3 ∑ 3 3 3 3 dx ∫ x dx ∫ b dx ∫ x2 da ∫ b dx ∫ x dx ∫ x3 3 3
Transkrypt
3 ∑ 3 3 3 3 dx ∫ x dx ∫ b dx ∫ x2 da ∫ b dx ∫ x dx ∫ x3 3 3
Nazwisko i imię (DRUKOWANYMI LITERAMI) Nr albumu Kierunek studiów 5.01.2015 Rok studiów A1 EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI 1 ∞ 1. Zbadać zbieżność szeregu X n=1 4n − 1 4n + 1 n2 3 . 2. Wyznaczyć przedział i promień zbieżności szeregu potęgowego ∞ X n=0 3. W odpowiednie prostokąty wpisać wartości podanych granic: lim (1 − e x→+∞ −x2 )= ; lim (1 − e −x2 x→−∞ ; lim e )= 1/x x→+∞ = n2 (x − 1)n . (n + 2)2 3n lim 4e3x = ; lim e 1/x x→−∞ lim 4e3x = ; x→+∞ x→−∞ ; lim = 3 x→+∞ xex |x| = ; ; lim 4e−2x = x→+∞ x lim xe |x| x→−∞ = 3 ; . 4. Podać definicję pochodnej funkcji. Korzystając z podanej definicji, wykazać, że jeśli f (x) = 2x3 , to f ′ (x) = 6x2 . 3 5. Wpisać wartości następujących pochodnych: 3 1. 2. d dx Z x d dx Z b sin t2 dt = ; 3. a a sin x2 dx = ; 4. d dx Z x d da Z b p ; 5. 1 + t2 dt = 0 a 2 sin x2 dx = ; 6. d dx Z d dx Z x x2 sin t2 dt = ; 0 x3 x2 √ dt = 1 + t4 6. Plama ropy na wodzie ma kształt koła i jej promień rośnie z szybkością 0,5 m/min. Jak szybko rośnie powierzchnia plamy w chwili, gdy jej średnica jest równa 100 m? 7. Napisać równanie stycznej do krzywej x2 + 5y − y 2 − y 3 = 4 w punkcie P (1, −3). . 3 3 8. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x3 − 9x2 − 48x + 52 na przedziale h−5; 14i. 9. Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f (x) = 10. Obliczyć lim x→0 2x2 −x+1 . x+3 4 11. Przedstawić pełny proces wyznaczania każdej z następujących całek: (1) y= 2 x +x+12 x2 +2x−8 4 ex − 1 − ln(1 + x) . x2 12. Wyznaczyć liczby A i B takie, że 3 20−x x2 +2x−8 = A x−2 + B . x+4 Z √ 1+ x √ dx; (2) x arctgx dx. x Z p 3 Następnie obliczyć pole obszaru ograniczonego przez krzywą 6 5 oraz proste y = 0, x = 3 i x = 4. 13. Obliczyć długość łuku krzywej określonej parametrycznie funkcjami x = cos2 t, y = sin2 t, t ∈ h0; πi. 6