Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo
Jerzy Mycielski
grudzien 2012
Jerzy Mycielski ()
Metoda Monte Carlo
grudzien 2012
1 / 10
Przybliz·anie ca÷
ek
Powiedzmy, z·e mamy do policzenia nastepuj
¾ ac
¾ a¾ ca÷
ke:
¾
Z b
f (x ) dx = I
a
Za÷
oz·my, z·e funkcja f (x ) jest tak skomplikowna, z·e nie jesteśmy w
stanie policzyć tej ca÷
ki analitycznie
Moz·emy, zastapić
¾ liczenie tej ca÷
ki liczeniem wartości oczekiwanej.
Za÷
óz·my, z·e mamy pewna¾ zmienna¾ losowa¾ v 2 [a, b ] o znanej funkcji
f (x )
gestości
¾
p ( ) i zde…niujmy η = p (x )
Wtedy:
Z b
f (x )
E (η ) =
p (x ) dx = I
p
(x )
a
Wykorzystujac
¾ Prawo Wielkich Liczb przy za÷
oz·eniu, z·e
f (x )
Var p (x ) < ∞
Jerzy Mycielski ()
bI = η = N
1
N
f (xi )
∑ p (xi )
i =1
Metoda Monte Carlo
p
! E (η ) = I
grudzien 2012
2 / 10
Badanie w÷
asności estymatorów
Za÷
oz·my, z·e znamy Proces Generujacy
¾ Dane (PGD)
Za÷
óz·my, z·e PGD zalez·y od wektora parametrów θ
b w ma÷
Chcemy znaleźć fomu÷
e¾ dla wartości oczekiwanej estymator β
ej
próbie
Oznaczmy
b = G1 (θ,T ) = ψ
E β
T1
b =E β
b
Var β
ψT 1
b
β
ψT 1 = G2 (θ,T ) = ψT 2
gdzie T jest liczba¾ obserwacji
b , Var β
b oszacować dla
Na postawie Monte Carlo moz·na E β
znanego θ , T ,
ψT 1 =
ψT 2 =
Jerzy Mycielski ()
1
N
1
N
N
∑ βbi
i =1
N
∑E
i =1
b
β
i
ψT 1
Metoda Monte Carlo
b
β
i
ψT 1
grudzien 2012
3 / 10
W÷
asności liczb pseudolosowych
Istnieje szereg generatorów liczb pseudolosowych: najcześciej
¾
moz·na z
nich uzyskać liczby losowe z rozk÷
adu jednostajnego
Generator liczb losowych rozpoczyna generować liczby losowego
wykorzystujac
¾ ziarno (seed). Ciag
¾ liczb pseudolosowych uzyskanych
przy tym samym ziarnie jest zawsze ten sam
Za pomoca¾ generatora liczb losowych z rozk÷
adu jednostajnego moz·na
uzyskać takz·e zmienne z innych rozk÷
adów
Jeśli zmienna η ma rozk÷
ad jednostajny, to zmienna ξ = F
rozk÷
ad dany dystrybunata¾ F
Jerzy Mycielski ()
Metoda Monte Carlo
1
(ε) ma
grudzien 2012
4 / 10
Dla rozk÷
adu jednostajnego na przedziale [0, 1]
x) = x
Pr (ξ
uzyskujemy przekszta÷
cajac
¾
Pr (ξ
x ) = Pr (F (ξ )
F (x )) = Pr (ε
poniewaz· ε = F (ξ ), skoro ξ = F
F (x )) = F (x )
1
(ε)
W przypadku rozk÷
adu normalnego moz·na wykorzystać odwrotność
rozk÷
adu badź
¾ przybliz·onie z centralnego twierdzenia granicznego
!
12
ξ=
∑ ηj
6
j =1
Jerzy Mycielski ()
Metoda Monte Carlo
grudzien 2012
5 / 10
P÷
aszczyzny odpowiedzi
G÷
ówny problem z eksperymantami Monte Carlo: wnioski dotycza¾
jedynie PGD określonego przez θ i T
Moz·na przeporwadzić wiele eksperymentów, dla róz·nych θ i T ale w
tym przypadku powstaje pytanie jak w syntetyczny sposób
podsumować wnioski
Rozwiazaniem
¾
sa¾ p÷
aszczyzny odpowiedzi de…niowane przez funkcje¾
ψTi = Hi (θ, T ) + vTi
Funkcje te dopasowujemy do uzyskanych z Monte Carlo oszacowań
ψTi
Jerzy Mycielski ()
Metoda Monte Carlo
grudzien 2012
6 / 10
Forma funkcyjna Hi (θ, T ) powinna być dobrana tak, by dopasowanie
by÷
o jak najlepsze
Ca÷
kowity b÷
ad
¾ vTi p÷
aszczyzny odpowiedzi moz·na zdekomponować na
b÷
edem
¾
pomiaru:
v1Ti = ψTi
ψTi
przy czym E (v1Ti ) = 0
b÷
ad
¾ aproksymacji
v2Ti = Gi (θ,T )
Jerzy Mycielski ()
Metoda Monte Carlo
Hi (θ, T )
grudzien 2012
7 / 10
Forma funkcyjna p÷
aszczyzn odpowiedzi
Forma Hi (θ, T ) powinna być tak dobrana, by wartości asympotyczne
zgadza÷
y sie¾ wielkościami uzyskanymi z p÷
aszczyzny odpowiedzi dla
T !∞
Typowa forma funkcyjna p÷
aszczyzny odpowiedzi dla wartości
oczekiwanej
H1 (θ, T )
β = γ01 I + γ11
gdzie φj ,1 sa¾ funkcjami θ,
θ
T
, θ2 ,
k1
1
1
1
+ γ21 I + ∑ γj +2,1 φj ,1
T
T j =1
T
1
T
,
1
T2
a I = plim b
β
β
Jeśli γ01 = 0, to zarówno H1 (θ, T ) jak i G1 (θ, T ) da¾z·a¾ do
prawdziwego β
Jerzy Mycielski ()
Metoda Monte Carlo
grudzien 2012
8 / 10
Sposoby zwiekszania
¾
dok÷
adności Monte Carlo
Znaleź parametry, które nie wp÷
ywaja¾ na wielkość statystyki
(niezmienniczość)
Moz·na to sprawdzić liczac
¾ wielkość statystyki dla kilku zbiorów
parametrów ale tego samego zbioru liczb pseudolosowych
Antytetyczne liczby pseudolosowe:
b ψ
e i estymator wymieszany
za÷
óz·my, z·e mamy dwa estymatory ψ,
b +ψ
e taki, z·e E ψ = ψ
ψ = 21 ψ
wariancja estymatora ψ jest równa
1 Var ψ
b + Var ψ
e + 2 Cov ψ,
b ψ
e
4
b
e
jeśli Cov ψ, ψ < 0 to wariancja estymatora wymieszanego mniejsza
od estymatorów pierwotnych
czasami jesteśmy w stanie tak przekszta÷
cić zbiór liczb pseudolosowych
conego zbioru jest ujemnie
fεg, z·e estymator policzony dla przekszta÷
skorelowany z estymatorem ze zbioru oryginalnego
w takim przypadku moz·liwe bedzie
¾
uzyskanie dok÷
adniejszych
oszacowań
najcześciej
¾
stosujemy zbiory fεi g i f εi g
Jerzy Mycielski ()
Metoda Monte Carlo
grudzien 2012
9 / 10
zmienne kontrolne:
za÷
óz·my, z·e znamy takie ψ , dla którego znamy E (ψ )
b i ψ sa¾ dodatnio skorelowane (ψ zachowuje
za÷
óz·my ponadto, z·e ψ
b
sie¾ podobnie do ψ)
e ψ
zde…niujmy ψ = ψ
E (ψ )
wtedy
e + Var (ψ ) 2 Cov ψ,
e ψ
Var ψ = Var ψ
e jeśli Cov ψ,
e ψ
i Var ψ < Var ψ
Jerzy Mycielski ()
Metoda Monte Carlo
>
1
2
Var (ψ )
grudzien 2012
10 / 10