VII. Statystyka nosników ładunku w półprzewodnikach

VII.
STATYSTYKA NO‘NIKÓW ŠADUNKU
W PӊPRZEWODNIKACH
Janusz Adamowski
1
1
Wst¦p
Przedmiotem tego wykªadu s¡ statystyczne wªasno±ci no±ników ªadunku w póªprzewodnikach, tzn. elektronów i dziur. Najpierw b¦dziemy rozwa»a¢ krysztaª
trójwymiarowy (3D), zwany te» krysztaªem litym.
Nast¦pnie przejdziemy do ukªadów dwuwymiarowego (2D) i jednowymiarowego (1D), które sªu»¡ do modelowania póªprzewodnikowych studni kwantowych (2D) i drutów kwantowych (1D).
2
G¦sto±¢ stanów kwantowych w przestrzeni odwrotnej
3D nakªadamy periodyczne warunki brzegowe na funkcj¦ Blocha
ψk (r). W tym celu wybieramy prostopadªo±cian o kraw¦dziach: Lj = Nj aj ,
gdzie j = 1, 2, 3 = x, y, z , aj s¡ to dªugo±ci wektorów podstawowych sieci prostej,
a Nj = liczby naturalne.
Obj¦to±¢ prostopadªo±cianu: Ω = L1 L2 L3 . Periodyczne warunki brzegowe
W krysztale
mo»na sformuªowa¢ nast¦puj¡co:
ψk (r + L1 + L2 + L3 ) = ψk (r) ,
gdzie
Lj = Nj aj ej .
k
(1)
Warunki te prowadz¡ do dozwolonych warto±ci skªadowych
wektora
2π
lj ,
Lj
kj =
(2)
gdzie lj = liczby caªkowite.
Dla
∆lj = 1 otrzymujemy ∆kj = 2π/Lj . Zatem pojedynczej warto±ci kj
j -ej wektora falowego odpowiada w przestrzeni k odlegªo±¢
skªadowej
lk =
2π
.
Lj
(3)
Wynika st¡d, »e dozwolonemu przez warunki brzegowe wektorowi
(kx , ky , kz )
k = (k1 , k2 , k3 ) =
odpowiada w przestrzeni odwrotnej element obj¦to±ci
Ωk =
(2π)3
(2π)3
=
.
L1 L2 L3
Ω
(4)
Stan kwantowy elektronu w krysztale okre±lony jest przez podanie numeru
pasma
sz .
ν,
wektora falowego
k
(przy czym
W zadanym (ustalonym) pasmie
ν
k ∈
BZ) i skªadowej
z -owej
spinu
stan kwantowy elektronu wyznaczaj¡
(kx , ky , kz , sz ). Skªadowa z -owa spinu elektronu przyjmuje dwie
sz = ±~/2, a zatem obj¦to±¢ (4) odpowiada dwóm stanom kwantowym
ró»ni¡cym si¦ warto±ciami wªasnymi sz . Oznacza to, »e stanowi (kx , ky , kz , sz )
odpowiada w przestrzeni k poªowa elementu obj¦to±ci (4), czyli
cztery liczby
warto±ci
(2π)3
1
Ωk =
.
2
2Ω
(5)
Ze wzoru (5) wynika, »e liczba stanów na jednostk¦ obj¦to±ci w przestrzeni
k
wynosi
g̃ 3D (k) =
2
.
Ωk
(6)
Na podstawie wzoru (6) otrzymujemy g¦sto±¢ stanów kwantowych w przestrzeni
k
w krysztale 3D w postaci
g̃ 3D (k) =
2Ω
= const .
(2π)3
(7)
Wzór (7) stosujemy do obliczenia liczby stanów kwantowych w elemencie obj¦to±ci
d3 k = dkx dky dkz
w krysztale 3D
Ω
dkx dky dkz .
4π 3
dN 3D = g̃ 3D (k)d3 k =
3
(8)
G¦sto±¢ stanów kwantowych w funkcji energii
w krysztale 3D
3.1
A. G¦sto±¢ stanów w pasmie przewodnictwa
Zakªadamy, »e stany elektronów w pasmie przewodnictwa opisane s¡ paraboliczn¡ relacj¡ dyspersji z izotropow¡ pasmow¡ mas¡ efektywn¡, czyli
E(k) = Ec +
gdzie
~2 k 2
,
2me
(9)
Ec = Ec (k0 ) jest energi¡ minimum (dna) pasma przewodnictwa, a me
jest
pasmow¡ mas¡ efektywn¡ elektronu.
W celu wyznaczenia g¦sto±ci stanów kwantowych w funkcji energii
k = |k|
Po podstawieniu
g̃ 3D (k) = Ω/4π 3
elek-
wewn¡trz kuli o promieniu
4πk 3 g̃ 3D (k)
.
3
Ω
(10)
na jednostk¦ obj¦to±ci krysztaªu
N 3D (k) =
E
N 3D (k)
tronu obliczamy liczb¦ stanów kwantowych
Ω
zgodnie ze wzorem (8) otrzymujemy
N 3D (k) =
k3
.
3π 2
(11)
Relacja dyspersji (9) prowadzi do zwi¡zku
k=
1
1/2
[2me (E − Ec )]
.
~
(12)
St¡d
N 3D (E) =
(2me )3/2
(E − Ec )3/2 .
3~3 π 2
2
(13)
G¦sto±¢ stanów kwantowych
c
gc3D
w funkcji energii
E
w pasmie przewodnictwa
krysztaªu 3D deniujemy w sposób nast¦puj¡cy:
gc3D (E) =
dN 3D
.
dE
(14)
Ko«cowy wzór na g¦sto±¢ stanów w pasmie przewodnictwa w funkcji energii
ma posta¢
gc3D (E) =
(2me )3/2
(E − Ec )1/2 .
2π 2 ~3
(15)
Wzór (15) podaje liczb¦ stanów kwantowych w pasmie przewodnictwa przypadaj¡cych na jednostk¦ obj¦to±ci krysztaªu litego i jednostkowy przedziaª energii
elektronu.
3.2
B. G¦sto±¢ stanów w pasmie walencyjnym
Rozwa»amy pasmo walencyjne w krysztale 3D opisane paraboliczn¡ izotropow¡
relacj¡ dyspersji
E(k) = Ev −
gdzie
a
mh
Ev = Ev (k0 )
~2 k 2
,
2mh
(16)
jest energi¡ maksimum (wierzchoªka) pasma walencyjnego,
jest pasmow¡ mas¡ dziury.
Wyprowadzenie podobne do tego dla pasma przewodnictwa prowadzi do nast¦puj¡cego wzoru na g¦sto±¢ stanów w pasmie walencyjnym:
gv3D (E) =
4
(2mh )3/2
(Ev − E)1/2 .
2π 2 ~3
(17)
G¦sto±¢ stanów kwantowych elektronów zlokalizowanych na domieszkach
Domieszki akceptorowe i donorowe tworz¡ dyskretne poziomy energetyczne w
przerwie wzbronionej. Odpowiednie g¦sto±ci stanów kwantowych w funkcji energii liczone na jednostk¦ obj¦to±ci krysztaªu dane s¡ wzorami
3D
gA
(E) = NA δ(E − EA ) ,
(18)
3D
gD
(E) = ND δ(E − ED ) ,
(19)
oraz
gdzie
NA (ND )
jest koncentracj¡ akceptorów (donorów), czyli liczba odpowied-
nich domieszek w jednostce obj¦to±ci krysztaªu.
3
Rysunek 1: Model studni kwantowej.
5
G¦sto±¢ stanów w studni kwantowej
Rozwa»amy ukªad quasi-dwuwymiarowy, który stanowi model póªprzewodnikowej studni kwantowej. Zakªadamy, »e w kierunku
z
elektron jest uwi¦ziony w
niesko«czenie gª¦bokiej studni potencjaªu, a w pªaszczy¹nie
x−y
elektron mo»e
porusza¢ si¦ swobodnie.
Studnia kwantowa posiada nast¦puj¡ce rozmiary:
odpowiednio w kierunkach
W
w kierunku
z , L1 i L2
x i y.
Energia elektronu w studni kwantowej dana jest wzorem
E=
~2
(k 2 + ky2 ) + Enz ,
2me x
(20)
gdzie
Enz =
~2 π 2 nz 2
.
2me W
(21)
s¡ skwantowanymi przestrzennie poziomami energetycznymi wynikaj¡cymi z
uwi¦zienia elektronu w kierunku
z (nz = 1, 2, . . .).
Wytworzenie w heterostrukturze póªprzewodnikowej struktury studni kwantowej prowadzi do pojawienia si¦ w pasmie przewodnictwa podpasm, numerowanych liczbami kwantowymi
nz ,
z których ka»de posiada minimaln¡ energi¦
E nz .
Periodyczne warunki brzegowe w pªaszczy¹nie
x−y
prowadz¡ do dozwolo-
nych warto±ci skªadowych wektora falowego
kx =
2π
l1 ,
L1
ky =
4
2π
l2 ,
L2
(22)
gdzie l1 , l2
= 1, 2, . . ..
Je»eli zaªo»ymy, »e
k = (kx , ky )
L1 = L2 = L, to kolejne warto±ci skªadowych
kx − ky kwadraty o bokach
(2π)2
.
L2
∆kx ∆ky =
(23)
Zatem jednemu stanowi kwantowemu o liczbach kwantowych
wiada na pªaszczy¹nie
kx − ky
W dwuwymiarowej przestrzeni
nie
x−y
k=
q
kx2
+
(kx , ky , sz )
odpo-
powierzchnia
σk =
o promieniu
wektora
tworz¡ na pªaszczy¹nie
1 (2π)2
2π 2
= 2 .
2
2 L
L
(24)
k liczb¦ stanów kwantowych wewn¡trz okr¦gu
ky2 przypadaj¡c¡ na jednostk¦ powierzchni na pªaszczy¹-
obliczamy nast¦puj¡co:
N 2D =
πk 2
k2
=
.
σk L2
2π
(25)
G¦sto±¢ stanów w funkcji energii zdeniowana jest jako
g 2D (E) =
dN 2D
.
dE
(26)
Z relacji dyspersji (20) otrzymujemy
k2 =
2me (E − Enz )
,
~2
a st¡d
N 2D =
(27)
me
(E − Enz ) .
π~2
(28)
Na podstawie wzorów (26) i (28) otrzymujemy
g 2D (E) =
me
.
π~2
(29)
Wzór (29) podaje wkªad do g¦sto±ci stanów pochodz¡cy od podpasma o liczbie
kwantowej
nz .
Caªkowita g¦sto±¢ stanów
podpasm
nz
g 2D (E)
jest sum¡ wkªadów (29) pochodz¡cych od
o energiach poni»ej energii
g 2D (E) =
E,
czyli
Nz
me X
Θ(E − Enz ) ,
π~2 n =1
(30)
z
gdzie
Θ(x) = 1
dla
x > 0 i Θ(x) = 0
dla
x < 0.
Dla niesko«czenie gª¦bokiej studni kwantowej
Nz → ∞,
natomiast w bar-
dziej realistycznym modelu studni kwantowej posiada ona sko«czon¡ gª¦boko±¢,
czyli liczba stanów
Nz
stanów kwantowych elektronu uwi¦zionego w kierunku
jest sko«czona.
5
z
Rysunek 2: G¦sto±¢ stanów w dwuwymiarowej studni kwantowej.
Rysunek 3: Porównanie g¦sto±ci stanów w ukªadach 3D i 2D.
6
Rysunek 4: Model drutu kwantowego.
6
G¦sto±¢ stanów w drucie kwantowym
Drut kwantowym (nanodrut) jest nanostruktur¡ (póªprzewodnikow¡ lub metaliczn¡) o rozmiarach przekroju poprzecznego
≤ 100nm i dowolnej (zwykle ∼ µm)
dªugo±ci.
W najprostszym modelu drutu kwantowego przyjmujemy, »e elektron mo»e
porusza¢ si¦ swobodnie w kierunku
z,
a w kierunkach
niesko«czenie gª¦bokiej studni potencjaªu o rozmiarach
x i y jest
W1 i W2 .
uwi¦ziony w
Energi¦ elektronu w prostym modelu drutu kwantowego mo»na zapisa¢ w
postaci
E=
gdzie
n1 , n2 = 1, 2, . . .
~2 kz2
+ En1 n2 ,
2me
(31)
s¡ liczbami kwantowymi stanów elektronu w niesko«cze-
nie gª¦bokiej dwuwymiarowej studni potencjaªu.
Energia kwantowania ruchu
poprzecznego elektronu
En1 n2
~2 π 2
=
2me
"
n1
W1
2
+
Periodyczne warunki brzegowe w kierunku
to±ci
kz
kz =
gdzie
l = ±1, ±2, . . ..
z
n2
W2
2 #
.
(32)
prowadz¡ do dozwolonych war-
2π
l,
L
(33)
St¡d
∆kz =
2π
,
L
czyli jednemu stanowi kwantowemu opisanemu przez liczby kwantowe
odpowiada w przestrzeni
k
(34)
(kz , σz )
odcinek
δkz =
7
π
.
L
(35)
Rysunek 5: G¦sto±¢ stanów w jednowymiarowym drucie kwantowym.
Zatem w jednowymiarowej przestrzeni
dziale
[−kz , kz ]
k ≡ kz
liczba stanów kwantowych w prze-
liczona na jednostk¦ dªugo±ci w przestrzeni rzeczywistej wynosi
N 1D =
2kz
2kz
.
=
Lδkz
π
(36)
G¦sto±¢ stanów kwantowych w funkcji energii
g 1D (E) =
dN 1D
dE
(37)
mo»na obliczy¢ na podstawie wzorów (31) i (36) w nast¦puj¡cy sposób:
N 1D =
2 p
2me (E − En1 n2 ) ,
π~
(38)
a st¡d
g 1D (E) =
Funkcja (39) jest osobliwa dla
1
π~
2me
E − E n1 n2
E = En1 n2 ,
1/2
.
(39)
czyli dla ka»dego poziomu energe-
tycznego pochodz¡cego od skwantowanego przestrzennie ruchu w pªaszczy¹nie
x − y.
Nale»y ponadto zauwa»y¢ degeneracj¦ tych poziomów, np.
7
E12 = E21 .
Funkcja rozkªadu Fermiego-Diraca
Elektrony i dziury posiadaj¡ spin poªówkowy, a zatem s¡ fermionami i podlegaj¡ wi¦c statystyce Fermiego-Diraca.
Zgodnie z t¡ statystyk¡, w ukªadzie
T prawdoE okre±lone
identycznych fermionów w równowadze termicznej w temperaturze
podobie«stwo obsadzenia przez fermion stanu kwantowego o energii
jest przez
funkcj¦ rozkªadu Fermiego-Diraca o postaci
f (E) =
1
,
eβ(E−µ) + 1
8
(40)
Rysunek 6: Porównanie g¦sto±ci stanów kwantowych w ukªadach 3D, 2D, 1D i
0D.
gdzie
β = 1/(kB T ), a µ = EF jest potencjaªem chemicznym
EF cz¦sto nazywamy poziomem Fermiego.
ukªadu.
W
zyce ciaªa staªego
Zgodnie z zakazem Pauliego liczba fermionów w jednocz¡stkowym stanie
kwantowym jest równa 0 lub 1.
Na tej podstawie mo»emy obliczy¢
liczb¦ fermionów w stanie kwantowym o energii E
hn(E)i =
2
X
±redni¡
jako
ni pi = 0 × f (E) + 1 × f (E) = f (E) .
(41)
i=1
Wynika st¡d, »e funkcja rozkªadu Fermiego-Diraca wyznacza ±redni¡ liczb¦ fermionów w stanie kwantowym o energii
E,
czyli
hn(E)i = f (E) .
(42)
Nale»y zauwa»y¢, »e wyprowadzenie (41) jest sªuszne, gdy nie wyst¦puje
degeneracja spinowa poziomów energetycznych.
Sens zyczny potencjaªu chemicznego (poziomu Fermiego)
•
Zwykle potencjaª chemiczny interpretujemy jako zmian¦ energii ukªadu
spowodowan¡ dodaniem do ukªadu
N
fermionów jednego dodatkowego
fermionu, czyli
µ=
•
Dla
E = µ
otrzymujemy
∆E
.
∆N
f (µ) = 1/2,
(43)
a zatem mo»emy interpretowa¢
potencjaª chemiczny jako energi¦ takiego stanu kwantowego, dla którego
prawdopodobie«stwo obsadzenia (±rednia liczba fermionów) wynosi 1/2.
9
Rysunek 7: Rozkªad Fermiego-Diraca dla
T = 0.
Wªasno±ci funkcji rozkªadu Fermiego-Diraca
(1) Przypadek T
= 0,
β −→ ∞
czyli
W tym przypadku funkcja rozkªadu jest funkcj¡ schodkow¡

 1
1/2
f (E) =

0
W temperaturze
z
T =0
dla
dla
dla
E<µ
E=µ
E>µ
(44)
potencjaª chemiczny (poziom Fermiego) identykujemy
energi¡ Fermiego EF0 , któr¡ deniujemy jako maksymaln¡ energi¦ obsadzo-
nego stanu kwantowego.
Dla
T =0
otrzymujemy zatem
µ0 = µ(T = 0) = EF (0) ≡ EF0 .
(45)
(2) Przypadek T > 0
(2a) Przypadek kB T µ, czyli βµ 1
Dla
E −→ 0
otrzymujemy
f (E) '
Natomiast dla
1
'1.
e−βµ + 1
E −→ ∞
f (E) ' e−βE −→ 0 .
(2b) Przypadek E − µ kB T , czyli β(E − µ) 1
W tym przypadku rozkªad Fermiego-Diraca przechodzi w
kªad Boltzmanna, który ma posta¢
f (E) ' eβµ e−βE = Ce−βE ,
gdzie
(46)
C = eβµ .
10
(47)
klasyczny roz(48)
Rysunek 8: Rozkªad Fermiego-Diraca dla
T > 0.
Prawdopodobie«stwo obsadzenia stanu kwantowego przez dziur¦
Prawdopodobie«stwo
h(E)
obsadzenia stanu kwantowego o energii
E
przez
dziur¦ jest równe prawdopodobie«stwu nieobsadzenia tego stanu kwantowego
przez elektron, a zatem
h(E) = 1 − f (E) =
1
.
eβ(µ−E) + 1
(49)
Wzór (49) podaje rozkªad Fermiego-Diraca dla dziur.
Zdegenerowany gaz no±ników ªadunku
Je»eli dla elektronów (dziur) mo»emy stosowa¢ rozkªad Boltzmanna (czyli
niezdegenerowany gaz elektronowy (dziurowy).
W przeciwnym przypadku mówimy o zdegenerowanym gazie no±ników
ªadunku.
zachodzi przypadek (2b)), to mówimy, »e elektrony (dziury) tworz¡
8
Koncentracja no±ników ªadunku w pasmach
Zajmiemy si¦ obliczaniem koncentracji no±ników ªadunku w pasmach, czyli
liczby elektronów w pasmie przewodnictwa (dziur w pasmie walencyjnym) na
jednostk¦ obj¦to±ci krysztaªu. W póªprzewodniku samoistnym elektrony (dziury)
mog¡ si¦ pojawia¢ w pasmie przewodnictwa (walencyjnym) w wyniku wzbudze«
optycznych, wzbudze« termicznych, lub w wyniku wstrzykni¦cia elektronów z
elektrody zewn¦trznej.
Na ogóª no±niki ªadunku nie znajduj¡ si¦ w stanie równowagi termodynamicznej. Jednak czas rekombinacji elektron-dziura jest o kilka rz¦dów wielko±ci
dªu»szy od typowych czasów relaksacji ukªadu no±ników, która zachodzi wskutek oddziaªywa« z fononami lub domieszkami.
Zanim nast¡pi rekombinacja pary elektron-dziura ukªad no±ników ªadunku
osi¡ga stan
quasi-równowagi termodynamicznej.
11
Osi¡ganie przez no±niki
ªadunku stanu quasi-równowagi termodynamicznej pozwala na stosowanie do
opisu wªasno±ci termodynamicznych ukªadu ªadunków równowagowego rozkªadu
Fermiego-Diraca.
W celu zaznaczenia quasi-równowagowego charakteru tego rozkªadu wielko±¢
µ = EF
9
nazywana jest
quasi-poziomem Fermiego.
Koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa
Koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa, czyli liczba elektronów w
pasmie przewodnictwa na jednostk¦ obj¦to±ci krysztaªu, w litym krysztale nie-
n. Liczb¦ elektronów w pasmie prze(E, E +dE) na jednostk¦ obj¦to±ci krysztaªu
domieszkowanym oznaczana jest symbolem
wodnictwa o energiach z przedziaªu
obliczamy jako
dn = gc (E)f (E)dE ,
(50)
gc (E) = gc3D (E) jest g¦sto±ci¡ stanów kwantowych w pasmie przewodnickrysztaªu 3D, a f (E) jest funkcj¡ rozkªadu Fermiego-Diraca (40).
gdzie
twa
Koncentracj¦ elektronów obliczamy caªkuj¡c stronami wyra»enie (50)
EZcmax
n=
dEgc (E)f (E) ,
(51)
Ecmin
gdzie
Ecmin ≡ Ec
jest minimaln¡ energi¡ pasma przewodnictwa. W caªce (51)
maksymaln¡ energi¦ pasma przewodnictwa
niewa» dla
E µ f (E) −→ 0.
Ecmax
mujemy
(2me )3/2
n=
2π 2 ~3
Z∞
dE
(E − Ec )1/2
.
eβ(E−µ) + 1
ζ = β(µ − Ec ),
n=
w którym pojawia si¦ tzw.
∞,
po-
(52)
Ec
W caªce (52) dokonujemy zmiany zmiennych
bezwymiarowy parametr
mo»na zast¡pi¢ przez
Podstawiamy do (51) wyra»enie (15) i otrzy-
x = β(E − Ec ) i wprowadzamy
co prowadzi do wyra»enia
(2me kB T )3/2
Φ1/2 (ζ) ,
2π 2 ~3
(53)
caªka Fermiego-Diraca rz¦du 1/2, zdeniowana
jako
def
Z∞
Φ1/2 (ζ) =
dx
x1/2
.
+1
ex−ζ
(54)
0
Ostatecznie koncentracj¦ elektronów w pasmie przewodnictwa w krysztale litym
mo»emy obliczy¢ ze wzoru
n = n0 Φ1/2 (ζ) ,
12
(55)
gdzie
n0 =
(2me kB T )3/2
.
2π 2 ~3
(56)
Warto±ci caªki Fermiego-Diraca (54) mo»emy znale¹¢ w tablicach caªek lub obliczy¢ j¡ numerycznie.
10
Koncentracja dziur w pasmie walencyjnym
Koncentracj¦ dziur w pasmie walencyjnym w póªprzewodniku samoistnym oznaczamy symbolem
p.
Wyprowadzenie wzoru na koncentracj¦ dziur przebiega po-
dobnie jak dla elektronów. Startujemy z formuªy
ZEv
p=
dEgv (E)h(E) ,
(57)
−∞
gv (E) = gv3D (E)
(17), a h(E) jest
gdzie
jest g¦sto±ci¡ stanów w pasmie walencyjnym w krysztale
3D
funkcj¡ rozkªadu dziur (49).
bezwymiarowy parametr
ξ = β(Ev − µ)
Dla dziur wprowadzamy
i otrzymujemy
p = p0 Φ1/2 (ξ) ,
(58)
gdzie
p0 =
11
(2mh kB T )3/2
.
2π 2 ~3
(59)
Niezdegenerowany gaz no±ników ªadunku
Rozwa»my najpierw elektrony w pasmie przewodnictwa zakªadaj¡c, »e gaz elektronowy jest niezdegenerowany, czyli
E − µ kB T .
W tym przypadku mo»emy
przybli»y¢ caªk¦ Fermiego-Diraca za pomoc¡ wyra»enia
Φ1/2 (ζ) ' e
ζ
Z∞
dxx1/2 e−x .
(60)
0
Caªk¦ w wyra»eniu (60) mo»emy obliczy¢ analitycznie w nast¦puj¡cy sposób:
Z∞
0
dxx1/2 e−x = 2
Z∞
√
2
dyy 2 e−y =
π
.
2
(61)
0
A zatem
√
Φ1/2 (ζ) '
13
π ζ
e .
2
(62)
Deniujemy
nictwa jako
efektywn¡ g¦sto±¢ stanów kwantowych w pasmie przewod√
π
n0
2
def
nc =
(63)
i otrzymujemy
n = nc eβ(µ−Ec ) .
(64)
W podobny sposób mo»emy obliczy¢ koncentracj¦ niezdegenerowanego gazu
µ − E kB T
dziurowego w pasmie walencyjnym. Dla
otrzymujemy
p = pv eβ(Ev −µ) ,
gdzie
√
pv =
jest
(65)
π
p0
2
(66)
efektywn¡ g¦sto±ci¡ stanów kwantowych w pasmie walencyjnym.
Iloczyn koncentracji elektronów i dziur
Iloczyn
np
koncentracji elektronów i dziur w póªprzewodniku niezdegenero-
wanym posiada ciekaw¡ wªasno±¢, a mianowicie
np = nc pv eβ(Ev −Ec ) = nc pv e−βEg ,
gdzie
Eg = Ec − Ev
(67)
jest szeroko±ci¡ przerwy energetycznej. p
Wªasno±¢ (67) b¦dzie odgrywaªa wa»n¡ rol¦ w dalszych rozwa»aniach.
12
Póªprzewodnik samoistny
Rozwa»amy póªprzewodnik samoistny (póªprzewodnik niedomieszkowany), czyli
taki, w którym nie ma »adnych defektów sieci krystalicznej. W tym przypadku
n = p = ni ,
gdzie
ni
(68)
jest quasi-równowagow¡ koncentracj¡ no±ników ªadunku w póªprzewod-
niku samoistnym (ang. intrinsic semiconductor).
Je»eli póªprzewodnik samoistny jest niezdegenerowany, to iloczyn koncentracji (67) no±ników przyjmuje posta¢
np = n2i = Ce−βEg ,
gdzie
C
jest staª¡ dodatni¡. Zgodnie z (64)
ni = nc eβ(µi −Ec ) ,
gdzie
µi
(69)
(70)
jest potencjaªem chemicznym elektronów w niezdegenerowanym póª-
przewodniku samoistnym.
14
13
Póªprzewodnik domieszkowany
Zakªadamy, »e w póªprzewodniku istniej¡ domieszki donorowe o koncentracji
ND
i domieszki akceptorowe o koncentracji
NA .
W niezdegenerowanym póª-
przewodniku domieszkowanym koncentracj¦ elektronów w pasmie przewodnictwa równie» mo»na wyrazi¢ w postaci (64). Mo»emy zatem napisa¢
n = nc eβ(µ−Ec ) ,
gdzie
(71)
µ jest teraz potencjaªem chemicznym elektronów w pasmie przewodnictwa
póªprzewodnika domieszkowanego.
Z równania (71) otrzymujemy
µ = Ec + kB T ln
n
.
nc
(72)
Natomiast dla póªprzewodnika samoistnego zªo»onego z tego samego materiaªu
co póªprzewodnik domieszkowany otrzymujemy na podstawie (70)
µi = Ec + kB T ln
We wzorach (72) i (73) energia
Ec
zatem
µ − kB T ln
ni
.
nc
(73)
dna pasma przewodnictwa jest taka sama, a
n
ni
= µi − kB T ln
.
nc
nc
(74)
Ostatecznie otrzymujemy
µ = µi + kB T ln
n
.
ni
(75)
Wzór (75) pozwala wyznaczy¢ potencjaª chemiczny niezdegenerowanego póª-
T . Ponadto µ zale»y od
µi = µi (nc (me )) oraz od koncentracji
n = n(ND , NA ).
przewodnika domieszkowanego w funkcji temperatury
masy pasmowej elektronu
me ,
poniewa»
donorów i akceptorów, poniewa»
14
Póªprzewodniki typu
n
i
p
Zakªadamy, »e w przerwie energetycznej póªprzewodnika domieszkowanego wyst¦puje tylko jeden poziom akceptorowy
rów wynosi
NA )
donorów wynosi
Deniujemy
κ = 1,
Je»eli
κ < 1,
ED
(przy czym koncentracja
stopie« kompensacji jako
NA
.
ND
(76)
to mówimy, »e póªprzewodnik jest
tyce w póªprzewodniku skompensowanym
typu n.
(przy czym koncentracja akcepto-
ND ).
κ=
Je»eli
EA
i tylko jeden poziom donorowy
czyli
Je»eli natomiast
ND > NA ,
κ > 1,
wodnikiem typu p.
czyli
skompensowany.
κ ' 1.
to mamy do czynienia z
NA > N D ,
15
W prak-
póªprzewodnikiem
to mamy do czynienia z
póªprze-
15
Stany ªadunkowe domieszek
Pojedyncze donory i akceptory mog¡ wyst¦powa¢ w nast¦puj¡cych stanach ªadunkowych:
• D0
• D+
= oboj¦tny elektrycznie stan donorowy (obsadzony przez elektron)
= dodatnio naªadowany stan donorowy (nieobsadzone przez elektron
centrum donorowe)
• A0
= oboj¦tny elektrycznie stan akceptorowy (obsadzony przez dziur¦,
czyli nieobsadzony przez elektron)
• A−
= ujemnie naªadowany stan akceptorowy (centrum akceptorowe obsa-
dzone przez elektron, czyli nieobsadzone przez dziur¦)
Ponadto w póªprzewodnikach mog¡ si¦ tworzy¢ podwójnie naªadowane cen-
D− , czyli pojedyncze centrum donorowe wi¡»¡ce dwa elektrony (analog
H− ), i A+ (pojedyncze centrum akceptorowe wi¡»¡ce dwie dziury).
tra, np.
jonu
Przypadek T = 0
Póªprzewodnik typu n
W póªprzewodniku typu
n
zachodzi nierówno±¢
ND > NA .
W tym przy-
padku wyst¦puje nast¦puj¡ce obsadzenie przez elektrony stanów domieszkowych:
wszystkie stany akceptorowe s¡ obsadzone przez przez elektrony, czyli s¡ to
stany
A− ,
natomiast równa im liczba stanów donorowych jest przez elektrony
nieobsadzona, czyli s¡ to stany
D+
o koncentracji
ND + = NA .
Elektrony z tych stanów donorowych zapeªniaj¡ stany akceptorowe. Pozostaªe donory s¡ elektrycznie neutralne i tworz¡ stany
D0
o koncentracji
ND0 = ND − NA .
Donory w stanach
D0
(77)
mog¡ dostarcza¢ elektrony do pasma przewodnictwa,
np. wskutek wzbudze« polem elektrycznym. Zatem w póªprzewodniku typu
b¦dzie dominowaª pr¡d elektronowy.
wymi no±nikami ªadunku.
Mówimy, »e elektrony s¡
n
wi¦kszo±cio-
W tym przypadku zachodz¡ równo±ci
µ = µ0 = EF0 = ED ,
czyli quasi-poziom Fermiego zrównuje si¦ z poziomem donorowym
Póªprzewodnik typu p
16
(78)
ED .
W póªprzewodniku typu
p N A > ND ,
co prowadzi do nast¦puj¡cego obsa-
dzenia przez elektrony stanów domieszkowych:
wszystkie stany donorowe s¡ nieobsadzone przez elektrony tworz¡c stany
D+ ,
natomiast równa im liczba stanów akceptorowych jest obsadzona przez
elektrony tworz¡c stany
A−
o koncentracji
NA− = ND .
Pozostaªe akceptory s¡ elektrycznie neutralne tworz¡c stany
A0
o koncen-
tracji
NA 0 = NA − ND .
Akceptory w stanach
A0
(79)
mog¡ przyjmowa¢ elektrony z pasma walencyjnego,
co prowadzi do powstawania dziur w tym pasmie.
Tak wi¦c w póªprzewodniku typu
p
dominuje
±ciowymi no±nikami ªadunku s¡ dziury).
pr¡d dziurowy (wi¦kszo-
W tym przypadku zachodz¡ równo±ci
µ = µ0 = EF0 = EA ,
(80)
czyli quasi-poziom Fermiego zrównuje si¦ z poziomem akceptorowym
EA .
Przypadek T > 0
W odró»nieniu od przypadku
T = 0
w temperaturze
T > 0
dla ka»dego
typu póªprzewodnika domieszkowanego koncentracje zjonizowanych akceptorów
(NA− ) i donorów (ND + ) na ogóª si¦ ró»ni¡, czyli
NA− 6= ND+ .
(81)
Poniewa» jednak caªy póªprzewodnik jest elektrycznie oboj¦tny, mo»emy
sformuªowa¢
warunek neutralno±ci elektrycznej w postaci
(n + NA− )(−e) + (p + ND+ )(+e) = 0 ,
gdzie
e>0
(82)
jest ªadunkiem elementarnym.
Otrzymujemy st¡d u»yteczn¡ posta¢ warunku neutralno±ci elektrycznej
n + NA− = p + ND+ .
(83)
Póªprzewodnik typu n w temperaturze T > 0
Wi¦kszo±ciowymi no±nikami ªadunku s¡ elektrony pochodz¡ce ze stanów donorowych
D0 ,
które ulegªy jonizacji termicznej. Dla póªprzewodnika niezdege-
nerowanego zachodzi
n = nc e−β(Ec −µ) .
(84)
Ponadto w niskich temperaturach mo»na przyj¡¢, »e
µ ' ED .
17
(85)
Deniujemy odlegªo±¢ energetyczn¡ poziomu donorowego od dna pasma przewodnictwa jako
def
∆ED = Ec − ED .
Zgodnie z (85) mo»na t¦ wielko±¢ przybli»y¢
przez
∆ED ' Ec − µ .
(86)
n ' nc e−∆ED /(kB T ) .
(87)
Zatem
Poniewa»
∆ED > 0, a zatem wªasno±¢ (87) oznacza, »e koncentracja elektronów
w pasmie przewodnictwa ro±nie wraz ze wzrostem temperatury.
Póªprzewodnik typu p w temperaturze T > 0
W tym przypadku wi¦kszo±ciowymi no±nikami ªadunku s¡ dziury, które powstaj¡ wskutek wzbudze« termicznych elektronów z pasma walencyjnego do
stanów akceptorowych
A0 .
Wytwarzane s¡ przy tych wzbudzeniach centra
A− .
Przyjmujemy, »e w niskich temperaturach
µ ' EA
(88)
p ' pv e−∆EA /(kB T ) ,
(89)
oraz
gdzie odlegªo±¢ energetyczn¡ poziomu akceptorowego od wierzchoªka pasma walencyjnego
def
∆EA = EA − Ev
∆EA ' µ − Ev .
∆EA > 0, wªasno±¢ (89) pokazuje, »e koncentracja dziur w pasmie
przybli»yli±my nast¦puj¡co:
Poniewa»
(90)
walencyjnym ro±nie wraz ze wzrostem temperatury.
18