K\u - Katedra Badań Operacyjnych

Optymalizacja wielokryterialna
Porządkowanie
1. Uporządkowanie zbioru wg określonych reguł.
2. Wyróżnienie możliwie najmniejszego podzbioru przy dokonywaniu wyboru.
3. Wybór określonej decyzji.
U ={u1 ,...,um}- skończony i przeliczalny zbiór dopuszczalnych decyzji
Kj(ui)- wartość j-tego kryterium dla i-tej decyzji
n - ilość kryteriów
uk f ul - uk lepsze od ul
Przykład Wybór samochodu
K\u
Cena
Moc
Estetyka
Poj.bagażnika
K\u
M
S
C
24
41
dst+
180
M
Cena
Moc
Estetyka
Poj.bagażnika
F
25
39
35
60
40
65
170
bdb
200
bdb
220
db
S
5
3
2
3
P
C
4
2
3
2
45
25
dst=
80
P
3
4
5
4
F
2
5
5
5
1
1
1
1
Rozwiązanie
1. Podejście paretowskie
u k f ul ⇔ K i ( u k ) ≥ K i ( ul ), ∀i = 1,..n ∧ ∃ K i ( u k ) > K i ( ul )
i
Decyzja uk jest lepsza od decyzji ul wtedy, gdy wartość każdego kryterium dla decyzji uk jest nie
niższa niż dla decyzji ul oraz istnieje przynajmniej jedno kryterium i, którego wartość dla decyzji uk
jest wyższa niż dla ul.
Rozwiązanie nazywamy optymalnym w sensie Pareto (sprawnym), jeżeli w zbiorze decyzji
dopuszczalnych nie istnieje inna decyzja, która zapewniałaby poprawienie wartości jednego z
kryteriów bez pogarszania pozostałych.
2. Metakryterium
n
n
i =1
i =1
u k f ul ⇔ ∑ K i ( u k ) > ∑ K i ( ul )
Decyzja uk jest lepsza od decyzji ul wtedy, gdy łączna suma wartości kryteriów dla decyzji uk jest
wyższa niż dla decyzji ul.
1
K\u
M
Cena
Moc
Estetyka
Poj.bagażnika
S
C
5
3
2
3
P
4
2
3
2
3
4
5
4
n
n
i =1
i =1
2
5
5
5
uk f ul ⇔ ∑ wi ⋅ K i ( uk ) > ∑ wi ⋅ K i ( ul )
gdzie wi – waga dla i-tego kryterium
Decyzja uk jest lepsza od decyzji ul wtedy, gdy ważona suma wartości kryteriów dla decyzji uk jest
wyższa niż dla decyzji ul.
K\u
M
Cena
Moc
Estetyka
Poj.bagażnika
S
5
3
2
3
4,1
C
4
2
3
2
3,3
P
3
4
5
4
3,5
w
2
5
5
5
3,2
0,6
0,2
0,1
0,1
3. Hierarchizacja celów
Hierarchia kryteriów:
K\u
Cena
Moc
Estetyka
Poj.bagażnika
1. Cena
2. Estetyka
3. Pojemność bagażnika
4. Moc silnika
M
S
24
41
dst+
180
C
P
F
25
39
35
60
40
65
170
bdb
200
bdb
220
db
45
25
dst=
80
4. Minimalizacja odległości od punktu idealnego
(zapis uproszczony dla wszystkich kryteriów na max oraz wszystkich wartości kryteriów >0)
Mi - maksymalna wartość kryterium i
M i = max K i (u j )
u j ∈U
K i ( u k ) n K i ( ul )
u k f ul ⇔ ∑
>∑
M
Mi
i =1
i =1
i
n
Decyzja uk jest lepsza od decyzji ul wtedy, gdy łączny poziom spełnienia kryteriów jest dla decyzji
uk wyższy niż dla decyzji ul.
2
K\u
M
S
C
P
M
Cena
Moc
Estetyka
Poj.bagażnika
24
41
3,5
180
25
39
4
170
35
60
5
200
40
65
5
220
Cena
Moc
Estetyka
Poj.bagażnika
100%
63%
70%
82%
315%
96%
60%
80%
77%
313%
69%
92%
100%
91%
352%
60%
100%
100%
100%
360%
24
65
5
220
5. Metoda ELECTRE
l(uk,ul)-liczba kryteriów, w których K(uk) > K (ul)
g(uk,ul)-liczba kryteriów, w których K(uk) < K (ul)
u k f u l ⇔ l (u k , u l ) > g (u k , u l )
Decyzja uk jest ogółem lepsza od decyzji ul wtedy, gdy liczba kryteriów, ze względu na które jest
ona lepsza niż decyzja ul jest wyższa od liczby kryteriów, ze względu na które decyzja uk jest
gorsza od decyzji ul.
Schemat postępowania:
1. Ustalenie macierzy L
2. Ustalenie macierzy G
3. Wyliczenie macierzy L-G
4. Sporządzenie diagramu Hassego
K\u
M
Cena
Moc
Este tyka
P oj.ba gażnika
L
M
S
C
P
F
M
1
3
3
1
S
3
3
3
1
S
24
41
dst+
180
C
1
1
2
1
P
1
1
1
1
F
3
3
3
3
-
C
P
F
25
39
35
60
40
65
170
bdb
200
bdb
220
db
G
M
S
C
P
F
M
3
1
1
3
S
1
1
1
3
C
3
3
1
3
P
3
3
2
3
F
1
1
1
1
-
45
25
dst=
80
L-G
M
S
C
P
F
M
-2
2
2
-2
S
2
2
2
-2
C
-2
-2
1
-2
P
-2
-2
-1
F
2
2
2
2
-2
R19
Tipo
Ford
Łada
Seat
Astra
Polonez
3
Teoria gier
Przykłady na podstawie W.Samuelson, S.Marks Ekonomia menedżerska oraz P. Straffin Teoria gier
Zbiór decyzji
Decyzja
gracza
f1(x)
.
.
.
.
fm(x)
x
x
y
Los
„Natura”
Przeciwnik
f(x,y)
Sytuacje:
1. Znane są prawdopodobieństwa zajścia stanów otoczenia (programowanie w warunkach ryzyka)
2. Gra z „naturą” (programowanie w warunkach niepewności)
3. Stany wybiera przeciwnik
a) gry o sumie zerowej
b) gry o sumie niezerowej
Gra z przeciwnikiem
Gra o sumie zerowej - wygrana jednego gracza oznacza taką samą stratę drugiego.
Decyzje
Macierz wypłat
1 ...
Stany
1
...
i
...
m
j ...
n
wypłata na rzecz
gracza dla decyzji j
przy stanie i
aij
Przykład 2 Kampania wyborcza
•Gracze podejmują decyzje niezależnie od siebie
• Obaj gracze są „sprytni” i świadomi „sprytu” drugiego
R1
Gracz II
R2
R3
C1
Gracz I
C2
C3
+2
-5
-7
+1
-2
+3
-4
-3
+5
Punkt równowagi
•Najlepszy wynik jakiego może oczekiwać „sprytny” gracz w grze o sumie zerowej przeciwko
równie „sprytnemu” przeciwnikowi => osiągnięcie stanu równowagi
• Odstąpienie od strategii prowadzącej do stanu równowagi => ograniczenie własnych wypłat i
zwiększenie wypłat (szans) rywala
• -2 => wartość gry
4
Wynik gry macierzowej aij nazywamy punktem siodłowym, gdy
aij ≤ akj ∀k = 1,.., m
aij ≥ ail ∀l = 1,.., n
Przykład 3 Znajdź rozwiązanie gry
S1
S2
S3
S4
Przykład 4 Znajdź rozwiązanie gry
S1
S2
S3
S4
Przykład 5 Strategie mieszane
S1
S2
D1
D2
D3
D4
12
-1
1
0
5
1
7
-20
3
2
4
3
-16
0
0
16
D1
D2
D3
D4
4
2
5
2
2
1
-1
-20
3
2
4
2
-16
0
16
1
D1
D2
2
-3
0
3
5
Przykład 6 Kryzys kubański
Drzewo gry
Chruszczow
Nie rozmieszczać rakiet
Rozmieszczać rakiety
u
Kennedy
Zniszczyć rakiety
Nie robić nic
Blokada
v
Chruszczow
w
Chruszczow
x
y
z
C1 – Nie rozmieszczać rakiet
C2 – Rozmieścić rakiety. Ustąpić jeżeli jakakolwiek agresja Kennedy’ego
C3 - Rozmieścić rakiety. Blokada – ustąpić, zniszczenie rakiet – odwet
C4 - Rozmieścić rakiety. Blokada – odwet, zniszczenie rakiet – ustąpić
C5 - Rozmieścić rakiety. Jakakolwiek agresja Kennedy’ego - odwet
Chruszczow
K1 Nic nie robić
Kennedy K2 Blokada
K3 Zniszczyć rakiety
C1
C2
C3
C4
C5
u
u
u
v
w
y
v
w
z
v
x
y
v
z
x
Przykład 7 Konkurencja stacji telewizyjnych
• Dwie stacje TV konkurują o widzów
• Decyzja: O której nadać program szlagierowy - 20 czy 21?
• Liczba widzów (macierz wypłat)
NBC
ABC
20
20
36 , 33
21
39 , 28
21
30 , 36
32 , 30
6
Przykład 8 Znajdź rozwiązanie gry
Gracz A
Gracz
B1
B
B2
A1
A2
( 2, 3 )
( 1, 0 )
( 3, 2 )
( 0, 1 )
Przykład 9 Strategia wyrównująca
Strategia wyrównująca – strategia mieszana, która równoważy wartość oczekiwaną dla gracza,
niezależnie od decyzji przeciwnika
Gracz A
Gracz
B1
B
B2
A1
A2
( 2, 4 )
( 3, 1 )
( 1, 0 )
( 0, 4 )
7
Przykład 10 Dylemat więźnia(1950 Melvin Dresher i Merrill Flood)
Podejrzany A
solidarność
zdrada
( 0, 0 )
( 1,-2)
Podejrzany solidarność
B
zdrada
(-2, 1)
(-1, -1)
Programowanie w warunkach niepewności
1. Strategie czyste -wybór tylko jednej decyzji z n możliwych
2. Strategie mieszane - kombinacja strategii czystych
a) realizowana tylko jeden raz
b) realizowana wielokrotnie
Reguły wyboru w strategiach czystych
Przykład 11
D1
S
S1
T
S2
A
S3
N
S4
Przedsiębiorstwo
D2
D3
4
5
-4
1
-3
4
2
0
-4
1
7
0
S
S1
T
S2
A
S3
N
S4
4
5
-4
1
-2
-1
1
-4
wk = max{min aij }
1. Reguła maxmin (Walda)
D1
D4
j
Przedsiębiorstwo
D2
D3
-3
4
2
0
-4
1
7
0
i
D4
-2
-1
1
-4
8
h j (α ) = α ⋅ min {aij } + (1 − α ) ⋅ max{aij }
2. Reguła Hurwicza
i
hk (α ) = max{h j (α )}
j
i
0 ≤α ≤1
gdzie α - współczynnik ostrożności
D1
S
S1
T
S2
A
S3
N
S4
4
5
-4
1
Przedsiębiorstwo
D2
D3
-3
4
2
0
-4
1
7
0
D4
-2
-1
1
-4
3. Reguła Laplace’a (Bayesa)
Przedsiębiorstwo
D2
D3
D1
S
S1
T
S2
A
S3
N
S4
1 m
bk = max{ ∑ aij }
j
m i =1
4
5
-4
1
-3
4
2
0
D4
-4
1
7
0
-2
-1
1
-4
4. Reguła Savage’a
S - macierz względnych strat
zi = max{aij }
j
sij = zi − aij
s j = max{sij }
D1
S
S1
T
S2
A
S3
N
S4
S1
S=
S2
S3
S4
4
5
-4
1
Przedsiębiorstwo
D2
D3
-3
4
2
0
-4
1
7
0
i
D4
sk = min{s j }
j
-2
-1
1
-4
D1
D2
D3
D4
0
0
11
0
7
1
5
1
8
3
0
1
6
6
6
5
9
Reguły wyboru w strategiach mieszanych
Przykład 12 Ogrodnik
• Rolnik posiada 9 arów
• Może posadzić marchew lub pomidory
• Zyski (z ara) zależą od pogody
D1
D2
0
2
7
3
5
1
Model
Strategia mieszana realizowana jeden raz
xj - udział j-tej decyzji w strategii
y- minimalny, gwarantowany zysk
x1 - część działki zasiana marchwią
x2 - część działki obsadzona pomidorami
y- minimalny, gwarantowany zysk
n
y = max
x1 + x2 = 1
j =1
0 ⋅ x1 + 3 ⋅ x2 ≥ y
y = max
∑ xj =1
n
∑ aij ⋅ x j ≥ y
(i = 1..m)
xj, y ≥ 0
( j = 1..n)
j =1
2 ⋅ x1 + 5 ⋅ x2 ≥ y
7 ⋅ x1 + 1 ⋅ x2 ≥ y
x1 , x2 , y ≥ 0
Rozwiązanie
x1 =
2
9
x2 =
7
9
1
7 21 7
2
0 ⋅ x1 + 3 ⋅ x2 = 0 ⋅ + 3 ⋅ = = = 2 ≥ y
3
9 9 3
9
2
7 39
1
2 ⋅ x1 + 5 ⋅ x2 = 2 ⋅ + 5 ⋅ =
=4 ≥ y
9
9 9
3
2
7 21
1
7 ⋅ x1 + 1 ⋅ x2 = 7 ⋅ + 1 ⋅ = = 2 ≥ y
9
9 9
3
y=2
1
3
Interpretacja
10
Przykład 13 Sad
• Rolnik posiada 9 arów
• Może zasadzić jabłonie lub grusze
• Zyski (z ara) zależą od pogody
D1
D2
0
2
7
3
5
1
Model
Strategia mieszana realizowana wielokrotnie
xj - udział j-tej decyzji w strategii
bj - średnia wygrana z j-tej decyzji
n
∑b
j
⋅ x j = max
j =1
n
∑x
j
3 ⋅ x1 + 3 ⋅ x2 = max
x1 + x2 = 1
=1
j =1
xj ≥ 0
x1 - część działki z jabłoniami
x2 - część działki obsadzona gruszami
( j = 1..n)
x1 , x2 ≥ 0
Zalecana literatura
P. Straffin Teoria gier Wydawnictwo Naukowe SCHOLAR’2001
M.Anholcer, H.Gaspars, A.Owczrkowski Przykłady i zadania z badań operacyjnych i ekonometrii
AE Poznań’2003 (skrypt nr 140)
E.Ignasiak (red.) Badania operacyjne PWE’2000
W.Samuelson, S.Marks Ekonomia menedżerska, PWE’98
B.Guzik (red.) Ekonometria i badania operacyjne. Uzupełnienia z badań operacyjnych, (skrypt AE
Poznań)
T.Trzaskalik Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE 2003
11