Zadania z konkursu matematycznego 2010/2011
Transkrypt
Zadania z konkursu matematycznego 2010/2011
ETAP I – ZADANIA DLA KLASY I Zadanie 1 Oblicz : . Zadanie 2. Po dwukrotnej obniżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa stanowi 64% ceny pierwotnej . O ile procent dokonano każdorazowo obniżki ceny towaru? Zadanie 3. Student musi zdać 31 egzaminów w ciągu 5 lat studiów. W każdym kolejnym roku liczba egzaminów jest większa niż w roku poprzednim. W piątym roku studiów liczba egzaminów jest 3 razy większa niż w pierwszym roku studiów. Ile egzaminów musi student zdać w czwartym roku studiów. Zadanie 4. Suma dwóch ułamków wynosi . Stosunek liczników tych ułamków wynosi 2 : 3, a mianowników 3 : 4. Wyznacz te ułamki. Zadanie 5. W koło wpisano kwadrat i na tym kole opisano trójkąt równoboczny. Suma długości boku trójkąta i boku kwadratu jest równa 12 cm. Oblicz promień koła. ETAP I – ZADANIA DLA KLASY II Zadanie 1. Wiadomo, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y zachodzi równość: wartość wyrażenia y x + y2 2 . x x2 + y2 = 4 . Oblicz 5 Zadanie 2. Koło i kwadrat mają równe pola. W dane koło wpisujemy kwadrat, a w dany kwadrat wpisujemy koło. Co jest większe: pole kwadratu wpisanego w koło, czy pole koła wpisanego w kwadrat? Zadanie 3. Wyobraźmy sobie, że ułożono wzdłuż równika Ziemi linę o długości 40070400 m. Załóżmy, że jej końce stykają się i że odstaje ona od powierzchni Ziemi wszędzie o jednakową odległość. Przyjmując, że długość równika wynosi 40070368m odpowiedz, czy mógłby przejść pod tą liną nie schylając się człowiek o wzroście 180 cm? Zadanie 4. W trójkącie równobocznym ABC poprowadzono wysokość BD i na przedłużeniu wysokości odłożono punkt K, tak że BK = AC. Punkt K połączono z punktami A i C. Wykaż, że suma kątów ABC i AKC równa jest 120 0 . Zadanie 5. Uzasadnij, że jeżeli żadna z liczb : n-1, n, n+1 gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną, nie jest podzielna przez 5 , to liczba n 2 + 1 jest podzielna przez 5. ETAP I – ZADANIA DLA KLASY III Zadanie 1. Dany jest ciąg geometryczny (an) o ilorazie q = 2 − 1 . Niech p = an+1 – an-1 dla n>1. Wyznacz wartość an w zależności od p. Zadanie 2. Krótsza podstawa trapezu ma długość 3 6 cm. Kąty przy tej podstawie mają miary 135 0 i 60 0 , a dłuższe ramię ma długość 13 cm. Oblicz pole tego trapezu. Zadanie 3. x− y y−x 7 3 3 Wyznacz największą wartość niewiadomej x, jeżeli − = i xy + y ≤ 9 . 12 4 4 Zadanie 4. Odległość między miejscowościami A i B wynosi 19km. Z miejscowości A do miejscowości B wyjechał kolarz z pewną stałą prędkością. W 15 minut po nim w tym samym kierunku wyjechał samochód i po 10 minutach dogonił kolarza. Samochód nie zatrzymując się pojechał dalej do miejscowości B , tam zawrócił i w drodze powrotnej , po upływie 50 minut od wyjechania z miejscowości A , spotkał ponownie kolarza. Wyznacz prędkości samochodu i kolarza. Zadanie 5. Przekątne i boki dowolnego trapezu wyznaczają osiem trójkątów. Wyszukaj wszystkie pary trójkątów o równych polach. Odpowiedź uzasadnij. ETAP II – ZADANIA DLA KLASY I Zadanie 1. Przy wypłacie kasjer pomylił się i zamiast groszy dał taką samą ilość złotych, a zamiast złotych dał taką samą ilość groszy. Gdy od wypłaconej kwoty odejmiemy 5 groszy to otrzymamy kwotę dokładnie dwa razy większą od tej, którą należało wypłacić. Jaką kwotę należało wypłacić? Zadanie 2. 1 x . Uprość wyrażenie : 1 x + −1 x Zadanie 3. Trzy pola styczne zewnętrznie, każde o promieniu 10cm, ograniczają „trójkąt”, którego „bokami” są łuki tych kół. Oblicz pole tego „trójkąta”z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku. x2 + Zadanie 4. Mamy 3 beczki. Jeśli napełnimy pustą drugą beczkę z pełnej pierwszej beczki, to w pierwszej pozostanie zawartości. Jeżeli napełnimy pustą trzecią beczkę z pełnej drugiej beczki , to w drugiej pozostanie zawartości. Jeżeli wreszcie napełnimy drugą i trzecią z pełnej pierwszej , to zostanie w niej 160 litrów. Oblicz pojemność każdej z tych beczek. Zadanie 5. Z punktu A leżącego na okręgu poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC. Średnica i cięciwa tworzą kąt 30 0 . Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu przecinającą przedłużenie średnicy w punkcie D. Uzasadnij, że trójkąt ADC jest równoramienny. ETAP II – ZADANIA DLA KLASY II Zadanie 1. Wykaż, że wielomian W(x) = (2x2 – 1 )2n + ( x2 + x- 1 )2n – 2 jest podzielny przez dwumian x2 – x dla każdej liczby całkowitej dodatniej n. Zadanie 2. Rozwiąż nierówność : x x2 − x−2 < 1. Zadanie 3. Na zawodach motocyklowych jeden z trzech startujących motocyklistów, mianowicie ten, który zajął drugie miejsce, jechał 15km na godzinę wolniej od zwycięscy, a o 3km szybciej od tego, który zajął trzecie miejsce. Wszystkie motocykle wystartowały jednocześnie, drugi przyjechał do mety 12 minut po pierwszym, a 3 minuty przed trzecim. Motocykle nie zatrzymywały się po drodze. Wyznacz : a) jaka była prędkość każdego motocykla? b) Jaka była długość trasy? c) Jak długo trwała jazda każdego motocykla? Zadanie 4. Kwadrat przecięto prostą tak, że dzieli ona obwód kwadratu w stosunku 9 : 7, a jeden z boków kwadratu w stosunku 7 : 1 i inny jego bok w stosunku 5 : 3. W jakim stosunku prosta ta dzieli pole kwadratu? Zadanie 5. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC = BC, wiadomo przy tym, że punkt D jest spodkiem wysokości trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C, punkt E jest środkiem boku BC i CD = DE. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny. ETAP II – ZADANIA DLA KLASY III Zadanie 1. Określ liczbę rozwiązań równania 2x( -x2 + 1 ) = 1 Zadanie 2. 3 Wyznacz największą wartość niewiadomej x , jeżeli 4 x− y 3 − 4 y−x = 7 i 12 xy + y ≤ 9 . Zadanie 3. W kwadracie odległości punktu wewnętrznego od trzech wierzchołków są odpowiednio równe : 2 5cm, 2 10cm oraz 4 5cm. Oblicz bok kwadratu . Podaj wszystkie możliwe rozwiązania. Zadanie 4. W kwadrat o boku a wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie o środkach leżących na przekątnej kwadratu. Wyznaczyć promienie tych okręgów , jeżeli ich obwody są w stosunku 2 : 1. Zadanie5. Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku . Na przekątnej AC równoległoboku obrano punkt O, który nie jest środkiem równoległoboku i poprowadzono przezeń proste równoległe do boków równoległoboku. Poprowadzone proste przecinają boki AB, BC, CD i DA odpowiednio w punktach : K, L, M, N. Udowodnij, że wśród powstałych wielokątów są dwa równoległoboki o równych polach. ETAP III – ZADANIA DLA KLASY I Zadanie 1. ( 5p ) Wyznacz zbiór rozwiązań równania x − 3 + x + 1 = p w zależności od parametru p ( p ∈ R ). Zadanie 2 ( 5p ) W trójkącie ABC o danych bokach AB = 12cm, BC = 8cm, AC = 10cm poprowadzono prostą równoległą do boku AC, która dzieli obwód trójkąta na pół ABC. Oblicz odcinki na bokach AB i BC wyznaczone przez tą prostą. Zadanie 3 ( 2p ) Funkcja f określona jest na zbiorze wszystkich liczb naturalnych wzorem Wyznacz liczbę nieparzystą k, dla której f Sprawdź rozwiązanie. =35? Zadanie 4 ( 2p ). Tę sama dwucyfrową liczbę naturalną napisano trzy razy obok siebie. Czy uzyskana w ten sposób liczba 6-cio cyfrowa dzieli się przez 7? Zadanie 5 ( 2p ). Oblicz wartość wyrażenia a 3 a + b3 b przy założeniu , że a + b = 0 i 3 a 2 + 3 b 2 = 1 . ................................................................................................................................................. Część II – test wyboru. Zadanie 1 ( 1p ). Dany jest trójkąt ABC. Odcinki AO, CO są odpowiednio dwusiecznymi katów α , γ , jak na rysunku. Kąt β w tym trójkącie ma miarę : A. 20 0 B. 40 0 C. 50 0 D. 80 0 Zadanie 2 ( 1p ). 2 3 Liczba odwrotna do liczby 4 to liczba : A. 4 3 2 B. − 4 3 2 C. 4 Zadanie 3 ( 1p ). Liczba n jest liczbą naturalną większą od 1 i liczbą naturalną jest również liczba : 3 6 A. B. n+2 n − 3 2 D. 4 − 2 3 n +1 jest liczbą naturalną. Z tego wynika , że n −1 C. n n+3 D. 1 n +1 Zadanie 4 ( 1p ). Liczbę 2 3 log 2 4+ 2 log 2 8 można zapisać jako : A. 2 5 B. 16 2 C. 4 3 Zadanie 5 ( 1p ). a+b 3 10a + 10b Jeżeli = , to wartość wyrażenia jest równa : x− y 5 9x − 9 y 50 5 10 B. C. A. 27 3 9 D. 16 3 D. 2 3 Zadanie 6 ( 1p ). x −3 − 2 x −2 Wyrażenie , gdzie x ≠ 0 , po uproszeniu ma postać : x −1 B. x −2 C. − x 2 + 2 x A. x −4 − 2 x −3 D. x −2 − 2 x −1 Zadanie 7 ( 1p ). Wiadomo, że a = 515 , b = 3 20 , c = 2 35 . Zatem : A. a > b > c B. b > c > a C. c > a > b D. c > b >a Zadanie 8 ( 1p ). Ile różnych rozwiązań w liczbach naturalnych ma równanie a2b – 1 = 1999? A.4 B.5 C.6 D.7 ETAP III - ZADANIA DLA KLASY II. Zadanie 1. ( 5p ). W kwadrat ABCD , którego bok ma 10cm, wpisano kwadrat KLMN, którego pole stanowi 3 pola kwadratu ABCD. Oblicz stosunek długości odcinków , na które wierzchołki kwadratu 4 KLMN dzielą każdy bok kwadratu ABCD. Zadanie 2 ( 5p ). Karawana o długości 1km jedzie przez pustynię z prędkością 4km/h. Co pewien czas od czoła karawany do jej końca i z powrotem jedzie goniec z prędkością 6km/h. Oblicz długość drogi tam i z powrotem, którą pokonuje goniec. Oblicz, ile czasu zajmuje mu przebycie tej drogi. Zadanie 3 ( 2p ). Znajdź wszystkie naturalne pierwiastki równania xy + x + y =1990, x, y ∈ N + . Zadanie 4 ( 2p ). Liczby x, y są liczbami naturalnymi większymi od zera. Określ liczbę rozwiązań równania : 1− 3 x + 2 + 3 y = 3 ( ) ( ) Zadanie 5 ( 2p ). Suma trzech liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od iloczynu tych liczb. Wyznacz te liczby. Część II – test wyboru Zadanie 1 ( 1p ). 1 2 Liczba (tg 5 0 + ) należy do przedziału : tg 5 0 1 1 A. 0, B. ,1 C. (1,2) 2 2 D. ( 2, ∞ ) Zadanie 2 ( 1p ). Liczba 4 17 + 12 2 jest równa : 0,5 1 A. 3 + 2 2 B. 1− 2 ( ) C. 1 2 +1 D. 1+ 2 Zadanie 3 ( 1p ). Punkty A(a + 1,−4) i B(2, b + 2) są symetryczne względem osi OY. Suma a + b jest równa : A. – 9 B. – 6 C. 5 D. 8 Zadanie 4 ( 1p ). Kąt β na podanym rysunku ma miarę : A. 225 0 B. 110 0 C. 125 0 D. 55 0 Zadanie 5 ( 1p ). ( Suma wszystkich współczynników wielomianu W ( x) = 2 x 15 − 3 x 40 A. – 1 B. 47286 C. 3 2011 −2 2011 ) 2011 jest równa : D. 1 Zadanie 6 ( 1p ). Jednym z pierwiastków równania x 2 − a = 0 , gdzie a jest liczbą dodatnią, jest liczba − 1 − 2 . Zatem drugim pierwiastkiem tego równania jest liczba : A. 1 + 2 B. 1 − 2 C. 2 − 1 D. 0 Zadanie 7 ( 1p ). Jeśli 2 x > 2 x + 1 , to : 1 1 A. x > B. x < 2 −2 2− 2 C. x < 2+ 2 2 D. x < 1 2 −2 Zadanie 8 ( 1p ). Jeżeli liczby x i y są liczbami spełniającymi równanie (x-y-1)2 + (x + y – 7)2 = 0, to wartość sumy x+y wynosi A.4 B.1 C.-1 D.7 ETAP III – ZADANIA DLA KLASY III. Zadanie 1.( 5p ) Wewnątrz kąta o mierze 60 0 obrano punkt odległy od jego ramion o 2 i Oblicz odległość tego punktu od wierzchołka kąta. 3 −1. Zadanie 2. ( 5p ). Przez środek boku trójkąta równobocznego poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostry α i dzielącą ten trójkąt na dwie figury, których stosunek pól jest równy 1:7. Wyznacz miarę kąta α . Zadanie 3. ( 2p ) Niech S n ( S m , S k ) oznacza sumę n ( odpowiednio m, k ) początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego ( a i ). Oblicz wartość wyrażenia : Sk S S (m − n ) + m (n − k ) + n (k − m ) . k m n Zadanie 4 ( 2p ). Wyznacz m i n takie, że m! + 3 = 10n + 7. Zadanie 5 ( 2p ). Oblicz wysokość czworościanu foremnego, jeżeli odległości jego dowolnego punktu wewnętrznego od ścian są równe a, b, c, d. ...................................................................................................................................................... Część II – test wyboru Zadanie 1 ( 1p ). 1 Jeśli (2, log16 x, ) jest ciągiem geometrycznym, to x jest równe : 8 1 17 1 A. B. C. 2 lub 2 16 2 Zadanie 2 ( 1p ). Sinus kąta ostrego α jest połową jego cosinusa. Wówczas : 2 5 5 6 A. sin α = B. sin α = C. cos α = 5 5 3 D. 4 lub 1 4 D. cos α = 5 5 Zadanie 3 ( 1p ). Suma pięciu liczb jest równa 445, a średnia arytmetyczna tych liczb jest równa medianie tego zestawu liczb. Z powyższych warunków wynika, że suma liczb pomniejszona o średnią arytmetyczną jest równa : A. 351 B. 356 C. 361 D. 366 Zadanie 4 ( 1p ). Ciąg (a n ) jest określony wzorem : a n = n 2 − 12n + 40 , gdzie n ∈ N + . Zatem a2 n +1 = a2 n + 3 dla : A. n = 0 B. n = 1 C. n = 2 D. n = 3 Zadanie 5 ( 1p ). Niech α i β oznaczają miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz a2 − b2 jest równa : a = sin α i b = cos β . Zatem wartość wyrażenia 2 a + 2ab + b 2 2 3 A. B. 1 C. D. 0 2 2 Zadanie 6 ( 1p ). Na rysunku dana jest kula o środku O i promieniu r = 3. Punkty A , B należą do sfery tej kuli. Długość łuku AB jest równa π . Zatem kąt AOB ma miarę : A. 15 0 B. 45 0 C. 60 0 D. 30 0 Zadanie 7 ( 1p ). Kostka mydła ma kształt prostopadłościanu . Załóżmy, że po tygodniu używania wymiary kostki zmniejszyły się o połowę. Pozostała ilość mydła ( przy takim samym używaniu ) wystarczy na : A. 1 dzień B. 2 dni C. 5 dni D. 7 dni Zadanie 8 ( 1p ). W ciągu arytmetycznym (a n ) dla dwóch różnych liczb naturalnych m , k zachodzi : a m = m 2 oraz a k = k 2 . Z tego wynika, że różnica ciągu (a n ) jest równa : 1 A. m 2 − k 2 B. m − k C. m + k D. m − k 2