Format redagowania referatów na III Sympozjum Sterowanie i

Sterowanie niekonwencjonalnym napędem do dzwonów
przy istnieniu niepewności na wejściu układu
Przemysław Orłowski
Politechnika Szczecińska
Instytut Automatyki Przemysłowej
ul. Sikorskiego 37, 70-313 Szczecin
Streszczenie – W pracy przedstawiono rezultaty analizy układu sterowania
niepewnym napędem do dzwonów. Parametrem niepewnym jest siła ciągu silnika.
Określono kryteria oraz dokonano syntezy optymalnego sterowania. Rozważania
teoretyczne zilustrowano wynikami badań symulacyjnych oraz opisem
mikroprocesorowego układu sterowania zaprojektowanym, zbudowanym i
sprawdzonym przez autora.
I WPROWADZENIE
Niekonwencjonalne zastosowania napędu elektrycznego wymagają opracowania
specjalnych systemów sterowania. Od układów takich często wymaga się wysokiej
odporności na niepewności występujące zarówno w strukturze samego układu jak
również na jego wejściu. Proces projektowania musi obejmować analizę strony fizycznej
problemu, wymagania i preferencje przyszłego użytkownika oraz możliwości
konstrukcyjne.
II CHARAKTERYSTYKA OPTYMALNEGO UKŁADU NAPĘDOWEGO
Optymalny układ napędowy powinien:
- dostarczać momentu napędowego o odpowiednio dużej dynamice, zapewniając
szybki rozruch i stabilną pracę w warunkach ustalonych
- działać cicho, nie wprowadzać dodatkowych szumów lub hałasu
- wygląd zewnętrzny powinien harmonizować z wyglądem dzwonnicy i dzwonu,
napęd nie powinien „zwracać na siebie uwagi”
- w razie awarii napędu powinna istnieć możliwość pracy ręcznej
- napęd powinien być niezawodny
- ekonomiczny – zarówno pod kątem kosztu inwestycji początkowej, jak również
późniejszych kosztów eksploatacji
- uniwersalny – możliwy do zastosowania w różnych warunkach np. na statku i w
kościele
- prosty w instalacji i obsłudze
III MODEL MATEMATYCZNY UKŁADU NAPĘDOWEGO
Przedstawiony poniżej model matematyczny został wyprowadzony z równań ruchu
Newtona a zapisany został w 4-wymiarowej przestrzeni zmiennych stanu.
a)
dla |α-αs|<γ
−m ⋅ g ⋅ l
β − | α | l ⋅ cos(α )
dω −bt
=
⋅ω +
⋅ sin(α ) + FSIL (t , ω ) ⋅
⋅
β
J
dt
J
J
dα
=ω
dt
−ms ⋅ g ⋅ l s
dω s −bts
=
⋅ω s +
⋅ sin(α s )
dt
Js
Js
dα s
= ωs
dt
Warunki początkowe są zerowe.
b) gdy |α-αs|=γ
ω ⋅ (1 − j s ) + 2 ⋅ j s ⋅ ω s1
ω2 = 1
js + 1
ω2 =
−ω s1 ⋅ (1 − j s ) + 2 ⋅ ω1
js + 1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
gdzie:
ω, ωs - prędkość kielicha, prędkość serca
α, αs - kąt wychylenia kielicha (αs - serca) z położenia równowagi
m, ms – masa kielicha i części ruchomej ramy, oraz masa serca
g – przyspieszenie ziemskie
l, ls – odległość środka ciężkości od osi obrotu dla kielicha oraz serca
β - kąt rozwarcia części wtórnej ( jednostronny )
γ - kąt „bicia” dzwonu
J, Js – momenty bezwładności układu obrotowego kielicha (Js – serca) dzwonu
bt , bts – współczynniki momentu tarcia proporcjonalnego do prędkości
r – ramię siły
FSIL – siła ciągu SIL
js=Js/J
Równania stanu są równaniami nieliniowymi o zmiennej strukturze. W dalszej części
zostały rozwiązane metodami numerycznymi, warto jednakże zauważyć, iż po
dokonaniu linearyzacji i pominięciu energii zderzeń można otrzymać równania liniowe
dla układu oscylacyjnego o okresie T równym:
J
T = 2 ⋅π ⋅
(7)
m⋅ g ⋅l
Współczynnik β wprowadzony we wzorze (1) uwzględnia zmniejszanie się siły ciągu F
przy częściowym wyjściu części wtórnej SIL z obszaru działania pola induktora przy
zmianach kąta α, widoczne zwłaszcza przy dużych wychyleniach dzwonu.
Równania stanowiące model matematyczny silnika indukcyjnego liniowego,
umożliwiające dokonywanie obliczeń i symulacji dla stanów przejściowych zostały
szczegółowo omówione w pracach [1,4]. Ze względu na fakt iż równania te są
nieliniowe nie ma możliwości otrzymania rozwiązania w postaci analitycznej. Model
układu napędowego jest złożony, gdyż siła ciągu zależy nie tylko od poślizgu, ale
również od położenia części wtórnej. Zależności nieliniowe, związane ze zjawiskami
krańcowymi dodatkowo utrudniają analizę. W referacie przyjęto, że siła ciągu SIL jest
parametrem niepewnym, mogącym się zmieniać w szerokich granicach (kilkukrotnie).
Jest to uzasadnione tym, że konkretne konstrukcje napędu mogą się różnić pod wieloma
względami, tj.: różna będzie moc zainstalowanych silników, różne będą długości części
wtórnej silnika, niejednakowa może być szerokość szczeliny powietrznej, oraz długość
ramienia siły. Sterownik powinien natomiast dostosowywać się do istniejących
warunków.
IV DOBÓR OPTYMALNEGO STEROWANIA
Przy doborze optymalnego sterowania przyjęto następujące kryteria:
- niski koszt jednostkowy (w szerokim horyzoncie czasowym)
- wysoka niezawodność
- możliwość pracy z napędami różnych typów i mocy
Najważniejszym elementem toru pomiarowego jest czujnik. Autor, ze względu na niski
koszt i łatwość montażu w układzie prototypowym zaprojektował i wykonał czujnik
prędkości maksymalnej, przetwarzający prędkość na czas w momencie występowania
minimum energii potencjalnej (maksimum energii kinetycznej). Zasada działania
czujnika opiera się na tym, że w układzie wahadła maksymalna energia kinetyczna jest
równa maksymalnej energii potencjalnej. Dokonując przekształceń matematycznych
można otrzymać zależność maksymalnej prędkości kątowej w funkcji amplitudy
wychylenia. Zaproponowana konstrukcja czujnika zamienia chwilową prędkość kątową
na czas inwersji wyjścia czujnika. Funkcja przetwarzania dana jest wzorem:
∆t =
∆α
1 − cosα max
⋅
J
2⋅m⋅ g ⋅l
(8)
gdzie:
∆t – czas inwersji stanu wyjścia czujnika,
∆α – stała konstrukcyjna czujnika,
αmax – maksymalna amplituda wychylenia dzwonu.
Jako urządzenie sterujące zastosowano mikrokontroler. Wszystkie funkcje są
realizowane przez program zawarty w jego pamięci. Załączanie i wyłączanie może się
odbywać automatycznie lub ręcznie. Algorytmem zapewniającym stabilizację
wychylenia jest regulator o zmiennej strukturze. Wielkością stabilizowaną jest czas
inwersji stanu wyjścia czujnika (∆t). Wielkością sterującą jest czas załączenia silnika w
kolejnym cyklu (półokresie).
MODEL MATEMATYCZNY UKŁADU STEROWANIA
Regulator jest realizowany jako układ dyskretny, zatem jego opisu możemy dokonać w
dziedzinie transformaty Z. Okres próbkowania wynosi:
T
Tp =
(9)
2
gdzie:
T – okres wahań dzwonu
Czas załączenia silnika w cyklu pracy jest określony następująco:
a) dla ε≥εz
T
(10)
t z ( z) =
2
b) dla ε<εz
t z ( z ) = k ⋅ z −1 ⋅ ε ( z )
(11)
gdzie:
ε(z)=∆t(z)-tu – błąd regulacji
tz(z) – czas załączenia silnika w kolejnym cyklu pracy
k – wzmocnienie regulatora
εz – wartość progowa zmiany struktury
V STEROWNIK MIKROPROCESOROWY
Sterownik ma za zadanie stabilizację wychyleń dzwonu na zadanym poziomie.
Regulacja odbywa się poprzez skracanie lub wydłużanie czasu załączenia silnika w
cyklu. Pomiar wychylenia dokonywany jest pośrednio przez pomiar czasu przelotu przez
położenie neutralne. Dokładnie mierzony jest czas przesłonięcia szczeliny transoptora
przez maskę o kącie rozwarcia 2°, której oś jest przymocowana do osi głównej wahadła
z dzwonem. Regulacja czasu załączenia silnika realizowana jest przez cyfrowy regulator
o zmiennej strukturze. Załączanie odbywa się za pośrednictwem elementów
półprzewodnikowych i jest dokonywane w obydwu kierunkach.
Rys.1
Poglądowy schemat mikroprocesorowego układu sterowania.
Układ sterowania wykonano w oparciu o 8 bitowy mikrokontroler 87C51. Algorytm
regulatora o zmiennej strukturze został wybrany ze względu na istnienie silnych
nieliniowości, zarówno w samym czujniku, jak i w elemencie wykonawczym SIL.
Algorytm ten umożliwia szybkie osiągnięcie zadanej wartości wychylenia w fazie
rozruchu, przy małym przeregulowaniu. Stabilizację w tzw. stanie ustalonego
dzwonienia realizuje programowy regulator proporcjonalny. Zasadę działania sterownika
przedstawiono poglądowo na rys.1. Układ sterowania pracuje z czasem dyskretnym.
Najważniejsze cechy zbudowanego układu to : możliwość załączania dzwonu o
zaprogramowanych godzinach, pełne wykorzystanie mocy silnika podczas rozruchu,
regulator zapewniający dobrą stabilizację wychylenia, tani i prosty czujnik, wyświetlacz
znakowy LCD z zestawem komunikatów w języku polskim, prosta obsługa.
VI BADANIA SYMULACYJNE
Wybrane rezultaty badań symulacyjnych przedstawiono na rys.2 i rys.3. Do symulacji
zostały przyjęte następujące wartości parametrów: m=20kg, l=0.055m, T=1.2s, b=0.04,
J=0.4kg⋅m2, γ=43°, ms=0.7kg, ls=0.11m, Ts=0.6s, bs=0.4, Js=0.007kg⋅m2, vs=5m/s,
skr=0.2, początkowa siła ciągu (ustalona) – przyjęto jako parametr niepewny, zmienny w
zakresie Fpocz∈(5÷100)N, wzmocnienie regulatora k∈(64÷16320), zadany kąt
wychylenia αzad∈(40÷70)°, wartość progowa zmiany struktury wzs∈(30÷70)% wartości
zadanej, maksymalny czas pracy silnika w cyklu 90%, czas symulacji Tsymul=10, 20s,
ilość kroków n=20000
Przebiegi wychylenia dla mikroprocesorowego uk ładu sterowania
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
Rys.2
2
4
6
8
10
t [s]
12
14
16
18
Przebiegi wychylenia dzwonu α[deg] w funkcji czasu t (linia ciągła), wychylenie serca
αs[deg] (linia przerywana), uderzenia zaznaczono gwiazdkami. Parametry symulacji:
Fpocz=100N, k=60, αzad=120°, β=74°, r=0.12m, szum 0.5%.
Układ mikroprocesorowy opracowany przez autorów załączany w dwóch kierunkach
zapewnia szybkie osiągnięcie wartości ustalonej (po 3 cyklach) oraz gwarantuje takie
same wartości wychylenia w obu kierunkach.
P rzebiegi wychylenia dla mikroproc es orowego układu sterowania
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
Rys.3
0
2
4
6
8
10
t [s]
12
14
16
18
20
Przebiegi wychylenia dzwonu α[deg] w funkcji czasu t (linia ciągła), wychylenie serca
αs[deg] (linia przerywana), uderzenia zaznaczono gwiazdkami. Parametry symulacji:
Fpocz=5N, k=100, αzad=120°, β=74°, r=0.16m, szum 5%.
VII WNIOSKI
Poddanie układu napędowego do dzwonów symulacji komputerowej pozwoliło poczynić
następujące obserwacje:
1. Silnik. Wartość momentu siły pochodzącego z SIL nie jest parametrem krytycznym.
Układ pracuje poprawnie przy zmianach początkowej siły ciągu w zakresie
Fpocz∈(5÷100)N dla ramienia siły r=0.16m. Poniżej 5N energia dostarczana w cyklu
pracy nie pokrywa strat (tarcie, uderzenia). Powyżej 100N siły ciągu konieczne jest
ograniczenie siły ciągu podczas rozruchu, gdyż już podczas pierwszego cyklu pracy
może nastąpić obrót dookoła osi, amplituda wychylenia ma tendencje do oscylacji.
Stosowanie mocno przewymiarowanych mocowo silników jest jednak
nieuzasadnione ekonomicznie.
2. Sterowanie. Ze względu na występowanie silnych nieliniowości, dla poprawnej
pracy sterownika w stanie ustalonym konieczne jest sterowanie z dużym statycznym
błędem regulacji (wartość zadana αzad musi być znacznie większa 2÷3 razy od
żądanej wartości wychylenia). Powoduje to zmniejszenie wrażliwości sterownika na
chwilowe zmiany prędkości maksymalnej, a tym samym zapewnia stabilną pracę.
Wartość wzmocnienia zależy głównie od pochodnych parametrów mechanicznych
układu (czas przelotu czujnika, okres wahań), a w mniejszym stopniu od siły ciągu
SIL. Optymalna jej wartość dla badanego układu leżała w zakresie k∈(40÷100).
3. Układ mechaniczny. Optymalna wartość amplitudy wychylenia dzwonu, dla
przyjętych wartości parametrów leży w zakresie αmax∈(45÷60)°. Dla wartości
mniejszych nie wystąpi „bicie”, a dla większych pojawią się odbicia wielokrotne
(ok. 70° - dwukrotne, 90° - trzykrotne).
Badania eksperymentalne z fizycznym układem napędowym oraz „słuchowa” ocena
jego parametrów w pełni potwierdziły rezultaty badań symulacyjnych oraz skuteczność
zaproponowanego rozwiązania.
LITERATURA
[1] Gieras J., Silniki indukcyjne liniowe. WNT, Warszawa 1990.
[2] Orłowski P., Deskiewicz K. - Cyfrowe układy sterowania napędami liniowymi do
dzwonów Mat. 19 Międzynarodowego Sympozjum Studentów i Młodych
Pracowników Nauki w Zielonej Górze, 28-29.IV.1997, tom 2 (Elektrotechnika i
Elektronika), str.63-67
[3] Orłowski P., Kozak M. – Mikroprocesorowy sterownik niekonwencjonalnego
napędu z silnikiem indukcyjnym liniowym Mat. 23 Konferencji Koła Naukowego
Elektroników WAT w Warszawie, 17-18.XI.1998, dodatek, str.58-64
[4] Szymczak P., Kadłubski A. Specialnoe primenienie linejnych asychronnych
dvigatelej. Proc. Inter. Conf. on Unonventional Electromechanical and
Electrotechnical Systems, Sevastopol, Ukraine, July 10-15,1995, pp. 343-350
Non-Conventional Bell’s Drive Control with Uncertain Input
Abstract: In the paper solution of controller and sensor designed for linear induction motors
driven bells are presented. Mathematical models for mechanical system, drive, sensor and control
are given. Controller is microprocessor-based i.e. 87C51, which, as a controlling element. The
choice of feedback element has a significant influence on reliability and the overall cost of the
system. The developed algorithm and the program written ensure stabilisation of the bell
deflection independently of external conditions (e.g. voltage supply, drive force). Extensive results
of simulation tests and conclusions are given.