Zadanie 1. Wykazac, ˙ze jesli liczby rzeczywiste x 1,x2,...,xn nale˙za

Seria na styczeń 2003 (grupa ”STARSZYCH”)
Zadanie 1. Wykazać, że jeśli liczby rzeczywiste x1 , x2 , . . . , xn należa, do przedzialu [0, 1], to
!
!
n q
n
X
X
n2
xi
n−
n−
1 − x2i ≤ .
4
i=1
i=1
Zadanie 2. Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n oraz nieujemnej liczby calkowitej k
równanie
x31 + x32 + · · · + x3n = y 3k+2
ma nieskończenie wiele rozwiazań
w liczbach naturalnych xi oraz y.
,
Zadanie 3. Wykazać, że dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność
aa bb cc ≥ (abc)
a+b+c
3
.
Zadanie 4. Dla liczby a z przedzialu (0, 1) definiujemy funkcje, f : [0, 1] → R wzorem
(
0
jeśli 0 ≤ x ≤ a,
p
f (x) =
√
2
1 − ( ax + (1 − a)(1 − x))
jeśli a ≤ x ≤ 1.
oraz ciag
, {an } kladac
, a1 = f (1) oraz an = f (an−1 ), dla n > 1. Udowodnić, że ak = 0
dla pewnej liczby naturalnej k.
Zadanie 5. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste x1 , x2 , . . . , xn spelniajace
uklad równań
,
 4x2
1

= x2

1+4x21


2
4x

2


 1+4x2 = x3
2
.................


4x2n−1


= xn
2

1+4x

n−1

2
 4xn
= x1
1+4x2
n
Zadanie 6. Niech f (n) oznacza liczbe, permutacji a1 , a2 , . . . , an liczb 1, 2, . . . n takich, że
(a) a1 = 1,
(b) |ai − ai+1 | ≤ 2, dla i = 1, 2, . . . , n − 1.
Wykazać, że ciag
, reszt z dzielenia przez 3 liczb f (n) jest okresowy i obliczyć reszte, z
dzielenia przez trzy liczby f (2003).
Zadanie 7. Niech
danym ciagiem
dodatnich P
liczb wymiernych takim, że
,
,
Pm r1 , r2 , . . . , rm bedzie
m
r
=
1.
Dla
liczby
naturalnej
n
niech
f
(n)
=
n
−
k=1 k
k=1 [rk n], gdzie [x] oznacza
cześć
calkowita, liczby x. Wyznaczyć najwieksz
a, i najmniejsza, wartość funkcji f (n).
,
,
Zadanie 8. Wewnatrz
kwadratu o boku 1 narysowano nie przecinajac
,
, a, sie, ze soba, lamana, o
dlugości 1000. Wykazać, że istnieje prosta równolegla do pewnych boków kwadratu
przecinajaca
lamana, w przynajmniej 500 punktach.
,
Zadanie 9. Wewnatrz
kwadratu o boku 1 narysowano lamana, o dlugości l tak, że każdy punkt
,
kwadratu jest oddalony od pewnego punktu lamanej o nie wiecej
niż ( jest pewna,
,
π
1
−
.
liczba, dodatnia).
Wykazać,
że
l
≥
,
2
2
Zadanie 10. Wewnatrz
kwadratu o boku 1 umieszczono n2 punktów. Wykazać, że istnieje lamana
,
zawierajaca
wszystkie umieszczone punkty, której dlugość jest nie wieksza
niż: a)
,
,
2n + 1, b)∗ 2n.
1
Zadanie 11. Wewnatrz
kwadratu o boku 100 polożona jest lamana L taka, że każdy punkt kwadratu
,
jest oddalony od L o nie wiecej
niż 0, 5. Wykazać, że lamana L zawiera dwa punkty
,
odlegle od siebie o nie wiecej
niż 1, ale droga wzdluż lamanej lacz
te punkty ma
, aca
,
,
dlugość nie mniejsza, niż 198.
maja, dlugości a i b.
Zadanie 12. Rzuty prostokatne
wielokata
W na osie ukladu wspó√
lrzednych
,
,
,
Wykazać, że wielokat
2(a + b).
, W ma obwód nie mniejszy niż
Zadanie 13. Wewnatrz
wielokata
foremnego A1 A2 . . . An wybrano punkt O.
,
,
pewnej pary liczb i, j ∈ {1, 2, . . . n} zachodza, nierówności
1
π 1−
≤ ∠Ai OAj ≤ π.
n
Wykazać, że dla
Zadanie 14. Siedmiokat
o leży
, A1 A2 . . . A7 jest wpisany w okrag
, o. Wykazać,że jeśli środek okregu
,
wewnatrz
siedmiok
ata,
to
suma
k
atów
przy
wierzcho
lkach
A
,
A
i
A
jest
mniejsza
1
3
5
,
,
,
od 450◦ .
Zadanie 15. Przekatne
wypuklego czworokata
maja, dlugości 2a i 2b. Wykazać,
że przynajmniej
,
,
√
2 + b2 .
a
jeden z boków tego czworokata
ma
d
lugość
nie
mniejsz
a
niż
,
,