Dynamiczne zachowanie się metalowego pręta ze wzmocnieniem

Biuletyn WAT
Vol. LXII, Nr 1, 2013
Dynamiczne zachowanie się metalowego pręta
ze wzmocnieniem potęgowym uderzającego
w sztywną tarczę
I. Rozważania teoretyczne
Edward Włodarczyk, Marcin Sarzyński
Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Mechatroniki i Lotnictwa,
00-908 Warszawa, ul. S. Kaliskiego 2, [email protected], [email protected]
Streszczenie. W pierwszej części pracy rozwiązano analitycznie jednowymiarowe zagadnienie dynamicznej deformacji z dużymi odkształceniami plastycznymi metalowego cylindrycznego pręta
uderzającego prostopadle w sztywną tarczę. Materiał pręta modelowano w strefie odkształceń plastycznych nieściśliwym ośrodkiem sztywno-plastycznym z potęgowym wzmocnieniem odkształceniowym. Sztywno-plastyczny model ze wzmocnieniem odkształceniowym zapewnia dobrą korelację
wyników teoretycznych z eksperymentalnymi i w sposób istotny upraszcza rozwiązanie problemu.
Wyprowadzone zamknięte analityczne relacje, zapisane elementarnymi funkcjami, dają badaczom
i inżynierom bezpośredni wgląd we wzajemne oddziaływania między parametrami pręta podczas
procesu zderzenia i po jego zakończeniu. Przedstawione analityczne relacje będą wykorzystane do
teoretycznej i eksperymentalnej analizy dynamicznych charakterystyk pręta podczas uderzenia i po
jego zakończeniu. Problem ten rozpatrzymy w drugiej części pracy.
Słowa kluczowe: dynamika, dynamika pręta, test Taylora, potęgowe wzmocnienie materiału
1. Wprowadzenie
W pracy [1] przedstawiono analityczne rozwiązanie jednowymiarowego
problemu testu Taylora [2] dla metalowego pręta. Materiał pręta opisano modelem sztywno-plastycznym [3] z liniowym wzmocnieniem odkształceniowym.
W strefie odkształceń plastycznych pominięto ściśliwość ośrodka. Wyprowadzono zamknięte wzory wyrażone przez elementarne funkcje, które opisują
46
E. Włodarczyk, M. Sarzyński
dynamiczne charakterystyki pręta podczas procesu uderzenia w sztywną tarczę
i po jego zakończeniu. Uzyskane wyniki z obliczeń teoretycznych dobrze aproksymują dane eksperymentalne [3, 4].
W niniejszym opracowaniu rozwiązujemy analogiczny problem jak w [1] dla pręta
z potęgowym wzmocnieniem odkształceniowym.
2. Sformułowanie problemu
Właściwości mechaniczne wielu metali, które ulegają trwałym odkształceniom
plastycznym pod odpowiednim obciążeniem, można aproksymować z wystarczającą
dla celów technicznych dokładnością modelem sztywno-plastycznym. W modelu
takim pomija się odkształcenie sprężyste (s = 0), które jest o ponad rząd wielkości
mniejsze od występujących w technice trwałych odkształceń plastycznych [5].
Zgodnie z teorią plastyczności [6], w miarę wzrostu odkształceń plastycznych
liczba Poissona ν zbliża się do 0,5. Mając to na uwadze, przyjęto, że w strefie plastycznego płynięcia  ≈ 0,5, tzn. materiał pręta jest w przybliżeniu nieściśliwy [2-4].
Ponadto, podobnie jak w [2-4], założono, że zachowanie się materiału pręta w strefie odkształceń plastycznych nie zależy od szybkości odkształcenia,
tj. σ = σ(ε). Założenie to ogranicza zakres stosowania prezentowanej teorii, który
określono szczegółowo w drugiej części pracy.
Przy prostopadłym uderzeniu sztywno-plastycznego pręta w nieodkształcalną tarczę,
z dostatecznie dużą prędkością U, generuje się w nim plastyczna fala naprężenia. Fala
ta rozprzestrzenia się w pręcie od płaszczyzny kolizji w kierunku tylnego jego końca
z bezwzględną, zmienną z upływem czasu prędkością  = (t). W rozpatrywanym
sztywno-plastycznym modelu materiału pręta, tylna jego część o chwilowej długości xs(t), położona przed frontem fali plastycznej, jest sztywna i przemieszcza
się podczas procesu zderzenia w kierunku przegrody z bezwzględną prędkością
u = u(t). Pozostały odkształcany plastycznie fragment pręta zawarty między frontem
fali i sztywną przegrodą z powodu braku odkształceń sprężystych (s = 0) jest nieruchomy. Jednym słowem, każdy element pręta podczas odkształcania plastycznego
nagle rozszerza się radialnie i jest w sposób nagły wyhamowany za frontem fali do
zerowej prędkości (u = 0).
Opisany wyżej fizyczny model deformacji pręta podczas procesu zderzenia i po
jego zakończeniu, na którym oparto konstrukcję rozwiązania problemu, pokazany
jest schematycznie odpowiednio na rysunkach 1a i 1b.
Dla uzupełnienia jakościowego opisu fizycznego modelu rozwiązywanego w [1]
problemu, oznaczono literami S i σ odpowiednio: pole przekroju poprzecznego pręta
i naprężenie nominalne występujące w nim tuż za frontem fali plastycznej, natomiast symbolami S0 i σsd te same wielkości tuż przed frontem fali; ρ jest gęstością
materiału pręta.
Dynamiczne zachowanie się metalowego pręta ze wzmocnieniem potęgowym... I
47
Rys. 1. Postacie deformacji sztywno-plastycznego pręta: a) podczas procesu zderzenia; b) po zakończeniu procesu zderzenia
Pozostałe symbole zamieszczone na rysunku 1 oznaczają:
xp — bieżącą długość odkształcanej plastycznie części pręta,
xs — bieżącą długość sztywnej części pręta,
xt — bieżące przemieszczenie swobodnego końca pręta,
Xt — bieżącą całkowitą długość pręta podczas procesu zderzenia,
D0 — początkową średnicę pręta,
DL — maksymalną średnicę pręta,
L — początkową długość pręta,
x — współrzędną Lagrange’a.
Dodatkowy indeks k oznacza końcowe wartości wymienionych wyżej wielkości
po procesie zderzenia, np. xpk jest końcową długością odkształconej plastycznie
części pręta, itd.
Z nieściśliwości materiału pręta w strefie odkształceń plastycznych i modelu
sztywno-plastycznego wynika następujące równanie ciągłości ruchu elementów
pręta:
48
E. Włodarczyk, M. Sarzyński
lub
(u + )dt S0 =  dt S u
S − S0 = S0 ,

S u+
=
.
S0

(2.1)
(2.2)
Ściskające osiowe odkształcenie nominalne w strefie plastycznej pręta, po
uwzględnieniu relacji (2.2), można wyrazić wzorem:
=
S − S0
u
=
.
S
u+
(2.3)
Szybkość skracania bieżącej długości sztywnej części pręta, xs, podczas procesu
zderzenia określa równanie:
dxs
= −(u + ).
dt
(2.4)
Element pręta dxs = –(u + )dt po przejściu przez niego frontu fali plastycznej
wyhamowany jest do zerowej prędkości (u = 0), zatem prawo zmiany jego pędu
ma postać:
(u + )dt S0 u = ( −  sd )S0 dt ,
a po uproszczeniu jest:
(u + )u =  −  sd ,
(2.5)
gdzie przez σsd oznaczono dynamiczną nominalną granicę plastyczności materiału
pręta.
Równanie ruchu sztywnej części pręta można zapisać za pomocą relacji:
 xs
du
= −  sd .
dt
(2.6)
Krzywą ściskania materiału pręta  = () aproksymujemy modelem
sztywno-plastycznym z potęgowym wzmocnieniem odkształceniowym, tj.
 −  sd = Ew m , (2.7)
Dynamiczne zachowanie się metalowego pręta ze wzmocnieniem potęgowym... I
49
gdzie współczynnik, Ew , i wykładnik potęgowy wzmocnienia, m, określane są eksperymentalnie w układzie naprężenia i odkształcenia nominalnego.
W ten sposób skompletowano zamknięty zbiór równań i związków określających
matematyczny model rozpatrywanego zagadnienia. Zagadnienie to, uzupełnione
w dalszym ciągu rozważań odpowiednimi warunkami granicznymi, rozwiązano
analitycznie w następnej części pracy.
3. Analityczne rozwiązanie problemu
Po eliminacji różniczki dt z równań (2.4) i (2.6) oraz wykorzystaniu relacji
(2.3), otrzymuje się:
dx
d (u 2 )= 2  sd  s .
(3.1)
x s
Następnie z równań (2.3), (2.5) i (2.7) wynika, że
u 2 = Ew m +1 . (3.2)
Dalej z wyrażeń (3.1) i (3.2) po przekształceniach mamy:
dxs m + 1 Ew m −1
 d .
=
xs
2  sd
(3.3)
W chwili t = 0 pręt uderza w nieodkształcalną przegrodę z prędkością U. Wówczas xs = L i u = U. Mając to na uwadze, ze wzoru (3.2) dostajemy:
1
2
 U 2  m +1  U  m +1
( xs = L) = L = 
=  ,
c
 Ew 
c=
Ew
.
 (3.4)
Po scałkowaniu równania (3.3) i wykorzystaniu powyższego warunku początkowego
otrzymuje się:
2m


xs m + 1 Ew  m  U  m +1 
(3.5)
 − 
ln =
 c  
L
2m  sd 


lub
1
2m m


1
m +1

x
m
U
2


sd
s

=
ln +    =  y (xs ) m ,
 m + 1 Ew
L c 


(3.6)
E. Włodarczyk, M. Sarzyński
50
gdzie oznaczono
2m
2m  sd xs  U  m +1
y (xs ) =
ln +   .
m + 1 Ew
L c
(3.7)
Ponieważ xs ≤ L, zatem z analizy wyrażenia (3.6) i wzoru (3.4) bezpośrednio wynika, że
2
L = max
 U  m +1
=  .
c
(3.8)
Zgodnie ze związkiem (2.7) maksymalne naprężenie nominalne występuje
w chwili uderzenia (t = 0) na kontakcie z przegrodą (xs = L) i wynosi
2m
 L =  max
 U  m +1
=  sd + Ew mL =  sd + Ew   .
c
(3.9)
Z kolei, przekształcając wyrażenia (2.3), (3.2) i (3.6), otrzymuje się:
u (xs ) = c
m +1
2
= c  y (xs )
m −1

1− 
 (xs ) =
u = c (1 − ) 2 = c   y (xs )


u (xs ) +  (xs ) = c  y (xs )
m +1
2m
,
m −1
2m
m −1
2m
(3.10)
−  y (xs )
m +1
2m

,
 (3.11)
.
(3.12)
Z relacji (3.11) wynika, że wartość prędkości przemieszczania się frontu fali
plastycznej w pręcie, υ, którego materiał charakteryzuje się współczynnikiem m < 1,
rośnie do nieskończoności, gdy kończy się proces zderzenia, ponieważ wówczas
ε → 0. Osobliwość tę w chwili zakończenia procesu zderzenia (t = tk) redukuje na
froncie fali plastycznej do zera równanie zmiany pędu (2.5), z którego po wykorzystaniu (2.7) i uwzględnieniu, że: u(tk) = 0, (tk) = 0 otrzymuje się (tk) ⋅ u(tk) = 0.
Przez zróżniczkowanie wyrażenia (3.6) względem czasu i wykorzystanie relacji
(2.4) oraz (3.12) otrzymuje się wzór określający szybkość odkształcenia plastycznego:
1− m
1− m
d
u+
2  sd
1 dxs
2  sd
 y (xs ) m
 y (xs ) m
=  =
=−
=
dt
m + 1 Ew
xs dt
m + 1 Ew
xs
1− m
2  sd c
 y (xs ) 2 m .
=−
m + 1 Ew xs
(3.13)
Dynamiczne zachowanie się metalowego pręta ze wzmocnieniem potęgowym... I
51
Analogicznie jak prędkość υ, szybkość odkształcenia  (tk ) = ∞. Ponieważ rozwiązanie rozpatrywanego zagadnienia nie zależy od  (t ), zatem osobliwość ta nie jest sprzężona
z badanymi parametrami pręta.
Po podstawieniu wyrażenia (3.12) do równania (2.4) i rozdzieleniu zmiennych
mamy:
 y (xs )
1− m
2m
x 
 ct 
d  s  = −d   .
L
L
(3.14)
Funkcja odwrotna do y(xs), zgodnie z zapisem (3.7), ma postać:
2m


m +1
xs
E
m
U
1
+


w
 exp  m + 1 Ew y  ,
= exp  −


 2m  sd  c  
L
 2m  sd  

(3.15)
a po zróżniczkowaniu jest:
2m


m +1
 m + 1 Ew 
E
m
U
1
+
 xs  m + 1 Ew


w

d =
y dy. (3.16)
exp  −
exp 


 L  2m  sd
 2m  sd  c  
 2m  sd  

Całkowanie równania (3.14) z uwzględnieniem relacji (3.16) oraz faktu, że dla
t = 0 jest xs = L i y(L) = yL, daje:
2m

 y ( xs ) 1− m
m +1
 m + 1 Ew
E
c t m + 1 Ew
m
U
1
+


w


 2 m exp 
exp −
− =


∫
 2m  sd  c   yL
L
2m  sd
 2m  sd


gdzie
2m
 U  m +1
yL =   ,
c

  d , (3.17)

2m
2m  sd xs  U  m +1
y (xs ) =
ln +   ≤  ≤ yL .
m + 1 Ew
L c
(3.18)
W ten sposób uzyskano bieżącą długość nieodkształconej części pręta w postaci
uwikłanej funkcji czasu podczas trwania procesu zderzenia dla ogólnej wartości
potęgowego wykładnika wzmocnienia m.
W szczególnym przypadku, gdy ułamek
1− m
= k;
2m
1 1
k = 0, 1, 2, ...; tj. m = 1, , , ...
3 5
(3.19)
E. Włodarczyk, M. Sarzyński
52
oraz
m + 1 Ew
= a,
2m  sd
to wówczas
y (xs ) 1− m
2m
∫

sd
yL
 m + 1 Ew
exp 
 2m 

 d  =

   k k  k −1 k (k − 1)
= e a   − 2 +
a
a3
  a
y (xs )
∫
 k e a d  =
yL
k −2
− + (−1)
k −1
y (xs )
k !
k k ! 
+ (−1) k +1   .
k
a
a   yL
(3.20)
Z kolei bieżącą długość części odkształconej plastycznie pręta można określić
za pomocą całek:
x p (t )
L
ct L
=
∫
0
  xs ( )  c  ct L 
d   = ∫  y  xs ( )
L 0 
c
m −1
2m
− y  xs ( )
m +1
m
  c 
 d   (3.21)
  L 
lub zgodnie z rysunkiem 1a — następującym wzorem:
x p (t )
L
 x (t ) x (t )
= 1−  s + t ,
L 
 L
(3.22)
gdzie bieżące przemieszczenie swobodnego końca pręta, xt, określa całka:
xt
=
L
ct L
∫
0
u  xs ( )  c 
d  ,
L
c
którą po wykorzystaniu zależności (3.10), (3.14) i (3.16) można przekształcić do
postaci:
2m

x (x ) m + 1 E
m + 1 Ew  U 
t
s
w
exp  −
=
 2m  sd  c 
L
2m  sd

2m
m +1




 U  m+1
 c 
∫
y (xs )
1
 m + 1 Ew
 m exp 
 2m  sd

  d . (3.23)

Bieżąca średnica plastycznie odkształconej części pręta, zgodnie z wyrażeniami
(2.3), (3.11) i (3.12) zdeterminowana jest wzorem:
D p = D0
1

u+ 
= 1 −  y (xs ) m 



−
1
2
D0 .
(3.24)
Dynamiczne zachowanie się metalowego pręta ze wzmocnieniem potęgowym... I
53
Z analizy wyrażenia (3.24) oraz funkcji y(xs) (3.7) wynika, że maksymalna średnica
odkształconej części pręta występuje w przekroju kontaktującym z przegrodą, tj. dla xs = L,
i wynosi:
1
D p max
2


m +1
U



= DL = 1 −   
 c 


−
2
D0 .
(3.25)
Z tej relacji można określić dynamiczną wartość wykładnika potęgi wzmocnienia,
a mianowicie:
2
U 
ln  
c
(3.26)
md =
− 1.
  D 2 
ln 1 −  0  
  DL  
Jak widać, wartość wykładnika md jednoznacznie determinuje stosunek średnic
D0 /DL, który określa się przez pomiar odkształconego plastycznie pręta odzyskanego
po procesie zderzenia dla danej prędkości uderzenia U.
Ostatecznie wszystkie dynamiczne charakterystyki sztywno-plastycznego pręta
z odkształceniowym potęgowym wzmocnieniem, uderzającego prostopadle
w nieodkształcalną tarczę, określono w postaci uwikłanych funkcji wielkości xs .
Ta ostatnia jest funkcją czasu zdefiniowaną przez równanie (3.16).
Obecnie określimy graniczne wartości geometrycznych charakterystyk pręta
po zakończeniu procesu zderzenia z tarczą.
4. Graniczne wartości geometrycznych charakterystyk pręta
Jako pierwszą w kolejności określimy końcową długość sztywnej części pręta, xsk.
Po całkowitym wyhamowaniu sztywnej części pręta przez front fali plastycznej, tj. dla u = 0,
z wyrażeń (3.10) i (3.7) otrzymuje się wartość xsk określoną zamkniętym wzorem,
a mianowicie:
2m


xsk
m + 1 Ew  U  m +1 

(4.1)
= exp −
.
 2m  sd  c  
L


Z relacji (4.1) bezpośrednio wynika, że dla każdej wartości prędkości U ≠ ∞
zawsze zachowuje się sztywny odcinek pręta o określonej długości xsk ≠ 0. Fakt ten
potwierdzają wyniki eksperymentalne przytoczone na rysunku 2 [4].
Ponadto z wyrażenia (4.1) uzyskuje się prosty wzór określający dynamiczną
granicę plastyczności materiału pręta w postaci:
E. Włodarczyk, M. Sarzyński
54
2m
 sd
m + 1  U  m +1
E  
2m w  c 
=
,
L
ln
xsk
c=
Ew
.

(4.2)
Rys. 2. Stalowe pręty po teście Taylora
Jak widać, dla określenia sd danego materiału pręta (ρ, Ew, m) należy dokonać
tylko pomiaru wartości końcowej długości sztywnej części pręta xsk przy danej
prędkości uderzenia U.
Finalne przemieszczenie swobodnego końca pręta po zakończeniu zderzenia
określa się z wyrażenia:
2m

xtk m + 1 Ew
m + 1 Ew  U 
exp  −
=
 

L
2m  sd
2m  sd  c 

2m
m +1




 U  m+1
 
c
∫
y (xsk )
1
 m + 1 Ew
 m exp 
 2m  sd

  d . (4.3)
 Wartość okresu tk, po którym kończy się proces zderzenia pręta z tarczą, otrzymuje się po podstawieniu wielkości xsk zamiast xs we wzorze (3.17), tj.
2m

 yL 1− m
m +1
 m + 1 Ew
c t k m + 1 Ew
E
m
U
1
+


w


 2 m exp 
exp −
=


∫
 2m  sd  c   y (xsk )
L
2m  sd
 2m  sd


gdzie
U 
yL =  
c
2m
m +1
,
y (xsk ) =
2m  sd xsk  U 
+ 
ln
m + 1 Ew
L c
2m
m +1
.

 d ,

(4.4)
(4.5)
Końcowa długość odkształconego plastycznie odcinka pręta, xpk, zgodnie z wyrażeniami (3.21) i (3.22) określona jest wzorami:
Dynamiczne zachowanie się metalowego pręta ze wzmocnieniem potęgowym... I
x pk
L
lub
=
x p (tk )
L
=
ctk
L
∫
0
m −1
m +1

  ct 
  y (xs ( )) 2 m −  y (xs ( )) 2 m  d  

 L
x pk
x
x
= 1 −  sk + tk
 L
L
L
55
(4.6)
  .
(4.7)
Na zakończenie przedstawionych wyżej rozważań teoretycznych przedstawimy
zamknięte rozwiązania dla wykładników potęg wzmocnienia m = 1 i m = 1/3.
5. Wersja m = 1 — wzmocnienie liniowe
W zakresie umiarkowanych odkształceń ( < 0,5) liniowym związkiem
 – sd = Ew można aproksymować, z wystarczającą dla celów technicznych
dokładnością, wykresy naprężenie–odkształcenie wielu stosowanych w praktyce metali. Dla takich materiałów charakteryzowanych liniowym związkiem
 – sd = Ew można stosować w inżynierskich obliczeniach zamieszczone niżej
analityczne rozwiązanie rozpatrywanego problemu.
Dla m = 1 z zależności (3.18) i (3.19) otrzymuje się:
yL =
U
, c=
c
Ew

x U
E
, y (xs ) = sd ln s + , k = 0, a = w

Ew
L c
 sd (5.1)
i wówczas całka (3.20) po rozwiązaniu daje
y (xs )
∫
 k e a d  =
yL
E
 sd
exp  w
Ew
  sd
y (xs )


 yL
=
 Ew   sd xs U  
 E U  

ln +   − exp  w   =
exp 

L c 
  sd c  

  sd  Ew
=
 sd
Ew
=
 Ew U 
 sd  xs

.
 − 1 exp 
Ew L
  sd c 
(5.2)
Następnie z relacji (3.17) dla m = 1 i zależności (5.1) wynika, że
xs (t )
ct
= 1− .
L
L
(5.3)
E. Włodarczyk, M. Sarzyński
56
Zatem w sztywno-plastycznym pręcie z liniowym wzmocnieniem długość nieodkształconej jego części maleje liniowo z upływem czasu podczas procesu zderzenia.
Bieżąca długość odkształconej plastycznie części pręta, xp(t), zgodnie z wyrażeniami (3.21), (5.1)3 i (5.3) dla m = 1 wynosi:
ct
ct
L
x p (t ) 1 L
 U 
 c 
 c   c
= ∫   xs ( ) d   = ∫ 1 − − sd ln 1 −   d
=



L
c0
L
c Ew
L  L
0 
 U   ct 
= 1 − + sd  + sd
c Ew  L Ew

(5.4)
 ct   ct 
1 −  ln 1 −  .
L
L
Pozostałe bieżące i końcowe charakterystyki dynamiczne pręta dla m = 1, zgodnie
z wyprowadzonymi w poprzednich częściach pracy ogólnymi relacjami dla dowolnych wartości m, można zapisać explicite następującymi wzorami:
= y =
U  sd xs U  sd  ct 
ln = +
ln 1 −  ,
+
c Ew
L c Ew 
L
L = max =
U
,
c
(5.5)
 c

d
c
,
=  = − sd
= − sd
dt
Ew xs
Ew L − ct
 =  sd + Ew ,
 sd
U
Ew
c ,
=
L
ln
xsk
(5.6)
 max =  L =  sd + Ew
U
,
c

x

 ct 
u = U + c sd ln s = U + c sd ln 1 −  ,
Ew L
Ew 
L

x

 ct 
 = c − U − c sd ln s = c − U − c sd ln 1 −  ,
Ew
L
Ew 
L
(5.7)
(5.8)
(5.9)
u +  = c = const ,
 U 
x 
D p = D0 1 − − sd ln s 
c Ew
L

−
1
2
(5.10)
 U 
 ct  
= D0 1 − − sd ln 1 −  
c Ew 
L 

−
1
2
,
(5.11)
Dynamiczne zachowanie się metalowego pręta ze wzmocnieniem potęgowym... I
DL = D p maz
 U
= D0 1 − 

c
−
1
2
,
 E U 
L
tk = 1 − exp  − w   ,
c
  sd c  
(5.12)
(5.13)
 E U
xsk
= exp  − w  ,
L
  sd c 
57
(5.14)
xtk U  sd
= −
L
c Ew
 xsk 
1 − L  ,


x pk
 x  
= 1 − sk  1 + sd
L 
L 
Ew
(5.15)
 U
 − c ,
X tk
x
= 1 − tk .
L
L
(5.16)
(5.17)
Zamieszczone wyżej wzory (5.3)-(5.17) pokrywają się z wynikami w pracy [1],
w której zamieszczono obszerną ich analizę ilościową. Uzyskano dobrą zgodność
wyników teoretycznych z danymi eksperymentalnymi dla wysokowytrzymałych
stali stopowych.
6. Wersja m = 1/3 — wzmocnienie nieliniowe
Dla m = 1/3 z wyrażeń (3.18) i (3.19) otrzymuje się:
yL =
E
U
U
1  sd xs
, y (xs ) =
ln +
, a = 2 w , k = 1.
c
L
c
 sd
2 Ew
(6.1)
Całka (3.20) po wykorzystaniu zależności (6.1) przyjmuje postać:
y (xs )
∫
yL
2
 E
1 
 e d  =  sd  exp  2 w
4  Ew 
  sd
k a
U
c
  xs xs  Ew
  L ln L +  2 
 
 sd
 x
U

− 1  s − 1  . (6.2)
 
c
 L
E. Włodarczyk, M. Sarzyński
58
Po podstawieniu wyrażenia (6.2) do relacji (3.17) i odpowiednich przekształceniach mamy:
 x  x
x 
c t 1  sd   Ew U
(6.3)
=
− 1 1 − s  − s ln s  .
 2
L 2 Ew    sd c
L  L L 

Z zależności tej dla danej chwili czasu t można określić chwilową wartość długości sztywnej części pręta xs(t).
Z kolei obliczając całkę w wyrażeniu (3.23) dla m = 1/3 otrzymuje się bieżące
przemieszczenie swobodnego końca pręta, xt , w postaci uwikłanej funkcji zmiennej xs,
a mianowicie:
3

xt   U  2
U
U
=    − 3a −1 + 6a −2
− 6a −3  +
L  c 
c
c


gdzie
−  y 3 (xs ) − 3a −1 y 2 (xs ) + 6a −2 y (xs ) − 6a −3  exp  a y (xs ) ,
y (xs ) =
U
1  sd xs
ln +
,
L
c
2 Ew
a=2
Ew
,
 sd
(6.4)
Ew .

c=
(6.5)
Bieżąca długość odkształconej plastycznie części pręta, xp(t), dla m = 1/3 zgodnie
z rysunkiem 1a wynosi:
x p (t ) = L −  xs (t ) + xt (t ) , (6.6)
gdzie wartość funkcji xs(t) i xt(t) dla danej chwili t określa się z równań (6.3)-(6.5).
Pozostałe bieżące i końcowe charakterystyki dynamiczne pręta dla m = 1/3, zgodnie
z wyprowadzonymi wyżej ogólnymi relacjami mają następujące postacie:
3
3
 1  sd xs
U
 (xs ) =  y (xs ) = 
ln +
 ,
L
c
 2 Ew
3
L = max
d
U
3 L  sd c  1  sd xs
=−
ln +
,

dt
L
c 
2 xs E L  2 E
U  2
(6.7)
=  ,
c (6.8)
3
 1  sd xs
U
 (xs ) = Ew  y (xs ) = Ew 
ln +
 ,
L
c
 2 Ew
3
(6.9)
Dynamiczne zachowanie się metalowego pręta ze wzmocnieniem potęgowym... I
3
2
U 
 max =  L = Ew   ,
c
 sd
(6.10)
2
2
(6.11)
3
 1  sd xs
U
1− 
ln +
3

1 −  y (xs )
L
c
2 Ew

=c
=c
,
y (xs )
U
1  sd xs
ln +
L
c
2 Ew
u +  = c  y (xs )
−1
{
1
2
D p = D0 1 −  y (xs )
D p max
tk =
3
}
−
−1
−
−
1
(6.14)
1
2
,
(6.15)
 x  x
x 
U
− 1 1 − sk  − sk ln sk  ,
c
L  L
L  
−  y (xsk ) − 3a −1  y (xsk ) + 6a −2 (xsk ) − 6a −3
2
(6.16)
U
,
c  3


xtk   U  2
U
U
=   − 3a −1 + 6a −2
− 6a − 3  +

L  c 
c
c


3
(6.13)
3
2
  1 
xs
U  
sd
= D0 1 − 
ln +
  ,
L
c  2 Ew
 

 E
xsk
= exp  −2 w
L
  sd
{
(6.12)
 1  sd xs
U
= c
ln +
 ,
L
c  2 Ew
3


U  2 

= DL = D0 1 −  
 c 


1  sd L   Ew
 2
2 Ew c    sd
U
c ,
=
L
ln
xsk
2 Ew
 1  sd xs
U
u = c  y (xs ) = c 
ln +
 ,
L
c  2 Ew
59
(6.17)
}exp ay (x
sk
) ,
(6.18)
60
E. Włodarczyk, M. Sarzyński
x pk
x
x
= 1 −  sk + tk
 L
L
L

 .
(6.19)
7. Uwagi końcowe
W ten sposób uzyskano analityczne rozwiązanie problemu początkowo-brzegowego dla metalowego cylindrycznego pręta uderzającego prostopadle z odpowiednią
prędkością początkową, U, w nieodkształcalną płaską tarczę — test Taylora. Materiał
pręta aproksymowano nieściśliwym modelem sztywno-plastycznym z odkształceniowym potęgowym wzmocnieniem. Model ten obejmuje wzmocnienie liniowe
jako przypadek szczególny (m = 1).
Przedstawiona wyżej teoria będzie podstawą do analizy jakościowej i ilościowej
dynamicznych parametrów pręta zweryfikowanej badaniami eksperymentalnymi,
którą przedstawimy w drugiej części pracy.
Artykuł wpłynął do redakcji 3.08.2012 r. Zweryfikowaną wersję po recenzji otrzymano w październiku 2012 r.
Literatura
[1] E. Włodarczyk, A. Jackowski, M. Sarzyński, Dynamic behavior of a metallic cylinder striking
a rigid target, Biul. WAT, 61, 4, 2012.
[2] G.I. Taylor, The use of flat-ended projectiles for determining dynamic yield stress, I. Theoretical
considerations, Proc. Roy. Soc., Series a, London, 194, 1948, 289.
[3] E.H. Lee, S.J. Tupper, Analysis of plastic deformation in a steel cylinder striking a rigid target,
J. Appl. Mech.Trans. ASME, 21, 1954, 63.
[4] A.C. Whiffin, The use flat-ended projectiles for determining dynamic yield stress, II. Tests on
various metallic materials, Proc. Roy. Soc., Series a, London, 194, 1948, 300.
[5] M.F. Ashby, D.R. Jones, Engineering materials, tom 1: An introduction properties and applications,
Cambridge University, England 1980 (przekład na język polski: Materiały inżynierskie, tom 1:
Właściwości i zastosowania, WNT, Warszawa, 1995).
[6] W. Olszak, P. Perzyna, A. Sawczuk, Teoria plastyczności, PWN, Warszawa, 1965.
E. WŁODARCZYK, M. SARZYŃSKI
Dynamic behavior of a metallic cylinder with power strain hardening
striking a rigid target. I. Theoretical considerations
Abstract. The initial-boundary value problem of the one dimensional dynamical plastic deformation
within the scope of large strain of a metallic cylindrical rod has been analytically solved in the first
part of the paper. The deformation of the rod has been caused by its normal impact on a rigid plane
target. The rod material in a deformed part is defined by incompressible, rigid-plastic, power strain
hardening model. Derived in the paper closed analytical relations, written by elementary functions,
give researchers and engineers insight into interaction of physical parameters of the rod during of the
impact process and post-impact. We are going to use these solutions for theoretical and experimental
analysis of dynamical characteristics of the rod during the impact and post-impact processes. We will
consider this problem in the second part of the paper.
Keywords: Dynamics, rod dynamics, Taylor impact, power strain hardening