Kółko 12 stycznia

Kółko Informatyczne - macierze na ferie
12 stycznia 2011
1. [Liczby Fibonacciego też dla starszych KI] Policz F(n)
2. [Ciąg KI] Dany jest ciąg ai liczb naturalnych. Wyrazy tego ciągu można policzyć z następującego ogólnego
wzoru:
a1=b1, a2=b2, …, ak=bk
ai = c1 ai - 1 + c2 ai - 2 + … + ck ai - k (dla i>k) gdzie bj i cj (1<=j<=k < 50 ) są podanymi liczbami naturalnymi.
Twoim zadaniem jest dla podanych bj, cj oraz n, obliczyć wartość an. Ponieważ an może być bardzo dużą
liczbą (<1018), jako wynik należy podać an modulo 109.
3. [Liczby Leonarda ONTAK2008]
L1 = L2 = 1
Ln = Ln-1 + Ln-2 + 1
Policz L0k + L1k + … + Lnk mod 109 + 7 dla n < 1018 oraz k <= 13
4. [Chomiki XVII OI] (Limit: 64MB)
Bajtazar prowadzi hodowlę chomików. Każdy chomik ma unikalne imię.
Chcemy wyznaczyć minimalną długość napisu (złożonego z małych liter alfabetu angielskiego), w którym
łączna liczba wystąpień imion chomików będzie nie mniejsza niż m, przy czym nie wszystkie imiona muszą
w nim wystąpić.
Możesz założyć, że imię żadnego z chomików nie występuje (jako spójny fragment) w imieniu żadnego
innego chomika.
Chomików jest n < 200 (sumaryczna długość ich imion nie przekroczy 100 000 znaków), a m < 109.
5. [Wykład na WAS]
Mamy wektor [ a0, a1, …, an ] i przekształcamy go na [ Lan + a0 + Ra1, La0 + a1 + Ra2, … Lan-1 + an + Ra0].
Gdzie L i R są jakimiś liczbami (<109) oraz n < 1000. Takie przekształcenie robimy około 10^18 razy, a
wynik podajemy modulo 109+9.
6. [Kratka i skojarzenia WPG (JRad)]1
Na prostokątnej planszy o wymiarach n na m mamy pewne pola dostępne, a pewne zabronione. Chcemy
pokryć tę planszę klockami o wymiarach 2 na 1 lub 1 na 2. Na ile sposobów możemy to zrobić? Znów,
interesuje nas reszta z dzielenia wyniku przez jakąś niedużą liczbę całkowitą. Zakładamy, że n ≤ 20, m ≤
100.
Inne warte uwagi :)
1. [Listonosz XVIII OI] Znajdź scieżkę Eulera, który zawiera w sobie podane podścieżki oraz tworzy cykl. n <
50.000 m < 200.000, liczba sekwencji podścieżek < 10.000.
2. [Żabka XVII OI] Jest dana funkcja {1...n} -> {1...n}. Znajdź jej k-krotne złożenie. n<106 oraz k <109
1
http://mimuw.edu.pl/~jrad/wpg/zajecia6.html