SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAē ARKUSZ II – POZIOM

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeĔ 2003 r.
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAē
ARKUSZ II – POZIOM ROZSZERZONY
Nr
zadania
11.
(4 pkt)
12.
(4 pkt)
13.
(4 pkt)
Etapy rozwiązania zadania
1. Wyznaczenie wspóárzĊdnych wierzchoáka paraboli: W (3,4) .
2. Obliczenie wartoĞci f (0) 5 .
3. Obliczenie wartoĞci f (7) 12 .
4. Zapisanie odpowiedzi: Funkcja f w przedziale 0;7 osiąga najwiĊkszą
wartoĞü równą 4 , zaĞ najmniejszą równą (12) .
5. Przeksztaácenie danego równania do postaci np.
równania: x(a 1)(a 1) a 1
6. Zapisanie, Īe dla a 1 dane równanie nie ma Īadnego rozwiązania.
7. Zapisanie, Īe dla a 1 dane równanie ma nieskoĔczenie wiele
rozwiązaĔ.
8. Zapisanie, Īe dla a z 1 i a z 1 dane równanie ma dokáadnie jedno
rozwiązanie.
9. Zapisanie, Īe warunkiem koniecznym ciągáoĞci danej funkcji w punkcie
x 2 jest istnienie skoĔczonej granicy w tym punkcie. Uzasadnienie, Īe
dwumian ( x 2) jest podzielnikiem dwumianu ( x 2 a ) , zatem parametr a
przyjmuje wartoĞü: a 4 . (1punkt przyznajemy za podanie odpowiedzi
a 4 bez uzasadnienia)
x2 4
10. Obliczenie granicy danej funkcji w punkcie x 2 : lim
4.
x o2 x 2
11. Porównanie obliczonej granicy z wartoĞcią funkcji g w punkcie x 2 :
lim g ( x) 4 g (2) b oraz zapisanie odpowiedzi: Funkcja g jest ciągáa w
x o2
punkcie x 2 gdy a 4 oraz b 4 .
12. Zapisanie, Īe an 1 S n 1 S n 2n 4
14.
(5 pkt)
15.
(5 pkt)
13. Obliczenie n - tego wyrazu ciągu: a n 2n 2 .
14. Zapisanie róĪnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu:
r an 1 an
15. Obliczenie róĪnicy ciągu i stwierdzenie, Īe jest to ciąg arytmetyczny.
16. Oznaczenie pierwszego wyrazu tego ciągu, np. przez a1 oraz ilorazu, np.
przez q i zapisanie, Īe a1 ˜ q 9 10 .
17. Doprowadzenie iloczynu dziewiĊtnastu początkowych, kolejnych
19
wyrazów danego ciągu do postaci a1 ˜ q 1 2...18 .
18. Przeksztaácenie iloczynu dziewiĊtnastu początkowych, kolejnych
19
wyrazów danego ciągu do postaci a1 ˜ q 19 ˜ 9 .
19. Przeksztaácenie iloczynu dziewiĊtnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci (a1 ˜ q 9 )19
20. Zapisanie odpowiedzi: Iloczyn dziewiĊtnastu początkowych, kolejnych
wyrazów tego ciągu jest równy 1019 .
Strona 1 z 3
Maksymalna
liczba
punktów za
dany etap
1p.
1p.
1p.
1p.
1p.
1p.
1p.
1p.
2p.
1p.
1p.
2p.
1p.
1p.
1p.
1p.
1p.
1p.
1p.
1p.
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeĔ 2003 r.
16.
(4 pkt)
21. ZauwaĪenie i zapisanie, Īe dane doĞwiadczenie losowe moĪna opisaü
1
schematem Bernoullego, w którym prawdopodobieĔstwo sukcesu p
,
6
5
, liczba prób N 5 , liczba sukcesów
prawdopodobieĔstwo poraĪki q
6
k t 4.
22. Zapisanie prawdopodobieĔstwa szukanego zdarzenia w postaci:
P5 (k t 4) P5 (k 4) P5 (k 5) .
23. Wykorzystanie wzorów i zapisanie prawdopodobieĔstwa szukanego
4
5
0
§ 5· § 1 · § 5 ·
§5 · § 1 · § 5 ·
˜¨
zdarzenia w postaci: P5 (k t 4) ¨¨ ¸¸ ˜ ¨
¨¨ ¸¸ ˜ ¨
˜¨
.
© 5 ¹ © 6 ¹̧ © 6 ¹̧
© 4 ¹ © 6 ¹̧ © 6 ¹̧
24. Poprawne obliczenie prawdopodobieĔstwa szukanego zdarzenia:
25
1
26
13
P5 (k t 4)
| 0,00334 .
7776 7776 7776 3888
o
o
19.
(5 pkt)
1p.
1p.
1p.
26. Obliczenie wspóárzĊdnych wektora CA
1p.
o
27. Obliczenie wspóárzĊdnych wektora CB
> 9, 2 y @.
>4, 2 y @.
JJJG JJJG
28. Obliczenie iloczynu skalarnego wektorów CA i CB :
36 (2 y ) ˜ (2 y )
29. Rozwiązanie równania (1) i zapisanie odpowiedzi: Istnieją dwa takie
punkty: C (0, 2 10 ) lub C (0, 2 10 ) .
30. Sporządzenie rysunku i zaznaczenie na nim szukanego kąta.
18.
(4 pkt)
1p.
25. Zapisanie warunku (1) CAD CB 0 , gdzie C (0, y ) .
o
17.
(5 pkt)
1p.
33. Wykorzystanie faktu istnienia okrĊgu wpisanego w dany trapez i
zapisanie, Īe suma dáugoĞci podstaw a i b trapezu jest równa 10 cm .
34. ZauwaĪenie i zapisanie, Īe wysokoĞü trapezu, opuszczona z wierzchoáka
kąta rozwartego, dzieli dáuĪszą podstawĊ na odcinki o dáugoĞciach:
ab
ab
oraz
.
2
2
35. Obliczenie dáugoĞci wysokoĞci trapezu: h 4 cm .
2
20cm .
x2 4
x5
2
39. Przeksztaácenie równania do postaci: x kx 5k 4 0 .
0 do postaci:
Strona 2 z 3
1p.
2p.
1p.
2p.
1p.
)
1p.
1p.
37. Wyznaczenie warunków okreĞlających dziedzinĊ równania
20.
(10 pkt) h( x) log 2 k 0 : x ! 5 i k ! 0 .
38. Przeksztaácenie równania h( x) log 2 k
1p.
1p.
31. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania np.
3
3 2 3 2
a2
a a 2 ˜ a 2 ˜ cos D , gdzie a - dáugoĞü krawĊdzi szeĞcianu,
4
4
4
zaĞ D - miara kąta ostrego miĊdzy przekątnymi szeĞcianu
1
1
32. Obliczenie wartoĞci cosinusa kąta ostrego: cos D
. (Albo: cos E 3
3
gdzie E jest katem rozwartym).
36. Obliczenie pola danego trapezu: P
1p.
2p.
k
1p.
1p.
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeĔ 2003 r.
­' ! 0
°
40. Zapisanie ukáadu warunków ® x w ! 5 , gdzie x w oznacza odciĊtą
°̄ f (5) ! 0
wierzchoáka paraboli, bĊdącej wykresem funkcji f
pewnej wartoĞci k .
41. Obliczenie wyróĪnika trójmianu: '
x kx 5k 4 , przy
1p.
2
k 2 20k 16 .
1p.
42. Rozwiązanie nierównoĞci ' ! 0 :
' ! 0 œ k  f ;10 2 21 ‰ 10 2 21 ; f .
43. Rozwiązanie nierównoĞci x w ! 5 : k  10 ; f .
1p.
44. Sprawdzenie, Īe warunek f (5) ! 0 zachodzi dla kaĪdej rzeczywistej
wartoĞci parametru k .
44. Zapisanie odpowiedzi, uwzglĊdniającej zbiór rozwiązaĔ ukáadu
nierównoĞci z p.40 oraz warunku k ! 0 : Dla wszystkich k  10 2 21; f
równanie h( x) log 2 k 0 ma dwa róĪne pierwiastki.
45. Zapisanie zaleĪnoĞci miĊdzy zmiennymi:
R
H R
r
H r2
2
46. Wyznaczenie jednej zmiennej z powyĪszej zaleĪnoĞci, np. r 2
47. Wyznaczenie objĊtoĞci stoĪka, jako funkcji jednej zmiennej:
S 16 H 2
V (H )
˜
.
3 H 8
48. Wyznaczenie dziedziny funkcji V (H ) : DV 8 ; f .
49. Obliczenie pochodnej funkcji objĊtoĞci: V ' ( H )
D
1p.
.
1p.
1p.
1p.
16 H
.
H 8
16S H ( H 16)
˜
,
3
H 8 2
1p.
1p.
1p.
1p.
D .
V '
V
21.
(10 pkt) 50. Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objĊtoĞci: H 16 .
51. Zbadanie znaku pochodnej funkcji objĊtoĞci: V ' ( H ) ! 0 œ H  (16; f)
oraz V ' ( H ) 0 œ H  (8;16) .
52. Stwierdzenie i zapisanie, Īe dla H 16 funkcja V osiąga lokalne
512S
.
minimum równe V (16)
3
53. Uzasadnienie, Īe minimum lokalne funkcji objĊtoĞci stoĪka jest
wartoĞcią najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powoáanie siĊ na dwa fakty:
lim V ( H ) f oraz lim V ( H ) f .
H o8
1p.
1p.
1p.
1p.
H of
54. Podanie wymiarów stoĪka o najmniejszej objĊtoĞci opisanego na kuli o
promieniu R 4 cm : wysokoĞü stoĪka, H = 16 cm , promieĔ podstawy
1p.
stoĪka r = 4 2 cm .
Uwaga:
Za prawidáowe rozwiązanie kaĪdego z zadaĔ inną metodą (zgodną z poleceniem) od
przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbĊ punktów.
Strona 3 z 3