WYZNACZANIE PARAMETRÓW ZASTĘPCZYCH LINIOWEGO

Nr 56
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Nr 56
Studia i Materiały
Nr 24
2004
Układ zastępczy odbiornika,
parametry zastępcze, analiza widmowa.
Józef KOLASA*, Grzegorz KOSOBUDZKI
WYZNACZANIE PARAMETRÓW ZASTĘPCZYCH
LINIOWEGO ODBIORNIKA ENERGII ELEKTRYCZNEJ NA
PODSTAWIE ANALIZY WIDMOWEJ
Parametry układów zastępczych wyznacza się doświadczalnie na podstawie wyników pomiarów
badanego obiektu przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym. Obecnie w wielu przypadkach odbiorniki
są zasilane napięciem niesinusoidalnym. Wyznaczanie parametrów zastępczych wymaga wykonania
badań laboratoryjnych. W artykule przedstawiono wyniki badań mających na celu określenie możliwości wykorzystania analizy widmowej do wyznaczania parametrów zastępczych liniowego odbiornika energii elektrycznej zasilanego napięciem niesinusoidalnym. Stwarza to możliwości wyznaczania parametrów zastępczych odbiornika w rzeczywistych warunkach jego użytkowania.
1. WSTĘP
W analizie teoretycznej zjawisk zachodzących w obwodzie elektrycznym zasilanym napięciem przemiennym wykorzystuje się układy zastępcze elementów obwodu.
Układy zastępcze odbiorników energii elektrycznej zawierają zastępcze: rezystancje,
indukcyjności i pojemności. Parametry elementów tworzących układ zastępczy wyznacza się na podstawie pomiarów, wykonywanych najczęściej w laboratorium, przy
zasilaniu napięciem sinusoidalnym o częstotliwości przemysłowej. Wyznaczanie parametrów zastępczych odbiornika w warunkach laboratoryjnych może nastręczać
trudności techniczne i organizacyjne. W wielu przypadkach wygodniej byłoby wyznaczać parametry zastępcze w warunkach normalnej eksploatacji odbiornika [1,2,3].
Jednak warunki zasilania w czasie eksploatacji odbiornika nie zawsze odpowiadają
warunkom wyznaczania parametrów zastępczych, określonym odpowiednimi przepisami. W artykule przedstawiono wyniki badań mających na celu określenie możliwości wykorzystania analizy widmowej sygnałów do wyznaczania parametrów układu
__________
*
Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, 50-370 Wrocław,
ul. Wybrzeże Wyspiańskiego 27; email: [email protected]; [email protected]
zastępczego liniowego odbiornika energii elektrycznej przy zasilaniu napięciem niesinusoidalnym.
2. ZASADA POMIARU
Parametry zastępcze odbiorników są wyznaczane przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym. Wartości parametrów zastępczych są wyznaczane metodą pośrednią na podstawie wyników pomiarów wartości skutecznej napięcia i prądu oraz mocy czynnej.
Pomiary te wykonywano za pomocą analogowych mierników elektromechanicznych
lub mierników cyfrowych o odpowiednim przetworniku pomiarowym. Współcześnie
do wykonania pomiarów można wykorzystać próbkowanie napięcia i prądu a na podstawie zebranych danych pomiarowych dokonać obliczeń estymatorów określonych
parametrów. I tak na przykład wartość skuteczną napięcia U oblicza się ze wzoru:
U≅
1
N
N
∑ (u k )2
,
(1)
k =1
w którym uk oznacza wartość k – tej próbki napięcia, N – liczbę próbek zebranych
w okresie T. Z podobnego wzoru oblicza się wartość skuteczną I prądu
I≅
1
N
N
∑ (ik )2
,
(2)
k =1
a wartość mocy czynnej P ze wzoru
P≅
Ls
Rs
1
N
N
∑ (u k ⋅ ik ) .
(3)
k =1
Rr
Lr
a
b
Rys. 1. Proste układy zastępcze odbiornika energii elektrycznej, a – układ szeregowy, b – układ równoległy.
Fig. 1. Simple supplementary circuits of electric energy receiver: a – serial circuit, b – parallel circuit
Jeżeli układ zastępczy odbiornika stanowi prosty obwód elektryczny złożony z indukcyjności i rezystancji połączonej szeregowo lub równolegle (rys. 1) to parametry
zastępcze odbiornika można obliczyć ze wzorów:
dla układu szeregowego –
Rs =
rezystancja
Ls =
indukcyjność
P
I2
,
(U ⋅ I )2 − P 2
ω⋅I2
(4)
,
(5)
dla układu równoległego
Rr =
rezystancja
Lr =
indukcyjność
U2
,
P
U2
ω (U ⋅ I )2 − P 2
(6)
.
(7)
Wartość impedancji obwodu można obliczyć ze wzoru
Z=
U
.
I
(8)
W przypadku zasilania odbiornika napięciem niesinusoidalnym można na podstawie zebranych próbek napięcia i prądu wyznaczyć wartości harmonicznych napięcia
i prądu oraz ich przesunięcia fazowe za pomocą szybkiej transformaty Fouriera (FFT).
Rezystancję zastępczą i indukcyjność zastępczą można obliczyć na podstawie dowolnej harmonicznej n ze wzorów:
Un
cos(ψ un − ψ in ) ,
In
(9)
Un
sin(ψ un − ψ in ) ,
2πf n I n
(10)
Rsn = Z n cos ϕ n =
Lsn =
Zn
ωn
Rrn =
sin ϕ n =
Zn
Un
=
,
cos ϕ n I n cos(ψ un − ψ in )
(11)
Lrn =
Zn
Un
=
,
ω n sin ϕ n 2πf n I n sin(ψ un − ψ in )
(12)
w których Rsn, Lsn, Rrn i Lrn – odpowiednio rezystancje i indukcyjności zastępcze
układu szeregowego (s) lub równoległego (r) obliczone na podstawie n-tej harmonicznej napięcia i prądu, Zn – impedancja układu zastępczego przy częstotliwości równej
częstotliwości n-tej harmonicznej, ωn, fn – odpowiednio pulsacja i częstotliwość n-tej
harmonicznej, Un, ψun, In, ψin – odpowiednio wartości skuteczne prądu i napięcia n-tej
harmonicznej oraz ich kąty fazowe.
3. UKŁAD POMIAROWY
Przetwornik
rezystancyjny
Oscyloskop cyfrowy
Rys. 2. Układ pomiarowy.
Fig. 2. Measurement system
Odbiornik
Zasilacz
Cewka
Rc, Lc
Rezystor
R
W badaniach stosowano układ pomiarowy przedstawiony na rysunku 2. Odbiornik
liniowy rezystancyjno – indukcyjny stanowi cewka powietrzna o indukcyjności Lc
około 197 mH i rezystancji Rc około 9,5 Ω. Stała czasowa cewki τc wynosi około 20,9
ms. W celu zbadania wpływu współczynnika mocy odbiornika na wyznaczane wartości jego parametrów zastępczych włączano szeregowo z cewką rezystor R o wartości
rezystancji około 100 Ω (τodb ≅ 1,8 ms). Obwód pomiarowy zasilano z zasilacza prądu
przemiennego o mocy 1,75 kVA, regulowanym napięciu w granicach (0...300) V i
maksymalnym dopuszczalnym prądzie obciążenia 13 A. Krzywa napięcia wyjściowego zasilacza może mieć jeden z trzech standardowych kształtów: prostokąta, sinusoidy
lub obciętej sinusoidy na wybranym poziomie. W badaniach stosowano wszystkie
dostępne kształty krzywej napięcia, przy czym wybrano następujące poziomy obcięcia
sinusoidy (wyrażone w procentach amplitudy sinusoidy): 95, 90, 85, 80, 70, ... , 10.
4. PROGRAM I WYNIKI BADAŃ
Przy zasilaniu obwodu pomiarowego napięciem sinusoidalnym utrzymywano stałą
amplitudę a częstotliwość regulowano w zakresie od 50 Hz do 950 Hz. Stosowane
niesinusoidalne napięcia zasilające (o kształcie prostokątnym lub obciętej sinusoidy)
miały wartość skuteczną taką jak napięcie sinusoidalne a częstotliwość równą 50 Hz.
500
[mH] [Ω]
900
[mH]
[Ω]
800
Rr1
400
Lr1
700
600
300
500
L r1 400
Ls1
200
300
200
100
0
0
10
20
Z1
100
Rs1
0
30 THDu [%]
Ls1
Z1 Rr1
Rs1
THDu [%]
0
10
20
30
40
50
a
b
Rys. 3. Zależność parametrów zastępczych odbiornika wyznaczonych na podstawie pierwszych harmonicznych od współczynnika THDu napięcia zasilającego; a – cewka, b – cewka i rezystor R.
Fig. 3. The dependence of equivalent parameters of receiver are determined on basis first harmonic from
THD coefficient of supplied voltage; a – coil, b – coil and resistor R
Na rysunku 3 przedstawiono wyniki obliczeń parametrów zastępczych odbiornika
otrzymane na podstawie pierwszych harmonicznych napięcia i prądu (według wzorów
(9)...(12) dla n = 1) przy różnym kształcie krzywej napięcia zasilającego. Jak wynika
z wykresów przedstawionych na rysunku 3 wartości parametrów wyznaczanych na
podstawie pierwszych harmonicznych praktycznie nie zależą od kształtu krzywej napięcia zasilającego (współczynnika THDu). Względne różnice wartości parametrów
zastępczych otrzymanych przy napięciach niesinusoidalnych na ogół nie przekraczają
± 0,2 % wartości otrzymanej przy napięciu sinusoidalnym. Jedynie wartość Rs wykazuje rozrzuty osiągające 0, 5 %. Na rysunkach 4 i 5 przedstawiono porównanie wartości poszczególnych parametrów zastępczych cewki badanej otrzymane przy sinusoidalnym i prostokątnym napięciu zasilającym. W przypadku napięcia o prostokątnym
kształcie krzywej wartości parametru obliczano na podstawie wartości kolejnych nie-
parzystych harmonicznych prądu i napięcia, zgodnie ze wzorami (9)...(12). Przebieg
prostokątny ma największe spektrum harmonicznych w stosunku do innych niesinusoidalnych przebiegów napięcia stosowanych w badaniach. Na rysunku 6 przedstawiono, dla porównania, procentowe udziały poszczególnych harmonicznych napięcia
i prądu występujące przy zasilaniu odbiornika napięciem prostokątnym i napięciem
o kształcie obciętej sinusoidy na poziomie 50 % amplitudy. W przypadku napięcia
sinusoidalnego pomiary wykonano przy częstotliwości równej częstotliwości kolejnej
nieparzystej harmonicznej (od pierwszej do dziewiętnastej) w stosunku do częstotliwości 50Hz. Obliczenia wykonano na podstawie wzorów (1)...(8).
220
240
Rs
[Ω]
200
Ls
[mH]
230
180
160
220
140
210
120
200
100
80
190
60
180
40
170
20
f [Hz]
0
0
200 400 600 800 1000 1200
f [Hz]
160
0
200 400 600 800 1000 1200
Rys. 4. Rezystancja Rs i indukcyjność Ls szeregowego układu zastępczego cewki badanej wyznaczona
przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym o regulowanej częstotliwości (kropki) oraz na podstawie harmonicznych prostokątnego napięcia zasilającego o częstotliwości 50 Hz (wypełnione kropki).
Fig. 4. Resistance Rs and inductance Ls of serial supplementary circuit of coil studied in sinusoidal voltage supply at regulated frequency (dots) as well as on basis harmonics of rectangular voltage supply at
frequency 50 Hz (full dots)
30
250
Rr
[kΩ]
25
Lr
[mH]
240
230
20
220
210
15
200
10
190
5
180
f [Hz]
0
0
f [Hz]
170
200 400 600 800 1000 1200
0
200 400 600 800 1000 1200
Rys. 5. Rezystancja Rr i indukcyjność Lr równoległego układu zastępczego cewki badanej wyznaczona
przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym o regulowanej częstotliwości (kropki) oraz na podstawie harmonicznych prostokątnego napięcia zasilającego o częstotliwości 50 Hz (wypełnione kropki).
Fig. 5. Resistance Rr and inductance Lr of parallel supplementary circuit of coil studied in sinusoidal
voltage supply at regulated frequency (dots) as well as on basis harmonics of rectangular voltage supply
at frequency 50 Hz (full dots)
80
80
Zawartość harmonicznych [%]
100
Zawartość harmonicznych [%]
100
u(t)
i(t)
60
40
20
u(t)
i(t)
60
40
20
0
0
0
5
10 15 20
Nr harmonicznej
25
30
0
5
10 15 20
Nr harmonicznej
25
30
a
b
Rys. 6. Zawartość harmonicznych prądu i napięcia odbiornika złożonego z szeregowego połączenia
cewki i rezystora R przy zasilaniu napięciem o krzywej w kształcie: a – prostokąta, b – obciętej sinusoidy
na poziomie 50 % amplitudy.
Fig. 6. Current’s and voltage’s harmonics content in serial connection of coil and resistor R in case supply with shape of voltage waveform: a – rectangular b – cut off sine curve on level 50% amplitude
200
240
Rs
[Ω]
Ls
[mH]
230
180
220
210
160
200
140
190
180
120
170
f [Hz]
100
0
200 400 600 800 1000 1200
f [Hz]
160
0
200 400 600 800 1000 1200
Rys. 7. Rezystancja Rs i indukcyjność Ls szeregowego układu zastępczego odbiornika złożonego z badanej cewki i rezystora R wyznaczona przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym o regulowanej częstotliwości (kropki) oraz na podstawie harmonicznych prostokątnego napięcia zasilającego o częstotliwości 50
Hz (wypełnione kropki).
Fig. 7. Resistance Rs and inductance Ls of serial supplementary circuit of connection of coil and resistor
studied in sinusoidal voltage supply at regulated frequency (dots) as well as on basis harmonics of rectangular voltage supply at frequency 50 Hz (full dots)
Jak wynika z porównań otrzymanych wyników w przypadku rezystancji zastępczych występuje dobra zgodność wartości obliczonych na podstawie pierwszej, trzeciej, i piątej harmonicznej napięcia i prądu przy zasilaniu napięciem prostokątnym
i wartościami uzyskanymi przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym o częstotliwości
równej częstotliwości rozpatrywanej harmonicznej. Najmniejsze błędy, (0,2-0,5)%,
uzyskuje się przy wykorzystaniu harmonicznej podstawowej sygnałów. Możliwość
wykorzystania wyższych harmonicznych uwarunkowana jest udziałem danej harmonicznej w analizowanym sygnale. I tak na przykład przy zasilaniu napięciem prostokątnym rozbieżność wyników uzyskanych na podstawie trzeciej i piątej harmonicznej
w stosunku do wartości uzyskanej przy napięciu sinusoidalnym nie przekraczają 1,5%.
Wartości rezystancji obliczone na podstawie siódmej i wyższych harmonicznych wykazują większe odstępstwa, spowodowane większymi błędami pomiarów.
10
900
Rr
[kΩ]
Lr [mH]
800
8
700
600
6
500
4
400
300
2
200
f [Hz]
0
0
200 400 600 800 1000 1200
f [Hz]
100
0
200 400 600 800 1000 1200
Rys. 8. Rezystancja Rr i indukcyjność Lr równoległego układu zastępczego odbiornika złożonego z badanej cewki i rezystora R wyznaczona przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym o regulowanej częstotliwości (kropki) oraz na podstawie harmonicznych prostokątnego napięcia zasilającego o częstotliwości 50Hz
(wypełnione kropki).
Fig. 8. Resistance Rl and inductance Ll of parallel supplementary circuit of connection of coil and resistor
studied in sinusoidal voltage supply at regulated frequency (dots) as well as on basis harmonics of rectangular voltage supply at frequency 50 Hz (full dots).
Względne różnice wartości indukcyjności zastępczych uzyskiwanych przy napięciu
sinusoidalnym i na podstawie harmonicznych napięcia niesinusoidalnego są mniejsze
niż obserwowane względne różnice rezystancji zastępczych.
5. WNIOSKI
Wyniki badań wykonanych przez autorów wskazują na możliwość wykorzystania
analizy widmowej prądu i napięcia do wyznaczania parametrów zastępczych liniowych odbiorników energii elektrycznej przy niesinusoidalnym napięciu zasilania, a
więc również w warunkach normalnej eksploatacji odbiornika. Unika się w ten sposób
konieczności zapewnienia sinusoidalnego napięcia zasilającego oraz wykonywania
badań w warunkach laboratoryjnych. Wymaga to jednak stosowania współczesnych
środków pomiarowych wykorzystujących metodę próbkowania sygnałów
i komputerową analizę widmową.
LITERATURA
[1] CZARNECKI L.S., STAROSZCZYK Z., On-Line Measurement of Equivalent Parameters for Frequencies of Power Distribution System and Load. IEEE Transactionon Instrumentation and Measurement. 1996, no. 2, 467–472.
[2] BAJOREK J., KOLASA J., Problemy wyznaczania parametrów układu zastępczego odbiorników
elektroenergetycznych na podstawie pomiaru szczególnych wartości chwilowych przebiegów, Prace
Naukowe Inst. Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Pol. Wroc. nr 54, 2003, 367–374.
[3] TENTI P., MATTAVELLI P., Third-Order Passive Load Identification Under Non-Sinusoidal Conditions, European Transaction on Electric Power, Vol.12.No. 2, 2002
DETERMINING EQUIVALENT PARAMETERS LINEAR RECEIVER OF
ELECTRIC ENERGY ON BASIS OF SPECTRAL ANALYSIS
The parameters of equivalent circuit were determined on basis of results of measurements studied object supplied sinusoidal voltage. Nowadays in many cases, the receivers are supplied with non-sinusoidal
voltage. To determine the supplementary parameters requires the realisations of laboratory investigations.
The results of investigations in article were introduced having on aim the qualification of possibility of
utilisation of spectral analysis to determining supplementary parameters linear receiver of electric energy.
It creates the possibility to determine the equivalent parameters of receiver set in real conditions of its
use.