wykłady z analizy układów dynamicznych

wykłady z analizy układów dynamicznych

Analiza ukladów dynamicznych
Bogdan Przeradzki
21 stycznia 2008
Literatura
[1] B. Przeradzki ,,Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych”
[2] M. Hirsch, S. Smale, R. Devaney ,,Differential Equations, Dynamical
Systems and an Introduction to Chaos”
[3] S. Strogatz ,,Nonlinear Dynamics and Chaos”
[4] H. Schuster ,,Chaos deterministyczny”
[5] I. Stewart ,,Czy Bóg gra w kości”
[6] R. Temam ,,Infinite-dimensional Dynamical Systems in Mechanics
and Physics”
[7] I. D. Chueshov ,,Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional
Systems”
1
Uklady dynamiczne – przyklady
Niech X bedzie
zbiorem. Ukladem dynamicznym w X nazywamy dowolna֒
֒
rodzine֒ {St : t ≥ 0} odwzorowań X w siebie taka,֒ że
(i) S0 = idX ,
(ii) St ◦ Sτ = St+τ dla dowolnych t, τ ≥ 0.
Istnieje bogata teoria, w której na X zadana jest miara, a odwzorowania St ja֒ zachowuja֒ (teoria ergodyczna). Tu bedziemy
rozważać teorie,
֒
֒
w której X jest przestrzenia֒ metryczna,֒ a odwzorowanie
[0, ∞) × X ∋ (t, x) 7→ St (x)
jest ciag
֒ le. Przestrzeń X nazywamy przestrzenia֒ fazowa֒ ukladu dynamicznego. Jak widać rodzina St , t ≥ 0 stanowi pólgrupe֒ ciag
֒ lych odwzorowań X w siebie. Czasami (np.w [1]) przez uklad dynamiczny rozumie sie֒ grupe֒ St , t ∈ R spelniajac
֒ a֒ powyższe warunki. Zauważmy, że
pociaga
to za soba֒ odwracalność wszystkich St , bo
֒
St ◦ S−t = S−t ◦ St = idX
wszystkie te odwzorowania staja֒ sie֒ homeomorfizmami przestrzeni X na
siebie.
Przyklad 1. Rozważmy autonomiczne równanie różniczkowe zwyczajne:
x′ = f (x),
1
gdzie f : Rk ⊃ X → Rk jest odwzorowaniem lipschitzowsko ciag
֒ lym
(tzn. lokalnie spelniajacym
warunek Lipschitza) na otwartym zbiorze
֒
X, przy czym jedyne rozwiazanie
dowolnego zagadnienia poczatkowego
֒
֒
dla tego równania jest przedlużalne na cala֒ prosta.֒ Jeśli f nie gwarantuje tego ostatniego, to istnieje funkcja skalarna α : X → (0, ∞)
taka, że pole wektorowe αf już ten warunek spelnia (por. [1], str. 856). Niech St (x0 ) dla x0 ∈ X oznacza wartość rozwiazania
zagadnie֒
′
nia poczatkowego
x = f (x), x(0) = x0 w chwili t. Ciag
֒
֒ lość odwzorowania (t, x) → St (x) wynika z tw. o ciag
lej
zależności
rozwiazania
֒
֒
od warunku poczatkowego,
warunek
(i)
jest
oczywiście
spe
lniony,
a wa֒
runek (ii) jest konsekwencja֒ jednoznaczności rozwiazania
zagadnienia
֒
poczatkowego.
Tutaj
S
jest
określone
dla
wszystkich
t
∈
R.
t
֒
Przyklad 2. Rozważmy autonomiczne równanie różniczkowe z opóźnionym
argumentem:
x′ − Ax = f (x(t − r)),
gdzie x ∈ Rk , A jest odwzorowaniem liniowym Rk w siebie, r > 0, a
f : Rk → Rk jest ciag
֒ le. Równanie takie rozpatruje sie֒ wraz z warunkiem
poczatkowym
֒
x|[−r,0] = φ,
gdzie φ ∈ C([−r, 0], Rk ) jest ustalona֒ funkcja֒ ciag
֒ la.
֒ Nietrudno zauważyć
(wzór na uzmiennianie stalych), że rozwiazaniem
dla t ∈ [0, r] jest
֒
Z t
x(t) = exp tAφ(0) +
exp (t − s)Af (φ(s − r)) ds.
0
Powtarzajac
֒ ten argument dla przedzialów o dlugości r [r, 2r], [2r, 3r],
i.t.d. możemy otrzymać rozwiazanie
dla wszystkich t ≥ 0. Zdefiniujmy
֒
przy pomocy tego rozwiazania
x
rodzin
e֒ odwzorowań
֒
St (φ)(s) = x(t + s),
t ≥ 0,
dla φ ∈ C([−r, 0], Rk ) i s ∈ [−r, 0]. Otrzymaliśmy uklad dynamiczny w
przestrzeni X = C([−r, 0], Rk ). Poza tym, że tym razem St nie musza֒
być odwracalne i St jest określone dla t ≥ 0 mamy tu jeszcze dim X = ∞
w odróżnieniu od poprzedniego przykladu, gdzie dim X = k.
Przyklad 3. Rozważmy paraboliczne równanie różniczkowe czastkowe
֒
postaci:
ut = µ∆u + f (x, u),
gdzie µ > 0, ∆ oznacza laplasjan we wspólrzednych
przestrzennych
֒
∆u =
n
X
u xi xi ,
i=1
a f : Ω × R → R jest funkcja֒ ciag
֒ la,
֒ Ω – otwarty i ograniczony podzbiór
Rn o dostatecznie gladkim brzegu. Rozpatrywane równanie jest nielinowe
2
w odróżnieniu od badanych w poprzednim semestrze, o ile zależność f
od u nie jest liniowa. Poszukujemy rozwiazań
spelniajacych
warunek
֒
֒
brzegowy Dirichleta lub Neumanna – weźmy ten drugi;
∂u
(x, t) = 0,
∂ν
x ∈ ∂Ω,
t ≥ 0,
oraz pewien warunek poczatkowy
֒
u(x, 0) = φ(x),
gdzie φ ∈ L2 (Ω) jest ustalona֒ funkcja.֒ Można pokazać, że jeśli f spelnia
warunek Lipschitza wzgledem
u, to równanie to (z warunkiem brzego֒
wym i poczatkowym)
posiada dokladnie jedno rozwiazanie,
które spelnia
֒
֒
równanie calkowe
Z t
u(x, t) = Ft (φ) +
Ft−s f (x, u(x, s)) ds,
0
gdzie Ft (ψ) jest rozwiazaniem
zagadnienia liniowego
֒
ut = µ∆u,
∂u
|∂Ω = 0,
∂ν
u(·, 0) = ψ,
(por. [7]). Rozwiazanie
to jest określone dla wszystkich t ≥ 0 i u(·, t)
֒
2
jest stale funkcja֒ z L (Ω). W ten sposób powstaje uklad dynamiczny
St (φ) = u(·, t) w przestrzeni (znowu nieskończenie wymiarowej) L2 (Ω).
Teoria przenosi sie֒ bez zmian na przypadek nielinowych ukladów parabolicznych, tzn. funkcja u może przyjmować wartości wektorowe Rk .
Powyższe trzy przyklady uzasadniaja֒ znaczenie teorii ukladów dynamicznych. Podamy jeszcze przyklad ważny teoretycznie.
Przyklad 4. Niech X bedzie
przestrzenia֒ funkcji ciag
֒
֒ lych i ograniczonych R → R z norma֒
||x|| = sup |x(τ )|
τ ∈R
(zbieżność jednostajna). Rozważmy rodzine֒ St : X → X, t ∈ R, dana֒
wzorem
St (x)(τ ) = x(t + τ ).
Stanowi ona uklad dynamiczny w X. W tym przykladzie przestrzeń X
możemy wybrać inaczej: przestrzeń funkcji okresowych z ta֒ sama֒ norma֒
lub przestrzeń Lp (R), 1 ≤ p ≤ ∞.
Jeżeli w definicji ukladu dynamicznego zastapimy
t ∈ [0, ∞) przez t ∈
֒
N, to otrzymamy tzw. dyskretny uklad dynamiczny. Nietrudno zauważyć,
że jest on zadany tylko przez podanie S1 : X → X, bowiem Sn = S1 ◦
. . . ◦ S1 (n zlożeń) dla n > 1, a S0 = idX .
Jeżeli mamy uklad dynamiczny z czasem ciag
֒ lym St , t ≥ 0, i ustalimy
,,jednostke”
czasu T, to otrzymamy dyskretny uklad dynamiczny Vn ,
֒
n ∈ N, dany wzorem Vn = SnT .
3
2
Podstawowe pojecia
teorii ukladów dy֒
namicznych
Niech St , t ≥ 0 bedzie
ukladem dynamicznym w X (z czasem ciag
֒ lym).
֒
Trajektoria֒ punktu x nazywamy każdy zbiór postaci γ(x) = {u(t) : t ∈
R}, gdzie St u(τ ) = u(t + τ ) dla τ ∈ R, t ≥ 0 i u(0) = x. Póltrajektoria֒
dodatnia֒ tego punktu nazywamy cześć
trajektorii γ + (x) = {u(t) : t ≥
֒
0} – u określona powyżej, a póltrajektoria֒ ujemna֒ – cześć
trajektorii
֒
+
γ (x) = {u(t) : t ≤ 0}.
Zauważmy, że póltrajektoria dodatnia jest określona jednoznacznie
przez wybór punktu x : γ + (x) = {St (x) : t ≥ 0}, a póltrajektoria
ujemna niekoniecznie. Cala trajektoria jest jednoznacznie wyznaczona
przez x, o ile St sa֒ homeomorfizmami X na siebie. Wystarczy zreszta,֒
aby St0 byl homeomorfizmem dla pewnego t0 > 0, by wszystkie St , t ≥ 0
−1
byly takie i można dookreślić St dla t < 0 wzorem St = S−t
. Trajektoria֒
punktu x jest wtedy γ(x) = {St (x) : t ∈ R}.
Analogiczne definicje i uwagi można powtórzyć dla ukladów z czasem
dyskretnym zastepuj
ac
֒ R przez Z i [0, ∞) przez N.
֒
Wyróżnione sa֒ dwa rodzaje trajektorii: punkty stale (inaczej stacjonarne) γ + (x) = {x} oraz trajektorie okresowe γ(x) = {u(t) : t ∈ R}
takie, że dla pewnego T 6= 0 mamy u(t + T ) = u(t) dla wszystkich
t ∈ R. Liczbe֒ T nazywamy wtedy okresem trajektorii. Zbiór okresów
danej trajektorii stanowi podgrupe֒ grupy liczb rzeczywistych z dodawaniem; jeśli ta podgrupa pokrywa sie֒ z R, to x jest punktem stalym, w
przeciwnym razie istnieje najmniejszy okres dodatni zwany okresem podstawowym. W ukladach dynamicznych, dla których St nie sa֒ homeomorfizmami moga֒ sie֒ pojawić także trajektorie granicznie stale i granicznie
okresowe. Granicznie stala jest trajektoria γ(x) = {u(t) : t ∈ R} taka, że
u(t) = const dla dostatecznie dużych t, a trajektoria granicznie okresowa
spelnia u(t + T ) = u(t) dla pewnego ustalonego T i dostatecznie dużych
t. W ,,pelnych” ukladach dynamicznych takich możliwości nie ma.
Zbiór A ⊂ X nazywamy niezmienniczym (dla ustalonego ukladu dynamicznego w X), jeśli
St (A) = A,
dla każdego t ≥ 0,
dodatnio niezmienniczym, jeśli
St (A) ⊂ A,
dla każdego t ≥ 0,
i ujemnie niezmienniczym, jeśli
St (A) ⊃ A,
dla każdego t ≥ 0.
Latwo zauważyć, że trajektorie γ(x) sa֒ zbiorami niezmienniczymi, póltrajektorie
dodatnie (odp. ujemne) sa֒ zbiorami dodatnio (odp. ujemnie) niezmienniczymi.
4
Zbiorem ω-granicznym punktu x nazywamy zbiór wszystkich granic
ciagów
zbieżnych
֒
gdzie tn → +∞;
lim Stn (x),
n→∞
oznaczamy go ω(x). Inaczej
ω(x) =
\[
St (x).
s≥0 t≥s
Ta druga równoważna definicja pozwala na proste uogólnienie, gdy zbiór
{x} zastapimy
przez dowolny podzbiór A ⊂ X :
֒
ω(A) =
\[
St (A).
s≥0 t≥s
Można też odwrócić kierunek czasu określajac
֒ zbiory α-graniczne punktu
i zbioru np.
\[
St−1 (A).
α(A) =
s≥0 t≥s
Gdy St sa֒ homeomorfizmami możemy powiedzieć, że zbiór α(x) jest zbiorem granic ciagów
zbieżnych
֒
lim St−1
(x) = S−tn (x),
n
n→∞
gdzie tn → +∞.
Warto zauważyć, że zbiory graniczne moga֒ być (i czesto
sa)
֒ puste. Zbiory
֒
ω(A) sa֒ dodatnio niezmiennicze, a gdy St sa֒ homeomorfizmami, także
niezmiennicze. W tym drugim przypadku także zbiory α(A) sa֒ niezmiennicze.
Latwo znaleźć zbiory graniczne dla punktu stalego i trajektorii okresowej.
Wszystkie definicje i uwagi pozostaja֒ w mocy dla ukladów dyskretnych, gdy argument rzeczywisty t zastapimy
przez calkowity.
֒
Przyklad. Rozważmy równanie autonomiczne na plaszczyźnie:
p
′
x = x − y − xp x2 + y 2
y ′ = x + y − y x2 + y 2
albo po zamianie na wspólrzedne
biegunowe (r, θ)
֒
′
r = r(1 − r)
θ′ = 1.
To ostatnie latwo rozwiazać,
bo zmienne r i θ sa֒ odseparowane. Na֒
wet bez znajdowania jawnej postaci rozwiazania
widzimy, że r(t) = 0
֒
′
i r(t) = 1 sa֒ dwoma rozwiazaniami
sta
lymi
r
=
r(r − 1) co wraz z
֒
5
θ(t) = t − const daje dwie trajektorie wyjściowego ukladu: punkt staly w
poczatku
ukladu wspólrzednych
i trajektorie֒ okresowa֒ – okrag
֒
֒
֒ r = 1. Dla
′
r(t0 ) ∈ (0, 1) r (t0 ) > 0, wiec
֒ a.
֒ Ponieważ trajektorie
֒ r jest funkcja֒ rosnac
nie moga֒ sie֒ przecinać, r(t) zbliża sie֒ do okregu
r = 1 przy t → +∞.
֒
Analogicznie r(t) → 0 przy t → −∞. Jeżeli r(t0 ) > 1, wówczas r jest
malejaca
i znowu r(t) → 1 przy t → +∞ i r(t) → ∞ przy t → −∞. W
֒
rezultacie dla punktów kola otwartego K(0, 1) z wycietym
środkiem zbio֒
rem α-granicznym jest {(0, 0)}, a zbiorem ω-granicznym okrag
֒ ∂K(0, 1),
a dla punktów z R2 \ K(0, 1) zbiór α-graniczny jest pusty, a zbiorem
ω-granicznym jest ten sam okrag
zbiorami nie֒ ∂K(0, 1). Domknietymi
֒
zmienniczymi sa:֒ poczatek
uk. wsp. (0, 0), kolo K(0, 1), oraz jego brzeg
֒
(no i cala plaszczyzna).
3
Atraktory – różne definicje
Zbiór ograniczony A ⊂ X nazywamy atraktorem globalnym (dla określonego
w X ukladu dynamicznego), jeśli A jest niezmienniczy i spelnia warunek jednostajnego przyciagania
zbiorów ograniczonych tzn. dla każdego
֒
zbioru ograniczonego B ⊂ X
lim sup d(St (x), A) = 0,
t→∞ x∈B
gdzie d(y, C) = inf z∈C d(y, z) oznacza odleglość punktu y od zbioru
C dana֒ przez metryke֒ d w X. Globalny atraktor jest jednoznacznie
określony (o ile istnieje) – wystarczy zastosować warunek jednostajnego
przyciagania
najpierw dla B = A1 i A = A2 , a później odwrotnie uwzgledniaj
ac
֒
֒
֒
niezmienniczość obu zbiorów. Ponadto dla każdego zbioru ograniczonego
B, ω(B) ⊂ A.
Zalóżmy, że istnieje atraktor globalny A. Rozważmy rodzine֒ zbiorów
domknietych
i dodatnio niezmienniczych C ⊂ A takich, że limt→∞ d(St (x), C) =
֒
0 dla każdego x ∈ X. Rodzina ta jest niepusta – zawiera atraktor globalny
A i przeciecie
wszystkich zbiorów tej rodziny należy do rodziny i jest jej
֒
najmniejszym zbiorem. Ten zbiór nazywamy minimalnym atraktorem
globalnym. Ten rodzaj atraktora zawiera zbiory ω-graniczne wszystkich
punktów przestrzeni.
Jeżeli w przestrzeni X zadana jest pewna miara borelowska µ, to
atraktorem Milnora nazywamy minimalny zbiór domkniety
i niezmienni֒
czy A taki, że limt→∞ d(St (x), A) = 0 dla prawie każdego (ze wzgledu
na
֒
miare֒ µ) x ∈ X. Znowu istnienie takiego zbioru minimalnego pokazuje
sie֒ biorac
wszystkich zbiorów o tych wlasnościach.
֒ przeciecie
֒
Nadal w X zadana jest pewna miara borelowska µ. Ustalmy zbiór
otwarty U ⊂ X. Średnim czasem przebywania punktu x w zbiorze U
nazywamy granice֒ górna֒
Z
1 T
τ (x, U) = limT →∞
χU (St (x)) dt.
T 0
6
χU oznacza tutaj funkcje֒ charakterystyczna֒ zbioru U. Zbiór U nazywamy
nieistotnym, gdy dla prawie wszystkich x ∈ X średni czas przebywania
x w zbiorze U jest równy 0. Oczywiście jeśli U1 ⊂ U2 i U2 jest nieistotny,
to i U1 jest taki. Ponadto przeliczalna suma zbiorów nieistotnych jest
zbiorem nieistotnym. Zatem istnieje maksymalny zbiór nieistotny. Jego
dopelnienie jest zbiorem domknietym
zwanym atraktorem Iljaszenki.
֒
2
Przyklad. Niech H(p, q) = 1/2p + q 4 − q 2 i a > 0. Portret fazowy
ukladu
′ ∂H
q = ∂p − aH ∂H
∂q
∂H
p′ = − ∂H
−
aH
∂q
∂p
latwo narysować na przyklad przy pomocy Maple:
Para trajektorii homoklinicznych z punktu (0, 0) tworzaca
,,ósemke”
֒
֒
jest zbiorem miejsc zerowych funkcji H, zbiór przez nie ograniczony to
zbiór, gdzie H jest ujemna. Atraktorem globalnym jest tu zbiór
{(p, q) : H(p, q) ≤ 0},
minimalnym atraktorem globalnym zbiór
{(p, q) : H(p, q) = 0} ∪ {(p, q) :
∂H
∂H
=
= 0},
∂p
∂q
atraktorem Milnora zbiór {(p, q) : H(p, q) = 0}, a atraktorem Iljaszenki
tylko poczatek
ukladu wspólrzednych.
֒
֒
4
Uklady dyssypatywne
Globalne atraktory nie zawsze wystepuj
a֒ w ukladach dynamicznych np.
֒
jeśli choć jedna trajektoria ucieka do nieskończoności. Uklad dynamiczny
7
nazywamy dyssypatywnym jeśli istnieje zbiór ograniczony B0 ⊂ X pochlaniajacy
֒
wszystkie zbiory ograniczone B ⊂ X tzn.
∀B ∃t0 ∀t≥t0 St (B) ⊂ B0 .
W zastosowaniach zwykle X jest przestrzenia֒ Banacha i zbiorem pochlaniajacym
֒
jest kula o środku 0 i dostatecznie dużym promieniu. Dyssypatywność
ukladu sprawdza sie֒ odgadujac
֒ pewna֒ funkcje֒ U : X → R (modyfikacja
pomyslu funkcji Lapunowa). Ma ona być
(i) ograniczona na zbiorach ograniczonych,
(ii) limx→∞ U(x) = +∞,
(iii) dla dowolnego x ∈ X funkcja t → U(St (x)) jest różniczkowalna i
d
U(St (x)) + αU(St (x)) ≤ β
dt
dla pewnych stalych nieujemnych α, β.
Dla dowodu oznaczmy γ(t) = dtd U(St (x)) + αU(St (x)). Wtedy ze
wzoru na uzmiennianie stalych
Z t
−αt
U(St (x)) = e U(x) +
eα(s−t) γ(s) ds
0
i z zalożenia
−αt
U(St (x)) ≤ e
−αt
sup |U(x)| + βe
x∈B
≤ e−αt sup |U(x)| +
x∈B
Z
t
eαs ds
0
β
1 − e−αt .
α
W rezultacie znajdziemy t0 (zależne od B) takie, że U(St (x)) ≤ 2 αβ , i z
(ii) wynika teza.
W zastosowaniach mechanicznych funkcja U jest zwykle energia֒ calkowita֒
ukladu i jego dyssypatywność oznacza, że w trakcie ruchu nastepuje
֒
utrata energii. W innych zastosowaniach należy zawsze poslugiwać sie֒
interpretacja֒ wystepuj
acych
w modelu wielkości, aby odgadnać
֒
֒
֒ postać
funkcji U.
Przykladowo dyssypatywne sa:֒ uklad prawie hamiltonowski (rysunek
atraktorów) z funkcja֒ U = H 2 , uklad autonomiczny x′ = f (x), gdzie
f : Rk → Rk jest funkcja֒ lipschitzowsko ciag
֒ la,
֒ przy czym
(x, f (x)) ≤ −α||x||2 + C,
uklad Lorenza:
α > 0,
 ′
 x = −σx + σy,
y ′ = rx − y − xz,
 ′
z = −bz + xy,
8
C ∈ R,
gdzie U(x, y, z) = x2 + y 2 + (z − r − σ)2 .
W zastosowaniach zwykle t 7→ St (x) jest różniczkowalna, dla różniczkowalności
zlożenia z U musimy wiec
֒ jedynie zadbać o ró zniczkowalność funkcji U.
Sama dyssypatywność ukladu w przypadku nieskończenie wymiarowym (tzn. dim X = ∞) nie gwarantuje istnienia globalnego atraktora.
Dopiero, gdy zalożymy tzw. asymptotyczna֒ zwartość ukladu, tak bedzie.
֒
Uklad nazywamy asymptotycznie zwartym, gdy istnieje zwarty podzbiór
K ⊂ X taki, że dla dowolnego zbioru ograniczonego B ⊂ X zachodzi
lim sup d(St (x), K) = 0.
t→∞ x∈B
Jeśli dim X < ∞, to wszystkie kule domkniete
sa֒ zbiorami zwartymi i
֒
za K można wziać
֒ kule֒ domkniet
֒ a֒ wszystkie zbiory ogra֒ a֒ pochlaniajac
niczone. W ogólnym przypadku zachodzi podstawowe twierdzenie o istnieniu globalnego atraktora.
Twierdzenie. Jeżeli uklad dynamiczny jest dyssypatywny i asymptotycznie zwarty, a B jest zbiorem pochlaniajacym
wszystkie zbiory ogra֒
niczone, to zbiór ω(B) jest niepustym, zwartym i spójnym atraktorem
globalnym ukladu.
Istnienie minimalnego atraktora globalnego wynika wtedy z wcześniejszych
uwag.
W przykladach nieskończenie wymiarowych ukladów dyssypatywnych
istniejace
atraktory globalne zwykle nie tylko sa֒ zwarte, ale maja֒ pewne
֒
wlasności skończenie wymiarowe. Zachowanie graniczne takiego ukladu
sprowadza sie֒ do jego dynamiki na wspomnianym skończenie wymiarowym atraktorze. Nie bedziemy
tu wyjaśniać, co rozumiemy przez
֒
skończony wymiar atraktora (teoria wymiaru Hausdorffa albo wymiaru
fraktalnego znajduje sie֒ w wielu podrecznikach,
np. [6,7]). Czesto
atrak֒
֒
tor ten sklada sie֒ wylacznie
z punktów stalych i trajektorii okresowych,
֒
ale czasami jego struktura jest bardzo zlożona – tzw. dziwny atraktor.
5
Budowanie modelu
Różne zjawiska realne moga֒ być modelowane matematycznie. Zwykle
chodzi o to, by móc przewidywać zmiane֒ w czasie różnych wielkości
na podstawie znajomości tych wielkości w chwili poczatkowej
i praw
֒
rzadz
ta֒ ewolucja.֒ Te ostatnie sa֒ równaniami zwykle różniczkowymi,
֒ acych
֒
ale także z opóźnionym argumentem, czy też różniczkowo-calkowymi.
Problemem jest konstrukcja takich równań. W zasadzie tylko fizyka dysponuje ogólnymi modelami zjawisk. Procesy biologiczne czy spoleczne sa֒
zbyt skomplikowane i w każdej sytuacji należy próbować takie równanie
ewolucyjne ulożyć, pomijajac
֒ czynniki naszym zdaniem nieistotne. To,
czy nasz model jest adekwatny do rzeczywistości można później zbadać,
porównujac
֒ ewolucje֒ wielkości realnych z przewidywana֒ przez model.
9
Ten proces prześledzimy teraz na przykladzie modelowania rozwoju pewnej populacji biologicznej.
Na poczatek
zalóżmy, że mamy jeden gatunek, nie uwzgledniamy
֒
֒
różnic miedzy
osobnikami
starymi i mlodymi i nie badamy rozmiesz֒
czenia osobników w przestrzeni. Tak wiec
֒ zmieniajac
֒ a֒ sie֒ wielkościa֒ jest
liczba osobników u zależna tylko od czasu. Oczywiście, funkcja t 7→ u(t)
jest realnie funkcja֒ zmieniajac
֒ a֒ sie֒ skokowo (w chwilach narodzin nowych
i śmierci starych osobników), ale gdy liczba osobników jest duża, wtedy
przedzialy, na których funkcja jest stala sa֒ bardzo krótkie, a zmiana
wartości u o 1 jest bardzo niewielka w stosunku do wartości bezwzglednej
֒
u(t). Na realnym wykresie widzimy wiec
֒ la,
֒ a nawet gladka.
֒
֒ funkcje֒ ciag
′
W najprostszym przybliżeniu predkość
zmiany
u
czyli
pochodna
u
(t)
֒
zależy od liczby osobników w danej chwili u(t) – im ta ostatnia jest
wieksza,
tym wieksza
jest predkość
– możemy przyjać,
że sa֒ to wielkości
֒
֒
֒
֒
proporcjonalne:
u′ (t) = ru(t).
Otrzymaliśmy najprostszy model ewolucji jednorodnej populacji – model
Malthusa. Równanie to latwo rozwiazać
u(t) = u(t0 )er(t−t0 ) . Populacja
֒
rośnie w czasie wykladniczo. Malthus wyrażal to nieco inaczej: jeśli
ustalimy jednostke֒ czasu T i obliczymy u(t0 + nT ) dla kolejnych chwil,
to otrzymamy
n
u(t0 + nT ) = u(t0 ) erT ,
a wiec
ciag
geometryczny. W rzeczywistości wspólczynnik r nie jest
֒
֒
znany, ale ten jakościowy opis nie zależy od r. Aby zbadać prawdziwość
modelu np. dla populacji ludzkiej na Ziemi wystarczy wziać
֒ oszacowana֒
liczbe֒ jej mieszkańców w latach 1600, 1700, 1800, 1900, 2000:
lata ludność w milionach
1600
205
1700
210
1800
280
1900
610
2000
6070
Otrzymany ciag
֒ nie jest ściśle geometryczny, ale różnice nie sa֒ zbyt
duże i być może odchylenia sa֒ spowodowane niewlaściwym oszacowaniem
liczby mieszkańców w odleglej przeszlości. Byly czynione inne próby analizowania danych. Liczba ludności Londynu byla znana dość dokladnie od
dawna i dla tych danych J. Graunt zaobserwowal wzrost geometryczny.
Wzrost ten charakteryzuje sie֒ stalym okresem podwojenia liczby luddności. Wg danych Graunta (1662 r.) okres ten wynosi 64 lata. Gdyby
dotyczylo to ludności calego globu, a wg biblistów data pojawienia sie֒
Adama i Ewy na Ziemi to 4000 lat p.n.e., to w roku tych analiz – 1662
10
– liczba ludności Ziemi wynosilaby
2(1662+4000)/64 ≈ 2, 5 · 1026
co daje okolo 200 milionów ludzi na 1 cm2 . Pokazuje to wszystkie niedostatki modelu Malthusa.
Pierwszy pomysl poprawienia modelu polega na uwzglednieniu
po֒
jemności środowiska. Jest to liczba osobników populacji, która֒ środowisko
może ,,wyżywić” – oznaczmy ja֒ przez a. Przypuszczamy, że jeśli u(t) < a,
to funkcja u w chwili t nadal rośnie prawie proporcjonalnie do u(t),
ale tym wolniej im u(t) jest bliskie a. Jeśli u(t) > a, to funkcja u w
chwili t maleje tym gwaltowniej, im wieksza
jest różnica miedzy
u(t) i
֒
֒
pojemnościa֒ a. W rezultacie dostajemy równanie
u(t)
′
u (t) = ru(t) 1 −
a
zwane równaniem logistycznym (Verhulst 1845). Równanie to ma dwa
rozwiazania
stacjonarne u(t) ≡ 0 i u(t) ≡ a. Wszystkie rozwiazania
z wa֒
֒
runkiem poczatkowym
u(t
)
∈
(0,
a)
s
a
funkcjami
rosn
acymi
z
lim
0
t→∞ u(t) =
֒
֒
֒
a, a wszystkie rozwiazania
z u(t0 ) > a sa֒ malejace
z ta֒ sama֒ gra֒
֒
nica.֒ Gdyby ten model byl odpowiedni dla przewidywania liczby ludności
Ziemi, to obecna liczba ponad 6 miliardów ludzi bylaby znacznie mniejsza od pojemności a, bowiem z wykresu danych wynika, że funkcja u jest
nadal wypukla, natomiast z modelu u ma punkt przegiecia
wtedy, gdy
֒
u = a/2.
Z powyższego wynika, że rozwiazanie
zerowe jest asymptotycznie sta֒
bilne przy t → −∞. Jednakże w wielu przypadkach obserwacje pokazuja,֒
że jest dokladnie odwrotnie: dla malej populacji poczatkowej
liczba osob֒
ników maleje do 0 przy t → +∞. Aby model to uwzglednia
l
należy
prawa֒
֒
strone֒ równania pomnożyć przez czynnik zależny od u ujemny dla u = 0,
ale dodatni dla nieco wiekszych
u. Dostajemy
֒
u u
u′ = ru 1 −
−1 ,
a
b
gdzie 0 < b < a. Tutaj pojawia sie֒ trzecie rozwiazanie
stacjonarne u(t) ≡
֒
b, a analize֒ zachowań wszystkich rozwiazań
w zależności od poczatkowej
֒
֒
liczby osobników latwo przeprowadzić.
Można uwzgledniać
także inne efekty np. fakt, że osobniki moga֒ sie֒
֒
rozmnażać po odpowiednim czasie znajduje odzwierciedlenie we wprowadzeniu opóźnienia do prawej strony równania, albo w podzieleniu populacji na grupy np. osobników niedojrzalych, osobników zdolnych do
rozmnażania i osobników ,,starych”. Wtedy otrzymuje sie֒ uklady równań
różniczkowych zwyczajnych.
11
6
Budowanie modelu – ciag
֒ dalszy
Zajmiemy sie֒ teraz modelem rozwoju populacji, ale z uwzglednieniem
֒
niejednorodnego rozlożenia jej w przestrzeni. Jeśli populacja zamieszkuje
pewien obszar plaski Ω ⊂ R2 , to znajac
rozkladu
֒ funkcje֒ gestości
֒
Ω × R ∋ (x, t) 7→ u(x, t) ∈ [0, ∞)
możemy znaleźć liczbe֒ osobników na danym podobszarze V ⊂ Ω w chwili
t:
Z
u(x, t) dx.
V
Predkość
zmiany tej liczby czyli jej pochodna wzgledem
t zależy od czyn֒
֒
ników opisanych w poprzednich modelach, tym razem jednak wspólczynniki
r, a, czy b moga֒ zależeć od x zatem dla obszaru V należy funkcje֒ f –
prawa֒ strone֒ równania w poprzednich modelach scalkować wzgledem
x
֒
po V. Z drugiej strony zmiana liczby osobników w zbiorze V może sie֒
też odbywać przez migracje֒ do i z tego zbioru. Jeżeli przez J~ oznaczymy
pole wektorowe predkości
zmiany u,
migracji
֒
֒
R to sumaryczna predkość
~
do obszaru V w chwili t wynosi − ∂V (J , n) dS, gdzie n jest wektorem
normalnym zewnetrznym
do brzegu w danym punkcie – rzutujemy pole
֒
J~ na kierunek prostopadly (skladowa styczna pola nie wplywa na migracje);
znak minus pochodzi stad,
że wzrost liczby osobników wewnatrz
֒
֒
֒
V nastepuje,
gdy
pole
to
jest
skierowane
do wewnatrz,
a nie na zewnatrz,
֒
֒
֒
jak wektor n. W rezultacie
Z
Z
Z
d
~ n) dS.
u(x, t) dx =
f dx −
(J,
dt V
V
∂V
Twierdzenie o dywergencji (Greena-Gaussa-Ostrogradskiego) zamienia te֒
ostatnia֒ calke֒ na calke֒ z dywergencji pola J~ po zbiorze V. Mamy wiec
֒
równość calek
Z
Z ∂
u(x, t) dx =
f − div J~ dx
V ∂t
V
i z dowolności V ⊂ Ω zachodzi równość
~
ut = f (x, u) − div J.
To tzw. równanie ciag
֒ lości pojawia sie֒ także w fizyce w wielu miejscach jednak z innymi funkcjami f zwykle nie zależacymi
od u. Klu֒
~
czowy jest teraz wybór postaci pola J. W naszym przypadku można
postulować, że pole to jest proporcjonalne do gradientu funkcji u z ujemnym wspólczynnikiem proporcjonalności. Jest bowiem jasne, że kierunkiem migracji jest kierunek, w którym u najszybciej maleje i szybkość
tej migracji jest tym wieksza,
im wieksza
jest różnica gestości
rozkladu
֒
֒
֒
populacji w tym kierunku. Zatem
ut = f (x, u) + νdiv ∇u.
12
Pozostaje tylko policzyć div ∇J~ = uxx + uyy = ∆u i dostajemy równanie
opisujace
ewolucje֒ ukladu:
֒
ut = ν∆u + f (x, u).
Jest to nieliniowe równanie paraboliczne, które rozwiazujemy
postulujac
֒
֒
pewien warunek brzegowy na brzegu Ω i zadajac
pocz
atkow
a
wartość
֒
֒
֒
rozkladu u((x, y), 0). Sa֒ dwa naturalne wybory postulowanego warunku
brzegowego. Jeżeli przyjmiemy, że nie nastepuje
migracja populacji przez
֒
brzeg zbioru Ω, to
∂u
((x, y), t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω,
∂n
t ≥ 0,
a jeśli przyjmiemy, że na zewnatrz
osobniki gina,֒ to
֒
u((x, y), t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω,
t ≥ 0.
Sa֒ to odpowiednio warunki Neumanna i Dirichleta. Wstawiajac
֒ odpowiednie funkcje f otrzymamy różne równania:
f (x, u) = ru,
u
= ru(1 − ),
a
a u
= ru(1 − )( − 1).
u b
Można też zadawać bardziej wyrafinowana֒ postać dyfuzji. Można np.
postulować, że ruch populacji odbywa sie֒ przez zadany sygnal chemiczny
czy fizyczny – światlo, pożywienie. Dostajemy tzw. równanie chemotaksji
ut = f (u) − div (u · g(a) · ∇a).
Nasze dotychczasowe rozważania dotyczyly jednego gatunku; zwykle obok siebie wystepuje
ich wiele. Jeśli gatunki nie oddzialywuja֒ ze
֒
soba֒ (w przybliżeniu), to równania ich ewolucji sa֒ niezależne. Jeśli
jednak jest inaczej, wówczas musimy rozpatrywać uklady równań opisujacych
ich ewolucje. Równania te bed
֒
֒
֒ a֒ zawieraly skladnik modelujacy
interakcje֒ miedzy
gatunkami.
Przypuśćmy,
że mamy dwa gatunki ko֒
rzystajace
z tych samych zasobów środowiska (pożywienie, woda, tlen,
֒
światlo i.t.d.). Jeśli budujemy model typu logistycznego i ui , i = 1, 2,
oznaczaja֒ liczebność obu gatunków zależna֒ od t, to przy ustalonej pojemności środowiska dla obu gatunków mamy

 u′1 = r1 u1 1 − u1 − u2
a1
a2
 u ′ = r2 u 2 1 − u 1 − u 2 ,
2
b1
b2
gdzie ai , bi , i = 1, 2, sa֒ wspólczynnikami dodatnimi. a1 oznacza tu
pojemność środowiska dla gatunku pierwszego przy nieobecności drugiego, b2 pojemność dla drugiego gatunku, gdy pierwszy nie wystepuje,
֒
a wspólczynniki a2 i b1 nie maja֒ tak oczywistej interpretacji i mierza֒
stopień oddzialywania miedzy
gatunkami.
֒
13
Jeśli oba gatunki żyja֒ w symbiozie (im wiecej
jednego, tym szybszy
֒
wzrost drugiego), wówczas ewolucje֒ opisuje uklad

 u′1 = r1 u1 1 − u1 + u2
a1
a2
 u ′ = r2 u 2 1 + u 1 − u 2 ,
2
b1
b2
a jeśli jeden (pierwszy) jest drapieżnikiem odżywiajacym
sie֒ drugim, to
֒
′
u1 = r1 u1 (a1 − a2 u2 )
u′2 = r2 u2 (b1 u1 − b2 ) .
Dla każdej z tych relacji miedzy
gatunkami można zbudować model
֒
uwzgledniaj
acy
migracj
e:
֒
֒
֒
(u1 )t = ν1 ∆u1 + f1 (x, u1 , u2 )
(u2 )t = ν2 ∆u2 + f2 (x, u1 , u2 ).
Można też rozważać wieksz
a֒ liczbe֒ gatunków.
֒
Takie same równania modeluja֒ reakcje chemiczne, a bardzo podobne
procesy spalania. Odmienny jest ksztalt równania Naviera-Stokesa opisujacego
ruch cieczy (gazu). Jeśli przez ~v = [v1 , v2 , v3 ] oznaczymy pole
֒
wektorowe predkości
zmieniajace
sie֒ w zależności od punktu x i czasu t,
֒
֒
przez ̺ gestość
cieczy, przez p jej ciśnienie, a przez F~ = [F1 , F2 , F3 ] pole
֒
sil zewnetrznych
(np. sila grawitacji) – wszystkie te wielkości zależne od
֒
x, t, to równanie, które wyprowadza sie֒ z II prawa dynamiki Newtona
ma postać:
̺(vj )t = ν∆vj − ̺
3
X
i=1
vi (vj )xi − pxj + Fj ,
j = 1, 2, 3.
Przy zalożeniu nieściśliwości cieczy dochodzi do tego warunek
div ~v = 0
i ewentualne warunki brzegowe opisujace
zachowanie pola predkości
na
֒
֒
brzegu zbioru (naczynia), w którym przemieszcza sie֒ ciecz; zwykle sa֒ to
warunki Dirichleta
~v |∂Ω×R = 0.
Niewiadome sa֒ tu pole ~v i ciśnienie p. Równanie Naviera-Stokesa jest
nieporównanie trudniejsze od poprzednio wyprowadzonych, w tamtych
bowiem nieliniowość dotyczyla tylko niewiadomych funkcji uj , tu dotyczy
pochodnych. Problemem jest wiec
֒ nawet istnienie rozwiazania.
֒
14
7
Analiza modelu
Przeanalizujemy teraz model dwóch konkurujacych
gatunków jednorodny
֒
przestrzennie, gdzie wybraliśmy jednostki tak, by uprościć rozważania:
′
x1 = r1 x1 (1 − x1 − ax2 )
x′2 = r2 x2 (1 − bx1 − x2 ).
Mamy zbiór niezmienniczy – pierwsza֒ ćwiartke֒ ukladu (x1 , x2 ). Jej niezmienniczość wynika z faktu, że trajektorie nie moga֒ sie֒ przecinać, a
{(x1 , 0) : x1 > 0}, {(0, x2 ) : x2 > 0} sa֒ trajektoriami latwymi do odgadniecia.
Z przyczyn naturalnych ograniczamy sie֒ do badania ukladu
֒
tylko na tym zbiorze – oznaczmy go przez X. Przyrównujac
֒ do zera prawa֒
strone֒ dostajemy punkty stale; trzy z nich zawsze leża֒ w X :
P0 = (0, 0),
P1 = (1, 0),
P2 = (0, 1).
Czwarty z nich – rozwiazanie
ukladu równań:
֒
x1 + ax2 = 1
bx1 + x2 = 1
może leżeć lub nie w X w zależności od wspólczynników a, b, co zobaczymy rysujac
֒ proste opisane przez powyższe równania:
W pierwszym i czwartym przypadku P3 =
15
1−a 1−b
,
1−ab 1−ab
należy do X.
Przeprowadzamy analize֒ stabilności punktów stalych przez pierwsze
przybliżenie. Jeśli prawa֒ strone֒ równania różniczkowego oznaczyć przez
f, to
r1 (1 − 2x1 − ax2 ), −r1 ax1
′
f (x1 , x2 ) =
.
−r2 bx2 ,
r2 (1 − bx1 − 2x2 )
Zatem
′
f (P0 ) =
r1 , 0
0, r2
i ten punkt staly jest wez
na a, b.
֒ lem niestabilnym bez wzgledu
֒
−r1 , −ar1
′
f (P1 ) =
0,
r2 (1 − b)
i punkt ten jest wez
֒ lem stabilnym, o ile b > 1 i siodlem w przeciwnym
razie;
r1 (1 − a), 0
′
f (P2 ) =
−br2 ,
−r2
i punkt ten jest wez
֒ lem stabilnym, o ile a > 1 i siodlem w przeciwnym
razie. Wreszcie
a−1
a−1
1−a 1−b
r1 1−ab , r1 a 1−ab
′
′
f (P3 ) = f
,
=
.
b−1
b−1
r2 b 1−ab
, r2 1−ab
1 − ab 1 − ab
Równaniem charakterystycznym jest
λ2 −
r1 (a − 1) + r2 (b − 1)
(a − 1)(b − 1)
λ + r1 r2
= 0.
1 − ab
1 − ab
W przypadku z pierwszego rysunku a < 1, b < 1 ma ono postać λ2 +
pλ + q = 0 z p i q dodatnimi, wiec
rzeczywiste obu pierwaistków
֒ cześci
֒
sa֒ ujemne i punkt P3 jest asymptotycznie stabilny, a w przypadku z
czwartego rysunku a > 1, b > 1 mamy w równaniu charakterystycznym
p > 0 i q < 0. Stad
֒
p
1
λ1,2 = (−p ± p2 − 4q)
2
i P3 jest siodlem.
Sprawdzimy, że uklad jest dyssypatywny. W tym celu weźmy funkcje֒
U(x1 , x2 ) = x21 + x22 i policzmy
d
U(St (x))+ǫU(St (x)) = Ux1 ·r1 x1 (1+ǫ−x1 −ax2 )+Ux2 ·r2 x2 (1+ǫ−bx1 −x2 ) =
dt
= 2r1 x21 (1 + ǫ − x1 − ax2 ) + 2r2 x22 (1 + ǫ − bx1 − x2 ) ≤
≤ 2 sup{r1 x21 + r2 x22 : x1 + ax2 ≤ 1 + ǫ, bx1 + x2 ≤ 1 + ǫ, x ∈ X} =: β
16
przy dowolnym ǫ > 0. Zatem
d
U(St (x)) ≤ β
dt
w zbiorze X i uklad jest dyssypatywny. Wobec tego, że uklad jest
skończenie wymiarowy, istnieje globalny atraktor. Możemy też przewidzieć, że atraktor ten zawiera sie֒ w zbiorze zawartym miedzy
dwiema
֒
prostymi w X :
x1 + ax2 = 1,
bx1 + x2 = 1.
Zestawmy to z portretem fazowym otrzymanym przy pomocy MAPLE.
sys1:=diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t)-1/2*y(t)),diff(y(t),t)=2*y(t)*(1-1/3*x(t)-y(t))
DEtools[phaseportrait]({sys1},[x(t),y(t)],t=0..3,[[x(0)=.1,y(0)=.1],
[x(0)=.8,y(0)=.1],[x(0)=.1,y(0)=.8],[x(0)=.4,y(0)=.5],[x(0)=.5,y(0)=.4],
[x(0)=1.8,y(0)=2],[x(0)=.1,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=.1]],linecolour=red);
2
1.5
y
1
0.5
0.5
1
1.5
2
x
sys2:=diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t)-1/2*y(t)),diff(y(t),t)=2*y(t)*(1-3*x(t)-y(t)):
DEtools[phaseportrait]({sys2},[x(t),y(t)],t=0..3,[[x(0)=.1,y(0)=.1],
[x(0)=.8,y(0)=.1],[x(0)=.1,y(0)=.8],[x(0)=.4,y(0)=.5],[x(0)=.5,y(0)=.4],
[x(0)=1.8,y(0)=2],[x(0)=.1,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=.1]],linecolour=red);
17
2
1.5
y
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
sys3:=diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t)-2*y(t)),diff(y(t),t)=2*y(t)*(1-1/3*x(t)-y(t)):
DEtools[phaseportrait]({sys3},[x(t),y(t)],t=0..3,[[x(0)=.1,y(0)=.1],
[x(0)=.8,y(0)=.1],[x(0)=.1,y(0)=.8],[x(0)=.4,y(0)=.5],[x(0)=.5,y(0)=.4],
[x(0)=1.8,y(0)=2],[x(0)=.1,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=.1]],linecolour=red);
2
1.5
y
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
sys4:=diff(x(t),t)=x(t)*(1-x(t)-2*y(t)),diff(y(t),t)=2*y(t)*(1-3*x(t)-y(t)):
DEtools[phaseportrait]({sys4},[x(t),y(t)],t=0..2,[[x(0)=.1,y(0)=.1],
[x(0)=.8,y(0)=.1],[x(0)=.1,y(0)=.8],[x(0)=.4,y(0)=.5],[x(0)=.5,y(0)=.4],
[x(0)=1.8,y(0)=2],[x(0)=.1,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=.1]],linecolour=red);
18
2
1.5
y
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
Widzimy, że gdy a i b sa֒ rozdzielone 1, to wszystkie rozwiazania
daż
֒
֒ a֒
do jednego z punktów stalych P1 lub P2 . Oznacza to wyginiecie
jednego
֒
z gatunków; pozostaje przy życiu gatunek wygrywajacy
konkurencje.
֒
֒
W pierwszym przypadku a, b < 1 także mamy te֒ sytuacje,
֒ ale który z
gatunków przetrwa zależy od warunków poczatkowych.
Najciekawszy
֒
jest ostatni przypadek, gdy a, b > 1. Plot z MAPLE nie pokazuje punktu
stalego P3 , ale mamy dwie trajektorie daż
do tego punktu: jedna z
֒ ace
֒
nich startuje z otoczenia P0 , a druga z punktu o dużych x1 , x2 . Sa֒ też
dwie trajektorie które daż
֒ a֒ do P3 przy t → −∞. Jedna z nich daży
֒
do P1 , a druga do P2 przy t → +∞. Pozostale trajektorie daż
a
do
P1
֒ ֒
lub P2 w zależności od punktu startu. Widzimy wiec,
że
bez
wzgl
edu
֒
֒
na wspólczynniki typowa sytuacja przy konkurencji dwóch gatunków to
wyginiecie
jednego z nich. Dla wiekszej
liczby gatunków sytuacja nie
֒
֒
jest już tak prosta; przy konkurencji miedzy
trzema gatunkami atraktor
֒
sklad sie֒ także z trajektorii okresowych, a przy czterech i wiecej
staje sie֒
֒
dziwnym atraktorem.
Analiza analogicznego ukladu parabolicznego
ut = µ∆u + r1 u(1 − u − av)
vt = ν∆v + r2 v(1 − bu − v).
z warunkami Neumanna
∂u
∂v
(x, t) =
(x, t) = 0, dla x ∈ ∂Ω, t > 0,
∂n
∂n
nie jest już taka prosta. Niezmienniczość zbioru X funkcji ciag
֒ lych na Ω
2
przyjmujacych
wartości
(u,
v)
∈
R
przy
czym
u
≥
0,
v
≥
0,
oraz
globalna
֒
19
rozwiazalność
zagadnienia przy dowolnym warunku poczatkowym
֒
֒
u(x, 0) = ϕ(x) ≥ 0,
v(x, 0) = ψ(x) ≥ 0
wynika teraz z odpowiedniej zasady maksimum dla równań parabolicznych. Dyssypatywność ukladu pokazuje sie֒ podobnie, jak w przypadku
równania różniczkowego zwyczajnego. Tym razem jednak uklad jest nieskończenie wymiarowy i potrzebujemy jego asymptotycznej zwartości.
Atraktor leży w zbiorze funkcji przyjmujacych
wartości w zbiorze zawar֒
tym miedzy
prostymi, o których wcześniej mówiliśmy. W istocie nadal
֒
wszystkie rozwiazania
daż
֒
֒ a֒ do stacjonarnych. Wymaga to już jednak
znajomości nowoczesnej matematyki (lata 90-te XX wieku).
8
Rozmaitości niezmiennicze
Wiele ważnych dla badania ukladów dynamicznych zbiorów ma strukture֒ rozmaitości, tzn. lokalnie sa֒ one dyfeomorficzne z przestrzeniami
euklidesowymi Rm . Chociaż istnieja֒ pewne rezultaty (uogólnienia) dla
przypadku nieskończenie wymiarowego ograniczymy sie֒ do przypadku
równań autonomicznych w Rk
x′ = f (x)
w otoczeniu punktu stalego x0 czyli takiego, że f (x0 ) = 0. Niech f : Rk ⊃
U → Rk bedzie
klasy C r , r > 1, i niech wszystkie rozwiazania
równania
֒
֒
bed
a
określone
na
R.
Wtedy
równanie
określa
uk
lad
dynamiczny
St :
֒ ֒
U → U, t ∈ R. Mamy dwa zbiory niezmiennicze
W s (x0 ) := {x ∈ U : lim St (x) = x0 },
t→+∞
W u (x0 ) := {x ∈ U : lim St (x) = x0 },
t→−∞
zwane odpowiednio rozmaitościa֒ stabilna֒ i niestabilna֒ punktu x0 . Niezmienniczość tych zbiorów jest latwa do udowodnienia, nie zawsze jednak
oba zbiory sa֒ rozmaitościami. Decydujace
znaczenie ma widmo opera֒
tora liniowego f ′ (x0 ), czyli zbiór jego wartości wlasnych, czyli zbiór pierwiastków wielomianu charakterystycznego
Q(λ) := det(f ′ (x0 ) − λI)
I – macierz jednostkowa. Rozważamy tu wszystkie zespolone pierwiastki
tego wielomianu, a punkt staly x0 nazywamy hiperbolicznym, jeśli żadna
z wartości wlasnych nie leży na osi urojonej {ic : c ∈ R}. Jeśli punkt
x0 jest hiperbolicznym punktem stalym, wówczas przestrzeń Rk rozklada
sie֒ na sume֒ prosta֒ dwóch podprzestrzeni liniowych
R k = X+ ⊕ X− ,
20
obie te podprzestrzenie sa֒ niezmiennicze dla f ′ (x0 ) :
f ′ (x0 )(X+ ) ⊂ X+ ,
f ′ (x0 )(X− ) ⊂ X− ,
wreszcie wartościami wlasnymi f ′ (x0 )|X+ sa֒ te wartości wlasne f ′ (x0 ),
których cześci
rzeczywiste sa֒ dodatnie, a wartościami wlasnymi f ′ (x0 )|X−
֒
sa֒ te wartości wlasne f ′ (x0 ), których cześci
rzeczywiste sa֒ ujemne. Ten
֒
rozklad jest konsekwencja֒ twierdzenia spektralnego (por. [1]). Ponieważ
odwzorowanie liniowe f ′ (x0 ) przybliża w otoczeniu punktu x0 odwzorowanie f, wydaje sie֒ możliwe, że zachowanie ukladu nieliniowego w otoczeniu tego punktu stalego jest podobne do zachowania ukladu liniowego
y ′ = f ′ (x0 ) · y
k
w otoczeniu zera. To ostatnie latwo wyznaczyć zapisujac
֒ y ∈ R w po′
′
staci y = (y+ , y− ) ∈ X+ ×X− , f (x0 )|X+ = A+ , f (x0 )|X− = A− i uklad liniowy jako pare֒ niezależnych równań liniowych o stalych wspólczynnikach
′
y+
= A+ y+ ,
′
y−
= A− y− .
Ponieważ wartości wlasne A− maja֒ ujemne cześci
rzeczywiste rozwiazania
֒
֒
drugiego z równań daż
a
wyk
ladniczo
do
zera
przy
t → +∞ :
֒ ֒
|y− (t)| ≤ Ce−αt ,
dla t ≥ 0
i symetrycznie dla pierwszego równania
|y+ (t)| ≤ Ce−αt ,
dla t ≤ 0.
Daje to wielowymiarowy portret fazowy calości odpowiadajacy
punktowi
֒
siodlowemu na plaszczyźnie (por. wyklad z równań różniczkowych zwyczajnych). Rzeczywiście dla ukladu nieliniowego mamy podobny obraz
w otoczeniu punktu x0 . Dokladniej zachodzi
Twierdzenie o rozmaitości stabilnej i niestabilnej. Niech f ∈
C r , r > 1 i x0 bedzie
hiperbolicznym punktem stalym ukladu x′ = f (x).
֒
Wówczas istnieje otoczenie V punktu x0 , dla którego zbiory
s
Wloc
(x0 ) := {x ∈ V : St (x) ∈ V dla t ≥ 0},
u
Wloc
(x0 ) := {x ∈ V : St (x) ∈ V dla t ≤ 0}
sa֒ rozmaitościami (hiperpowierzchniami) klasy C r−1 , przy czym przestrzeniami stycznymi do nich w punkcie x0 sa֒
s
Tx0 (Wloc
(x0 )) = X− ,
u
Tx0 (Wloc
(x0 )) = X+ .
Ponieważ przestrzenie liniowe X± latwo znaleźć, twierdzenie to pozwala zlokalizować kierunki wzdluż których trajektorie zbliżaja֒ sie֒ do
i oddalaja֒ od x0 przy t → +∞. Czesto
popelnia sie֒ blad
piszac,
że
֒
֒
֒
21
s
u
Wloc
(x0 ) = W s (x0 ) ∩ V i Wloc
(x0 ) = W u (x0 ) ∩ V. Tak być nie musi co
pokazuje
Przyklad.
′
x =y
y ′ = 4x − 4x3 .
Ponieważ jest to uklad odpowiadajacy
ukladowi zachowawczemu z jed֒
nym stopniem swobody, jego calka֒ pierwsza֒ jest energia calkowita
y2
− 2x2 + x4
2
i znajomość jej poziomic wyznacza trajektorie
E(x, y) =
2
y
1
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
x
–1
–2
Widzimy, że dla hiperbolicznego punktu stalego 0 rozmaitości stabilna
s
i niestabilna pokrywaja֒ sie,
֒ podczas gdy Wloc (0) jest ,,kawalkiem ósemki”
u
nachylonym pod katem
rozwartym do dodatniej pólosi OX, a Wloc
(0) jest
֒
,,kawalkiem ósemki” nachylonym pod katem
ostrym do dodatniej pólosi
֒
OX.
9
Bifurkacje
Zwykle uklady dynamiczne zależa֒ od jednego lub wielu parametrów,
które wystepuj
a֒ najcześciej
w równaniu ewolucyjnym je opisujacym
np.
֒
֒
֒
uklad Verhulsta u′ = ru(1 − u/a) zależy od r i a, uklad konkurencyjny
ut = µ∆u + r1 u(1 − u − av)
vt = ν∆v + r2 v(1 − bu − v)
zależy od wsp. dyfuzji µ, ν, oraz r1,2 , a, b. Pojawia sie֒ pytanie, w jaki
sposób dynamika ukladu zależy od tych parametrów. Zwykle mala zmiana
22
wartości parametrów powoduje mala֒ zmiane֒ zachowania ukladu. Pozostaja֒ jednak takie szczególne wartości parametrów, przy przejściu przez
które nastepuje
jakościowa zmiana dynamiki ukladu. Mówimy wtedy o
֒
bifurkacji. Aby można bylo mówić o zmianie jakościowej, należy wyjaśnić
w jakiej sytuacji tej zmiany nie ma. Mówimy, że dwa uklady dynamiczne
z czasem ciag
֒ lym St , t ≥ 0, w X i Tt , t ≥ 0, w Y sa֒ topologicznie
równoważne, jeśli istnieje homeomorfizm h : X → Y taki, że dla każdego
x ∈ X istnieje rosnacy
homeomorfizm σx : [0, ∞) → [0, ∞) o wlasności
֒
h(St (x)) = Tσx (t) (h(x)).
Oznacza to, że homeomorfizm h przeksztalca póltrajektorie dodatnie
pierwszego ukladu na póltrajektorie dodatnie drugiego i to z zachowaniem kierunku poruszania sie.
֒ Latwo sprawdzić, że obrazami calych trajektorii sa֒ cale trajektorie, że punkty stale przechodza֒ na punkty stale,
trajektorie okresowe na trajektorie okresowe, zbiory niezmiennicze (odp.
dodatnio, ujemnie niezmiennicze) na zbiory niezmiennicze (odp. dodatnio, ujemnie niezmiennicze). Wreszcie
h(ω(x)) = ω(h(x)),
h(α(x)) = α(h(x)),
uklad topologicznie równoważny z dyssypatywnym jest dyssypatywny
oraz jeśli A jest atraktorem glabalnym (odp. minimalnym atraktorem
globalnym) dla St , to h(A) jest jest atraktorem glabalnym (odp. minimalnym atraktorem globalnym) dla Tt . Relacja topologicznej równoważności
jest relacja֒ równoważności tzn. dzieli klase֒ wszystkich ukladów dynamicznych na parami rozlaczne
klasy abstrakcji.
֒
Niech St (µ), t ≥ 0, bedzie
rodzina֒ ukladów dynamicznych zależna֒
֒
od parametru µ ∈ R. Mówimy, że dla wartości µ0 ma miejsce bifurkacja,
jeśli dla pewnego ciagu
cn → 0 uklady z µn = µ0 + cn nie sa֒ topologicz֒
nie równoważne z ukladem z µ0 . Zobaczymy, jak dziala ta definicja na
przykladach.
Przyklad 1. Rozważmy równanie logistyczne (odpowiednio dla prostoty przeskalowane) z poprawka֒ opisujac
֒ a֒ zjawisko ,,żniw”:
x′ = x(1 − x) − µ.
Jest to dynamika rozwoju populacji, której stala cześć
stanowi pożywienie
֒
innego gatunku. Nie jest to jednak uklad drapieżnik-ofiara, bowiem tutaj
gatunek zbierajacy
plony jest świadomy niebezpieczeństwa wyginiecia
֒
֒
swojego pokarmu i ,,umie liczyć”. Najlatwiej zbadać, jak od µ zależa֒
punkty stale ukladu:
√
1
1 ± 1 − 4µ
1
1
x(1−x)−µ = 0 ⇔
µ<
i x1,2 =
lub µ =
i x=
.
4
2
4
2
Zatem dla µ < 1/4 sa֒ dwa punkty stale, a dla µ > 1/4 ich wcale nie ma.
Ponieważ w homeomorfizmie opisujacym
topologiczna֒ równoważność punkty
֒
23
stale przechodza֒ na punkty stale, wiec
֒ uklady z µ < 1/4 i µ > 1/4 nie
moga֒ być topologicznie równoważne. Tym samym µ = 1/4 jest punktem
bifurkacji. Aby stwierdzić, że nie ma innych punktów bifurkacji wystarczy zauważyć, że wszystkie uklady z µ < 1/4 sa֒ do siebie topologicznie
równoważne i to samo dla ukladów z µ > 1/4. Niech µ, ν < 1/4. Uklady
dla tych wartości parametru maja֒ po pieć
֒ trajektorii: po dwa punkty
stale, po jednej trajektorii ograniczonej wychodzacej
z mniejszego punktu
֒
stalego i wchodzacej
do wiekszego,
po jednej trajektorii wychodzacej
z
֒
֒
֒
mniejszego punktu stalego i daż
acej
do
−∞
oraz
po
jednej
trajektorii
֒ ֒
wychodzacej
z
+∞
i
wchodz
acej
do wiekszego
punktu stalego. Jako ho֒
֒
֒
meomorfizm h : R → R wystarczy wziać
֒ funkcje֒

x1 (ν)
gdy x = x1 (µ)




gdy x = x2 (µ)
 x2 (ν)
St (ν)(1)
gdy x = St (µ)(1)
h(x) =


St (ν)(α) gdy x = St (µ)(α)



St (ν)(β) gdy x = St (µ)(β)
gdzie α < x1 (µ) i β > x2 (µ). Analogiczne, choć prostsze rozważania
należy przeprowadzić dla µ, ν > 1/4.
Bifurkacja, która miala miejsce w tym przykladzie nosi nazwe֒ bifurkacji siodlo-weze
֒ l. Ma ona miejsce, gdy przy zmianie parametru dwa
punkty stale ,,zlewaja֒ sie֒ ze soba”
֒ i znikaja.
֒ W jednym wymiarze zachodzi to, gdy jeden z nich jest odpychajacy,
a drugi przyciagaj
acy.
Bifurka֒
֒
֒
cja siodlo-weze
także w wielu wymiarach np. na plaszczyźnie,
֒ l wystepuje
֒
gdy ,,zlewa sie”
w
eze
l
z
siod
lem – stad
֒
֒
֒ jej nazwa.
Przyklad 2. Rozważmy równanie 1-wymiarowe
x′ = x(x2 − µ).
Dla µ ≤ 0 jedynym punktem stalym jest x0 = 0, jest on odpychajacy.
√ ֒
Dla µ > 0 pojawiaja֒ sie֒ dwa dodatkowe punkty stale x± = ± µ, oba
sa֒ odpychajace,
ale x0 staje sie֒ przyciagaj
acy.
Jest jasne, że dla µ = 0
֒
֒
֒
ma miejsce bifurkacja. Tak samo, jak w poprzednim przykladzie pokazuje sie,
֒ że innych punktów bifurkacji tu nie ma. Bifurkacja tego rodzaju, gdy z jednego punktu stalego powstaja֒ nowe i zmienia sie֒ charakter stabilnościowy tego punktu nazywa sie֒ bifurkacja֒ widelcowa.
֒ W
wielu wymiarach zmiana charakteru punktu stalego polega na zmianie
liczby wartości wlasnych w pierwszym przybliżeniu o dodatnich (ujemnych) cześciach
rzeczywistych.
֒
Nastpny rodzaj bifurkacji wystepuje
dopiero w conajmniej dwóch wy֒
miarach. Oznaczmy przez Sp A zbiór wartości wlasnych macierzy (operatora liniowego) A.
Twierdzenie o bifurkacji Hopfa. Niech
x′ = f (x, µ),
x ∈ Rk ,
24
µ ∈ R,
gdzie f jest klasy C 2 i f (0, µ) = 0. Oznaczmy przez Aµ macierz Jacobiego
fx′ (0, µ). Jeżeli ±iω0 ∈ Sp Aµ0 dla pewnego ω0 > 0 sa֒ jednokrotne i
niω0 ∈
/ Sp Aµ0 dla n ∈ Z oraz istnieja֒ funkcje rzeczywiste klasy C 1 α, β
zmiennej µ określone w otoczeniu µ0 takie, że
α(µ) ± iβ(µ) ∈ Sp Aµ ,
α(µ0 ) = 0, β(µ0 ) = ω0 i α′ (µ0 ) 6= 0, to istnieje otoczenie 0 ∈ R i trzy
funkcje ciag
֒ le określone na tym otoczeniu
s 7→ ω(s) ∈ R,
takie, że ϕs jest
s 7→ µ(s) ∈ R,
2π
-okresowym
ω(s)
lim ω(s) = ω0 ,
rozwiazaniem
równania z µ = µ(s) i
֒
lim µ(s) = µ0 ,
s→0
s 7→ ϕs ∈ C 1 (R, Rk )
s→0
lim ϕs = 0.
s→0
Przyklad 3.
x′ = µx + y − xy 2 ,
y ′ = −x + µy − y 3.
µ 1
Aµ =
,
−1 µ
skad
dostajemy wartości wlasne – pierwiastki wielomianu charaktery֒
stycznego λ 7→ (µ − λ)2 + 1, czyli λ(µ) = µ ± i. Możemy wiec
֒ wziać
֒
′
µ0 = 0, ω0 = 1. Ponieważ α(µ) = µ, wiec
α
(0)
=
1
i
na
podstawie
tw.
o
֒
bifurkacji Hopfa uklad ma nietrywialne rozwiazania
okresowe dla dosta֒
tecznie malych: µ > 0 lub µ < 0. Z drugiej strony obliczajac
֒ dywergencje֒
2
prawej strony ukladu div f = 2µ − 4y otrzymujemy, że dla µ < 0 jest
ona stalego znaku i na mocy kryterium Bendixsona:
Jeżeli dla ukla du na plaszczyźnie x′ = f (x) z f ∈ C 1 , mamy div f
jest stalego znaku w jednospójnym zbiorze U, to uklad nie ma w zbiorze
U trajektorii okresowych;
trajektorii okresowych być nie może. Zatem wystepuj
a֒ one dla µ > 0.
֒
Dla takich µ punkt staly jest ogniskiem niestabilnym. Możemy jeszcze
ocenić przybliżona֒ wartość okresu takich rozwiazań
– 2π (przybliżenie
֒
tym lepsze, im mniejsza wartość µ).
Przyklad 4. Zbadamy teraz uklad 2-wymiarowy:
′
x = x2 − 1
y ′ = −xy + max(µ, 0)(x2 − 1).
Dla µ ≤ 0 mamy
x′ = x2 − 1
y ′ = −xy,
którego portret fazowy wyglada
nastepuj
aco
֒
֒
֒
25
2
y
1
–6
–4
0
–2
2
4
6
x
–1
–2
Tutaj
sys5:=diff(x(t),t)=x(t)^
2-1,diff(y(t),t)=-x(t)*y(t)+mu*(x(t)^
2-1):
DEtools[DEplot]({sys5},[x(t),y(t)],t=-.4..0.4,[[x(0)=1,y(0)=1],
[x(0)=1,y(0)=-1],[x(0)=-1,y(0)=1],[x(0)=-1,y(0)=-1],[x(0)=0,y(0)=0],
[x(0)=0,y(0)=2],[x(0)=0,y(0)=-2],[x(0)=2,y(0)=0],[x(0)=-2,y(0)=0],
[x(0)=0,y(0)=1],[x(0)=0,y(0)=-1],[x(0)=1.5,y(0)=.6],[x(0)=1.5,y(0)=-0.6],
[x(0)=-1.5,y(0)=.6],[x(0)=-1.5,y(0)=-.6]],linecolour=red);
W szczególności mamy trajektorie֒ heterokliniczna֒ lacz
֒ ac
֒ a֒ dwa punkty
siodlowe (±1, 0). Dla µ > 0 tej trajektorii już nie ma chociaż oba punkty
stale pozostaly i nadal sa֒ siodlami.
2
y
1
–6
–4
–2
0
2
4
x
–1
–2
26
6
Tutaj wykonano to samo polecenie z µ = 0, 1. Przy ewentualnym
homeomorfizmie określajacym
topologiczna֒ równoważność siodla przejda֒
֒
wiec
te siodla powinna przejść na taka֒ sama֒
֒ aca
֒
֒ na siebie i trajektoria lacz
w drugim portrecie fazowym, a tej drugiej nie ma. W punkcie µ = 0 ma
wiec
֒ miejsce bifurkacja – tzw. bifurkacja heterokliniczna.
Istnieja֒ inne rodzaje bifurkacji. W szczególności taka, w której mamy
trajektorie֒ homokliniczna֒ dla pewnej wartości parametru i w punkcie bifurkacji ulega ona rozerwaniu.Ten rodzaj nosi nazwe֒ bifurkacji homoklinicznej i jest podstawa֒ jednego ze scenariuszy przejścia do chaosu: w
wyniku ciagu
bifurkacji homoklinicznych uklad staje sie֒ chaotyczny.
֒
10
Odwzorowanie Poincaré
Niech St , t ≥ 0, bedzie
ukladem dynamicznym z czasem ciag
֒ lym w prze֒
strzeni X. Możemy dla niego zbudować uklad z czasem dyskretnym na
dwa sposoby.
Pierwszy z nich polega na tym, że ustalamy T > 0 i bierzemy V1 :=
ST ; wtedy Vn = V1n (n-krotne zlożenie) i Vn = SnT dla n = 1, 2, . . . . Jeżeli
St0 jest homeomorfizmem dla pewnego t0 , to V1 jest taki i mamy Vn dla
n ∈ Z. Dynamika ukladu dyskretnego dostarcza pewnych informacji o
dynamice ukladu St , ale nie wszystkich. Przykladowo:
1) Punkty stale V1 moga֒ być punktami stalymi St , ale też trajektoriami
okresowymi o okresie T, punkty okresowe V1 , których okres podstawowy
n jest > 1 sa֒ już na pewno trajektoriami okresowymi St o okresie nT.
2) Zbiory niezmiennicze V1 sa֒ podzbiorami zbiorów niezmienniczych dla
St i to podzbiorami wlaściwymi poza trywialnymi przypadkami zbiorów
zlożonych z samych punktów stalych St . To samo dotyczy póltrajektorii
dodatnich i ujemnych. To jest oczywiste wobec faktu, że trajektoria
ukladu ciag
֒ lego jest zbiorem spójnym (nawet lukowo spójnym) z samej
definicji.
3) To samo można powiedzieć o zbiorach granicznych ω(x) i α(x) dla V1
i St .
4) Jeśli St jest dyssypatywny, to taki sam jest V1 . Jeśli St posiada zwarty
atraktor globalny A, to V1 także posiada taki atraktor A′ ⊂ A. To samo
można powiedzieć o minimalnym globalnym atraktorze. W zastosowaniach czesto
A′ = A i atraktor ten jest topologicznie tranzytywny tzn.
֒
dla dwóch dowolnie malych kul K(x0 , ε), K(y0 , η), istnieje t > 0 (n > 0)
takie, że
St (K(x0 , ε)) ∩ K(y0 , η) 6= ∅
(Vn (K(x0 , ε)) ∩ K(y0 , η) 6= ∅) .
5) Jeżeli St posiada trajektorie֒ okresowa֒ o okresie innym niż T, to uklad
dyskretny Vn jej bezpośrednio nie wskaże. Z drugiej jednak strony pojawi
sie֒ ona jako zbiór niezmienniczy dla V1 homeomorficzny z okregiem.
W
֒
ten sposób mimo wszystko zostanie wykryta.
27
W praktyce czesto
nie umiemy badać ukladu St bezpośrednio i poslugujemy
֒
sie֒ opisanym wyżej ukladem dyskretnym. Gdy X jest przestrzenia֒ skończenie
wymiarowa,֒ a uklad jest dyssypatywny pozwala to otrzymać obraz przybliżony dynamiki ukladu. Wystarczy w zbiorze pochlaniajacym,
który
֒
zawiera atraktor A wybrać skończona֒ liczbe֒ punktów leżacych
dostatecz֒
nie gesto,
a
nast
epnie
obliczyć
wartości
przybliżone
V
na
tych
punktach.
1
֒
֒
Przedstawienie obrazów tych punktów (lub ich rzutów na dowolna֒ podprzestrzeń dwuwymiarowa)
na ekranie komputera tworzy coś,
֒ ogladane
֒
co w literaturze technicznej nazywa sie֒ mapa֒ Poincaré. Daje to wyobrażenie o strukturze atraktora. W szczególnści tak zaobserwowano
strukture֒ fraktalna֒ wielu atraktorów. Poniżej prezentujemy mape֒ Poincaré dla ukladu Chua:
 ′
 x = 15 (y − 12/7x + 3(|x + 1| − |x − 1|)/14)
y′ = x − y + z
 ′
z = −25.58y
0.4
3
2
0.2
1
–2
–1
1
–0.4
2
–0.2
0
0.2
0.4
–1
–0.2
–2
–3
–0.4
Dokladniej: sa֒ to rzuty na plaszczyzny [X, Y ] – pierwszy rysunek i
[Y, Z] – drugi – tego obrazu.
Druga możliwość uzyskania namiastki dyskretnej ukladu z czasem
ciag
transwersalnego
֒ lym St polega na wyborze w przestrzeni X tzw.ciecia
֒
Γ. Wymaga to zalożenia o strukturze przestrzeni X np. X jest otwartym
podzbiorem Rk , i o strukturze samego ukladu np. R ∋ t 7→ St (x) ∈ X jest
klasy C 1 dla dowolnego x ∈ X. Tak wiec
֒ przy powyższych zalożeniach
podzbiór Γ ⊂ X nazywamy cieciem
transwersalnym,
jeśli jest hiperpo֒
1
wierzchnia֒ k − 1-wymiarowa֒ klasy C i dla każdego x ∈ Γ wektor dtd St (x)
nie jest styczny do Γ w punkcie x.
Zalóżmy, że dana jest takie ciecie
transwersalne Γ. Jeżeli dla pewnego
֒
x ∈ Γ istnieje tx > 0 takie, że Stx (x) ∈ Γ, to wśród wszystkich takich
tx > 0 mamy element najmniejszy i dla niego kladziemy
P (x) = Stx (x).
Zbiór wszystkich x, dla których w ten sposób określiliśmy P (x) jest
otwartym podzbiorem Γ – oznaczmy go U. Mamy wiec
֒ odwzorowanie
P : U → Γ, które okazuje sie֒ być ciag
le,
a
gdy
hiperpowierzchnia
Γ i
֒
p
p−1
odwzorowania t 7→ St (x) sa֒ klasy C , to jest ono klasy C . Nazywamy
je odwzorowaniem Poincaré (albo pierwszego powrotu). Zauważmy, że
28
w stosunku do poprzedniej metody dyskretyzacji ukladu ciag
֒ lego St tym
razem wymiar ukladu dyskretnego jest o 1 mniejszy od wymiaru przestrzeni X. Dla ukladów nieskończenie wymiarowych jest to bez znaczenia,
ale dla ukladów w niskich wymiarach np. 2, 3 jest to ogromne uproszczenie. W szczególności dla dim X = 2 ciecia
transwersalne sa֒ krzywymi i
֒
odwzorowanie Poincaré (po zlożeniu z rzutem krzywej na odcinek) można
obrazować jako P : [0, 1] → [0, 1]. Badania dyskretnych 1-wymiarowych
ukladów dynamicznych stanowily poczatek
ścislego badania dynamiki
֒
chaotycznej (por. wyklad Jacka Rogowskiego ,,Chaos deterministyczny i
fraktale z zastosowaniami” lub [3,4]).
Odwzorowanie Poincaré dostarcza informacji o trajektoriach okresowych. Jeżeli P (x0 ) = x0 (czyli x0 jest punktem stalym odwzorowania
Poincaré), to trajektoria tego punktu jest okresowa (z okresem podstawowym – czasem pierwszego powrotu). Odwrotnie, jeśli Γ przecina jakaś
֒
trajektorie֒ okresowa֒ w punkcie x0 , to jest on punktem stalym odwzorowania Poincaré. Badanie pochodnej tego odwzorowania w punkcie x0
dostarcza też informacji o stabilności tej trajektorii okresowej. Jeżeli
wartości wlasne P ′(x0 ) maja֒ moduly < 1, to dla x ∈ Γ bliskich x0
mamy P n (x) → x0 , co oznacza, że trajektorie bliskie trajektorii okresowej zbliżaja֒ sie֒ do niej przy t → +∞.
Odwzorowanie Poincaré jest homeomorfizmem podzbioru U na inny
podzbiór otwarty Γ. Dla ukladów 2-wymiarowych, gdy Γ ma wymiar 1, po
zlożeniu z homeomorfizmami rzutujacymi
U i P (U) na odcinki prostej, P
֒
musi wiec
֒ być odwzorowaniem monotonicznym. To jest kluczowy punkt
dowodu tw. Poincaré-Bendixsona (por. wyklady z równań różniczkowych
zwyczajnych).
Oczywiście możliwe sa֒ różne wybory ciecia
transwersalnego Γ. Dla
֒
niektórych z nich dziedzina odwzorowania Poincaré jest zbiorem pustym. Dla pozostalych powstaje pytanie jak maja֒ sie֒ do siebie otrzymane w ten sposób różne dyskretne uklady dynamiczne. Okazuje sie,
֒ że
dla bliskich cieć
֒ transwersalnych odwzorowanie Poincaré sa֒ topologicznie równoważne. Dla dyskretnych ukladów dynamicznych danych przez
f : X → X i g : Y → Y definicja jest bardzo prosta: uklady sa֒ topologicznie równoważne, gdy istnieje homeomorfizm h : X → Y taki,
że
h ◦ f = g ◦ h.
11
Przesuniecie
Bernoulliego i dynamika sym֒
boliczna
Podamy teraz modelowy przyklad dyskretnego ukladu dynamicznego o
bardzo zlożonej dynamice – przesuniecie
Bernoulliego. Przestrzenia֒ me֒
29
tryczna֒ X jest dla niego zbiór ciagów
o wyrazach 0 lub 1 :
֒
Σ2 := {(sn )n∈N : sn = 0 lub sn = 1 dla n ∈ N}
z metryka֒
d((sn )n , (tn )n ) :=
∞
X
n=0
2−n |sn − tn |.
Ta na pozór skomplikowana metryka wyznacza po prostu topologie֒ zbieżności
po wspólrzednych
w przestrzeni Σ2 tzn.
֒
(s(k)
n )n −→ (sn )n
przy k → ∞
⇐⇒ lim s(k)
n = sn dla n = 0, 1, 2, . . . .
k→∞
Z kolei zbieżność ciagu
zero-jedynkowego oznacza, że jego wyrazy poczawszy
֒
֒
od pewnego indeksu k sa֒ takie same. Metryka ta ma pewna֒ ciekawaw
lasność:
֒
jeżeli sn = tn dla n = 0, 1, . . . , m, to d((sn ), (tn )) ≤ 2−m
i prawie odwrotnie
jeżeli d((sn ), (tn )) < 2−m , to sn = tn dla n = 0, 1, . . . , m.
W tej przestrzeni definiujemy odwzorowanie zwane przesunieciem
Ber֒
noulliego:
σ(s0 s1 s2 s3 . . .) := (s1 s2 s3 . . .)
albo precyzyjniej σ((sn )n ) = (tn )n , gdzie tn = sn+1 . Odwzorowanie σ jest
ciag
֒ le i definiuje dyskretny uklad dynamiczny w Σ2 . Uklad ten ma zadziwiajace
wlasności. Po pierwsze zawiera trajektorie okresowe o dowolnym
֒
okresie podstawowym N : jako punkt startu wystarczy wziać
֒ ciag
֒ okresowy zero-jedynkowy o podstawowym okresie N. W szczególności punktami stalymi sa֒ ciagi
(000 . . .) i (111 . . .), trajektorie okresowe o podsta֒
wowym okresie 2 startuja֒ z (101010 . . .) i (010101 . . .). Widać stad,
że
֒
zbiór trajektorii okresowych jest zbiorem gestym
w Σ2 .
֒
Po drugie istnieje trajektoria, która sama jest zbiorem gestym
w Σ2 .
֒
Jej punkt startu konstruujemy jako ciag,
w
którym
kolejno
wyst
epuj
a֒
֒
֒
sekwencje:
0, 1,
00, 01, 10, 11,
000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111,
sekwencje dlugości 4 i.t.d. Konsekwencja֒ istnienia trajektorii gestej
֒
jest wspomniana wcześniej topologiczna tranzytywność ukladu.
Trzecia֒ wlasnościa֒ przesuniecia
Bernoulliego jest tzw. wrażliwość na
֒
warunki poczatkowe.
Mówimy,
że
uk
lad St , (t ∈ [0, ∞) lub t ∈ N) jest
֒
wrażliwy na warunki poczatkowe,
jeśli istnieje liczba dodatnia M taka, że
֒
dla dowolnego x ∈ X istnieja֒ ciagi
xk → x i tk → ∞ o wlasności
֒
d(Stk (xk ), Stk (x)) ≥ M.
Dla przesuniecia
Bernoulliego M = 2 i dla dowolnego (sn )n wybieramy
֒
(k)
(k)
(k)
ciag
֒ (tn )n , k ∈ N, gdzie tn = sn dla n ≤ k i tn sa֒ dokladnie przeciwne
30
do sn dla n > k tzn. sa֒ równe 1 tam, gdzie sn = 0 i 0 tam,Pgdzie sn = 1.
−n
Wtedy odleglość miedzy
σ k (t(k) ) i σ k (s) wynosi dokladnie ∞
= 2.
n=0 2
֒
Uklad dynamiczny dyskretny majacy
te trzy wlasności przesuniecia
֒
֒
Bernoulliego: (1) gestość
zbioru
trajektorii
okresowych, (2) topologiczna֒
֒
tranzytywność i (3) wrażliwość na warunki poczatkowe
nazywamy ukladem
֒
chaotycznym w sensie Devaneya. Możemy uznać uklad z czasem ciag
֒ lym
za chaotyczny, jeśli na pewnym swoim nietrywialnym zbiorze niezmienniczym np. na dziwnym atraktorze ma wspomniane trzy wlasności. Wydaje sie֒ jednak, że ta ostatnia definicja bylaby calkowicie nieweryfikowalna w przykladach, dlatego obecnie zwykle przyjmuje sie,
֒ że uklad
dynamiczny z czasem ciag
֒ lym jest chaotyczny, jeśli dla pewnej jego dyskretyzacji Vn = SnT na pewnym zbiorze niezmienniczym otrzymamy
uklad dyskretny semirównoważny z przesunieciem
Bernoulliego. Uklad
֒
f : X → X nazywamy topologicznie semirównoważnym g : Y → Y, gdy
istnieje ciag
֒ le odwzorowanie h : X → Y taki, że
h ◦ f = g ◦ h.
Definicja ta jest slabsza od określenia ukladów topologicznie równoważnych
w tym sensie, że tam żadaliśmy
by h bylo homeomorfizmem.
֒
W literaturze technicznej czesto
nazywa sie֒ ukladem chaotycznym
֒
uklad, którego symulacje numeryczne sugeruja֒ istnienie skomplikowanej
dynamiki. Praktycznie nigdy jednak nie uwzglednia
sie֒ możliwości, że:
֒
skomplikowany atraktor jest w istocie trajektoria֒ okresowa֒ o bardzo
dużym okresie;
mamy do czynienia z trajektoriami quasiokresowymi;
źródlem obserwowanej dynamiki sa֒ bledy
zwiazane
z metodami nu֒
֒
merycznymi.
Uwaga. Funkcja֒ quasiokresowa֒ nazywamy funkcje֒ postaci
u(t) = F (ω1 t, . . . , ωn t),
gdzie F : Rn → R jest funkcja֒ 2π-okresowa֒ ze wzgledu
na każda֒ zmienna,֒
֒
a czestości
ω
,
j
=
1,
.
.
.
,
n,
s
a
niezależne
nad
cia
lem
liczb wymiernych
j
֒
֒
tzn.
n
X
j=1
aj ωj = 0,
aj ∈ Q, j = 1, . . . , n =⇒ aj = 0, j = 1, . . . , n.
Oto przyklad, gdy funkcja zdaje sie֒ być okresowa:
omega1:=2: omega2:= evalf(Pi): F:=(x,y)->sin(x)+cos(y):
plot(F(omega1*t,omega2*t),t=0..100,numpoints=1000);
31
2
1
0
20
40
60
80
100
t
–1
–2
a to, gdy nie widzimy, żadnej prawidlowości mimo próby poprawienia
obrazu w ramach możliwości MAPLE
omega3:=7.123456789: F:=(x,y,z)->sin(x*y)+cos(y)-1/(sin(z)-2)-1:
plot(F(omega1*t,omega2*t,omega3*t),t=0..40,numpoints=30000,resolution=1500);
2
1
10
t
20
30
40
0
–1
–2
Zauważmy, że w istocie definicja funkcji quasiokresowej nie może być
zrealizowana komputerowo; komputer do obliczeń numerycznych przybliża liczby niewymierne do liczby wymiernej.
Symulacje numeryczne nie moga֒ wykazać istnienia chaosu w ukladzie
dynamicznym. Jednak wspomagaja֒ one poszukiwania dowodu takiej
32
dynamiki. W szczególności czesto
obserwujemy istnienie ,,atraktora”
֒
skladajacego
sie֒ z dwóch cześci.
Można wtedy szukać cieć
transwer֒
֒
֒
salnych i odwzorowań Poincaré z nimi zwiazanych,
przy czym wskazać
֒
te֒ cześć,
której
przypiszemy
0
i
t
e,
której
przypiszemy
1. Wówczas punk֒
֒
towi ciecia
transwersalnego x odpowiada ciag
֒
֒ zero-jedynkowy (sn ) taki,
że sn = 0, gdy P n (x) należy do pierwszej cześci
,,atraktora” i sn = 1,
֒
n
gdy P (x) należy do drugiej z nich. Jeśli tylko zadbamy o to, by blad
֒
numeryczny nie przekraczal odleglości miedzy
cz
eściami,
to
tego
rodzaju
֒
֒
badania pozwalaja֒ przeprowadzić ścisly dowód istnienia chaosu. To tylko
bardzo ogólna idea.
Czasami liczba cześci
jest wieksza
niż 2 i należy wprowadzić dynamike֒
֒
֒
symboliczna֒ zamiast na ciagach
zero-jedynkowych,
na ciagach
zbudowa֒
֒
nych z wiekszej
liczby symboli np. k :
֒
Σk := {s0 s1 s2 . . . :
gdzie sj = 0 lub 1 lub 2 . . . lub k − 1},
przesuniecie
Bernoulliego określone tak samo, jak wcześniej (por. wyklad
֒
Jacka Rogowskiego lub [2]). Czasami też tylko niektóre z symboli sa֒
dopuszczalne po innych co opisuje macierz k × k o wyrazach 0 lub 1 (1
na miejscu aij oznacza, że po i-tym symbolu j-ty jest dopuszczalny, 0 –
że nie jest).
12
Wykladniki Lapunowa
Wprowadzimy teraz pojecie,
które jest ważnym miernikiem wrażliwości
֒
na warunki poczatkowe
dla
dyskretnych
ukladów dynamicznych. Istnieja֒
֒
odpowiedniki dla ukladów z czasem ciag
֒ lym, ale ich interpretacja nie jest
już oczywista.
Niech f : [a, b] → [a, b] bedzie
klasy C 1 i x0 ∈ [a, b]. Oznaczmy xn =
֒
f (xn−1 ) dla n ≥ 1 i
n
1X
λ(x0 ) := lim sup
ln |f ′ (xn )|.
n→∞ n
i=1
Wprost z definicji liczba ta mierzy średnia֒ wartość logarytmu pochodnej
wzdluż póltrajektorii dodatniej punktu x0 . Znaczenie tej liczby staje sie֒
jasne, gdy zauważymy, że
n
X
ln f ′ (xn ) = ln(f n )′ (x0 )
i=1
i z definicji pochodnej
f n (x0 + δ) − f n (x0 ) ≈ (f n )′ (x0 )δ
czyli
|f n (x0 + δ) − f n (x0 )| ≈ |δ| · eλn .
33
Oznacza to, że jeśli zaburzymy punkt startu x0 o mala֒ liczbe֒ δ, to
póltrajektorie dodatnie obu punktów bed
֒ a֒ sie֒ od siebie oddalaly (zbliżaly
λn
średnio jak |δ|e . Gdy wiec
֒ λ > 0, to rzeczywiście zachodzi oddalanie
sie֒ trajektorii, a gdy λ < 0, mamy zbliżanie. Liczbe֒ λ(x0 ) nazywamy
wykladnikiem Lapunowa dla dyskretnego ukladu dynamicznego danego
przez funkcje֒ f.
Jest interesujace,
że przy dość slabych zalożeniach dla prawie wszyst֒
kich x0 w definicji wykladnika Lapunowa zamiast granicy górnej istnieje
granica. Jest to istotne z obliczeniowego punktu widzenia. Wartość
wykladnika zależy od wyboru punktu startu, choć w wielu ważnych przykladach jest odwrotnie. Dodatniość wykladnika Lapunowa w literaturze
technicznej uchodzi za wskaźnik chaotyczności ukladu. Warto jednak
zauważyć, że wobec powyższych wyjaśnień dostarcza to nam tylko informacji o wrażliwości na warunki poczatkowe.
Jeśli taki wykladnik jest
֒
dodatni, to znajac
֒ x0 z pomiaru, który zawsze obarczony jest pewnym
bledem,
znamy tylko poczatek
póltrajektorii; wlaściwie nasze obliczenia
֒
֒
dla dużych n sa֒ bezwartościowe.
Uogólnienie pojecia
na przypadek wielowymiarowy jest trudniejsze.
֒
Dla odwzorowania f : M → M, M ⊂ Rk , klasy C 1 definicja zależy nie
tylko od punktu startu x, ale i kierunku v ∈ Rk :
λ(x, v) := lim sup
n→∞
1
ln ||(f n )′ (x; v)||
n
(pod norma֒ pochodna kierunkowa. Przy prostych zalożeniach możemy
uniezależnić sie֒ od v. Niech M bedzie
zbiorem zwartym w Rk , którego
֒
brzeg jest hiperpowierzchnia֒ k − 1-wymiarowa֒ klasy C 2 i f : M → M
bedzie
dyfeomorfizmem klasy C 2 (tzn. jest ono obcieciem
odwzorowania
֒
֒
tej klasy na pewnym otoczeniu zbioru M, f jest bijekcja֒ na M i odwzorowanie odwrotne jest klasy C 2 ). Wtedy f przeksztalca wnetrze
zbioru
֒
M w siebie. Dla x należacych
do wnetrza
zbioru M istnieje wstepuj
acy
֒
֒
֒
֒
ciag
podprzestrzeni
liniowych
֒
Vx1 ⊂ Vx2 ⊂ . . . Vxs ⊂ Rk
taki, że
f ′ (x)(Vxj ) = Vfj(x)
i podprzestrzenie te zmieniaja֒ sie֒ w sposób ciag
֒ ly w zależności od x.
j
j−1
Wtedy dla v ∈ Vx \ Vx λ(x, v) jest takie samo – oznaczamy je λj (x).
Mamy wiec
֒ skończony uklad wykladników Lapunowa
λ1 (x) < λ2 (x) < . . . < λs (x),
gdzie s ≤ k. Dla prawie wszystkich x wystepuj
ace
w definicji granice
֒
֒
górne sa֒ zwyklymi granicami.
34
W praktyce interesuje nas przede wszystkim najwiekszy
wykladnik
֒
Lapunowa; jeśli on jest dodatni, mamy wrażliwość na warunki poczatkowe
֒
(przynajmniej dla x). Jest to wiec
֒
λmax (x) := lim sup sup
n→∞
v∈Rk
1
ln ||(f n )′ (x; v)||.
n
Poniżej prezentujemy wykres wykladnika Lapunowa dla odwzorowania fµ (x) = µx(1 − x) odcinka [0, 1]w siebie dla µ ∈ [2.5, 4] i x = 0.1 choć
wykres dla innych punktów startu jest bardzo podobny.
0.5
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
0
–0.5
–1
–1.5
Dla ukladów dynamicznych z czasem ciag
֒ lym najprostszy odpowiednik wykladnika Lapunowa stosuje sie֒ do: równania zwyczajnego autonomicznego x′ = f (x) z prawa֒ strona֒ f ∈ C 1 i jego rozwiazania
֒
[0, ∞) ∋ t 7→ u(t). Tworzymy mianowicie linearyzacje֒ równania wzdluż
u czyli równanie liniowe
y ′ = f ′ (u(t)) · y
bierzemy jego macierz fundamentalna֒ t 7→ Φ(t) i obliczamy
λ(u, e) := lim sup
t→∞
1 ||Φ(t)e||
ln
,
t
||e||
gdzie e ∈ Rk .
Okazuje sie,
֒ że zawsze można wybrać macierz fundamentalna֒ Φ w ten
sposób, by pojawiajaca
sie֒ granica górna byla zwykla֒ granica.֒ Przy
֒
ustalonym u funkcja e 7→ λ(u, e) przyjmuje co najwyżej dim X wartości.
35
13
Miary niezmiennicze i inne wyznaczniki
dynamiki
Niech f : X → X wyznacza dyskretny uklad dynamiczny. Miare֒ µ na
X nazywamy niezmiennicza֒ (ze wzgledu
na ten uklad), jeśli
֒
µ(f −1 (A)) = µ(A),
dla każdego mierzalnego A ⊂ X.
Stad
֒ oczywiście
µ((f n )−1 (A)) = µ(A),
dla każdego mierzalnego A ⊂ X i n ≥ 0.
Analogicznie dla ukladu z czasem ciag
֒ lym St , t ≥ 0 :
µ(St−1 (A)) = µ(A),
dla każdego mierzalnego A ⊂ X, i t ≥ 0.
W praktyce interesuja֒ nas miary skończone µ(X) < ∞, które przez podzielenie przez stala֒ sprowadzić można do miar probabilistycznych.
Znaczenie takich miar wynika z
Tw. Poincaré o powracaniu. Jeże li µ jest skończona֒ miara֒
niezmiennicza֒ dla ukladu z czasem dyskretnym f n , n ∈ N, i A ⊂ X ma
miare֒ dodatnia,֒ to zbiór B:=
{x ∈ A : f n (x) ∈
/ A,
dla każdego n ∈ N}
jest miary 0. W szczególności jeśli każda kula otwarta ma miare֒ dodatnia,֒
to uklad jest topologicznie tranzytywny. Analogicznie dla ukladu z czasem ciag
֒ lym.
Dowód. Mamy dla każdego n : f −n (B)
֒ dla m < n,
∩ B = ∅. Stad
−n
f (B) ∩ f −m (B) = f −m f −(n−m) (B) ∩ B = ∅. Ale µ(f −n (B)) = µ(B),
wiec
֒
!
∞
∞
∞
[
X
X
−n
−n
µ(X) ≥ µ
f (B) =
µ(f (B)) =
µ(B) = ∞.
n=1
n=1
n=1
Sprzeczność.
Majac
֒ probabilistyczna֒ miare֒ niezmiennicza֒ na X i wybierajac
֒ losowo
punkt startu x i czas t możemy podać prawdopodobieństwo tego, że
St (x) ∈ A ⊂ X – wynosi ono µ(A). Oznacza to w szczególności, że średni
czas przebywania punktu x w zbiorze A czyli
Z
1 T
τ (x, A) = lim sup
χA (St (x)) dt
T →∞ T 0
– χA - funkcja charakterystyczna zbioru A – także wynosi średnio µ(A)
(por.określenie atraktora Iljaszenki). W istocie (tw.ergodyczne) liczba
τ (x, A) równa sie֒ µ(A) dla prawie wszystkich x ∈ X. Jest to podstawa
numerycznego poszukiwania miary niezmienniczej.
36
Dla ustalenia uwagi weźmy uklad dyskretny dany przez funkcje֒ f :
[0, 1] → [0, 1], wybierzmy duże liczby naturalne N > M, zdefiniujmy
x[i, 0] := Mi dla i = 0, 1, . . . , M, oraz x[i, j] := f (x[i, j − 1]) dla tych
samych i oraz 1 ≤ j ≤ N. Podzielmy teraz przedzial [0, 1] na M równych
cześci
Ii := [ i−1
, i ), i = 1, 2, ..., M. Funkcja schodkowa pM,N równa na Ii
֒
M M
ilorazowi liczby punktów x[i, j], które wpadaja֒ do Ii do liczby wszystkich
punktów = N(M +1), jest przybliżeniem gestości
p miary niezmienniczej,
֒
oczywiście o ile taka miara istnieje i jest absolutnie ciag
miary
֒ la wzgledem
֒
Lebesgue’a tzn.
Z
µ(A) =
p(x) dx.
A
Można zmodyfikować konstrukcje֒ pM,N wybierajac
֒ np. tylko jeden punkt
startu i/lub obcinajac
pocz
atek
trajektorii
ustalonej
dlugości. Analo֒
֒
giczna֒ konstrukcje֒ można powtórzyć dla ukladów z czasem ciag
֒ lym posiadajacych
zwarty atraktor globalny, aproksymujac
֒
֒ miare֒ niezmiennicza֒
na atraktorze.
Dla prostych przypadków f : [0, 1] → [0, 1] udaje sie֒ w sposób ścisly
znaleźć miare֒ niezmiennicza,֒ np. dla odwzorowania trójkatnego
֒
2x
dla x ∈ [0, 1/2]
f (x) =
2 − 2x dla x ∈ [1/2, 1],
jedyna֒ miara֒ niezmiennicza֒ jest miara Lebesgue’a, a dla wspomnianego
już f (x) = 4x(1 − x) miara o gestości
֒
14
1
.
p(x) = p
π x(1 − x)
Analiza szeregów czasowych
W tym wykladzie zajmiemy sie֒ sytuacja,֒ gdy w wyniku pomiarów zmian
pewnych wielkości realnych otrzymaliśmy ciag
֒ (skończony) liczb rzeczywistych x(i), i = 0, 1, . . . , N. Można je traktować jako kolejne elementy
póltrajektorii dodatniej punktu x(0) w pewnym ukladzie dynamicznym
z czasem dyskretnym lub ciag
wyniki pomiarów
֒ lym. Jeśli sa֒ to wiec
֒
wielkości zmieniajacej
si
e
w
sposób
ci
ag
ly,
to
należy
zadbać,
by byly one
֒
֒
֒
dokonywane w jednakowych odstepach
czasu. Tym razem jednak nie
֒
znamy tego ukladu dynamicznego ani tym bardziej równania, które go generuje. Jeśli badana wielkość wchodzi w zlożone interakcje z innymi albo
uklad realny jest typu ,,czarnej skrzynki”, to zbudowanie modelu, jak to
mialo miejsce w poprzednich wykladach jest niemożliwe. Chcemy jednak w miare֒ możliwości zorientować sie֒ o rodzaju dynamiki tego ukladu.
Oczywiście znajomość jednej (niecalej) póltrajektorii nie przesadza
ni֒
czego, ale znajomość wcześniej zbadanych ukladów dynamicznych sugeruje, że wybierajac
֒ x(0) przypadkowo raczej nie trafimy na punkt staly,
37
czy trajektorie֒ okresowa֒ (chyba, że uklad jest ich ,,pelen”), że asymptotycznie trajektorie zbliżaja֒ sie֒ do atraktora zwartego, wiec
֒ ewentualnie
obcinajac
tej póltrajektorii bedziemy
przybliżali ruch na tym
֒ poczatek
֒
֒
atraktorze, wreszcie że dla wielu ukladów charakter ruchu na atraktorze nie zależy od wyboru trajektorii z niego. W ostateczności możemy
spróbować dokonać pomiarów z innymi, odleglymi punktami startu x(0).
Otrzymane dane można poddać wstepnej
statystycznej obróbce znaj֒
dujać
֒ średnia֒ wartość zmiennej x czyli
N
1 X
x̂ :=
x(i)
N + 1 i=0
oraz jej odchylenie standardowe
v
u
N
u 1 X
σx := t
(x(i) − x̂)2 .
N + 1 i=0
Dostarczaja֒ one wstepnej
informacji o trajektorii. Maja֒ też znaczenie w
֒
poważniejszych badaniach, gdy próbujemy rozdzielić uklad na skladnik
istotny i ,,szum” zwiazany
z różnego rodzaju zaklóceniami np. bledem
֒
֒
pomiaru. Tym problemem nie bedziemy
si
e
zajmować
przyjmuj
ac,
że
֒
֒
֒
zaklócenia sa֒ na tyle nieistotne, że nie przeszkodza֒ nam w zrozumieniu jakościowym dynamiki. Z drugiej strony bedziemy
zestawiać wyniki
֒
otrzymane dla deterministycznych ukladów z wynikami dla tzw. bialego
szumu, gdzie rozklad x(i) jest calkowicie przypadkowy.
Do badań weźmiemy sześć szeregów czasowych:
(1) trajektoria okresowa x(i) = sin(0.1 ∗ i), i = 0, 1, . . . , 103;
(2) trajektoria quasiokresowa x(i) = sin(0.1 ∗ i) + cos(0.1 ∗ π ∗ i),
i = 0, 1, . . . , 103 ;
(3) trajektoria ukladu dyskretnego danego przez f : [0, 1] → [0, 1],
f (x) = 4x(1 − x), x(0) = 0.2, x(i) = f (x(i − 1)), Njak poprzednio 103 ;
(4) pierwsza wspólrzedna
z ukladu Lorenza
֒
 ′
 x = σ(y − x)
y ′ = rx − y − xz
 ′
z = xy − bz,
gdzie σ = 10, b = 8/3, r = 28, dla trajektorii startujacej
z warunku
֒
poczatkowego
x(0)
=
0.2,
y(0)
=
0.1,
z(0)
=
0.5.
Bierzemy
szereg
cza֒
3
sowy x(i) := x(0.01 · i), i = 0, . . . , 10 .
(5) bialy szum otrzymany przez MAPLE x(i) = rand()/1012, N =
3
10 , (procedura rand() w MAPLE generuje 12-cyfrowa֒ liczbe֒ calkowita֒ i
jej podzielenie przez 1012 daje liczbe֒ losowa֒ z przedzialu [0, 1];
(6) trajektoria powstala przez dodanie x(i) z punktu (3) i x(i) z
punktu (5) podzielone przez 100.
38
W żadnym z tych przypadków nie mamy do czynienia z rzeczywistym
szeregiem czasowym otrzymanym z pomiarów, jednak porównujac
֒ otrzymane wyniki, wyrobimy sobie poglad
na rodzaj dynamiki. Bedziemy
֒
֒
rozróżniać dynamike֒ okresowa֒ (1) od quasiokresowej (2), chaotycznej
(3) i (4), a wreszcie od bialego szumu (5). W ostatnim przypadku zobaczymy, że jeśli nalożone zaklócenia sa֒ niewielkie, to dynamike֒ chaotyczna֒
nadal daje sie֒ odróżnić.
Zacznijmy od bardzo prostego triku: narysujmy na ukladzie wspólrzednych
֒
punkty (x(i − 1), x(i)), i = 0, 1, . . . , N. Jeśli uloża֒ sie֒ one wzdluż pewnej
krzywej, która jest wykresem pewnej funkcji, to możemy sadzić,
że mamy
֒
dyskretny uklad dynamiczny zadany przez te֒ funkcje.
֒
–1
1
2
0.5
1
0
–0.5
0.5
–2
1
0
–1
–0.5
–1
–1
–2
trajektoria okresowa
1
2
trajektoria quasiokresowa
20
1
15
0.8
10
0.6
5
0.4
–10
–5
5
10
15
20
–5
0.2
–10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
trajektoria ukladu logistycznego
39
trajektoria ukladu Lorenza
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
bialy szum
trajektoria ukladu logistycznego z dodanym szumem
Widać, że tylko w trzecim i szóstym przypadku mamy przybliżony wykres funkcji. Widać też, że w ukladach chaotycznych nie mamy bezladnego
rozkladu punktów; charakteryzuje on tylko bialy szum.
Ważna֒ role֒ w analizie sygnalów (funkcji) okresowych pelni rozklad
w szereg Fouriera. Jego odpowiednikiem dla funkcji f : R → C jest
transformacja Fouriera, która takiej funkcji przypisuje funkcje֒ fˆ dana֒
wzorem
Z +∞
1
fˆ(ω) = √
e−ixω f (x) dx.
2π −∞
Teorie֒ tej transformacji można znaleźć w podrecznikach
analizy funk֒
cjonalnej np. Rudina. Tutaj powiemy tylko o jej dyskretnym odpowiedniku – dyskretnej transformacji Fouriera. Ciagowi
liczbowemu x(j),
֒
j = 0, 1, . . . , N − 1, (w ogólności zespolonemu) przypisuje ona ciag
֒
N −1 −2πijk
1 X
z(j) := √
exp
x(k),
N
N k=0
j = 0, ..., N − 1.
Ten nowy ciag
֒ jest już zawsze zespolony. Widmem mocy dla szeregu
czasowego x(j), j = 0, 1, . . . , N − 1, nazywamy ciag
֒ o wyrazach rzeczywistych
P (j) := |z(j)|2 ,
j = 0, ..., N − 1.
Poniżej prezentujemy wykresy widma mocy dla kolejnych ukladów (1)(6).
40
2500
2000
1500
1000
500
0
2000
4000
6000
8000
10000
szereg okresowy
sze2500
2000
1500
1000
500
0
2000
4000
6000
reg quasiokresowy
41
8000
10000
2500
2000
1500
1000
500
0
20
40
60
80
100
6000
8000
10000
chaos w ukladzie logistycznym
2500
2000
1500
1000
500
0
2000
4000
chaos w ukladzie Lorenza
42
2500
2000
1500
1000
500
0
20
40
60
80
100
2000
4000
6000
8000
10000
bialy szum
2500
2000
1500
1000
500
0
uklad Lorenza z szumem
Widoczne sa֒ dwa piki przy funkcji quasiokresowej, poza nimi krzywa
gladko zbliża sie֒ do 0. Uklady chaotyczne niewiele różnia֒ sie֒ od szumu,
choć uklad Lorenza znacznie odbiega tu od logistycznego. Zauważmy,
że musieliśmy zawezić
rachunki do N = 200. Gdyby nie to czas pracy
֒
komputera osobistego bylby zbyt duży, a pamieć
֒ zbyt mala.
Ważnym miernikiem szeregu czasowego jest funkcja autokorelacji.
43
Dla nieskończonego szeregu czasowego jest ona zdefiniowana wzorem
n
1X
C(m) := lim
x̂i+m x̂i ,
n→∞ n
i=1
i = 1, 2, . . . ,
gdzie x̂j = xj − x̂. Dla szeregów skończonych urywajacych
sie֒ na N,
֒
zastepujemy
granice֒ przez ostatni wyraz. Oto program w MAPLE ry֒
sujacy
wykres
m → C(m) :
֒
autokorel:=proc(B,N)
local i,j,m,srednia,c:
srednia:=sum(B[i],i=0..2*N)/(2*N+1):
for m from 1 to N do
c(m):=sum((B[j]-srednia)*(B[j+m]-srednia),j=0..N)/(N+1):
PLOT(CURVES([seq([m,c(m)],m=1..N/2)]));
end do:
end proc:
gdzie w miejsce B wprowadzamy szereg czasowy x(i), i = 0, 1, ..., 2N. A
oto wynik jej dzialania dla kolejnych szeregów czasowych:
1
0.4
0.5
0.2
0
20
40
60
80
0
100
20
40
60
80
100
80
100
–0.2
–0.5
–0.4
–1
szereg okresowy
szereg quasiokresowy
0.02
80
0.01
60
20
40
60
80
100
0
40
–0.01
20
–0.02
0
chaos logistyczny
20
40
60
chaos w ukladzie Lorenza
44
0.02
0.015
0.01
0.01
0.005
0
0
20
40
60
80
20
40
60
80
100
100
–0.01
–0.005
–0.01
–0.02
bialy szum
chaos logistyczny z szumem
Ostatnie zagadnienie, które omówimy to rekonstrukcja atraktora na
podstawie szeregu czasowego. Jeżeli mamy szereg czasowy x(i), i =
0, 1, . . . , N, i ustalimy liczbe֒ naturalna֒ d ≥ 2, to możemy polaczyć
od֒
d
cinkami w przestrzeni R punkty
(x(i), x(i + 1), . . . , x(i + d − 1)),
i = 0, 1, . . . , N − d + 1.
W tej przestrzeni powstanie pewna lamana, która po odrzuceniu poczatkowych
֒
odcinków stanowi rekonstrukcje֒ atraktora ukladu. Na monitorze możemy
oczywiście obserwować tylko przypadek d = 2 lub dla wiekszych
d rzuty
֒
tej rekonstrukcji na różne plaszczyzny. Oczywiście konstrukcja może
być przeprowadzona zawsze choć nie zawsze atraktor istnieje. Podobnie
wybór wymiaru d jest dowolny i dla różnych wyborów otrzymamy różne
obiekty. Ruelle udowodnil jednak, że przy dość ogólnych zalożeniach o
ukladzie dynamicznym St , t ≥ 0, w przestrzni Rk gwarantujacych
istnie֒
nie zwartego atraktora globalnego istnieja֒ τ > 0 i d ∈ {2, 3, . . . , k} takie, że szereg czasowy każdej ze wspólrzednych
prj Siτ (x), j ustalone, i =
֒
n, n+1, . . . , jest przybliżeniem tego atraktora. Oznacza to w szcególności,
że obliczajac
x w równaniu Lorenza
֒ tylko szereg czasowy dla wspólrzednej
֒
i wybierajac
֒ d = 3 możemy obserwować caly trójwymiarowy atraktor.
Jeśli jednak nie znamy ukladu dynamicznego, a jedynie pewien szereg
czasowy, to także możemy próbować wykonać te֒ procedure.
֒ Zrobimy to
dla naszych sześciu szeregów czasowych wybierajac
d
=
2.
֒
–1
1
2
0.5
1
0
–0.5
0.5
–2
1
–1
0
–0.5
–1
–1
–2
szereg okresowy
szereg quasiokresowy
45
1
2
20
1
15
0.8
10
5
0.6
–15
–10
–5
5
10
15
20
0.4
–5
–10
0.2
–15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
chaos logistyczny
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0.2
bialy szum
15
chaos w ukladzie Lorenza
0.4
0.6
0.8
0
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
chaos logistyczny z szumem
Podstawowe prawa mechaniki nieba
Dość typowy poglad,
że odkrycia Kopernika stanowia֒ poczatek
wspólczesnej
֒
֒
astronomii, jest z gruntu falszywy. Po pierwsze, umieszczenie Slońca w
centrum wszechświata bylo tylko powrotem do pogladów
wielu astro֒
nomów starożytnych. Po drugie, centralność tej gwiazdy jest prawdziwa
jedynie w odniesieniu do lokalnego systemu planetarnego, a stwierdzenie, że planety poruszaja֒ sie֒ po okregach
o środkach w środku Slońca
֒
jest falszywe. Po trzecie wreszcie, opis ruchu planet wymaga jakiegoś
uzasadnienia, a u Kopernika jest czysto fenomenologiczny. W prawie
100 lat później Johann Kepler na bazie obserwacji Tychona Brahe poprawil model Kopernika. W opisie Keplera planety poruszaja֒ sie֒ po
elipsach, a Slońce znajduje sie֒ w ognisku każdej z elips. Ponadto Kepler
sformulowal ilościowe prawa ruchu po tych elipsach, wyjaśniajac
֒ zmiany
predkości
ruchu w różnych punktach toru planety i zwiazki
miedzy
okre֒
֒
֒
sem ruchu a rozmiarami elipsy. Nadal jednak brakowalo uzasadnienia
tych praw i jakiejś ich uniwersalności. Wiedziano już bowiem, że Uklad
Sloneczny jest tylko niewielkim fragmentem wszechświata i, być może
sa֒ w nim jeszcze inne uklady planetarne. Dopiero fundamentalne dzielo
Izaaka Newtona z 1687 roku wypelnilo brakujac
֒ a֒ luke.
֒ Newton zalożyl,
że pomiedzy
każdymi
dwoma
cia
lami
dzia
la
si
la
zwana
sila֒ grawitacji i
֒
podal ilościowy wzór na te֒ sile.
֒ Konsekwencja֒ dzialania tej sily okazaly
46
sie֒ prawa Keplera. W późniejszych latach zaobserwowano pewne odchylenia ruchu planet od praw Keplera, ale bylo to tylko potwierdzeniem
teorii Newtona, ponieważ prawa Keplera otrzymuje sie֒ przy zalożeniu,
że jedyna֒ sila dzialajac
grawita֒ a֒ na dana֒ planete֒ jest sila przyciagania
֒
cyjnego Slońca zaniedbujac
planetami także
֒ fakt, że przecież pomiedzy
֒
dzialaja֒ sily grawitacji. Ponieważ sila grawitacji zgodnie ze wzorem Newtona jest proporcjonalna do mas oddzialujacych
cial, nieuwzglednianie
֒
֒
oddzialywań miedzy
planetami
jest
uzasadnione
tym,
że
masy
planet
sa֒
֒
znikomo male w porównaniu z masa֒ Slońca. Zagadnienie ruchu dwóch
cial pod wplywem sily grawitacji wedlug wzoru Newtona nazywane jest
zagadnieniem dwóch cial i jest przedmiotem niniejszego opracowania.
Jeśli zamiast dwóch rozważamy N cial, wówczas mamy do czynienia z zagadnieniem N cial stanowiacym
do dziś sile֒ napedow
a֒ dużych fragmentó
֒
֒
matematyki (teorii równań różniczkowych zwyczajnych, teorii ukladów
dynamicznych, teorii chaosu). Nawet dla N = 3 ciagle
pojawiaja֒ sie֒
֒
nowe zaskakujace
rezultaty jakościowe i ilościowe.
֒
Zalożmy, że mamy dwa ciala: jedno o masie M i drugie o masie m.
Bedziemy
zakladać, że ciala maja֒ zaniedbywalnie male (w stosunku do
֒
odleglości miedzy
nimi) rozmiary, sa֒ punktowe. Jeśli poczatek
karte֒
֒
3
zjańskiego ukladu wspólrzednych
w R umieścić w ciele M, wtedy wzór
֒
na sile֒ grawitacji dzialajac
֒ a֒ na cialo m ma postać:
Mm
F~ = −G 3 (x, y, z),
r
gdzie G jest pewna֒ uniwersaln
pa֒ stala֒ fizyczna֒ (stala֒ grawitacji G =
−11
2
2
6, 67 · 10 N m /kg ), a r = x2 + y 2 + z 2 odleglościa֒ miedzy
cialami.
֒
Znak − powoduje, że jest to sila przyciagaj
aca,
a
po
latwym
sprawdzeniu
֒
֒
widzimy, że
Mm
||F~ || = G 2
r
co odpowiada naszym szkolnym nawykom. W rzeczywistości poczatek
֒
ukladu wspólrzenych
powinniśmy umieścić w środku masy ukladu obu
֒
cial, ale przy zalożeniu, że masa m jest znacznie mniejsza niż M, środek
ukladu leży bardzo blisko wiekszej
masy. Jeśli w chwili poczatkowej
֒
֒
mamy zadane polożenie ciala m i jego predkość,
wówczas można pokazać,
֒
że dalszy ruch odbywa sie֒ w plaszczyźnie wyznaczonej przez ten punkt i
wektor.
Na tej plaszczyźnie bedziemy
używać notacji zespolonej i wspólrzednych
֒
֒
biegunowych do opisu polożenia punktu. Niech wiec
po
lożenie
cia
la
mw
֒
chwili t bedzie
oznaczone
z(t)
i
֒
z(t) = r(t)eiθ(t) ,
(1)
gdzie r(t) oznacza odleglość miedzy
cialami w chwili t i θ(t) ∈ R jest
֒
argumentem polożenia z(t). Przypomnijmy teraz druga֒ zasade֒ dynamiki
47
Newtona, która mówi, że jeśli na punkt o masie m dziala sila F~ , to punkt
ten porusza sie֒ w ten sposób, że jego przyśpieszeniem jest wektor ~a, przy
czym
F~ = m~a.
Oczywiście zarówno sila, jak i przyśpieszenie sa֒ tu wielkościami zmieniajacymi
sie֒ w czasie, a wiec
֒
֒ funkcjami zmiennej t. Przypomnijmy jeszcze, że przyśpieszenie jest pochodna֒ funkcji predkości
punktu, a ta z kolei
֒
jest pochodna֒ funkcji polożenia – tutaj t 7→ z(t) :
a(t) = v ′ (t),
v(t) = z ′ (t).
W dalszym ciagu
bedziemy
opuszczać argument t we wszystkich funk֒
֒
cjach dla uproszczenia zapisu. Tak wiec
֒ zachodzi zwiazek
֒
ma = −G
Mm iθ
e .
r2
Jest to w istocie równanie różniczkowe rzedu
drugiego w C :
֒
z ′′ = −G
M iθ
e .
r2
Korzystajac
֒ z (1) dostaniemy
z ′ = ireiθ θ′ + eiθ r ′ ,
z ′′ = ir ′ eiθ θ′ − reiθ (θ′ )2 + ireiθ θ′′ +
+ieiθ θ′ r ′ + eiθ r ′′ =
= −reiθ (θ′ )2 + eiθ r ′′ + i reiθ θ′′ + 2eiθ θ′ r ′ .
Zatem dostajemy równanie różniczkowe:
−GM
1 iθ
iθ ′ 2
iθ ′′
iθ ′′
iθ ′ ′
e
=
−re
(θ
)
+
e
r
+
i
re
θ
+
2e
θ
r
,
r2
które po podzieleniu przez eiθ przyjmuje postać
−GM
1
= −r(θ′ )2 + r ′′ + i (rθ′′ + 2θ′ r ′ ) .
2
r
Porównujac
rzeczywiste i urojone dostaniemy uklad równań:
֒ cześci
֒
−GM
1
= −r(θ′ )2 + r ′′ ,
r2
0 = rθ′′ + 2θ′ r ′.
(2)
(3)
Po pomnożeniu obu stron (3) przez r zauważamy, że prawa strona jest
pochodna֒ funkcji r 2 θ′ , wiec
֒ równanie (3) przyjmuje postać
′
r2 θ′ = 0
48
czyli funkcja r 2 θ′ jest calka֒ pierwsza֒ ukladu. Stad
֒
r 2 θ′ = c,
gdzie c jest pewna֒ stala.֒ Zauważmy, że dla c = 0 mamy wtedy θ′ = 0,
co daje nam ruch wzdluż promienia wodzacego.
Z pierwszego równania
֒
(2) widzimy, że jest to ruch spelniajacy
zależność
֒
r ′′ = −GM
1
.
r2
Nie bedziemy
szukać jawnych rozwiazań
tego ostatniego równania, choć
֒
֒
jest to możliwe. Zauważymy tylko, że jeśli w chwili poczatkowej
r ′ (0) ≤ 0,
֒
to ruch jest od poczatku
dośrodkowy z rosnacym
przyśpieszeniem, aż do
֒
֒
′
osiagni
ecia
osobliwości r = 0, a jeśli r (0) > 0, to poczatkowo
r rośnie
֒
֒
֒
coraz wolniej, nastepnie
zatrzymuje
si
e
i
dalszy
ruch
odbywa
si
e
֒
֒
֒ wedlug
poprzedniego scenariusza.
Ciekawszy jest przypadek, gdy c 6= 0. Możemy zakladać c > 0,
bo przypadek c < 0 jest symetryczny i odpowiada zmianie orientacji
plaszczyzny. Podstawmy do równania (2) s = r −1 . Wtedy
r′ = −
1
1 ′
s (t) = − 2 s′ (θ)θ′ (t) = −cs′ (θ)
2
s
s
– tutaj musieliśmy już wstawić argumenty, aby nie dporowadzić do nieporozumienia. Po drugim zróżniczkowaniu mamy
r ′′ = −cs′′ (θ)θ′ (t) = −c2 s2 s′′ (θ)
i możemy wstawić to do równania (2)
−GMs2 = −s−1 (cs2 )2 − c2 s2 s′′ (θ).
Po podzieleniu obu stron przez −c2 s2 otrzymamy równanie
s′′ (θ) + s =
GM
.
c2
(4)
Jest to proste równanie liniowe rzedu
drugiego o stalych wspólczynnikach.
֒
Rozwiazaniami
równania jednorodnego sa֒ funkcje θ 7→ a sin θ + b cos θ, a
֒
jedno z rozwiazań
równania niejednorodnego latwo odgadujemy – jest to
֒
GM
funkcja stala c2 . Zatem dowolne rozwiazanie
równania (4) ma postać
֒
s(θ) = a sin θ + b cos θ +
GM
,
c2
gdzie a i b sa֒ dowolnymi stalymi. Jeśli weźmiemy θ0 takie, że
sin θ0 = √
a
,
a2 + b2
cos θ0 = √
49
b
,
a2 + b2
to kladac
֒ k =
√
a2 + b2 wobec wzoru
cos(θ − θ0 ) = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 ,
otrzymamy
s(θ) = k cos(θ − θ0 ) +
GM
.
c2
Wracajac
֒ do funkcji r, otrzymamy
r(θ) =
c2
c2 k 2 cos(θ − θ0 ) + GM
czyli po wstawieniu nowych stalych α =
r(θ) =
c2
,
GM
ε = αk 2 mamy
α
,
1 + ε cos(θ − θ0 )
(5)
gdzie α > 0, natomiast ε ≥ 0. Możemy przyjać,
że θ0 = 0 odpowiednio
֒
wybierajac
֒ oś rzeczywista֒ na naszej plaszczyźnie zespolonej (θ = θ0 –
równanie dodatniej pólosi rzeczywistej). Jeśli w równaniu (5) przejść do
wspólrzednych
kartezjańskich x = r cos θ, y = r sin θ, to zapisze sie֒ ono
֒
w postaci
p
p
α
x2 + y 2
x2 + y 2 = p
x2 + y 2 + εx
i po prostych przeksztalceniach
p
x2 + y 2 = α − εx,
skad
֒ po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy równanie kwadratowe
(1 − ε2 )x2 + y 2 + 2αεx − α2 = 0.
(6)
Jak wiadomo, równania kwadratowe opisuja֒ krzywe rzedu
drugiego, czyli
֒
okrag,
elipse,
Taki jest wiec
֒
֒ parabole֒ lub hiperbole.
֒
֒ ksztalt trajektorii
ruchu ciala m.
Zobaczymy teraz, że o ksztalcie trajektorii decyduje nieujemny wspólczynnik
ε zwany mimośrodem. Niech najpierw ε = 0. Wtedy równanie (5) przyjmuje postać r = α – równanie okregu.
Jeżeli ε ∈ (0, 1), to w (5) mia֒
nownik nie znika dla żadnego kata
θ, czyli jest to równanie krzywej za֒
mknietej
(okresowość funkcji cosinus). Taka֒ krzywa֒ spośród wymienio֒
nych powyżej jest elipsa. Nietrudno zauważyć, że stosunek dlugości pólosi
1
tej elipsy wynosi 1−ε
wiec
2 , daży
֒
֒ do 1 przy ε → 0 – wtedy elipsa zbliża
sie֒ do okregu.
Przy rosnacym
do 1 ε, elipsa coraz bardziej sie֒ splaszcza.
֒
֒
Dla ε = 1 równanie nasze przyjmuje postać we wspólrzednych
karte֒
zjańskich
y 2 + 2αx − α2 = 0
50
i oczywiście opisuje parabole.
Nie jest to już krzywa zamknieta,
cialo
֒
֒
m zbliża sie֒ do centrum, aby nastepnie
uciec do nieskończoności. Osia֒
֒
symetrii toru jest oś x, a tor ten przecina sie֒ z osia֒ x w punkcie α/2, a z
osia֒ y w punktach ±α. Dla ε > 1 równanie toru ruchu opisuje hiperbole.
֒
Możemy zaobserwować, że poczatek
uk
ladu
wspó
lrz
ednych
znajduje
si
e֒
֒
֒
w ognisku jednej z dwóch galezi
tej
hiperboli.
֒
Poniżej przedstawiamy obrazy trajektorii otrzymane przy pomocy
MAPLE dla różnych wartości parametru ε.
alpha:=1: varepsilon:=0:
plot(alpha /(1+epsilon*cos(theta)),theta= 0..6.28,coords=polar);
1
0.5
–1
–0.5
0.5
1
–0.5
–1
alpha:=1: epsilon:=0.6:
plot(alpha /(1+epsilon*cos(theta)),theta= 0..6.28,coords=polar);
1
0.5
–2.5
–2
–1.5
–1
–0.5
0.5
–0.5
–1
alpha:=1: epsilon:=1:
plots[implicitplot](y^2+2*alpha*x-alpha^2=0,x=-5..0.6,y=-4..4);
51
3
2
y
1
–5
–4
–3
–2
–1
x
–1
–2
–3
alpha:=1: epsilon:=2:
plots[implicitplot]((1-epsilon^2)*x^2+y^2+2*alpha*epsilon*x-alpha^2=0,
x=-5..5,y=-4..4);
4
y
2
–1
1
2
3
x
–2
–4
Wróćmy do równań (2) i (3). Przypomnijmy, że drugie z nich prowadzi do calki pierwszej r 2 θ′ ; przypomnijmy też wzór na pole obszaru
ograniczonego krzywa֒ zadana֒ we wspólrzednych
biegunowych wzorem
֒
θ 7→ r(θ), θ ∈ [θ1 , θ2 ] oraz pólprostymi θ = θ1 i θ = θ2 :
Z
1 θ2
S=
r(θ)2 dθ.
2 θ1
Skoro θ jest funkcja֒ czasu możemy zbudować funkcje֒ t 7→ S(t) przyjmujac
֒
we wzorze na pole θ1 = θ(0) i θ2 = θ(t). Pamietamy,
że funkcja t 7→ θ(t)
֒
jest rosnaca
(malejaca),
a dla dużych t, gdy bedziemy
mieli |θ(t) − θ1 | >
֒
֒
֒
2π, pola zakreślone po calym obrocie należy liczyć powtórnie. Zatem
Z
1 θ(t)
S(t) =
r(θ)2 dθ
2 θ1
i stad
֒
S ′ (t) = r(θ(t))2 θ′ (t) = c.
Oznacza to, że funkcja t 7→ S(t) jest liniowa: S(t) = c1 t + c2 . Kepler
zauważal stad,
że gdy przedzialy czasowe [t1 , t2 ] i [t3 , t4 ] maja֒ równa֒
֒
dlugość, to
S(t2 ) − S(t1 ) = c1 (t2 − t1 ) = c1 (t4 − t3 ) = S(t4 ) − S(t3 )
52
i formulowal to w postaci zwanej dzisiaj drugim prawem Keplera:
Pola zakreślane przez promień wodzacy
planety w równych odstepach
֒
֒
czasu sa֒ równe.
(Arnold ,,Metody matematyczne mechaniki klasycznej” pisze o stalej
predkości
polowej c, która jest bezpośrednio zwiazana
z momentem pedu.)
֒
֒
֒
Przypomnijmy teraz równanie (2) z uwzglednieniem
stalości predkości
֒
֒
polowej c :
c2
1
r ′′ = 3 − GM 2 .
(7)
r
r
Wedlug terminologii stosowanej przez Arnolda jest to uklad zachowawczy
z jednym stopniem swobody. Teoria takich ukladów byla omówiona w na
wykladzie z równań różniczkowych zwyczajnych. Wprowadza sie֒ funkcje֒
zwana֒ potencjalem; jest to dowolna funkcja pierwotna dla −prawej strony
równania (7), czyli tutaj
c2
GM
−
.
2r 2
r
Poniżej przedstawiamy ksztalt wykresu potencjalu.
U(r) =
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
r
–0.2
–0.4
Potencjal wyznacza druga֒ calke֒ pierwsza֒ – energie֒ (calkowita):
֒
1
E = r ′2 + U(r).
2
Z tego wykresu możemy wywnioskować, że dla energii ujemnych mamy
trajektorie zamkniete
(wobec wcześniejszych rozważań elipsy lub okregi).
֒
֒
c2
. Dla tej
Minimum potencjalu latwo znaleźć – jest ono dla r = r0 = GM
wartości promienia otrzymujemy orbite֒ kolowa.֒ Odpowiada ona energii
2
2
E0 = U(r0 ) = − G2cM2 . Dla energii ujemnych, ale wiekszych
od E0 mamy
֒
dwa rozwiazania
równania
U(r)
=
E
:
֒
p
p
GM − G2 M 2 − 2|E|c2
GM + G2 M 2 − 2|E|c2
r1 =
,
r2 =
.
2|E|
2|E|
Okres obiegu trajektorii zamknietej
odpowiadajacej
energii E jest równy
֒
֒
(por. [1])
Z r2
√ Z r2
dr
r dr
p
√
T = 2
=2
.
(8)
2
2Er + 2GMr − c2
E − U(r)
r1
r1
53
Po prostym calkowaniu dostaniemy
T =
√
2Er 2
+ 2GMr −
E
i po uwzglednieniu
tego, że
֒
dostaniemy
√
c2
−√
GM
GM − 2|E|r
arcsin p
3/2
2|E|
GM − 2|E|c2
!r 2
r1
2Er 2 + 2GMr − c2 znika dla r = r1 i r = r2 ,
GMπ
T =√
.
2|E|3/2
(9)
Znajdziemy teraz dlugości pólosi elipsy w zależności od energii. Zauważmy, że środek elipsy leży na osi x, że poczatek
ukladu wspólrzednych
֒
֒
leży wewnatrz
elipsy,
a
pó
loś
na
osi
y
jest
krótsza.
St
ad
krótsza póloś ma
֒
֒
c2
dlugość ǎ := α = GM
, a znaleźć póloś dluższa֒ można na dwa sposoby. Z
jednej strony
GM
,
2â = r1 + r2 =
|E|
a z drugiej
α
α
α
+
=
.
1−ε 1+ε
1 − ε2
Zatem â = GM/2|E| i porównujac
֒ ten wynik z (9) otrzymamy
2â =
2π 3/2
T =√
â
GM
lub
4π 2 3
â .
T =
GM
Kepler wyrażal to w postaci nazywanej dzisiaj trzecim prawem Keplera:
Kwadraty okresów obiegu planet maja֒ sie֒ do siebie tak, jak sześciany
dużych pólosi elips, po których te planety sie֒ poruszaja.֒
2
54