Zadanie 1. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o

Zadanie 1.
Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o wymiarach 5 × 12 × 13
Zadanie 2.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 558. Stosunki długości krawędzi
prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu 2: 3: 5. Oblicz długość
przekątnej tego prostopadłościanu.
Zadanie 3.
Objętość sześcianu jest równa 216. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu
Zadanie 4.
Krawędź sześcianu jest o 6 krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.
Zadanie 5.
Sześcian o krawędzi 10 przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną
dolnej podstawy i jeden wierzchołek drugiej (patrz rysunek). Oblicz pole
otrzymanego przekroju.
Zadanie 6.
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 10, a
kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy 30∘ .
Oblicz długość tej przekątnej.
Zadanie 7.
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD,
BE i CF. Oblicz pole trójkąta ABF wiedząc, że |AB|=12 i |CF|=√148. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na
nim trójkąt ABF.
Zadanie 8.
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC
i DEF i krawędziach bocznych AD,BE i CF (zobacz rysunek). Długość
krawędzi podstawy AB jest równa 10, a pole trójkąta ABF jest równe 65.
Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zadanie 9.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC
podstawy ma długość 8. Kąt ACE jest równy 45∘ . Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE
przedstawionego na poniższym rysunku.
Zadanie 10.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o 2
krótsza od przekątnej podstawy i o 4 krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz
sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.
Zadanie 11.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH połączono punkty będące środkami krawędzi
BC, CD, AD i GH. Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że |𝐷𝐵| = 8√2 i kąt DBH ma miarę 30∘ .
Zadanie 12.
Podstawą graniastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz
rysunek), którego krótszy bok ma długość 6. Przekątna prostokąta
ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30∘ . Przekątna HB
graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60∘ . Oblicz
objętość tego graniastosłupa.
Zadanie 13.
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa
24. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny
5
podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 13. Oblicz pole
powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Zadanie 14.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 8 cm, a krawędź podstawy √18
cm. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
Zadanie 15.
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego jest równe 144 cm2, a jego pole
powierzchni bocznej jest równe 240 cm2. Oblicz
objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 16.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o
podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest
równoboczny i ma bok długości 10. Oblicz sinus kąta
nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
Zadanie 17.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC
podstawy ma długość 8. Kąt ACE jest równy 30∘ . Oblicz objętość ostrosłupa
ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.
Zadanie 18.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD.
Pole trójkąta równoramiennego ACS jest równe 108oraz |𝐴𝐶|: |𝐴𝑆| = 3: 5 . Oblicz pole powierzchni
bocznej tego ostrosłupa.
Zadanie 19.
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 10. Krawędź boczna jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem 45∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 20.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 27, a kąt
płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę α i 𝑡𝑔𝛼 = 3. Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany
bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Zadanie 21.
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘ . Odległość spodka wysokości
ostrosłupa od krawędzi jest równa 12. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 22.
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku)
jest równa 108, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego
ostrosłupa jest równy 3. Oblicz tangens kąta między wysokością tego
ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Zadanie 23
Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością
ostrosłupa (zobacz rysunek).
Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, ż𝑒 𝐴𝐷 = 12, 𝐵𝐶 = 8, 𝐵𝐷 =
𝐶𝐷 = 15.
Zadanie 24.
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 6. Kąt ABC rombu
ma miarę 120∘ oraz |𝐴𝑆| = |𝐶𝑆| = 13 𝑖 |𝐵𝑆| = |𝐷𝑆|. Oblicz sinus kąta
nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Zadanie 25.
Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź
boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne
AW, BW i CW mają następujące długości: |𝐴𝑊| = 8, |𝐵𝑊| =
12, |𝐶𝑊| = 9. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 26.
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Wysokość SE
ściany bocznej ADS jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a
punkt E jest środkiem krawędzi AD (zobacz rysunek). Pole
ściany ADS jest równe 24 cm2, a objętość ostrosłupa jest równa
128 cm3. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej CS do
płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do 1∘ .
Zadanie 27.
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 5: 12, a pole jest równe 240
(zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest
wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod
kątem 30∘ . Oblicz objętość ostrosłupa.