Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki

Funkcje w programie MATLAB
Funkcję tworzymy wybierając z menu programu MATLAB: File/New/M-file. W pierwszej lini
wpisujemy słowo function a po nim wartość obliczaną w funkcji, znak =, nazwę funkcji i w
nawiasie argumenty:
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki
Przedmiot: Teoria pola elektromagnetycznego
Numer ćwiczenia:
10
function J=nazwa_funkcji(arg1,arg2,arg3)
Temat: Zjawisko naskórkowości
Funkcje Bessela w języku MATLAB wprowadzamy w następujący sposób:
I0(kr):
I0 = besseli(0,k*r);
I1(kr):
I1 = besseli(1,k*r);
gdzie:
0 oznacza rząd funkcji,
k*r oznacza argument funkcji
Zjawisko naskórkowości
Pozostałe funkcje używane przy obliczeniach:
pierwiastek kwadratowy:
y = sqrt(x)
y = x do potęgi z:
y = x^z
wartość bezwzględna:
y = abs(x)
Rozpatrujemy przewód w postaci walca o przekroju kołowym i promieniu R w którym płynie
prąd sinusoidalnie zmienny o wartości maksymalnej równej Im. Zakładamy, że przewód jest
odosobniony i nieskończenie długi. Przyjmujemy walcowy układ współrzędnych (r,θ,z) tak, że oś 0z
jest osią walca.
Jedność urojoną wprowadzamy jako j lub jako i: 3 + 4j oznacza to samo co: 3 + 4*j.
Argumenty funkcji możemy wprowadzać jako wektory, np.:
r = linspace(0,R,20) – 20 liniowo rozłożonych punktów od zera do R;
Do narysowania wykresu gęstości prądu wzdłuż promienia przewodu możemy użyć funkcji plot:
plot(r,J)
Program FEMLAB
Do zbudowania modelu przewodu w programie należy wybrać układ dwuwymiarowy (2D):
Electromagnetics Module / Quasi-Statics / Perpendicular Currents / Time-harmonic analysis
Należy narysować koło ( Circle ), odpowiadające przekrojowi przewodu oraz duży obszar
zewnętrzny np. dziesięciokrotnie większy od przewodu.
W menu Physics / Subdomain Settings... należy ustawić wartość przewodności np. dla
miedzi σ = 60e6 i gęstość prądu Jez obliczoną z zależności dla prądu stałego.
Rys. 1 Odosobniony przewód w układzie współrzędnych walcowych
Częstotliwość wprowadzamy w oknie, które otwieramy wybierając z menu:
Physics / Scalar Variables...
Przyjęte założenia powodują, że wektor natężenia pola elektrycznego E i wektor gęstości prądu
W opcjach siatki elementów skończonych ( Mesh / Mesh Parameters... ) ustawiamy bardzo
gęstą
siatkę
( Extremely fine ).
Po
obliczeniach
( Solve / Solve Problem )
zmieniamy
wyświetlaną wielkość ( Postprocessing / Plot Parameters... ) na gęstość prądu: Total Current
density, norm .
ks 2006-05-30
4
J mają tylko jedną składową (wzdłuż osi przewodu) i zależą tylko od jednej współrzędnej
przestrzennej:
E = Ez(r),
J = Jz(r)
(1)
Z drugiego równania Maxwella dla pól harmonicznych niskich częstotliwości
rot E = – jωµH
Z równań (8) i (9) znajdujemy stałą A
(2)
kI
1
,
2πRγ I1 (kR)
A=
obliczamy rotację wektora E i widzimy, że natężenie pola magnetycznego ma również tylko jedną
składową:
(10)
którą możemy podstawić do (7) i (8) otrzymując wyrażenia opisujące interesujące nas wielkości
Hθ =
1 dEz
.
jωµ dr
wewnątrz przewodu, czyli natężenie pola elektrycznego:
(3)
Ez =
Z pierwszego równania Maxwella dla pól harmonicznych niskich częstotliwości
rot H = γE
(4)
I kR I0 (kr )
πR 2 γ 2 I1 ( kR)
(11)
I I1 (kr )
.
2πR I1 (kR)
(12)
i natężenie pola magnetycznego:
otrzymujemy
Hθ =
dH θ 1
+ H θ = γEz .
r
dr
(5)
Gęstość prądu w przewodzie obliczamy mnożąc natężenie pola elektrycznego przez przewodność:
Z równań (3) i (5) otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu – równanie Bessela:
d 2 Ez
dr 2
+
1 dEz
− k 2 Ez = 0 ,
r dr
J z = γEz =
(6)
I kR I0 (kr )
.
πR 2 2 I1 (kR)
(13)
Widać więc, że przepływ prądu zmiennego w przewodzie nie jest równomierny w całym
gdzie: k = (jωµγ)
przekroju, lecz występuje wypieranie go na zewnątrz. Zjawisko to nasila się ze wzrostem
którego rozwiązanie można wyrazić w postaci:
częstotliwości i przy bardzo dużych częstotliwościach cały prąd płynie praktycznie tylko w cienkiej
1/2
Ez = AI0(kr) + BK0(kr),
(7)
warstwie przewodnika, tuż przy jego powierzchni. Zjawisko to nazywamy ZJAWISKIEM
NASKÓRKOWOŚCI.
gdzie: A, B – stałe całkowania; I0(kr), K0(kr) – zmodyfikowane funkcje Bessela zerowego rzędu,
pierwszego i drugiego rodzaju.
ZADANIA
Funkcje Bessela są znane, a zatem do wyznaczenia pozostają tylko stałe A i B. Wyznaczamy je z
warunków jakie muszą być spełnione w środku przewodu oraz na jego powierzchni. Ponieważ
1. Napisać w języku MATLAB funkcję obliczającą gęstość prądu w przewodzie o przekroju
K0(kr) → ∞ gdy r → 0, stałą B w równaniu (7) musimy przyjąć B = 0 (natężenie pola elektrycznego
kołowym – równanie (13). Argumentami funkcji powinny być: wartość prądu I, promień
wewnątrz przewodu musi mieć wartość skończoną). Równanie (3) przepiszemy wtedy w postaci:
przewodu R, przewodność materiału γ i częstotliwość prądu f.
Hθ =
A d
Ak
Aγ
I0 (kr ) =
I1 (kr ) =
I1 ( kr ) .
jωµ dr
jωµ
k
2. Korzystając z funkcji obliczyć gęstości prądu wewnątrz przewodu o podanych parametrach
(8)
(wzdłuż promienia r). Przeprowadzić obliczenia dla różnych częstotliwości, różnych
przewodności i różnych promieni (R) przewodu.
Jednocześnie, na podstawie prawa przepływu znajdujemy natężenie pola magnetycznego na
powierzchni przewodnika:
3. Dla przyjętych danych zbudować model przewodu w programie FEMLAB i obliczyć rozkład
gęstości prądu w przekroju przewodu.
Hθ
r =R
=
2
I
.
2πR
(9)
3