Gaussowskie mody pod³u¿ne

Gaussowskie mody podłużne.doc
Strona 1 z 3
Gaussowskie mody podłużne
Reprodukowanie się amplitudy zespolonej wiązki gaussowskiej prowadzi do
wymogu odtwarzalności parametru Kogelnika.
Reprodukowanie się fazy jest równoważne konstruktywnej interferencji pola
po obiegu rezonatora. Tak więc różnica fazy na osi optycznej musi być wielokrotnością 2π przy pełnym obiegi rezonatora i π na drodze d.
Tak więc dla fazy Φ1 modów wyższego rzędu i symetrii obrotowej:
eiΦ1 = e
LM a
N
f
−i kd − 2 n + m+1 arctan
FG d IJ OP
H z0 K Q = e −i⋅π p ,
albo:
a
f
kd − 2n + m + 1 arctan
p ∈C
FG d IJ = π p
Hz K
0
Związek pomiędzy z0 i d dla konkretnego rezonatora wynika z warunku
na odtwarzalność parametru Kogelnika
2 g g − g1 − g2
d
dla rezonatora niekonfokalnego
= 1 2
z0
g1g2 1 − g1 g2
d
= 2 dla wiązki symetrycznej w rezonatorze konfokalnym
z0
To jest równanie na k. Ponieważ dla dowolnego x arctan x < π 2 , a liczby
całkowite n i m są niewielkie, to w pierwszym przybliżeniu człon ten można
uznać za małą stałą C. Wówczas (w próżni, w ośrodku podstawić c := c nr ):
a
f
af
π C
c
c
c
+ ; ν= =
=k
2π
λ 2π k
d d
π
c
∆k = k p +1 − k p = ; ∆ν =
2d
d
kd − C = πp ⇒ k = p
Dokładniej: obliczone odległości pomiędzy modami podłużnymi dotyczą tego
samego modu poprzecznego (n i m).
Gaussowskie mody podłużne.doc
Strona 2 z 3
Warunek wzmocnienia dla wszystkich modów można wyznaczyć dla konkretnego rezonatora.
Dla prostoty obliczeń rozpatrzmy rezonator stabilny: g1 = 1 i g2 = 1 2 :
R1 = ∞
W takim przypadku
R2 = 2d
d
2 g 2 − 1 − g2
π
d
=
= 1; arctan(1) = .
4
z0
g 2 1 − g2
a
f
Warunek na k jest więc następujący:
kd −
F
H
2n + m + 1
1 2n + m
c
π = π p ⇒ ν n ,m, p =
p+ +
4
2d
4
4
I
K
Załóżmy, że generują się mody dla n i m ≤ 3 . Obliczmy możliwe przesunięcia
częstości w stosunku do podstawowej ν 0,0, p
m
n
0
1
2
3
0
0
2/4
1
6/4
1
1/4
3/4
5/4
7/4
2
2/4
1
6/4
2
3
3/4
5/4
7/4
9/4
Gaussowskie mody podłużne.doc
Strona 3 z 3
Pojawiają się dodatkowe częstości oraz degeneracja:
ν n ,m, p =
-1/4
0
1/4
2/4
3/4
F
H
1
c
K+
2d
4
1
I
K
5/4
6/4
7/4
2
9/4
n,m,p
2,3,p-2
3,1,p-2 3,2,p-2 3,3,p-2
0,3,p-1
1,1,p-1 1,2,p-1 1,3,p-1
2,0,p-1 2,1,p-1 2,2,p-1 2,3,p-1
3,0,p-1 3,1,p-1 3,2,p-1 3,3,p-1
0,0,p
0,1,p
0,2,p
1,0,p
0,3,p
1,1,p
1,2,p
2,0,p
1,3,p
2,1,p
2,2,p
3,0,p
2,3,p
3,1,p
3,2,p
3,3,p
0,0,p+1 0,1,p+1 0,2,p+1 0,3,p+1
1,0,p+1 1,1,p+1 1,2,p+1 1,3,p+1
2,0,p+1 2,1,p+1
0,0,p+2 0,1,p+2
F
H
1
c
p+
2d
4
I
K
F
H
1
c
p +1+
4
2d
I
K
c
2d
F
H
1
c
p+2+
4
2d
I
K
ν