Wyznaczanie krzywych dochodowoŹci metodą zmodyfikowanego

BANK I KREDYT l u t y 2 0 0 3
Rynki i Instytucje Finansowe
Wyznaczanie krzywych
dochodowoÊci metodà
zmodyfikowanego bootstrapingu
Gerard Ci´ciwa
Potrzeba stosowania krzywej dochodowoÊci
Ka˝da transakcja, w tym depozytowo-kredytowa – do
której stosuje si´ przedmiot niniejszego artyku∏u – wymaga prawid∏owej wyceny. Wycena ksi´gowa (oparta
na bie˝àcym zad∏u˝eniu i memoria∏owym naliczaniu
odsetek) stosowana wobec transakcji uj´tych w ksi´dze
banku (banking book) znajduje powszechne uznanie.
Przyczyn tego stanu rzeczy mo˝na upatrywaç w trzech
czynnikach:
- status quo – ze wzgl´dów historycznych ten sposób jest najbardziej znany i chyba do dziÊ najcz´Êciej
wyk∏adany na uczelniach,
- pragmatyzm polegajàcy na tym, ˝e jest ona
podstawà do sporzàdzania sprawozdaƒ finansowych
adresowanych do instytucji nadzorczych, podatkowych itp.,
- prostota – do ustalenia wartoÊci ksi´gowej transakcji wystarczy zazwyczaj (w przypadku depozytów i
kredytów) wiedza o niej samej – znajomoÊç parame-
81
82 Rynki i Instytucje Finansowe
trów rynkowych (aktualnych stóp procentowych) nie
jest potrzebna.
Istnieje jednak kilka powodów, dla których ta metoda powinna byç zastàpiona – przynajmniej do celów
controllingu – wycenà rynkowà:
Rosnàca z∏o˝onoÊç transakcji – umowa (np. kredytowa) coraz cz´Êciej obejmuje nie tylko zobowiàzanie
d∏u˝nika do sp∏aty w okreÊlonych ratach kapita∏u wraz
z odsetkami, ale obejmuje tak˝e inne prawa lub zobowiàzania (np. do wczeÊniejszej sp∏aty, zmiany oprocentowania ze sta∏ego na zmienne, przewalutowania, zawieszenia lub odroczenia sp∏at), które mogà, choç nie
muszà byç wykorzystane. Stanowià one wbudowane
opcje (embedded options), zazwyczaj o niezerowej wartoÊci, wi´c wymagajàce odr´bnej wyceny. JeÊli ich cena
jest wliczona w stop´ procentowà lub kapita∏ transakcji, systemy informatyczne instytucji finansowej powinny móc rozbiç przep∏ywy pieni´˝ne wynikajàce z
takich transakcji na te, które sà wynikiem kosztów refinansowania lub reinwestycji d∏ugu (kredytu lub depozytu), oraz te, które wynikajà z wartoÊci wbudowanych
opcji. Rozbicie to jest potrzebne do obcià˝enia kontrahenta w∏aÊciwà kwotà – o czym poni˝ej – w przypadku
zmiany warunków transakcji (nie b´dàcej oczywiÊcie
wykorzystaniem praw z wbudowanej opcji) lub jej rozwiàzania przed terminem.
Mo˝liwoÊç realizacji bud˝etu – wykonanie za∏o˝onego wyniku finansowego w danym okresie bud˝etowym zale˝y oczywiÊcie od wykonania planu sprzeda˝y, zarówno pod wzgl´dem wolumenu transakcji, jak i
cen sprzeda˝y. Jest ona równie˝ pochodnà wolumenów
i cen niewygas∏ych transakcji z poprzednich okresów.
Nie docenia si´ tu faktu, ˝e wysokoÊç realizowanego
wyniku finansowego zale˝y tak˝e od zachowaƒ kontrahentów. W szczególnoÊci wczeÊniejsze rozwiàzanie
umowy mo˝e obni˝yç zabud˝etowane przychody bez
mo˝liwoÊci zmniejszenia kosztów refinansowania (zerwanie kredytu) lub spowodowaç wzrost kosztów finansowania bez mo˝liwoÊci zwi´kszenia przychodów
z reinwestycji (zerwanie depozytu) – jeÊli nie zostanie
to zrekompensowane odpowiednià prowizjà (prepayment fee) lub zmianà oprocentowania.
Zaostrzenie konkurencji – które powoduje, ˝e
klienci sà cz´sto zach´cani przez konkurentów do
wspomnianych zachowaƒ (np. poprzez oferowanie taƒ-
BANK I KREDYT l u t y 2 0 0 3
szego kredytu na sp∏at´ starego, o sta∏ym oprocentowaniu, zaciàgni´tego w innym banku w czasie, kiedy stopy by∏y wy˝sze), co zwi´ksza zagro˝enie opisane w poprzednim akapicie.
Wahania na rynkach finansowych – zmiany stóp
procentowych oraz innych parametrów rynkowych
(np. ocen wiarygodnoÊci krajów), majàcych wp∏yw na
koszty refinansowania, kursów walutowych, które dajà
wi´cej okazji do powy˝szych zachowaƒ.
InnowacyjnoÊç rynku – zdolnoÊç instytucji finansowych do kreowania nowych – skomplikowanych instrumentów finansowych (structured products) po∏àczona z umiej´tnoÊcià ich rynkowej wyceny (marking
to market), co bezpoÊrednio przek∏ada si´ na zjawiska
wynikajàce równie˝ z zaostrzenia konkurencji.
Rynkowe metody wyceny sà cz´sto stosowane w
odniesieniu do transakcji ksi´gowanych w ksi´dze handlowej (trading book). Z tego powodu coraz bardziej
potrzebne jest wprowadzenie podobnych metod tak˝e
w odniesieniu do ksi´gi banku. Wycena taka – w przypadku transakcji z∏o˝onych (zawierajàcych wbudowane opcje) – wymaga ich podzia∏u na proste (prostsze),
które mogà byç wyceniane indywidualnie. Mo˝na je
podzieliç na wbudowane opcje oraz tradycyjne transakcje kredytowo-depozytowe, b´dàce rdzeniem wi´kszoÊci umów zawieranych z klientami, do których wyceny
stosuje si´ krzywe dochodowoÊci. Opcje te zazwyczaj
sà doÊç skomplikowane (np. prawo do przewalutowania niesp∏aconej cz´Êci kredytu o sta∏ej stopie bez prowizji dwa razy w dowolnym momencie jego trwania) i
wymagajà zaawansowanych – cz´sto indywidualnych
– modeli wyceny, dlatego wykraczajà daleko poza ramy
tego tekstu.
Krótki przeglàd problemów zwiàzanych z tworzeniem krzywych
Najcz´Êciej spotykanà w literaturze (np. Questa, 1999;
James, Webber, 2000) metodà tworzenia krzywych dochodowoÊci jest metoda tzw. bootstrapingu, pozwalajàca wyznaczyç na podstawie wielu instrumentów finansowych (np. obligacji, swapów odsetkowych, IRS itp.)
czynniki dyskontowe. Opisy majà jednak zazwyczaj
charakter poglàdowy, pozwalajàc wyznaczyç czynniki
Ta b e l a 1 Przyk∏adowe przep∏ywy pieni´˝ne instrumentów wymagane w prostej metodzie
bootstrapingu
Termin przep∏ywu
D∏ugoÊç instrumentu
1Y
2Y
3Y
4Y
0Y
-100
-100
-100
-100
1Y
105
6
6,5
7
106
6,5
7
2Y
3Y
4Y
èród∏o: opracowanie w∏asne.
106,5
7
107
Rynki i Instytucje Finansowe
BANK I KREDYT l u t y 2 0 0 3
Ta b e l a 2 Przyk∏adowe przep∏ywy pieni´˝ne instrumentów niespe∏niajàce wymagaƒ prostego bootstrapingu (instrumenty 2Y i 4Y)
Termin przep∏ywu
0Y
1Y
18M
D∏ugoÊç instrumentu
3Y
4Y
-100
-100
-100
-100
3
4
3,5
3
4
3,5
4
3,5
104
3,5
6M
1Y
105
18M
2Y
103
3Y
3,5
4Y
103,5
èród∏o: opracowanie w∏asne
dyskontowe jedynie w punktach w´z∏owych, tj. terminach, w których nast´pujà ostatnie przep∏ywy pieni´˝ne ka˝dego z owych instrumentów. Zazwyczaj zak∏ada
si´ implicite, ˝e ka˝dy nast´pny (tj. o d∏u˝szym terminie zapadalnoÊci) instrument ma przep∏ywy pieni´˝ne
jedynie w tych terminach, w których nastàpi∏y przep∏ywy poprzednich instrumentów (o krótszym terminie
zapadalnoÊci), oraz dok∏adnie jeden w terminie d∏u˝szym od wszystkich pozosta∏ych (tabela 1).
Takie za∏o˝enie praktycznie uniemo˝liwia wi´kszoÊç praktycznych zastosowaƒ, gdzie – budujàc krzywà na podstawie depozytów i swapów odsetkowych –
napotykamy na sytuacj´, w której wraz z dodaniem kolejnego instrumentu przybywa wi´cej ni˝ jeden przep∏yw pieni´˝ny (tabela 2).
W przypadku instrumentu 2Y nie mo˝na wyznaczyç czynnika dyskontowego dla terminu 18M, poniewa˝ nie wyznaczono wczeÊniej czynnika dla 6M. Mo˝na sobie poradziç interpolujàc go – w celu unikni´cia
ujemnych stóp terminowych (zob. WaluÊ, 2001), w sytuacji, gdy ujemne stopy nie sà oczywiÊcie wymuszone
przez czynniki dyskontowe dla terminów 0Y i 1Y – najlepiej poprzez interpolacj´ stóp terminowych. W przypadku instrumentu 4Y sytuacja jest bardziej skomplikowana: czynnika dla terminu 4Y nie mo˝na wyznaczyç, poniewa˝ nie ma go jeszcze dla terminu 3Y, a
czynnika dla 3Y nie mo˝na interpolowaç, bo nie ma
czynnika dla 4Y. Stàd potrzebne jest jednoczesne wyznaczanie czynników 3Y i 4Y. W celu zapewnienia wewn´trznej spójnoÊci metody, algorytm wyznaczania
czynników dyskontowych dla nowych terminów powinien zapewniç takie same w∏asnoÊci stóp terminowych,
jakie sam zak∏ada, ˝e sà spe∏nione dla terminów poprzednich. W przypadku tabeli 2 chwilowe stopy terminowe w okresie (2Y, 4Y] majà t´ samà w∏asnoÊç, jak
w przedziale (0Y, 1] (jak zobaczymy póêniej – sà sta∏e,
oddzielnie w ka˝dym przedziale).
Istnieje wiele innych ni˝ bootstraping metod wyznaczania krzywych (Questa, 1999; Kellison, 1991, a
zw∏aszcza James, Webber, 2000). Wszystkie wià˝à si´ z
pewnymi niedogodnoÊciami.
Bywa, ˝e kszta∏t krzywej dochodowoÊci wyznaczany jest metodami statystycznymi (poprzez estymacj´
pewnych parametrów, dla których Êredni b∏àd, z którym krzywa odtwarza bie˝àce wartoÊci instrumentów
jest najmniejszy). Powoduje to, ˝e wartoÊç instrumentu
obliczona na podstawie otrzymanych z niej czynników
dyskontowych jest inna ni˝ ta, która zosta∏a u˝yta do jej
budowy. Mo˝e to prowadziç do b∏´dnych decyzji handlowych oraz b∏´dnych kalkulacji wartoÊci portfela,
VAR itp.
Niektóre metody nie gwarantujà dodatnich stóp
terminowych, nawet wtedy, gdy dane wejÊciowe pozwalajà na to, by by∏y dodatnie. Na przyk∏ad przybli˝enie wielomianowe dostatecznie wysokiego stopnia odtworzy poprawnie krzywà w ka˝dym punkcie w´z∏owym, ale wartoÊci wielomianu poza nimi mogà byç dowolne.
Istniejà wreszcie metody, które pozwalajà poprawnie odtwarzaç ceny instrumentów, b´dàc jednoczeÊnie
zgodne z niektórymi modelami struktury terminowej
stóp procentowych (w tym zachowujàc dodatnie stopy
terminowe), ale sà trudne do obliczenia i stosowania.
Dobrym kompendium wiedzy na ten temat jest (James,
Webber, 2000).
Poni˝ej przedstawiono metod´ wyznaczania krzywej dochodowoÊci, która nie jest wprawdzie idealna w
odniesieniu wszelkich zastosowaƒ - nie spe∏nia wymagaƒ co najmniej wi´kszoÊci modeli struktury terminowej stóp procentowych u˝ywanych do wyceny instrumentów pochodnych (np. funkcja stóp terminowych w
czasie nie jest ciàg∏a), ale:
- poprawnie odtwarza ceny instrumentów z zadanà dok∏adnoÊcià,
- zachowuje nieujemne stopy terminowe, jeÊli dane wejÊciowe nie wymuszajà ujemnych,
- jest ∏atwa do stosowania (obliczanie czynników
dyskontowych nie jest zbyt z∏o˝one).
Zakres instrumentów, na podstawie których
tworzone sà krzywe
Podstawà tworzenia krzywych mogà byç instrumenty
zarówno samoistne, jak i syntetyczne (tj. powsta∏e ze
z∏o˝enia innych instrumentów) nale˝àce do tej samej
83
84 Rynki i Instytucje Finansowe
klasy. Podstawà grupowania instrumentów w odr´bne
klasy jest ich wspólna charakterystyka w zakresie dochodowoÊci, ryzyka (w szczególnoÊci waluta, ryzyko
kredytowe kontrahentów i emitentów oraz status prawny - np. opodatkowanie dochodów z instrumentów,
ograniczenia zbioru podmiotów dopuszczonych do obrotu instrumentem. Niezb´dne jest jednak, aby wszystkie zwiàzane z nimi przep∏ywy pieni´˝ne mia∏y ustalone terminy oraz kwoty. Wszystkie instrumenty samoistne (wykorzystywane do budowy krzywych bezpoÊrednio lub jako elementy sk∏adowe instrumentów z∏o˝onych) muszà byç dostatecznie p∏ynne (tj. stanowiç
benchmark w swojej klasie instrumentów). Przyk∏adem
instrumentów, które samoistnie mogà byç brane pod
uwag´ podczas wyznaczania krzywych, sà obligacje o
sta∏ym oprocentowaniu o tym samym ratingu. Przyk∏adem instrumentu syntetycznego mo˝e byç z∏o˝enie
swapa odsetkowego i obligacji o zmiennym oprocentowaniu (wszystkie obligacje wykorzystywane do tej samej krzywej muszà mieç oczywiÊcie ten sam rating). W
praktyce mo˝liwe jest mieszanie ró˝nych instrumentów na ró˝ne terminy, jeÊli instytucja finansowa ma do
nich dost´p i mo˝e nimi swobodnie obracaç (np. rynek
depozytowy na odcinku krzywej do roku i wspomniane wczeÊniej instrumenty na dalsze okresy).
BANK I KREDYT l u t y 2 0 0 3
t0 – teraêniejszoÊç,
B – zbiór instrumentów bazowych,
Ω – zbiór wszystkich instrumentów finansowych.
∃ ci, j > 0 ∧ ci, k < 0 jest konieczny ze
Warunek ∀
i j≠k
wzgl´du na to, ˝e jego niespe∏nienie oznacza∏oby brak
mo˝liwoÊci znalezienia takich (wi´kszych od zera)
czynników dyskontowych, które dawa∏yby zerowà
wartoÊç instrumentu (cena p∏acona za nabycie jest traktowana jak przep∏yw pieni´˝ny wynikajàcy z samego
instrumentu).
Klasa instrumentów finansowych – zbiór instrumentów finansowych o wspólnej charakterystyce pod
wzgl´dem dochodowoÊci i ryzyka, w szczególnoÊci o
wspólnych: walucie, ryzyku kredytowym kontrahentów/emitentów oraz statusie prawnym (jak np. opodatkowanie dochodów z instrumentów, ograniczenia zbioru podmiotów dopuszczonych do obrotu instrumentem):
Ω k , k = 1K K , U Ω k = Ω
k
gdzie:
K – liczba klas instrumentów finansowych.
Klasa instrumentów bazowych – zbiór instrumentów bazowych nale˝àcych do tej samej klasy instrumentów finansowych:
Βk = Β I Ω k
Definicje
Szereg instrumentów sk∏adowych – dowolny szereg instrumentów finansowych spe∏niajàcy warunek:
Instrument bazowy – p∏ynny, samoistny lub syntetyczny
(tj. powsta∏y ze z∏o˝enia innych, p∏ynnych) instrument finansowy o znanej cenie na znany termin w teraêniejszoÊci lub przysz∏oÊci oraz znanych terminach i kwotach
wszystkich przep∏ywów pieni´˝nych nast´pujàcych po
tym terminie, do których prawo jest przedmiotem obrotu
tym instrumentem. Jest on charakteryzowany przez pary:
((c
i, j
, ti , j
)) = ω
i
∀ ∃c
i
j≠k
⊂ Β ⊂ Ω, i = 1...n, j = 1...ni , ∀ t0 < ti , j < ti , j +1 ,
i, j
> 0 ∧ ci , k < 0
∀c
i, j
i, j
(
i , j < ni
)
≠ 0, ci, j ,ti, j ∈ R 2 ,
gdzie:
ωi – instrument bazowy,
(ci,j,ti,j) – przep∏yw pieni´˝ny b´dàcy nast´pstwem zawarcia transakcji, której przedmiotem jest instrument bazowy (w tym p∏atnoÊç jego ceny, jeÊli jest
ró˝na od zera),
ci,j – kwota przep∏ywu pieni´˝nego b´dàcego nast´pstwem zawarcia transakcji, której przedmiotem jest
instrument bazowy, dodatnia dla przyp∏ywu i ujemna
dla odp∏ywu,
ti,j – termin przep∏ywu pieni´˝nego b´dàcego nast´pstwem zawarcia transakcji, której przedmiotem jest
instrument bazowy,
n – liczba instrumentów bazowych,
ni – liczba przep∏ywów pieni´˝nych -i tego instrumentu bazowego,
((
))


Sk =  ω ik = cik, j , tik, j : ω ik ∈ Βk , ∀ tlk,1 ≤ tlk+1,1 ≤ tlk, nl ∧ tlk, nl < tlk+1, nl +1  ,


l
i = 1...sk ,
gdzie:
ω ki – instrument bazowy, znajdujàcy si´ na i-tej pozycji szeregu Sk.
sk – d∏ugoÊç szeregu Sk.
k
k
k
Warunek tl ,1 ≤ tl +1,1 ≤ tl , nl oznacza, ˝e dla ka˝dego
nast´pnego instrumentu bazowego istnieje ju˝ wyznaczony co najmniej jeden czynnik dyskontowy (na podstawie poprzednich). Jego niespe∏nienie oznacza∏oby,
˝e w przedziale [tlk, n , tlk+1,1 ) nie mo˝na jednoznacznie wyznaczyç czynników dyskontowych.
Warunek tlk, n < tlk+1, n oznacza, ˝e istnieje co najmniej jeden termin, dla którego czynnik dyskontowy
nale˝y wyznaczyç. Jego niespe∏nienie mog∏oby prowadziç do wewn´trznej sprzecznoÊci (instrument o indeksie l+1 mia∏by wartoÊç niezerowà).
Podszereg instrumentów sk∏adowych:
l
l
l +1
Skp = (ω ik : ω ik ∈ Sk ), i = 1K p ≤ sk .
Krzywa stóp terminowych – funkcja przyporzàdkowujàca terminom wartoÊci natychmiastowych terminowych stóp procentowych na podstawie podszeregu
instrumentów sk∏adowych:
Rynki i Instytucje Finansowe
BANK I KREDYT l u t y 2 0 0 3
]
(
YS p : t1k,1 , t pk , n p → R
k
g( fn ) '
, g ( fn ) ≠ 0
g' ( fn )
fn +1 = fn −
(3)
Krzywa czynników dyskontowych – funkcja:
]
(
DS p : t1k,1 , t pk , n p → R, DS p (t1k,1 , t ) = DS p (t ) = e
k
k
− ∫ tk Y
p
t1,1 Sk
( s ) ds
k
Ekstrapolowana krzywa czynników dyskontowych
– funkcja okreÊlona w rozdziale pt. „Ekstrapolacja”.
czyli wzór Newtona na numeryczne poszukiwanie
pierwiastka funkcji.
'
NierównoÊç g ( fn ) ≠ 0 ∏atwo spe∏niç, wybierajàc takie ω i ⊂ Sk , dla których
∀
( i , j ):t ( i , j ) > t ( i −1, ni −1 )
Metoda wyznaczania krzywej stóp terminowych
sgn(c(i, j )) = const
co nie stanowi w praktyce problemu. W przeciwnym
przypadku, istnieje (ma∏e) ryzyko braku zbie˝noÊci.
Gdy
Przyjmujemy:
card
n0 = 0, t0k, 0 = t1k,1 , DS p (t0k, 0 ) = 1,
85
({(i, j ) : t(i, j ) > t(i − 1,n )}) = 1
i −1
{(i, j ) : t(i, j ) > t(i − 1,n )} = {(i,n )}
tj.
i−1
i
k
zamiast iteracji wg (3) mo˝na wykorzystaç analityczne
rozwiàzanie (2):
oraz zmieniamy notacj´:
i −1
ln −
 c(i, ni ) D(t (i − 1, ni −1 ))


f (i ) = −
(t(i, ni ) − t(i − 1, ni −1 ))
k
Dla p-elementowego podszeregu instrumentów
sk∏adowych:
(
)]
(
YS p : t (1,1), t p, n p → R, YS p (t (i − 1, ni −1 ) < t ≤ t (i, ni )) = f (i ), i = 1K p ≤ sk
zatem:
( (
))


D(t ) = exp − ∑ f (i )(t (i, ni ) − t (i − 1, ni −1 )) − f (i * ) t − t i * − 1, ni * −1 
 i :t ( i , ni ) ≤ t

∑ c(i, j ) D(t(i, j )) 

t (i, j ) = tik, j , c(i, j ) = cik, j , Skp = S p , Sk = S, ω ik = ω i , D(t ) = DS p (t )
j :t ( i , j ) ≤ t ( i −1, n
)




(4)
gdzie:


0 ≠ sgn
c(i, j ) D(t (i, j )) ≠ sgn c(i, ni ) D(t (i − 1, ni −1 ))
∑
 j :t ( i , j ) ≤ t ( i −1, ni −1 )

(
)
(1)
Ekstrapolacja
gdzie:
i* = min (i ),
i :t ( i , ni ) > t
ƒ(i*) – szukana stopa terminowa – jest rozwiàzaniem równania:
(
)
g f (i * ) =
+
(
)
∑
(
j :t i , j > t i −1, n *
*
*
i −1
)
(
)
∑
(
j :t i , j ≤ t i −1, n *
*
((
*
i −1
)
(
)
c( i * , j ) D t (i * , j ) +
))
c(i* , j ) D t i * − 1, ni * −1 e
( )( (
)
(
− f i * t i * , j − t i * −1, n *
i −1
Terminowe natychmiastowe stopy f (1) oraz f (sk ) ustalone na podstawie szeregu instrumentów sk∏adowych
Sk mo˝na zastosowaç (ekstrapolowaç) tak˝e odpowiednio dla t ∈[t0 , t1k,1 ] oraz t ∈ tsk , n , ∞ . Wówczas DS : (t0 , ∞] → R
oraz krzywa po ekstrapolacji przyjmuje wartoÊci obliczone wg wzoru:
(
)) = 0
DSEp (t ) = e
g( f (i )) ≈ g( f0 (i )) + ( f (i ) − f0 (i ))g' ( f0 (i ))
co po przekszta∏ceniu i podstawieniach fn +1 za f (i) , fn za
f0 (i ) oraz g( f (i )) = 0 daje:
− f (1)( t − t 0 )
k
p
k
[
, t ∈ t0 , t1k,1
]
(
]
DSEp (t ) = DS p (t ) DSEp (t1k,1 ), t ∈ t1k,1 , tskk , ns ,
(2)
Co istotne, wzory (1) i (2) czynià to samo za∏o˝enie
wobec natychmiastowych stóp terminowych, tj. w ka˝dym przedziale [t(i − 1,ni −1 ),t(i,ni )] f (t ) = f (i) = const . W przeciwnym razie czynniki dyskontowe dla terminów 6M i
3Y utworzone na podstawie instrumentów z tabeli 2
mog∏yby byç nieprawid∏owe w tym sensie, ˝e do interpolacji w poszczególnych przedzia∏ach trzeba by∏oby
u˝ywaç ró˝nych metod.
Stopy ƒ(i) szukamy iteracyjnie, wychodzàc od arbitralnie przyj´tej stopy ƒ0(i). Rozwijajàc g(ƒ(i)) w
pierwsze dwa sk∏adniki szeregu Taylora, otrzymujemy:
)
sk
k
k
k
(
k
)
DSEp (t ) = DSEp tskk , ns e
k
k
k
(
− f ( s k ) t − t skk ,ns
k
k
), t ∈ tk
(
s k , n sk
)
,∞ .
Krzywa dyskontowa na dzieƒ wolny od pracy
Krzywe dyskontowe stworzone wg algorytmu zaprezentowanego w poprzednich rozdzia∏ach sà – ze
wzgl´dów praktycznych – tworzone na podstawie zestawu najbardziej aktualnych cen rynkowych. W przypadku zawierania transakcji sà to ceny z ostatniego odÊwie˝enia (tick) w serwisach informacyjnych, co oznacza regeneracj´ krzywych w czasie rzeczywistym. Na
potrzeby tworzenia raportów wystarczy wyznaczenie
krzywej raz dziennie, na podstawie np. cen zamkni´cia
86 Rynki i Instytucje Finansowe
lub – lepiej, w celu unikni´cia niespójnoÊci danych pochodzàcych z rynków o ró˝nych czasach zamkni´cia –
cen zarejestrowanych o danej, z góry ustalonej godzinie. Cz´sto potrzebne jest stworzenie krzywej na
dzieƒ, w którym aktualne ceny nie sà dost´pne,
np. nale˝y opracowaç raport na ostatni dzieƒ miesiàca, który jest wolny od pracy. W tej sytuacji mo˝emy stworzyç krzywe korzystajàc z dodatkowych
za∏o˝eƒ. Najbardziej atrakcyjne wydajà si´ dwie
mo˝liwoÊci.
Pierwsza to za∏o˝enie, ˝e ceny instrumentów nie
zmieni∏y si´ od ostatniego dnia roboczego. PodejÊcie takie powoduje jednak dylemat – czy przez poj´cie ceny
nale˝y rozumieç rentownoÊç, czy koszt zakupu. W jaki
sposób traktowaç przep∏ywy pieni´˝ne instrumentów,
które nastàpi∏y po zarejestrowaniu ceny (czyli mia∏y na
nià wp∏yw), ale przed terminem ponownego tworzenia
krzywej? Z powodu tych trudnoÊci proÊciej przyjàç alternatywne za∏o˝enie.
Za∏ó˝my mianowicie, ˝e natychmiastowe stopy terminowe si´ nie zmieni∏y. Wówczas mo˝emy
porzuciç zainteresowane instrumentami, które pos∏u˝y∏y do wyznaczenia krzywej, a do wyznaczenia nowej konieczna jest tylko „stara” krzywa, z
ostatniego dnia roboczego. W tym przypadku,
wartoÊci czynników dyskontowych na dzieƒ wolny od pracy (tj. taki, dla którego nie ma cen potrzebnych do zbudowania krzywej) oblicza si´ wg
wzoru:
DSWp (t ) =
k
DSEp (t )
k
DSEp (tw )
, t ≥ tw ,
k
gdzie:
tw
– termin dnia wolnego od pracy,
DSEp (t ) – krzywa czynników dyskontowych stwok
BANK I KREDYT l u t y 2 0 0 3
Wnioski i komentarze
Krzywa stóp zerokuponowych dana jest wzorem:
Z (t ) = −
ln( D E (t ))
Z W (t ) = −
t − t0
, a w dniu wolnym od pracy
ln( DW (t ))
t − t0
k
Ceny ci , j w ramach jednego szeregu instrumentów sk∏adowych Sk powinny mieç jednolity charakter, tj. dotyczyç tej samej strony transakcji (bid lub
ask) lub ich pochodnej (np. mid). Na potrzeby wyceny instrumentów finansowych tworzy si´ dwie krzywe (bid i ask) dla ka˝dej klasy instrumentów finansowych oraz stosuje si´ stosownie do strony wycenianej
transakcji.
Funkcja f (t ) natychmiastowych stóp terminowych
nie jest ciàg∏a – jest serià odcinków (wykres), dzi´ki
czemu mo˝na jà przechowywaç w postaci szeregu par
(t(i, ni ), f (i)), i = 1Ksk , na podstawie którego ∏atwo mo˝na
wyznaczyç czynniki dyskontowe ze wzoru (1).
Wykres 1 Natychmiastowe stopy terminowe i czynniki dyskontowe
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
D(t)
f(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
rzona w ostatni dzieƒ roboczy poprzedzajàcy tw.
Literatura
1. J.N. Webber (2000): Interest Rate Modelling. Chichester, Wiley.
2. S.G. Kellison (1991): The Theory of Interest. Irwin.
3. G.S. Questa (1999): Fixed Income Analysis for the Global Financial Market. New York Wiley.
4. W. WaluÊ: Nota o interpolacji czynników dyskontowych. „Rynek Terminowy” nr 11/2001.
8
9
10