XXXI konferencja „Statystyka Matematyczna

XV OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA
NAUCZANIA MATEMATYKI
W UCZELNIACH TECHNICZNYCH
HEURYSTYKA DOTYKA PROBABILISTYKI
Karol J. ANDRZEJCZAK
[email protected]
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
http://www.put.poznan.pl/
Karol J. Andrzejczak [email protected]
2
PROGRAM REFERATU
1.
2.
3.
4.
5.
6.
WPROWADZENIE
ROZWINIĘCIE
NOWOCZESNA HEURYSTYKA
PRZEJŚCIE PRZEZ POTOK
JAK STUDIOWAĆ ?
PRZYKŁAD POSTĘPOWANIA
HEURYSTYCZNEGO
7. WNIOSKI
8. ZAGROŻENIA WSPÓŁCZESNEJ DYDAKTYKI
MATEMATYKI W UCZELNIACH TECHNICZNYCH
Karol J. Andrzejczak [email protected]
3
1. WPROWADZENIE
 Wielka encyklopedia PWN heurystykę definiuje jako
umiejętność wykrywania nowych faktów i związków między faktami, zwłaszcza czynność formułowania hipotez.
 Zgodnie z Wielką Encyklopedią Multimedialną heurystyka to sztuka wykrywania nowych faktów oraz związków występujących pomiędzy nimi, prowadząca do odkrywania nowych prawd i stawiania hipotez.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
4
 NA POCZĄTKU
Pappus z Aleksandrii – grecki matematyk żyjący na przełomie III i IV w n.e.
W siódmej księdze swego dzieła Συναγωγή (Synagoge,
Collectiones, Zbiór) Pappus przedstawia gałąź wiedzy, którą nazywa analyomenos, którą można przetłumaczyć jako
„Sztuka rozwiazywania zadań”, albo nawet „Heurystyka”.
W swojej pracy nawiązuje on do
Euklidesa – autora Elementów,
Apolloniusza z Pergi,
Aristaeusa starszego.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
5
2. ROZWINIĘCIE
„Nie myślę bynajmniej, abym był w stanie przedstawić tutaj jakikolwiek proces badania, którego by już dawno nie
zauważyli wszyscy utalentowani ludzie, i wcale nie obiecuję,
że znajdziecie tu cokolwiek nowego. Zadam sobie tylko trud
jasnego sformułowania reguł i metod badania, jakimi posługują się wszyscy rozsądni ludzie, w większości przypadków nawet nieświadomie. Chociaż nie mam złudzeń, że
nawet tylko to uda mi się całkowicie, to jednak mam nadzieję, że to, co tu podaję, może się pewnym ludziom spodobać i może mieć pewne zastosowania.”
Karol J. Andrzejczak [email protected]
6
Są to słowa czeskiego matematyka, filozofa, logika
i teologa Bernarda Bolzano (1781-1848), który heurystyce poświęcił znaczną część swego obszernego wykładu logiki, Wissnschaftslehre.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
7
Bernard Bolzano przedstawił godne uwagi dokładne
ujęcie heurystyki. Przymiotnik „heurystyczny” oznacza
„służący do odkrycia”.
Każde zadanie lub problem zanim rozwiążemy musimy
zrozumieć. To znaczy ustalić wielkości niewiadome i dane
oraz warunki je wiążące.
Aby zrozumieć zadanie musimy najpierw dobrze zaznajomić się z jego treścią.
Skupienie uwagi na zadaniu może dać bodziec pamięci
do przypomnienia wszystkiego, co może się przydać do
rozwiązania zadania.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
8
3. NOWOCZESNA HEURYSTYKA
Twórcą nowoczesnej heurystyki jest amerykański matematyk węgierskiego pochodzenia George Pólya (1887-1985)
Zasłynął on z publikacji dydaktycznych dotyczących:
 sposobu rozwiązywania różnych problemów,
 sposobów uczenia ich rozwiązywania.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
9
W książce „Jak to rozwiązać” pisze on, że cel wskazuje
metodę, a najlepszymi przyjaciółmi w rozwiązywaniu zadań są: Co, Dlaczego, Gdzie, Kiedy i Jak.
Pólya opracował słownik, w którym omawia szczegółowo różne aspekty heurystyki.
Celem heurystyki jest badanie procesów, które stosują
się do wszelkiego rodzaju zadań, niezależnie od dziedziny
wiedzy, choć zadania nauk formalnych najbardziej się do
tego nadają.
W rozwiązywaniu problemów heurystyka uczy postępowania regresyjnego i progresywnego.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
10
W postępowaniu regresyjnym, zwanym analizą, punktem wyjścia jest to, do czego mamy dojść w zadaniu;
przyjmujemy to za prawdę i badamy, z jakich poprzednich
elementów można by wyprowadzić żądany wynik; następnie badamy, co dla tych poprzednich elementów mogłoby
być poprzednim elementem i tak dalej, aż dochodzimy
wreszcie do czegoś już znanego lub uznanego za prawdę.
W postępowaniu progresywnym, zwanym syntezą, zaczynamy od rzeczy już znanej albo uznanej za prawdziwą.
Z tego wyprowadzamy kolejne konsekwencje, zwykle
w odwrotnej kolejności niż w postępowaniu regresyjnym,
aż w końcu osiągamy to, co było żądane.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
11
W naukach formalnych są dwa rodzaje zadań, jeden rodzaj, to zadania typu „udowodnić”, których celem jest ustalenie prawdziwości twierdzeń; drugi rodzaj, to zadania typu
„znaleźć”, których celem jest znalezienie niewiadomej.
Zadanie typu „udowodnić” polega na udowodnieniu
lub obaleniu jasno sformułowanego twierdzenia.
Zadanie typu „znaleźć” polega na znalezieniu pewnej
niewiadomej spełniającej jasno sformułowane warunki.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
12
4. PRZEJŚCIE PRZEZ POTOK
„Przejście przez potok” to prosty przykład nie matematyczny przytoczony z książki Pólya.
Człowiek pierwotny chce przejść przez potok; nie może
jednak zrobić tego tak, jak zwykle, gdyż przez noc poziom
wody podniósł się.
Tak więc przejście przez potok staje się przedmiotem zadania. „Przejście przez potok” jest niewiadomą tego prymitywnego zadania.
Człowiek może sobie przypomnieć, że przechodził przez
inny potok po drzewie obalonym w poprzek potoku.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
13
Rozgląda się więc za odpowiednim zwalonym drzewem,
które staje się jego nową niewiadomą.
Nie może znaleźć odpowiedniego drzewa, ale jest wiele
drzew stojących nad potokiem, chciałby, aby jedno z nich
się przewróciło.
Czy mógłby on spowodować, aby któreś z drzew przewróciło się w poprzek potoku?
Jest to wspaniały pomysł; jest także nowa niewiadoma:
w jaki sposób powalić drzewo w poprzek potoku?
Ten szereg myśli jest analizą zadania „przejście przez potok”.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
14
Jeżeli człowiekowi pierwotnemu udało się doprowadzić
swoją analizę do końca, to może stał się on wynalazcą mostu i siekiery.
Co będzie syntezą? Wprowadzenie myśli w czyn.
Ostatnim aktem syntezy będzie przejście przez potok po
zwalonym drzewie.
Analizę i syntezę wypełniają te same obiekty, ale
 analiza polega na myśleniu, synteza na czynach,
 analiza występuje najpierw, synteza potem,
 analiza jest to układanie planu, synteza – wykonywanie
planu.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
15
5. JAK STUDIOWAĆ ?
Opowieść o Newtonie: Jako młody student rozpoczął studiowanie geometrii, jak było w zwyczaju w jego czasach,
od czytania Elementów Euklidesa. Czytał teksty twierdzeń,
widział, że są one prawdziwe, a dowody omijał. Zastanawiał się, dlaczego ktokolwiek może troszczyć się o dowody
rzeczy tak oczywistych. Jednakże wiele lat później zmienił
swoje zdanie i wychwalał Euklidesa.
Jak współcześnie studiować przedmioty matematyczne
w uczelniach technicznych ?
Karol J. Andrzejczak [email protected]
16
Tak, aby skutecznie rozwiązywać współczesne problemy
i zadania w określonym zakresie wiedzy. A jest to możliwe
wtedy, gdy potrafimy odpowiedzieć na pytania:
a) Czy postrzegam elementy zadania i potrafię je wyróżnić? Jeśli nie, to dlaczego ?
b) Czy potrafię sformalizować problem postawiony w zadaniu ? Jeśli nie, to jak to się robi ?
c) Czy znam definicje elementów występujących w zadaniu? Jeśli nie, to gdzie je znaleźć ?
d) Czy znam związki między elementami występującymi
w zadaniu ? Jeśli nie to gdzie je szukać ?
Karol J. Andrzejczak [email protected]
17
e) Czy potrafię uszczegóławiać problemy postawione
w zadaniu ? Jeśli nie, to kiedy warto to robić ?
f) Czy potrafię uogólniać problemy postawione w zadaniu ? Jeśli nie, to dlaczego ?
Postawione pytania
 wyjaśniają naturę rozumowania heurystycznego,
 są na tyle ogólne, że można je stosować w różnych
dziedzinach nauki od czystej matematyki, poprzez nauki społeczne, ekonomiczne i medyczne aż do nauk
technicznych włącznie, mimo istotnych różnic metodologicznych w przedmiotach ich badań.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
18
6. PRZYKŁAD POSTEPOWANIA
HEURYSTYCZNEGO
PRZYKŁAD O WYBORZE PRZEDMIOTU
Adam i Ewa wybierają jeden z trzech przedmiotów obieralnych: a, b i c.
Prawd., że Adam wybierze przedmiot b wynosi 0,3.
Prawd., że Ewa wybierze b wynosi 0,4.
Prawd., że ani Adam ani Ewa nie wybierze przedmiotu a,
lecz co najmniej jedno z nich wybierze przedmiot b wynosi
0,1.
Wyznaczyć prawd., że Adam lub Ewa wybierze przedmiot
b, ale ani Adam ani Ewa nie wybierze przedmiotu c.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
19
Aby to zadanie rozwiązać musimy rozumieć pojęcia:
zdania, spójników logicznych,
pary uporządkowanej, iloczynu kartezjańskiego,
zdarzenia, zdarzeń wykluczających się,
prawdopodobieństwa, niezależności zdarzeń
oraz znać rachunek zdań, algebrę zdarzeń.
Następnie należy ułożyć plan działania odwołując się
do niezbędnej wiedzy lub uzupełnić tę wiedzę na bieżąco,
jeśli jest taka potrzeba. Ta wiedza to definicje, własności i
podobne problemy już rozwiązane.
Wynikiem planu działania jest ustalenie koncepcji rozwiązania problemu.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
20
Czasami problem jest rozkładany na prostsze, łatwiejsze
w rozwiązaniu.
Czasami dokonujemy modyfikacji problemu zanim rozwiążemy ten właściwy.
Jeśli nie rozumiemy zadania, to znaczy, że nie potrafimy
odpowiedzieć na pytania w rodzaju:
Co jest niewiadome lub co chcemy naleźć ?
Przyczyny nieumiejętności:
 brak skupienia lub koncentracji uwagi,
 niekompletność wiedzy dotyczącej treści zadania.
Jeśli rozumiem zadanie, a nie wiem od czego rozpocząć
rozwiązanie, to znaczy, że nie potrafię je sformalizować.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
21
Rozwiązanie każdego zadania zwykle rozpoczynamy od
wprowadzenia oznaczeń wielkości danych i szukanych.
Budując plan rozwiązania musimy widzieć dokąd zmierzamy, czyli cel rozwiązania.
Jeśli cel wydaje się być odległy, to warto wyznaczyć cele
pośrednie, widząc ciągle cel główny.
Ważnym elementem w poszukiwaniu odpowiedzi jest
konfrontacja ze zdobytymi już kompetencjami.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
22
Rozwiązanie zadania
Po zrozumieniu treści zadania przystępujemy do jego formalizacji. Wprowadzamy oznaczenia i dane.
Doświadczenie polega na wyborze przedmiotów przez
dwie osoby. Zdarzenie elementarne jest dobrze przedstawić jako parę uporządkowaną
, gdzie
.
Pierwsza współrzędna oznacza przedmiot wybrany przez
Adama, a druga przedmiot wybrany przez Ewę.
Parę
kodujemy krótko
. Przy tej konwencji
zbiór możliwych wyborów przedmiotów przez Adama
i Ewę ma postać:
Karol J. Andrzejczak [email protected]
23
Wprowadzamy oznaczenia zdarzeń:
oznacza, że Adam wybierze przedmiot ,
oznacza, że Ewa wybierze przedmiot ,
oznacza, że ani Adam, ani Ewa nie wybierze przedmiotu a, lecz ktoś z nich wybierze przedmiot b.
W zadaniu podane są prawd. trzech zdarzeń:
przy czym przy przyjętych oznaczeniach:
Karol J. Andrzejczak [email protected]
24
Cel zadania. Wyznaczyć
, gdzie
oznacza, że Adam lub Ewa wybierze przedmiot b i żadne
z nich nie wybierze przedmiotu c.
W sformalizowanej postaci zadania pojawiły się obiekty
matematyczne, które powinniśmy znać z teorii.
Analizując pojęcia wystepujace w zadaniu może powstać
pomysł jego rozwiązania. Sugestywny opis powstania
dobrego pomysłu podał Arystoteles.
Arystoteles tak określa „przenikliwość” jako źródło
dobrego pomysłu: „Przenikliwość jest to uchwycenie
istotnych związków między rozpatrywanymi elementami
w niedostrzegalnie krótkim czasie, dokonane na drodze
domysłu”.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
25
Wybór metody rozwiązania
Bez względu na zastosowaną metodę chcemy wiedzieć,
że dany krok rozumowania jest poprawny i znać cel tego
kroku.
Jeżeli student nie czuje poprawności rozumowania lub
podejrzewa niepoprawność rozumowania, to musi zaprotestować i zadać wykładowcy pytanie. Gorzej jeśli student nie
czuje ani celu w danym kroku rozumowania ani powodu,
dla którego ten krok się przeprowadza, gdyż wówczas nie
umie zaprotestować.
Jeżeli nie możesz rozwiązać danego zadania, nie pozwól,
aby to niepowodzenie martwiło cię za bardzo, ale spróbuj
znaleźć pocieszenie w łatwiejszym, częściowym sukcesie.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
26
Z danych informacji będziemy odkrywali szczególną
informację, która jest celem zadania.
Najpierw jednak stawiamy pytanie:
Czy zadanie jest rozwiązywalne ?
Odp.: Ponieważ zdarzenie
jest elementem algebry
zdarzeń generowanych przez dane zdarzenia
, więc
warunek konieczny rozwiązywalności jest spełniony.
Analiza. Przygladając się zdarzeniu
,
widzimy, że składa się się ono z trzech zdarzeń
elementarnych, więc
Wystarczy więc policzyć prawd. tych zdarzeń.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
27
Zauważmy, że zdarzenia
Ale
nie wykluczają się.
,
czyli
oraz
,
więc
(
)
Karol J. Andrzejczak [email protected]
28
Podobnie
oraz
więc
(
)
Pozostaje obliczyć
Ponieważ
.
więc
Karol J. Andrzejczak [email protected]
29
Ostatecznie otrzymujemy
Tym samym cel został osiągnięty.
Jako podsumowanie rozwiązania warto przytoczyć ciekawe
zapatrywania niemieckiego filozofa i matematyka Gottfrieda Leibniza (1646-1716).
Pisał on: „Nie ma nic ważniejszego niż ujrzeć źródła odkrycia, które moim zdaniem są bardziej ciekawe niż samo
odkrycie”.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
30
7. WNIOSKI
1. Mimo, że obszary i metody poznawcze nauk technicznych i matematycznych są diametralnie różne, to nauki
techniczne wciąż czerpią z doświadczeń matematycznych.
2. Wykładowca wyznacza obszary poszukiwań wskazuje cele i możliwe ścieżki prowadzące do celu. Podaje przykłady zastosowań podanej wiedzy.
3. To, że student ma luki w wiedzy po wykładzie, to nic
strasznego. Najważniejsze, że sobie je uzmysławia. Ma
co studiować. Gorzej jeśli w porę tych luk nie dostrzeże.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
31
4. Newton zrozumiał późno siłę dowodów, więc jeżeli
współczesny student po wykładzie, nie rozumie całkowicie dowodów przedstawionych rozumowań, własności lub twierdzeń, to nie zawsze ma prawo mieć pretensję do swojej uczelni i do wykładowcy.
5. Wykładowca, z powodu braku czasu lub innych powodów, często stoi przed dylematem: czy przedstawianie ścisłego rozumowania pewnych wątków jest absolutnie niezbędne, choć jest pożądane?
6. Fakty matematyczne winny być podawane w pewnym
powiązaniu, jako system faktów, który ma skutecznie
pomagać zapamiętywaniu – system mnemotechniczny.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
32
7. ZAGROŻENIA WSPÓŁCZESNEJ
DYDAKTYKI MATEMATYKI
1. Przyszli inżynierowie studiują różne działy matematyki
z punktu widzenia ich zastosowań i nie mają ani dosyć
czasu, ani dosyć wprawy i zainteresowania, aby przebijać
się przez długie dowody i oceniać ich subtelność.
Powstaje więc silna pokusa, aby odrzucić wszystkie dowody i sprowadzić przedmiot do poziomu książki kucharskiej, która nie podaje żadnego uzasadnienia swoich przepisów.
Karol J. Andrzejczak [email protected]
33
2. Obecna faza rewolucji informacyjnej konsumuje dorobek matematyków XX wieku, między innymi poprzez
wdrażanie narzędzi matematycznych w softwareowych
aplikacjach inżynierskich.
Negatywnym objawem tego pozytywnego zjawiska jest:
 ograniczanie liczby godzin na realizacje przedmiotów
matematycznych;
 usuwanie z programów kształcenia podstaw matematyki.
Można postawić pytanie:
Czy zjawisko to nie prowadzi
do naukowego analogonu osteoporozy ?
Karol J. Andrzejczak [email protected]
34
Literatura:
[1] Polya G. Jak to rozwiązać? Wydawnictwo Naukowe
PWN. W-wa 2009.
PROSZĘ O PYTANIA
Karol J. Andrzejczak [email protected]
35