nowa siła

Prawa ruchu: dynamika
Fizyka I (B+C)
Wykład XII:
• Siły spreżyste
˛
• Opory ruchu
⇒ Tarcie
⇒ Lepkość
⇒ Ruch w ośrodku
Siła spreżysta
˛
Prawo Hooke’a
Opisuje zależność siły spreżystej
˛
od
odkształcenia ciała:
Prawo Hooke’a jest prawem empirycznym
Jest słuszne tylko dla małych napreże
˛ ń.
granica wytrzymałości
L
S
↓
N
m2
N
108 m
2
Cu: E = 1.2 · 1011
F
P r = 1.9 ·
P r ∼ 10−3 E
∆L
∆L
F = ES
L
E - moduł Younga [N/m2 ]
napreżenie
˛
odpowiadajace
˛ dwukrotnemu wydłużeniu
A.F.Żarnecki
granica proporcjonalności
Wykład XII
↑ (P r)
1
Siła spreżysta
˛
Relaksacja
Prawo Hooke’a odnosi sie˛ do sytuacji statycznej.
Histereza
Od momentu przyłożenia siły do osiagni
˛ ecia
˛
odpowiedniego odkształcenie mija skończony
czas - czas relaksacji
Przyłożenie dużej siły, nawet na krótki
czas może powodować trwałe
odkształcenie
podobnie gdy siła przestanie działać
A.F.Żarnecki
⇒ trzeba przyłożyć siłe˛
przeciwnie skierowana˛
Wykład XII
2
Tarcie
Tarcie kinetyczne
Siła pojawiajaca
˛ sie˛ miedzy
˛
dwoma powierzchniami
poruszajacymi
˛
sie˛ wzgledem
˛
siebie, dociskanymi siła˛ N.
Ścisły opis sił tarcia jest bardzo skomplikowany.
R
T
⇒ Prawo empiryczne:
v
T~ = −µk ~iv N
~iv = ~v
v
Siła tarcia kinetycznego:
N
• jest proporcjonalna do ⊥ siły dociskajacej
˛
• nie zależy od powierzchni zetkniecia
˛
• nie zależy od predkości
˛
Prawo empiryczne ⇒ przybliżone !!!
A.F.Żarnecki
Wykład XII
3
Tarcie
Obraz mikroskopowy
Tarcie wywołane jest przez oddziaływanie
elektromagnetyczne czastek
˛
stykajacych
˛
sie˛ ciał.
Powierzchnie nigdy nie sa˛ idealnie równe
na poziomie mikroskopowym czastki
˛
jednego ciała “blokuja˛ droge”
˛ czastkom
˛
drugiego ciała
⇒ musza˛ zostać “odepchniete”
˛
wypolerowana miedź ⇒
A.F.Żarnecki
Wykład XII
4
Tarcie
Zależność od nacisku
Powierzchnia rzeczywistego (mikroskopowego)
styku ciał jest w normalnych warunkach wiele
rzedów
˛
wielkości mniejsza niż powierzchnia
geometryczna:
siła
dociskajaca
˛
1 N/cm2
A.F.Żarnecki
ułamek
powierzchni
0.00001
2.5 N/cm2
0.000025
50 N/cm2
0.0005
250 N/cm2
0.0025
⇒ efektywna powierzchnia styku
proporcjonalna do nacisku
⇒ liczba oddziaływań na poziomie
atomowym proporcjonalna do nacisku
Wykład XII
5
Tarcie
Odstepstwa
˛
od praw empirycznych
Przy dużych predkościach
˛
może sie˛
pojawić zależność µk od predkości
˛
v:
Przy dużych siłach dociskajacych
˛
moga˛ sie˛
pojawić odstepstwa
˛
od zależnosci liniowej:
stal i miedź
miedź i miedż
Przy dużym nasisku zniszczeniu ulega
warstwa tlenków na powierzchni miedzi...
Przy bardzo dużych predkościach
˛
miedź
ulega chwilowemy stopieniu...
A.F.Żarnecki
Wykład XII
6
Tarcie
Ścieranie
Smarowanie
Na poziomie mikroskopowym tarcie
prowadzi trwałych zmian w stykajacych
˛
sie˛ powierzchniach.
Tarcie zmniejszamy wprowadzajac
˛ smar
miedzy
˛
poruszajace
˛ sie˛ powierzchnie.
Fragmenty miedzi przyłaczone
˛
do powierzchni stali:
Powierzchnie nie stykaja˛ sie˛ ⇒ brak tarcia
⇒ pojawia sie˛ jednak nowa siła oporu
zwiazana
˛
z lepkościa˛
A.F.Żarnecki
Wykład XII
7
Tarcie
Tarcie statyczne
Siła działajaca
˛ miedzy
˛
dwoma powierzchniami
nieruchomymi wzgledem
˛
siebie, dociskanymi siła˛ N.
T
N
R
Maksymalna siła tarcia statycznego TSmax jest
równa najmniejszej sile F jaka˛ należy przyłożyć do
ciała, aby ruszyć je z miejsca.
Prawo empiryczne:
mg
T~Smax
= −µs ~iF N
~
F
~iF =
F
Ciało pozostaje w równowadze
dzieki
˛ działaniu tarcia statycznego
A.F.Żarnecki
Wykład XII
8
Tarcie
Tarcie statyczne
~ jest mała, tarcie statyczne
Póki przyłożona siła F
utrzymuje ciało w spoczynku:
~
T~s = −F
⇒ siła tarcia rośnie proporcjonalnie do przyłożonej siły.
Gdy przyłożona siła przekroczy wartość TSmax = µs · N
ciało zaczyna sie˛ poruszać ⇒ tarcie kinetyczne
Ts
Tarcie kinetyczne naogół słabsze od spoczynkowego: µk < µs
A.F.Żarnecki
Wykład XII
9
Tarcie
Współczynniki tarcia
Przykładowe współczynniki
dla wybranych materiałów:
Hamowanie samochodu:
ważne aby koła nie zaczeły
˛ sie˛ ślizgać
• poślizg
⇒ µk
• dobry kierowca lub ABS ⇒ µs
zysk ∼40% na drodze hamowania
A.F.Żarnecki
Wykład XII
10
Tarcie
Tarcie toczne
Poza tarciem statycznym i kinetycznym
(poślizgowym) mamy tarcie toczne:
N
~
~
Tt = −µt iF
r
Współczynnik tarcia tocznego µt
jest zwykle bardzo mały
~
N
Toczace
˛ sie˛ ciało odkształca zawsze
powierzchnie˛ po której sie˛ toczy.
A.F.Żarnecki
Przykładowo:
• drewno + drewno ⇒ µt= 0,0005 m
• stal hartowana + stal ⇒ µt= 0,00001 m
(wymiar długości!)
Wykład XII
11
Lepkość
Ciało poruszajace
˛ sie˛
po powierzchni cieczy:
“tarcie wewnetrzne”
˛
pomiedzy
˛
warstwami cieczy
poruszajacymi
˛
sie˛ z różnymi predko
˛
ściami.
Formuła empiryczna:
~L = −~iV η v S
F
d
Warstwa cieczy przylegajaca
˛
do
ciała porusza sie˛ wraz z nim.
gdzie: v - predkość
˛
ciała
S - powierzchnia styku z ciecza˛
d - głebokość
˛
naczynia
η - współczynnik lepkości
Warstwa cieczy przylegajaca
˛
do
dna spoczywa.
A.F.Żarnecki
Wykład XII
12
Lepkość
Typowe wartości:
Lepkość cieczy maleje z temperatura˛
Lepkość gazów rośnie z temperatura˛
eter
0.0002
N s/m2
woda
0.001
N s/m2
gliceryna
1.5
N s/m2
miód
500.
N s/m2
wodór
0.000009 N s/m2
powietrze
0.000018 N s/m2
tlen
0.000021 N s/m2
A.F.Żarnecki
ciecz
gaz
Wykład XII
13
Ruch w ośrodku
Opór czołowy
Siły jakie działaja˛ na ciało poruszajace
˛
sie˛ w ośrodku możemy podzielić na:
Re =
~N ⊥ ~v
• siłe˛ nośna˛ F
C 2
~
~
F◦ = −iv ρv S
2
gdzie: v - predkość
˛
ciała
S - powierzchnia poprzeczna
ρ - gestość
˛
cieczy
C -bezwymiarowy współczynnik zależny od
kształtu ciała, jego orientacji wzgledem
˛
~v
oraz bezwymiarowej kombinacji parametrów:
~◦ ↑↓ ~v
• siłe˛ oporu czołowego F
Z analizy wymiarowej:
vlρ
η
Re - liczba Reynoldsa, l - wymiar poprzeczny
O.Reynolds (1883): skalowanie przepływów cieczy
A.F.Żarnecki
Wykład XII
14
Ruch w ośrodku
Opór czołowy
Dla ciała kulistego i Re 1
istnieje ścisłe rozwiazanie
˛
problemu:
(G.Stokes 1851)
C =
Wyniki pomiarów współczynnika C dla kuli:
24
Re
~◦ = −6πηr ~v
F
siła oporu proporcjonalna do v
24
C ≈ Re
C ≈ Re40.3 ↑
↑ C ≈ 0.45
W obszarze dużych wartości Re
C ≈
F◦ ∼ v 2
A.F.Żarnecki
Wykład XII
15
Ruch w ośrodku
Predkość
˛
graniczna
Równanie ruchu kuli spadajacej
˛ w cieczy (Re 1)
m~a = m~g − mp~g − 6πηr~v
Rozwiazanie
˛
(ruch w pionie):
6πηr
v(t) = vgr + (v0 − vgr ) exp −
t
m
vgr - predkość
˛
graniczna
A.F.Żarnecki
Wykład XII
16
Ruch w ośrodku
Predkość
˛
graniczna
Dla kuli spadajacej
˛ w cieczy (Re 1)
Zależność od kształtu
Kula:
2 r 2g(ρ − ρp)
vgr =
9
η
~◦ = −6π ηr ~v
F
≈ −18.8 ηr ~v
Dysk (⊥ ~v ):
~◦ = −16 ηr ~v
F
Dysk (|| ~v ):
32
~
F◦ = −
ηr ~v
3
A.F.Żarnecki
Wykład XII
17
Ruch w ośrodku
Prawo Bernouliego
Lepkość nie jest jedynym źródłem sił działajacych
˛
na ciało w ośrodku.
ρv 2
Prawo Bernouliego: ρgh +
+ p = const
2
Ciśnienie cieczy (nacisk na jednostk˛e powierzchni ciała) jest mniejsze
w obszarze wiekszych predkości
˛
opływania
⇒ ciało jest “wciagane”
˛
w obszar wiekszych predko
˛
ści
A.F.Żarnecki
Wykład XII
18
Ruch w ośrodku
Zjawisko Magnusa
Walec wirujacy
˛ w przepływajacej
˛ poprzecznie
do osi obrotu cieczy lub gazie.
zgodne kierunki predkości:
˛
⇒ predkość
˛
przepływu wzrasta
⇒ ciśnienie maleje
przeciwne kierunki predkości:
˛
⇒ predkość
˛
przepływu maleje
⇒ ciśnienie wzrasta
~N ⊥ ~v
⇒ wypadkowa siła nośna F
A.F.Żarnecki
Wykład XII
19