Funkcja charakterystyczna 1) Niech zmienna losowa ξ ma rozkład

Funkcja charakterystyczna
1) Niech zmienna losowa ξ ma rozkład geometryczny. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej ξ korzystając z jej funkcji charakterystycznej.
Zmienna losowa ξ ma rozkład geometryczny, a więc przyjmuje wartości k = 0, 1, 2, . . .
odpowiednio z prawdopodobieństwami
P (ξ = k) = (1 − p)k p
Wyznaczymy funkcję charakterystyczną ϕξ (t) zmiennej ξ.
ϕξ (t) =
∞
X
eitk (1 − p)k p = p
k=0
∞
X
((1 − p)eit )k = p 1 + (1 − p)eit + (1 − p)2 e2it + . . .
k=0
Zauważmy, że
|(1 − p)eit | = (1 − p)|eit | = (1 − p) ¬ 1
ponieważ p > 0. Zatem powyższy szereg jest zbieżny jako szereg geometryczny
ϕξ (t) = p ·
p
1
=
1 − (1 − p)eit
1 − (1 − p)eit
Aby wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej ξ skorzystamy ze
wzoru
(k)
ϕξ (0) = ik Eξ k
(∗)
A zatem
(1)
ϕξ (t) =
p(1 − p)ieit
(1 − (1 − p)eit )2
(1)
ϕξ (0) =
1−p
·i
p
i na mocy (∗) mamy
Eξ =
1−p
p
Dalej dostajemy
(2)
ϕξ (0) = −
(1 − p)(2 − p)
p2
I ostatecznie
D2 ξ =
⇒
Eξ 2 =
(1 − p)(2 − p)
p2
(1 − p)(2 − p) (1 − p)2
1−p
−
=
2
2
p
p
p2
2) Niech zmienna losowa ξ ma rozkład Pascala. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i
wariancję zmiennej ξ korzystając z jej funkcji charakterystycznej.
Zmienna ξ ma rozkład Pascala, zatem przyjmuje wartości całkowite nieujemne odpowiednio z prawdopodobieństwami
ak
P (ξ = k) =
(1 + a)k+1
k = 0, 1, . . .
a>0
Wyznaczymy funkcję charakterystyczną ϕξ (t) zmiennej losowej ξ
ϕξ (t) =
∞
X
itk
e
k=0
∞
ak
1 X
=
(1 + a)k+1
1 + a k=0
a eit
1+a
!k
Zauważmy, że
a eit a
=
· |eit | ¬ 1
1 + a
1+a
a zatem powyższy szereg jest zbieżny jako szereg geometryczny
ϕξ (t) =
1
1 + a(1 − eit )
Obliczymy wartość oczekiwaną.
(1)
ϕξ (t) =
aieit
(1 + a(1 − eit ))2
(1)
⇒
(2)
ϕξ (0) = −a(1 + 2a)
ϕξ (0) = ai
⇒
⇒
Eξ = a
Eξ 2 = a(1 + 2a)
I ostatecznie
D2 ξ = a(1 + 2a) − a2 = a(1 + a)
3) Zmienna losowa ξ ma rozkład dyskretny
P (ξ = −2) = P (ξ = −1) =
1
8
P (ξ = 0) =
1
2
P (ξ = 1) = P (ξ = 2) =
1
8
Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej ξ.
Korzystamy ze wzoru
ϕξ (t) =
X
pk · exp(itxk )
k
A zatem
ϕξ (t) = 18 e−2it + 18 e−it + 12 e0 + 18 eit + 18 e2it =
= 18 (cos 2t − i sin 2t) + 18 (cos t − i sin t) + 12 + 18 (cos t + i sin t) + 18 (cos 2t + i sin 2t) =
= 41 cos 2t + 14 cos t +
1
2
4) Niech ξ będzie zmienną losową absolutnie ciągłą o rozkładzie Laplace’a. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej ξ korzystając z jej funkcji charakterystycznej.
Zmienna losowa ξ ma gęstość
1 −|x|
e
2
Funkcję charakterystyczną ϕξ (t) zmiennej ξ obliczamy ze wzoru
fξ (x) =
ϕξ (t) =
Z
R
eitx · fξ (x) dx
A zatem
1 Z
1 Z0
1 Z ∞ itx −x
eitx · e−|x| dx =
eitx · ex dx +
e · e dx =
2 R
2 −∞
2 0
ϕξ (t) =
1
=
2
Z
0
x(it+1)
e
Z
dx +
−∞
∞
x(it−1)
e
0
ex(it+1) 0
ex(it−1) ∞
+
it + 1 −∞
it − 1 0
1
dx =
2
!
Zauważmy, że
lim ex(it+1) = lim ex (cos tx + i sin tx) = 0
x→−∞
x→−∞
lim ex(it−1) = lim e−x (cos tx + i sin tx) = 0
x→∞
x→∞
A więc funkcja charakterystyczna jest dana wzorem
ϕξ (t) =
t2
1
+1
Wyznaczymy, korzystając z (∗), wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej ξ
(1)
ϕξ (t) = −
(2)
ϕξ (t) =
6t2 − 2
(t2 + 1)3
(t2
2t
+ 1)2
⇒
⇒
(1)
⇒
Eξ = 0
Eξ 2 = 2
⇒
ϕξ (0) = 0
(2)
ϕξ (0) = −2
⇒
D2 ξ = 2
5) Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej ξ korzystając z funkcji charakterystycznej. Zmienna losowa ξ ma gęstość
(
fξ (x) =
e−x x ­ 0
0 x<0
Wyznaczymy funkcję charakterystyczną
ϕξ (x) =
Z
∞
ex(it−1) dx =
0
1
1 − it
Obliczymy wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej ξ
ϕξ (t) =
i
(1 − it)2
2
(1 − it)3
⇒
(1)
(2)
ϕξ (t) = −
⇒
(2)
(1)
ϕξ (0) = i
ϕξ (0) = −2
⇒
⇒
Eξ = 1
Eξ 2 = 2
⇒
D2 ξ = 1