b6=400 Rysunek 1. 2 – Leszno a2=960 Modelowanie przepływów w sieciach Przykład 5. Zadanie polega na wyznaczeniu przepływu dopuszczalnego o minimalnym koszcie i największego przepływu dopuszczalnego. Powiązania między węzłami przedstawiono na rysunku 2. 8 6 4 4 2 5 2 6 2 b1=120 b2=250 4 a2=300 5 1 1 a1=250 3 3 5 b3=100 Rysunek 2. Liczby widniejące nad poszczególnymi łukami określają koszty przepływu między poszczególnymi węzłami. Założono, że przepływ na łuku (1,3) powinien być nie mniejszy niż 30 i nie większy niż 50, a na łuku (1,6) – nie większy od 150. Na pozostałych łukach przepływy mogą być dowolne. Przykład zadania wyszukiwania najkrótszej drogi Przykład 6. Zadanie polega na znalezieniu najkrótszej drogi w taki sposób, aby z miejscowości początkowej znaleźć się w miejscu docelowym. W rozpatrywanym przykładzie należy pokonać trasę z Warszawy do Sofii. Sieć połączeń zaprezentowana jest na rysunku 3. 1 - Warszawa 300 356 402 2 - Katowice 440 5 - Wiedeń 4 - Lwów 3 - Zakopane 474 330 823 6 - Budapeszt 430 813 365 7 - Bukareszt 774 8 – Zagrzeb 403 768 9 – Sofia Rysunek 3. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania o charakterze produkcyjnym Zadanie 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D na trzech oddziałach produkcyjnych: O1, O2, O3. czas pracy oddziałów przypadający na obróbkę jednostek poszczególnych wyrobów w godzinach podano w tabeli 3. Jednostkowy zysk (w PLN) wynosi odpowiednio: A – 3,0; B – 1,5; C – 4,0; D – 3,5. W jednym miesiącu poszczególne oddziały mogą pracować odpowiednio: O1 – 210 godz.; O2 – co najmniej 100 godz.; O3 – co najwyżej 200 godz. Które wyroby i w jakich ilościach powinny być produkowane przez przedsiębiorstwo, aby zrealizowany zysk był maksymalny? Podać wielkość maksymalnego zysku. Tabela 3. Oddziały O1 O2 O3 Czas pracy na jednostkę wyrobu (w godz.) A B C D 1,0 0,0 1,5 2,0 0,0 0,0 3,0 1,0 1,5 2,0 0,0 1,5 Zadanie 2 Zakład dziewiarski wyspecjalizował się w produkcji dwóch wyrobów wełnianych: W1 i W2. Wąskim gardłem procesu produkcji są maszyny typu r1 i r2. W tablicy 4. podano normy pracy maszyn przy produkcji wyrobów W1 i W2 oraz ich zdolności produkcyjne. a) Należy ustalić plan produkcji zapewniający maksymalny łączny przychód ze sprzedaży (cena zbytu wyrobu W1 = 50 PLN, W2=75 PLN), z tym, że warunki rynkowe dyktują, aby ilość produktu W1 była 2,5 raza większa niż produktu W2. b) Czy zmieni się rozwiązanie w przypadku objęcia sezonową obniżką cen wyrobu W2 do poziomu 45 PLN? Tabela 4. Maszyny typu r1 r2 Czas pracy maszyny (w godz.) na jednostkę wyrobu W1 W2 2 1 2 2 Dopuszczalny czas pracy maszyny w ciągu dnia 12 20 Zadanie 3 Rafineria ropy naftowej typu paliwowo-olejowego zakupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2, w cenach odpowiednio 7 i 14 PLN za jednostkę przerobową. Wycinkowy proces technologiczny odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty. Z jednostki ropy R1 otrzymuje się 16 hl benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl pozostałości. Z jednostki przerobowej R2 otrzymuje się 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl pozostałości. Ile należy zakupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48000 hl benzyny oraz 20000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie nabycia surowca? Co więcej należy określić procentowo stopień wykorzystania zdolności produkcyjnej wieży przy optymalnych rozmiarach zakupu poszczególnych rodzajów ropy. Należy wziąć pod uwagę fakt, że zdolność przerobowa wieży mierzona łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144000 hl. Zadanie 4 Żeliwo maszynowe (przeznaczone na odlewy) wytwarzane z trzech stopów powinno zawierać odpowiednio: C – najwyżej 14%, Si – nie więcej niż 8%, Mn – co najmniej 25% i P – co najmniej 12%. Zawartości procentowe C, Si, Mn i P w poszczególnych stopach oraz koszt zakupu 1 tony każdego z nich podano w tabeli 5. Należy zminimalizować koszt wytworzenia 3000 t żeliwa maszynowego. Tabela 5. Stopy I II III C 28 14 10 Pierwiastek Si Mn 10 30 12 20 6 30 P 10 10 15 Cena (w PLN) 100 50 200 Zadanie 5 Na jeden komplet składają się detal typu A, 3 detale typu B i 5 detali typu C. Detale wycinane są z blachy siedmioma sposobami. W tabeli 6. podano liczby poszczególnych detali i odpady uzyskiwane z 1m2 blachy przy zastosowaniu każdego ze sposobów rozkroju. Ile razy należy zastosować możliwe sposoby cięcia, aby wyprodukować 1200 kompletów minimalizując odpad? Tabela 6. 2 Detale A B C Odpad I 2 0 0 0 Sposoby rozkroju 1m blachy II III IV V VI 1 1 0 0 0 1 0 3 2 1 1 3 0 2 4 0,5 0,5 0,1 0,1 0,1 VII 0 0 6 0,1 Zadanie 6 Przedsiębiorstwo przemysłowe wytwarza dwa wyroby: I i II z surowca dostarczonego w formie czterech rodzajów kształtek: A, B, C, D. Ilość wyrobów możliwa do uzyskania z jednej kształtki oraz odpad pozostały po procesie produkcji jest następujący: kształtka A – 3 wyroby I, 1 wyrób II, odpad 0,8 kg, kształtka B – 2 wyroby I, 5 wyrobów II, odpad 1,2 kg, kształtka C – 4 wyroby I, 0 wyrobów II, odpad 0,6 kg, kształtka D – 0 wyrobów I, 5 wyrobów II, odpad 0,9 kg. Zaproponować strukturę zakupu kształtek potrzebnych do wytworzenia co najmniej 1000 szt. wyrobu I oraz co najmniej 2000 szt. wyrobu II, minimalizując koszt odpadów (po odliczeniu sum uzyskanych ze sprzedaży odpadów na złom, koszt 1 kg odpadu wynosi 2,5 PLN). Określić wartość minimalnego odpadu. Zadania o charakterze transportowym Zadanie 7 Cztery piekarnie zlokalizowane na terenie miasta są zaopatrywane w mąkę z dwóch magazynów znajdujących się peryferiach. Zasoby mąki w magazynach wynoszą: w magazynie A – 130 t, w magazynie B – 200 t, a zapotrzebowanie piekarń wynosi odpowiednio: 80, 120, 70, 60 t. Koszty dostawy mąki do piekarni zależą tylko od odległości, które podano w tabeli 7. Tabela 7. Magazyny A B 1 25 17 Punkty skupu 3 3 24 28 30 15 4 13 26 Wyznaczyć taki plan przewozów, który zapewni minimalizację kosztów dostaw mąki. Zadanie 8 Trzy cementownie: C1, C2 i C3 położone w różnych miejscowościach zaopatrują w cement cztery składy: S1, S2, S3 i S4 materiałów budowlanych. Zdolności produkcyjne każdej cementowni wynoszą 900t, natomiast zapotrzebowanie składów wynosi odpowiednio 500, 600, 700 i 800 t. Koszty transportu 1t cementu z cementowni do składów (w PLN) podano w tabeli 8. Tabela 8. Dostawcy C1 C2 C3 S1 8 8 4 Odbiorcy S2 S3 8 6 4 2 7 6 S4 5 3 4 Wyznaczyć taki plan przewozów, który zapewni minimalizację kosztów dostaw cementu. Zadania dotyczące modelowania przepływów w sieci Zadanie 9 Pewne przedsięwzięcie, na które składa się 18 czynności o łącznym czasie trwania 200 h, zaplanować tak, aby trwało możliwie najkrócej. Czasy trwania poszczególnych czynności oraz ich następstwo w czasie przedstawiono w tabeli 9. Tabela 9. Czynności i-j 1-2 1-3 1-4 1-5 2-5 Czas tij 5 10 3 12 10 Czynności i-j 3-8 4-8 5-6 5-7 6-10 Czas tij 9 7 9 12 20 2-6 3-4 3-5 3-7 23 5 3 16 7-9 7-10 8-9 9-10 13 18 15 10 Zbudować siatkę czynności dla przedstawionego przedsięwzięcia. Określić, jaki jest najkrótszy czas wykonania całego przedsięwzięcia przy optymalnym zorganizowaniu pracy i jaka jest kolejność wykonywania działań. Określić tzw. ścieżkę krytyczną, czyli maksymalny czas realizacji całego przedsięwzięcia oraz kolejność wykonywania czynności. Zadanie 10 Sporządzić wykres sieciowy przedsięwzięcia składającego się z czynności A-N zgodnie z tabelą 10. Tabela 10. przed czynnością A B C D E F G H należy wykonać czynność: FiM E D E FiM C przed czynnością I J K L Ł M N należy wykonać czynność: C D, G i B HiJ G, D i B A, L i K E I oraz Ł Przyjmując, że czasy trwania czynności A-N wynoszą kolejno: 7, 10, 8, 5, 7, 2, 12, 12, 10, 7, 13, 10, 10, 8, 3 dni wyznaczyć najwcześniejszy możliwy termin zakończenia przedsięwzięcia oraz ścieżkę krytyczną. Odpowiedzieć na pytania: a) czy termin końcowy zmieni się jeżeli czynność I (ze względu na chwilowy brak środków) rozpocznie się o 10 dni później, b) czy termin końcowy zmieni się jeżeli czas trwania czynności J można będzie skrócić o 3 dni. Zadania dotyczące poszukiwania najkrótszej drogi Zadanie 11 Prywatna firma przewozowa ma zaplanować przebieg linii autobusowej z Krakowa (punkt 1) do Paryża (punkt 9), tak aby zapewnić jej największą frekwencję. Badania rynku wykazały, że frekwencja na danej linii zależy w bezpośredni sposób od atrakcyjności trasy przejazdu. Na rysunku 4. przedstawiono możliwe warianty przebiegu trasy wraz ze spodziewaną liczbą pasażerów na każdym z etapów. 6 9 2 4 12 10 11 6 14 1 13 3 11 13 12 5 8 7 14 9 4 7 10 8 Etap 1 Etap 3 Etap 2 Etap 4 Etap 5 Rysunek 4. Zadanie 12 Dla przedsięwzięcie przedstawionego na rysunku 5. znaleźć najkrótszą drogę z punktu 1 do 9. Na rysunku 22. podano odległości między poszczególnymi punktami. 4 100 2 50 7 30 3 200 110 110 1 100 130 50 100 100 5 300 40 9 200 120 8 100 6 Etap 1 Etap 2 Etap 3 Rysunek 5. Etap 4 Etap 5