Podstawy teoretyczne na egzamin z MMFiA II.

Podstawy teoretyczne na egzamin z MMFiA
II.
Bartłomiej Dębski∗
14 lutego 2010
Streszczenie
Oddaję w ręce Czytelników krótki przegląd zagadnień omawianych
w ramach egzaminu z MMFiA II. Znajdują się tutaj podstawy podstaw, czyli rzeczy, które koniecznie trzeba zrozumieć, by zdać egzamin
oraz odnaleźć się w tematyce przyszłych kursów. W poniższym skrypcie znajduje się skrócone omówienie rozmaitości różniczkowej.
Zaznaczam, że poniższy skrypt jest jedynie namiastką tego, co można
znaleźć w wykładach prof. Sokołowskiego, które pomimo że wyglądają
na trudniejsze, są bardzo przystępne.
∗
E-mail: [email protected]
1
1
Co to jest rozmaitość różniczkowa?
Aby określić poprawnie czym jest rozmaitość różniczkowa, trzeba
zacząć od zdefiniowania kilku niższych struktur koniecznych do poprawnej
definicji samej rozmaitości.
Wyjdziemy od jakiegoś zbioru punktów, czyli przestrzeni M. Przestrzeń
tą będziemy sukcesywnie polepszać aż do uzyskania z niej rozmaitości
różniczkowej.
Wprowadzę też od razu rodzinę zbiorów Uα należących do M i
pokrywających całą przestrzeń M. Znaczy to tyle, że przestrzeń M
jest sumą mnogościową zbiorów należących do rzeczonej rodziny:
M=
[
Uα
α
α jest numerem danego zbioru (zbiorów jest ILEŚ, a ILEŚ to jakaś
liczba, więc skoro zbiory są ułożone w kolejności, jak to ma się w
rodzinach, to α jest właśnie ich numerkiem).
1.1
Mapa
Mapa (Uα , ϕα ) - struktura algebraiczna będąca parą:
Uα - pewnego dowolnego zbioru należącego do rodziny zbiorów pokrywających przestrzeń M. Innymi słowy: Dziedzina mapy.
ϕα - bijektywnego odwzorowania zbioru Uα na otwarty zbiór Vα ⊂ Rn .
Czyli: Układ współrzędnych na zadanej mapie.
Przy czym:
Vα = ϕα (Uα ) ⊂ Rn - obraz obszaru Uα na mapie (Uα , ϕα ).
ϕα (p) = (x1 , x2 , . . . , xn ) - współrzędne punktu p ∈ Uα na mapie
(Uα , ϕα ).
Uwaga! Fakt, że Vα ⊂ Rn jest zbiorem otwartym oraz, że ϕα jest bijekcją implikuje, że Uα też jest zbiorem otwartym (!!!). Przez powyższe
przestrzeń M staje się przestrzenią topologiczną, a Uα jest pokryciem
otwartym tej przestrzeni.
Ponieważ ϕα ◦ ϕ−1
α przeprowadzają zbiór otwarty w zbiór otwarty,
to są ciągłe (!). Wynika stąd, że funkcje ϕα są homeomorfizmami Uα
w Vα .
2
Co warto zapamiętać, transformacja współrzędnych to nic innego jak
gładka zmiana odwzorowania ϕα na ϕβ .
Dwie mapy są zgodne, jeśli przejście z jednej mapy do drugiej dokonuje
się za pomocą gładkiego dyfeomorfizmu odpowiednich obszarów w Rn .
Innymi słowy, aby dwie mapy były zgodne, to musi być spełnione co
następuje:
- Jest sobie pewna część wspólna zbiorów Uα oraz Uβ , czyli Uα ∩ Uβ .
- W mapie pierwszej (alfowej) ten wspólny obszar transformowany
jest za pomoca odwzorowania ϕα do jakiegoś otwartego podzbioru
należącego do Vα ⊂ Rn . Ten podzbiór to nic innego jak: ϕα (Uα ∩ Uβ ).
- W mapie drugiej (betowej) zachodzi podobna sytuacja, tj. część
wspólna zbiorów Uα oraz Uβ odwzorowywana jest na Rn w jakimś
otwartym podzbiorze zbioru Vβ ⊂ Rn przez odwzorowanie ϕβ . Tym
sposobem, w drugiej mapie powstaje obraz ϕβ (Uα ∩ Uβ ) ⊂ Vβ ⊂ Rn .
- Aby mapy były zgodne, musi istnieć przejście pomiędzy układami
współrzędnych (i vice versa), czyli musi istnieć gładki dyfeomorfizm
pomiędzy obrazami:
ϕα (Uα ∩ Uβ ) ⊂ Vα ⊂ Rn oraz ϕβ (Uα ∩ Uβ ) ⊂ Vβ ⊂ Rn .
- Konstruuje się w tym celu odwzorowania odwrotne do ϕα oraz ϕβ ,
−1
odpowiednio: ϕ−1
α i ϕβ . Przeprowadza się obraz z Vα = ϕα (Uα ∩ Uβ )
do Vβ = ϕβ (Uα ∩ Uβ ) ⊂ Rn najpierw cofając się z tego pierwszego do
Uα ∩ Uβ za pomocą ϕ−1
α oraz wychodząc stąd do obrazu drugiej mapy
za pomocą ϕβ .
- Aby mapy były zgodne, to przejścia te (będące przecież złożeniami odpowiednich funkcji i odwrotnosci innych funkcji) powinny być
dyfeomorfizmami. Inaczej nie będzie możliwa zmiana współrzędnych!
1.2
Atlas
Gładkim atlasem na M nazywamy zbiór A składający się z
map zgodnych, które pokrywają całą przestrzeń M. (czyli: ileśtam
map zgodnych - każda zgodna z każdą - i one łącznie wypełniają całą
przestrzeń M. Nie ma ani jednego punktu, który należy do M, takiego
żeby nie należał do jakiegoś zbioru U wchodzącego w skład którejś z
map).
3
Atlas przeliczalny to taki atlas, który składa się z przeliczalnej ilości
map. (Przypomnienie: przeliczalność oznacza, że wszystkim mapom
tego atlasu można przyporządkować kolejne liczby naturalne. W ten
sposób można przeliczyć mapy). Tutaj uwaga: Przestrzeń M zawsze da
się pokryć przeliczalną ilością map zgodnych, więc jakiś atlas przeliczalny
na pewno będzie istniał.
Dwa atlasy są równoważne, gdy każda mapa z jednego atlasu jest
zgodna z każdą mapą z drugiego atlasu.
Uwaga! - Suma takich atlasów jest nowym atlasem. Logiczne.
Atlas maksymalny Am to atlas, który zawiera wszystkie mapy zgodne
z mapami jednego, wybranego atlasu (ten wybrany atlas będzie zwany
wtedy maksymalnym). Do atlasu maksymalnego nie można już dołączyć
żadnej nowej mapy tak, aby nie naruszała ona zgodności z mapami
tego atlasu. Atlas maksymalny posiada po prostu wszystkie mapy,
które są ze sobą zgodne i przy okazji pokrywają całą przestrzeń M.
Znalazłeś mapę, która należy do M oraz jest zgodna z mapami należącymi do atlasu maksymalnego? No to ta mapa już należy to tego
atlasu, sorry.
Am zawiera nieprzeliczalną ilość map. Zadaje przez to gładką strukturę rózniczkową na M.
1.3
Rozmaitość różniczkowa
Rozmaitość różniczkowa to taka struktura algebraiczna, która składa
się z pary (M, Am ), przy czym M jest zbiorem, na którym operujemy,
a Am jest atlasem maksymalnych określonym na tym zbiorze M.
Wymiar przestrzeni M to wymiar przestrzeni Rn , na której określone
są obrazy map z tej przestrzeni M. Więc:
DimM = DimRn = n
Definicja rozmaitości różniczkowej zawiera w sobie JAKIŚ atlas maksymalny na M. Daje to więc dowolność w ilości takich atlasów maksymalnych, które sa sobie nierównoważne. Nie ma bowiem ograniczenia
na ilość atlasów maksymalnych, których mapy są sobie wzajemnie
niezgodne. Ze zbioru takich atlasów maksymalnych wybieramy jeden atlas maksymalny Am , który definiuje dla nas naturalną (kanoniczną) strukturę różniczkową na M. przykłady rozmaitości gładkich
są szeroko opisane w wykładach prof. Sokołowskiego. Polecam sobie
4
je przeglądnąć, bo możecie natrafić na pytanie np: czy przestrzeń M,
która składa się z tylko dwóch punktów, może stać się rozmaitością różniczkową. (Aby poprawnie odpowiedzieć na takiego typu pytania trzeba przeanalizować powstawanie map, obrazów map, atlasów,
etc...).
5