Bilans energetyczny i równanie ruchu układów o jednym

Bilans energetyczny i równanie ruchu układów o jednym dynamicznym stopniu swobody
Przykład 1
Korzystając z metody bilansu energetycznego wyznaczyć równanie ruchu układu przedstawionego na rysunku 1.
Jako współrzędną przyjąć możliwe przesunięcie punktu A.
Dane: h, μ, k, c, P0, k1=3k, k2=6k, k3=2k, m=2μh.
k1
k2
P0sin pt
A
h
k3
µ
h
µ
c
h
m
2h
Rys.1
Rozwiązanie:
Układ stanowią dwie tarcze (pręty masowe) połączone jedną więzią sztywną oraz więziami sprężystymi
i tłumiącą. Chwilowe środki obrotu każdej z tarcz względem ostoi znajdują się odpowiednio w przegubach
podporowych. Zatem możliwe przesunięcie punktu A jest w kierunku poziomym. Przyjmując współrzędną q
w punkcie A otrzymamy plan przemieszczeń rzeczywistych jak na rysunku 2.
k1
k2
E
P 0sin pt
2q
A
q
h
h
k3
µ
µ
2
3
q
h
B
h
F
c
H
D
2
3
1
3
q
h
Cm
h
G
2h
2h
Rys.2
q
Wartości przemieszczeń poszczególnych charakterystycznych punktów układu wynoszą
=
=
=
=
=
=3 =2
Współczynniki równania ruchu
̈+
̇+
=
wyznaczymy korzystając z metody bilansu energetycznego:
energia kinetyczna:
energia potencjalna:
=
=
moc tłumienia:
̇
=
praca sił zewnętrznych :
̇
=
Siła bezwładności – energia kinetyczna

Masa punktowa
=
( ̇ ) = 2 ℎ
̇
=
ℎ
̇
 Pręty masowe
Biegunowy moment bezwładności względem środka obrotu na końcu pręta obliczamy ze wzoru
(
=
=
Kąt obrotu tarczy AD
=
)
=9 ℎ
=
( ̇ ) = 9 ℎ
Kąt obrotu tarczy EH
=
=
̇
( ̇ ) = 9 ℎ
=
̇
= 4 ℎ ̇
Całkowita energia kinetyczna układu wynosi:
=
+
+
=
ℎ ̇ +
=
Reakcja tłumika (opór ruchu) – moc tłumienia
Zmiana długości więzi tłumiącej wynosi
=| − |=
−
=
Moc tłumienia
Φ=
=
̇
=
̇
=
ℎ ̇
̇
ℎ ̇ + 4 ℎ ̇ =
5
ℎ
̇
Reakcja sprężysta – energia potencjalna
 Więzi 1 i 2
Sztywność wypadkowa więzi 1 i 2 (połączenie szeregowe)
= + = + =
=2
Zmiana długości więzi sprężystej 12
= | − | = |2 − | =
Energia potencjalna
E =
= 2
 Więź 3
Zmiana długości więzi sprężystej 3 – by ją wyznaczyć, musimy obliczyć składowe przemieszczeń punktów E i B
zrzutowane na kierunek więzi. Więź nachylona jest pod kątem α, z geometrii obliczamy, że:
=
=
=|
2
2q
√5
cos
=2
−
|=
cos
2
=
4
uE3
√5 √5
2 2
4
=
=
3 √5 3√5
Energia potencjalna
E =
−
√
=
√
= 2
2
3
√
=
√
=E
= ,
+E = 2
+
=
= (4,84 )
Zewnętrzne siły czynne – praca sił zewnętrznych
Praca sił zewnętrznych – zwroty przemieszczenia i siły są zgodne, więc praca jest dodatnia
=
=
=
Współczynniki równania ruchu
̈+
̇+
Wynoszą odpowiednio
=
=
= ,
=
=
q
uB3
Całkowita energia potencjalna układu wynosi
E
q
h
=