BE, n - Wojskowa Akademia Techniczna

Transkrypt

Technika obliczeniowa i symulacyjna
Komputerowa analiza układów elektronicznych
dr hab. inż. Andrzej P. Dobrowolski
_________________________________________________
Wojskowa Akademia Techniczna w Warszawie
Instytut Systemów Elektronicznych Wydziału Elektroniki
ul. S. Kaliskiego 2
00-908 Warszawa
tel. (+48 22) 683 75 70
fax (+48 22) 683 94 44
e-mail: [email protected]
www: http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
Symulacja
Symulacja, to przybliżone odtwarzanie zjawiska lub
zachowania danego obiektu za pomocą jego modelu.
Szczególnym rodzajem modelu jest model matematyczny.
Symulacja komputerowa, to symulacja z wykorzystaniem
modelu matematycznego, zapisanego w postaci programu
komputerowego.
Techniki symulacyjne są szczególnie przydatne tam, gdzie
analityczne wyznaczenie rozwiązania byłoby zbyt
pracochłonne, a niekiedy nawet niemożliwe, co często ma
miejsce w systemach złożonych.
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
0 - 2/10
Tematyka wykładów
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Komputerowe formułowanie równań obwodu.
Analiza stałoprądowa obwodów nieliniowych.
Małosygnałowe analizy częstotliwościowe.
Analiza czasowa.
Analiza widmowa.
Analiza wrażliwościowa i statystyczna.
Wprowadzenie do programu Spice.
Przegląd implementacji programu Spice.
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/tois.htm
A. P. Dobrowolski
0 - 3/10
Tematyka ćwiczeń rachunkowych
1. Zmodyfikowana metoda węzłowa w ujęciu algorytmicznym.
2. Analiza stałoprądowa układów nieliniowych.
3. Synteza sieci stowarzyszonej do analizy czasowej.
A. P. Dobrowolski
0 - 4/10
Tematyka ćwiczeń laboratoryjnych
1.
2.
3.
4.
5.
Badanie algorytmów analizy stałoprądowej.
Badanie algorytmów analizy czasowej i widmowej.
Symulatory układów elektronicznych.
Zaawansowane metody symulacji w języku Spice.
Makromodele i analiza parametryczna w języku Spice.
http://zese.wel.wat.edu.pl/dydaktyka/ksue/index.html
A. P. Dobrowolski
0 - 5/10
Literatura
1. A. Dobrowolski, Pod maską SPICE'a. Metody i algorytmy
analizy układów elektronicznych, BTC, Warszawa, 2004
2. A. Dobrowolski, J. Kaźmierczak, P. Komur, A. Malinowski,
Laboratorium z komputerowej analizy układów elektronicznych,
WAT, Warszawa, 2007
3. S. Osowski, A. Cichocki, K. Siwek, MATLAB w zastosowaniu
do obliczeń obwodowych i przetwarzania sygnałów,
Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa, 2006
4. L. O. Chua, Pen-Min Lin, Komputerowa analiza układów
elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe,
WNT, Warszawa, 1981
5. J. Ogrodzki, Komputerowa analiza układów elektronicznych,
PWN, Warszawa, 1994
6. Z. Kosma, Metody numeryczne dla zastosowań inżynierskich,
Wydawnictwo Politechniki Radomskiej, Radom 2007
A. P. Dobrowolski
0 - 6/10
Zasady zaliczania
Wersja I – Egzamin
• Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest uzyskanie oceny pozytywnej z egzaminu,
przeprowadzanego w formie pisemno-ustnej, obejmującego całość programu przedmiotu.
• Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie ocen pozytywnych z ćwiczeń rachunkowych
(uogólniona ocena końcowa na podstawie ocen bieżących) i laboratoryjnych (ocena końcowa na
podstawie kolokwiów wstępnych, pracy bieżącej i sprawozdań).
Wersja II – Zaliczenie
Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest:
•
uzyskanie oceny pozytywnej z ćwiczeń rachunkowych (uogólniona ocena końcowa na podstawie
ocen bieżących),
•
uzyskanie oceny pozytywnej z ćwiczeń laboratoryjnych (ocena końcowa na podstawie kolokwiów
wstępnych, pracy bieżącej i sprawozdań),
•
uzyskanie oceny pozytywnej z pisemnego kolokwium końcowego, obejmującego całość
programu przedmiotu.
A. P. Dobrowolski
0 - 7/10
Zasady zaliczania
Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych:
• Każde ćwiczenie jest poprzedzone 10-cio minutowym kolokwium
sprawdzającym stopień przygotowania do zajęć.
• Ćwiczenia rachunkowe zaliczane są na podstawie średniej z ocen
cząstkowych uzyskanych w trakcie zajęć.
• Pozytywne oceny cząstkowe nie podlegają poprawie.
• Każda nieobecność na zajęciach musi być zaliczona.
• Uzyskanie średniej niższej niż 2,76 zobowiązuje do zaliczenia
całości tematyki realizowanej na ćwiczeniach.
Uwaga:
Kalkulatory są obowiązkowe!
A. P. Dobrowolski
0 - 8/10
Zasady zaliczania
Zaliczenie ćwiczeń laboratoryjnych:
• Każde ćwiczenie laboratoryjne jest poprzedzane wstępnym
kolokwium sprawdzającym stopień przygotowania do realizacji
ćwiczenia i warunkującym możliwość jego wykonywania.
• Istnieje możliwość warunkowego dopuszczenia studenta, który
otrzymał z kolokwium wstępnego ocenę niedostateczną do
wykonywania ćwiczenia, w przypadku, gdy prowadzący oceni, że
student będzie jednak w stanie poprawnie i ze zrozumieniem
wykonać ćwiczenie. W takim przypadku kolokwium wstępne
podlega zaliczeniu w późniejszym terminie, a w ocenie tego
kolokwium uwzględnia się poprzednio otrzymaną ocenę
niedostateczną.
A. P. Dobrowolski
0 - 9/10
Zasady zaliczania
Zaliczenie ćwiczeń laboratoryjnych:
• Studenci wykonują w trakcie ćwiczenia sprawozdanie wg
udostępnionego szablonu (jedno na dwuosobowe stanowisko).
• Ocena końcowa pojedynczego ćwiczenia laboratoryjnego
uwzględnia ocenę uzyskaną w trakcie kolokwium wstępnego,
ocenę pracy podczas realizacji ćwiczenia oraz ocenę za
sprawozdanie.
• Warunkiem zaliczenia ćwiczeń laboratoryjnych jest uzyskanie
ocen pozytywnych ze wszystkich ćwiczeń, a ocena końcowa
laboratorium jest ich średnią arytmetyczną.
A. P. Dobrowolski
0 - 10/10
1. Komputerowe formułowanie równań obwodu
Komputerowe modele elementów układu
W zależności od rodzaju sygnałów (napięć i prądów) działających na
element, jego model zastępczy może być zaklasyfikowany jako
stałoprądowy (statyczny) lub zmiennoprądowy (dynamiczny).
IC
iC(t)
Q2
Q1
UBE
t
uBE (t)
t
A. P. Dobrowolski
1 - 2/59
W zależności od wielkości napięć działających na element, jego model
może być zaklasyfikowany jako wielkosygnałowy lub małosygnałowy.
IC
iC(t)
Q2
Q1
UBE
t
uBE(t)
t
A. P. Dobrowolski
1 - 3/59
W zależności od częstotliwości sygnałów działających na element
można stosować model stałoprądowy, zmiennoprądowy lub wielkoczęstotliwościowy – szczególny przypadek modelu zmiennoprądowego (makromodel).
Najbardziej ogólny, ale jednocześnie najbardziej złożony jest
wielkosygnałowy nieliniowy model zmiennoprądowy. Poprzez
odrzucenie elementów reaktancyjnych można z niego otrzymać
wielkosygnałowy nieliniowy model stałoprądowy, a poprzez
linearyzację w punkcie pracy małosygnałowy liniowy model
zmiennoprądowy.
Praktyczny model jest zawsze efektem kompromisu
między propozycjami fizyków, a wymaganiami
programistów i „układowców”.
A. P. Dobrowolski
1 - 4/59
Model tranzystora bipolarnego
Praktycznie stosowany jest model Gummela-Poona będący
dojrzałym rozwinięciem modelu Ebersa-Mola, w którym
uwzględniono szereg istotnych zjawisk ubocznych, m.in.:
Ø szeregowe rezystancje rozproszenia bazy, kolektora i
emitera,
Ø modulację szerokości bazy (efekt Early'ego),
Ø efekty występujące przy małych i dużych poziomach
wstrzykiwania,
Ø efekty przebicia złączy,
Ø czasy przelotu nośników przez warstwy zaporowe.
A. P. Dobrowolski
1 - 5/59
RB
CB’C’
B’
B
CB’E’
RC
C’
IB
C
IC
CC’S
E’
S
RE
S – substrate, substructure
(podłoże)
E
A. P. Dobrowolski
1 - 6/59
RB
CB’C’
B’
B
CB’E’
RC
C’
IB
C
IC
CC’S
E’
S
RE
Podczas linearyzacji
model
wielkosygnałowy jest
sprowadzany do
rozbudowanego
modelu „hybryd p”.
E
Ø IC, IB
– źródła prądowe modelujące prądy tranzystora,
Ø RB, RC, RE – rezystancje rozproszenia obszarów bazy, kolektora
i emitera,
Ø CB’E’, CB’C’ – wypadkowe pojemności złączy BE i BC tranzystora,
Ø CC’S
– pojemność pasożytnicza między kolektorem i
podłożem.
A. P. Dobrowolski
1 - 7/59
Opis stałoprądowy
I B = I rC + I dC + I rE + I dE
I C = I NI - I rC - I dC
I NI =
IN - II
qB
ææ nUnBU' EB' U' E ' ö ö
I INN == ISS çççeeN NT -T 1-÷÷ 1÷
èçè
ø ÷ø
U
ö
æ nU BU' C '
I
T
II = IS ç e
- 1÷
÷
ç
è
ø
IS
- prąd nasycenia tranzystora,
nN, nI - współczynniki emisji przy polaryzacji normalnej i inwersyjnej.
A. P. Dobrowolski
1 - 8/59
Uproszczenie do obliczeń ręcznych
æ nU BU' E'
ö
N
T
IN = IS çe
- 1÷
ç
÷
è
ø
Potencjał elektrokinetyczny (elektrotermiczny, termiczny) w temp. 27°C:
J
1,38 ×10
× 300 K
kT
K
UT =
=
= 25,9 mV
-19
q
1,6 ×10 C
- 23
Często nN = 1 i wówczas:
U BE
æ nU BEU
ö
æ nqU BE
ö
æ
ö
N T
N kT
25
.
9
mV
ç
÷
ç
÷
IC = I S e
-1 = IS e
- 1 = I S çç e
- 1÷÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
A. P. Dobrowolski
1 - 9/59
Uproszczenie do obliczeń ręcznych
Dla diody:
ö
æ n U DU
I D = I S ç e N T - 1÷ = I S e aU D - 1
÷
ç
ø
è
(
)
W kilku przykładach obliczeniowych zastosujemy związek:
(
)
I D = I S e 40×U D - 1
A. P. Dobrowolski
1 - 10/59
Opis stałoprądowy
Czynnik qB poprzez q1 uwzględnia efekt Early'ego, a poprzez q2 zjawisko
modulacji konduktywności bazy.
qB =
q1 =
1
1-
U B'C' U B'E'
UB
UA
(
q1
1 + 1 + 4 q2
2
)
U B' E '
U B' C '
æ
ö
æ
ö
I S ç nN UT
I
n
U
S
I
T
çe
- 1÷ +
- 1÷
q2 =
e
÷ I kI ç
÷
I kN çè
ø
è
ø
UA, UB -napięcia Early'ego dla polaryzacji normalnej i inwersyjnej,
IkN, IkI - krytyczne wartości prądów dla polaryzacji normalnej
i inwersyjnej, powyżej których istotne staje się zjawisko
modulacji konduktywności bazy.
A. P. Dobrowolski
1 - 11/59
Opis stałoprądowy
Prądy rekombinacji nośników wstrzykiwanych z kolektora i emitera:
I rC
I rE
U B'C'
ö
æ
I I I S ç nI UT
=
=
e
- 1÷
÷
b I b I çè
ø
U B'E'
æ
ö
IN
I S ç nN UT
=
=
e
- 1÷
÷
b N b N çè
ø
bI i bN są idealnymi wzmocnieniami prądowymi dla
polaryzacji inwersyjnej i normalnej
A. P. Dobrowolski
1 - 12/59
Opis stałoprądowy
Dodatkowe prądy rekombinacji powierzchniowej i rekombinacji w
złączach oraz prądy upływu złączy istotne w zakresie małych wartości
prądów końcówkowych:
I dC
ö
æ nU B'C'
C UT
ç
= I sC e
- 1÷
÷
ç
ø
è
I dE
æ nU B'E'
ö
E UT
ç
= I sE e
- 1÷
ç
÷
è
ø
IsC, IsE - prądy nasycenia dodatkowych diod złączy BC i BE,
nC, nE - współczynniki emisji diod dodatkowych.
A. P. Dobrowolski
1 - 13/59
Opis stałoprądowy
Istotna z punktu widzenia parametrów użytkowych tranzystora rezystancja
rozproszenia bazy jest modelowana z wykorzystaniem trzech parametrów:
Ø rezystancji obszaru bazy przy zerowej polaryzacji rbb’0,
Ø wartości prądu bazy IrB, przy której rezystancja obszaru bazy maleje
o połowę różnicy między wartością przy zerowej polaryzacji i
wartością minimalną,
Ø minimalnej wartości rezystancji bazy przy dużych wartościach prądu
kolektora rbb’min.
rbb' 0 - rbb' min
rbb ' = rbb 'min +
,
qB
rbb' = rbb' min + 3 (rbb' 0 - rbb' min )
dla I rB = 0
z=
tg z - z
,
2
z tg z
24 I B
×
2
p I rB
24 I B
×
2
p
I rB
-1+ 1+ 6 ×
dla I rB ¹ 0
A. P. Dobrowolski
1 - 14/59
Własności dynamiczne
Pojemność złącza baza-emiter
C B'E' = Cde + C je
Pojemność dyfuzyjna
Cde =
tN ' I S
e
nN U T
U B'E'
nN UT
é
æ IN
t N ' = t N ê1 + X tN × çç
êë
è I N + I tN
2
ö
÷÷ × e
ø
U B'C'
1, 44U tN
ù
ú
úû
tN reprezentuje idealny czas przelotu nośników przy polaryzacji normalnej.
A. P. Dobrowolski
1 - 15/59
Własności dynamiczne
Pojemność złączowa przy polaryzacji w kierunku zaporowym
C jez =
C je0
æ U B'E'
çç1 jE
è
ö
÷÷
ø
mE
jE - napięcie dyfuzyjne (potencjał wbudowany) złącza (dla Si: 0,6-0,8V),
mE - wykładnik o wartości między 0,5 (zł. skokowe) a 0,3 (zł. liniowe),
Cje0 - pojemność złączowa przy braku polaryzacji.
Pojemność złączowa przy polaryzacji w kierunku przewodzenia
C jep
C je 0
=
(1 - FC )1+mE
é
U B'E' ù
(
)
1
F
1
+
m
+
m
C
E
E
ê
ú
j
ë
E û
A. P. Dobrowolski
1 - 16/59
Wpływ temperatury
Przerwa energetyczna
Prąd
aT 2
Wg (T ) = Wg (0) b+T
æ T
I S (T ) = I S (Tnom ) çç
è Tnom
ö
÷÷
ø
X TI
é
q
T - Tnom ù
exp êWg (Tnom ) ×
×
ú
k
T
T
nom
ë
û
X Tb
Wzmocnienie
æ T ö
÷÷
b N (T ) = b N (Tnom ) çç
T
è nom ø
Pojemność
ì
é
j E (T ) ù ü
-4
C je 0 (T ) = C je 0 (Tnom ) í1 + mE ê1 + 4 × 10 × (T - Tnom ) úý
(
)
j
T
E
nom û þ
ë
î
j E (T ) = j E (Tnom )
T
3kT
T
T
ln
- Wg (Tnom ) ×
+ Wg (T )
Tnom
q
Tnom
Tnom
A. P. Dobrowolski
1 - 17/59
Parametry modelu wg standardu SPICE
Sym- Oznabol czenie
Opis parametru
Jedno- Wartość
stka
domyślna
IS
IS
Prąd nasycenia w temperaturze nominalnej
A
10-16
bN
BF
Idealne wzmocnienie prądowe dla pracy normalnej w
temperaturze nominalnej
-
100
nN
NF
Współczynnik emisji dla pracy normalnej
-
1
UA
VAF
Napięcie Early'ego dla pracy normalnej
V
¥
IkN
IKF
A
¥
IsE
ISE
A
0
nE
NE
Współczynnik emisji prądu upływu złącza BE
-
1,5
bI
BR
Idealne wzmocnienie prądowe dla pracy inwersyjnej w
-
1
nI
NR
Współczynnik emisji dla pracy inwersyjnej
-
1
Prąd załamania wzmocnienia prądowego dla pracy
normalnej
Prąd nasycenia dodatkowej diody złącza BE w
A. P. Dobrowolski
1 - 18/59
Sym- Oznabol czenie
UB
VAR
IkI
IKR
IsC
ISC
nC
NC
rbb’0
RB
IrB
IRB
rbb’min RBM
Opis parametru
Jedno- Wartość
stka
domyślna
V
¥
A
¥
A
0
Współczynnik emisji prądu upływu złącza BC
-
2
Rezystancja obszaru bazy przy zerowej polaryzacji
W
0
A
¥
W
RB
Napięcie Early'ego dla pracy inwersyjnej
Prąd załamania wzmocnienia prądowego dla pracy
inwersyjnej
Prąd nasycenia dodatkowej diody złącza BC w
Wartość prądu bazy, modelująca rezystancję rozproszenia
bazy
Minimalna wartość rezystancji bazy przy dużych
wartościach prądu kolektora
ree’
RE
Rezystancja obszaru emitera
W
0
rcc’
RC
Rezystancja obszaru kolektora
W
0
A. P. Dobrowolski
1 - 19/59
Sym- Oznabol czenie
Opis parametru
Pojemność złączowa złącza BE przy zerowej polaryzacji w
Potencjał wbudowany złącza BE w temperaturze
nominalnej
Jedno- Wartość
stka
domyślna
F
0
V
0,75
Wykładnik potęgowy pojemności złącza BE
-
0,33
Idealny czas przelotu przy pracy normalnej
s
0
XTF
Współczynnik zależności efektywnego czasu przelotu
nośników od napięcia polaryzacji tN’ = f(UB’C’)
-
0
UtN
VTF
Napięcie modelujące zależność tN’ = f(UB’C’)
V
¥
ItN
ITF
Parametr określający zależność tN’ od dużych prądów
A
0
jTF
PTF
Dodatkowe przesunięcie fazy przy częstotliwości
1/(2ptN)
deg
0
Cjc0
CJC
Pojemność złączowa złącza BC przy zerowej polaryzacji w
F
0
Cje0
CJE
jE
VJE
mE
MJE
tN
TF
XtN
A. P. Dobrowolski
1 - 20/59
Sym- Oznabol czenie
Opis parametru
Jedno- Wartość
stka
domyślna
jC
VJC
Potencjał wbudowany złącza BC w temperaturze
nominalnej
V
0,75
mC
MJC
Wykładnik potęgowy pojemności złącza BE
-
0,33
Współczynnik określający część pojemności złączowej
złącza BC połączoną z wewnętrzną końcówką bazy (B’).
Pozostała część jest połączona z końcówką zewnętrzną
(B).
-
1
Czas przelotu nośników przy pracy inwersyjnej
s
0
F
0
V
0,75
XCjc XCJC *
tI
TR
Cjs0
CJS
jS
VJS
mS
MJS
Wykładnik potęgowy pojemności kolektor-podłoże
-
0
XTb
XTB
Wykładnik potęgowy temperaturowych współczynników
wzmocnień b N i b I
-
0
Pojemność złączowa złącza kolektor-podłoże przy zerowej
polaryzacji w temperaturze nominalnej
Potencjał wbudowany złącza kolektor-podłoże w
A. P. Dobrowolski
1 - 21/59
Sym Ozna-bol czenie
Opis parametru
Jedno- Wartość
stka
domyślna
Eg
EG
Przerwa energetyczna półprzewodnika w temperaturze
nominalnej
eV
1,11
XTI
XTI
Wykładnik potęgowy temperaturowych współczynników
prądów nasycenia IS, IsC i IsE
-
3,0
KF
KF
Współczynnik szumów migotania
-
0
AF
AF
Wykładnik potęgowy szumów migotania
-
1
FC
FC
Współczynnik określający granicę stosowania liniowego
modelu pojemności złączowej
-
0,5
A. P. Dobrowolski
1 - 22/59
**********
*SRC=BC108B;BC108B;BJTs NPN;Gen. Purpose;25V 200mA
.MODEL BC108B NPN (IS=1.02E-14 NF=1.0 BF=468 VAF=80
+ IKF=6.0E-02 ISE=2.17E-12 NE=2.0 BR=4 NR=1.0 VAR=20
+ XTB=1.5 RE=8.1E-01 RB=3.3E+00 RC=3.3E-01
+ CJE=1.6E-11 CJC=4.7E-12 TF=4.7E-10 TR=6.2E-08)
* Philips 20 Volt 0.10 Amp 340 MHz SiNPN Transistor
**********
A. P. Dobrowolski
1 - 23/59
Metoda węzłowa
V1
1
Iźr
R1
V2
R3
2
R2
V3
3
R4
ì G1V1
- G1V2
ï
í- G1V1 + (G1 + G2 + G3 ) V2
ï
- G3V2
î
ì
V1 - V2
ï- I źr + R = 0
1
ï
ïV2 - V1 V2 V2 - V3
+
+
=0
í
R2
R3
ï R1
ïV3 - V2 V3
+
=0
ï
R4
î R3
= I źr
- G3V3
=0
+ (G3 + G4 ) V3 = 0
A. P. Dobrowolski
1 - 24/59
Metoda węzłowa
1
Iźr
R1
R3
2
3
R2
- G1
é G1
ê- G G + G + G
1
2
3
ê 1
êë 0
- G3
R4
0
- G3
G3 + G4
ì
V1 - V2
ï- I źr + R = 0
1
ï
ïV2 - V1 V2 V2 - V3
+
+
=0
í
R2
R3
ï R1
ïV3 - V2 V3
+
=0
ï
R4
î R3
ù éV1 ù é I źr ù
ú × êV ú = ê 0 ú
ú ê 2ú ê ú
úû êëV3 úû êë 0 úû
A. P. Dobrowolski
Û
G ×V = I
1 - 25/59
Metoda węzłowa
1
Iźr
R1
R3
2
3
R2
R4
Układ nieoznaczony –
nieskończenie wiele rozwiązań
éG2 + G4
ê 0
ê
ê - G2
ê
ë - G4
0
- G2
G1
- G1
- G1 G1 + G2 + G3
0
- G3
V0 - V2 V0 - V3
ì
I
+
+
=0
ï źr
R2
R4
ï
V1 - V2
ï
I
+
=0
ï źr
R1
ï
í
ïV2 - V1 + V2 - V0 + V2 - V3 = 0
ï R1
R2
R3
ï
ïV3 - V2 + V3 - V0 = 0
ïî R3
R4
- G4 ù éV0 ù é - I źr ù
0 ú êV1 ú ê I źr ú
ú×ê ú = ê
ú
- G3 ú êV2 ú ê 0 ú
ú ê ú ê
ú
G3 + G4 û ëV3 û ë 0 û
A. P. Dobrowolski
Û
G ×V = I
1 - 26/59
Zmodyfikowana metoda węzłowa
1
IV
Vźr
R1
V0 - V1
ì
ï IV + R = 0
ï
1
í
ï- I + V1 - V0 = 0
ïî V
R1
V0 - V1 = Vźr
A. P. Dobrowolski
1 - 27/59
1
IV
Vźr
V0 - V1
ì
+
=0
I
ïV
R1
ï
V1 - V0
ï
=0
í- I V +
R1
ï
ïV0 - V1 = Vźr
ï
î
R1
ì
ï(V0 - V1 )G1 + IV = 0
ï
í(V1 - V0 )G1 - IV = 0
ïV - V = V
źr
ì G1V0
ïî 0 1
ï
í- G1V0
ï V
î 0
A. P. Dobrowolski
- G1V1
+ G1V1
-
V1
+ IV
- IV
=
=
0
0
= Vźr
1 - 28/59
1
IV
R1
Vźr
é G1
ê- G
ê 1
êë 1
- G1
G1
-1
1 ù éV0 ù é ù
- 1úú × êêV1 úú = êê úú
úû êë IV úû êëVźr úû
A. P. Dobrowolski
1 - 29/59
Vźr
1
IV
R1
2
R3
3
IE
Iźr
R2
ì G1V1
ï
í- G1V1
ï
î
- G1V2
+ (G1 + G2 + G3 ) V2
- G3V2
Eźr = k (V3 - V2)
R4
- G3V3
+ (G3 + G4 ) V3
- IV
+ IV
+ IE
= I źr
=0
=0
ìVźr = V2 - V1
í
î E źr = V3 = k (V3 - V2 )
A. P. Dobrowolski
1 - 30/59
Vźr
1
IV
R1
2
R3
3
IE
Iźr
R2
- G1V2
ì G1V1
ï- G V + (G + G + G ) V
1
2
3
2
ïï 1 1
- G3V2
í
ï -V
+ V2
1
ï
kV2
ïî
Eźr = k (V3 - V2)
R4
- G3V3
+ (G3 + G4 ) V3
+ (1 - k ) V3
A. P. Dobrowolski
- IV
= I źr
+ IV
=0
=0
+ IE
= Vźr
=0
1 - 31/59
Vźr
1
IV
R1
R3
2
3
IE
Iźr
- G1
é G1
ê- G G + G + G
1
2
3
ê 1
ê 0
- G3
ê
1
ê -1
êë 0
k
R2
0
- G3
G3 + G4
0
1- k
R4
- 1 0ù éV1 ù é I źr ù
1 0úú êêV2 úú êê 0 úú
0 1ú × êV3 ú = ê 0 ú
ú ê ú ê ú
0 0ú ê IV ú êVźr ú
0 0úû êë I E úû êë 0 úû
A. P. Dobrowolski
Eźr = k (V3 - V2)
Û
G' ×V' = I'
1 - 32/59
Ø W zmodyfikowanej metodzie potencjałów węzłowych
poszukiwanymi zmiennymi opisującymi stan układu,
oprócz potencjałów węzłowych, są też prądy płynące
przez źródła napięciowe.
Ø Stosując zmodyfikowaną metodę węzłową, można bez
przekształceń analizować obwody, które zawierają
wszystkie cztery typy źródeł sterowanych.
A. P. Dobrowolski
1 - 33/59
Technika szablonów
A. P. Dobrowolski
1 - 34/59
Szablon rezystora
Kolumna
+
dla węzła n
Kolumna
dla węzła n
+
Węzeł n
Wiersz dla węzła n
+
R = 1/G
Wiersz dla węzła n
-
Węzeł n
-
é... ... ... ... ...ù é ... ù é...ù
ê... + G ... - G ...ú êV ú ê...ú
ê
ú ê n+ ú ê ú
ê... ... ... ... ...ú × ê ... ú = ê...ú
ê
ú ê ú ê ú
ê... - G ... + G ...ú êVn - ú ê...ú
êë... ... ... ... ...úû êë ... úû êë...úû
A. P. Dobrowolski
1 - 35/59
Szablon źródła prądowego
+
n
+
n
I
-
n
n-
é
ê
ê
ê
ê
ê
êë
...
...
...
...
...
A. P. Dobrowolski
ù é ... ù é ... ù
ú êV ú ê - I ú
ú ê n+ ú ê ú
ú × ê ... ú = ê ... ú
ú ê ú ê ú
ú êVn - ú ê + I ú
úû êë ... úû êë ... úû
1 - 36/59
Automatyzacja tworzenia równania macierzowego
R1
1
5kW
R3
8kW
2
Iźr
3
R2
1mA
R4
10kW
2kW
Izr 0
R1 1
R2 2
R3 2
R4 3
.END
1
2
0
3
0
1m
5k
10k
8k
2k
0 1 2 3
0
1
2
3
é0
ê0
ê
ê0
ê
ë0
0
0
0
0
0
0
0
0
0ù éV0 ù é0ù
0ú êV1 ú ê0ú
ú×ê ú = ê ú
0ú êV2 ú ê0ú
ú ê ú ê ú
0û ëV3 û ë0û
A. P. Dobrowolski
1 - 37/59
R1
1
R3
5kW
8kW
2
Iźr
3
R2
1mA
R4
10kW
2kW
Izr 0
R1 1
R2 2
R3 2
R4 3
.END
1
2
0
3
0
1m
5k
10k
8k
2k
0 1 2 3
0
1
2
3
é0
ê0
ê
ê0
ê
ë0
0
0
0
0
0
0
0
0
0ù éV0 ù é - 1mù
0ú êV1 ú ê+ 1mú
ú
ú×ê ú = ê
0ú êV2 ú ê 0 ú
ú
ú ê ú ê
0û ëV3 û ë 0 û
A. P. Dobrowolski
1 - 38/59
R1
1
R3
5kW
8kW
2
Iźr
R2
1mA
R4
10kW
0
0
1
2
3
1
2kW
2
0
0
é0
ê0 + 0,2 m - 0,2 m
ê
ê0 - 0,2 m + 0,2m
ê
0
0
ë0
Izr 0
R1 1
R2 2
R3 2
R4 3
.END
3
1
2
0
3
0
1m
5k
10k
8k
2k
3
0ù éV0 ù é- 1mù
0ú êV1 ú ê+ 1mú
ú
ú×ê ú = ê
0ú êV2 ú ê 0 ú
ú
ú ê ú ê
0û ëV3 û ë 0 û
A. P. Dobrowolski
1 - 39/59
R1
R3
5kW
1
8kW
2
Iźr
R2
1mA
R4
10kW
0
0
1
2
3
2kW
1
2
0
- 0,1m
é+ 0,1m
ê 0
+ 0,2m - 0,2m
ê
ê - 0,1m - 0,2 m + 0,3m
ê
0
0
ë 0
Izr 0
R1 1
R2 2
R3 2
R4 3
.END
3
1
2
0
3
0
1m
5k
10k
8k
2k
3
0ù éV0 ù é - 1m ù
0ú êV1 ú ê+ 1m ú
ú
ú×ê ú = ê
0ú êV2 ú ê 0 ú
ú
ú ê ú ê
0û ëV3 û ë 0 û
A. P. Dobrowolski
1 - 40/59
R1
1
5kW
Iźr
8kW
2
R2
1mA
10kW
0
0
1
2
3
R3
1
3
R4
2kW
2
Izr 0
R1 1
R2 2
R3 2
R4 3
.END
1
2
0
3
0
1m
5k
10k
8k
2k
3
0
- 0,1m
- 0,5m ù éV0 ù é - 1m ù
é+ 0,6m
ê 0
ú êV ú ê+ 1m ú
+ 0,2m - 0,2m
0
ê
ú × ê 1ú = ê
ú
ê - 0,1m - 0,2m + 0,425m - 0,125m ú êV2 ú ê 0 ú
ú
ê
ú ê ú ê
V
0
,
5
m
0
0
,
125
m
+
0
,
625
m
0
ë
û ë 3û ë
û
A. P. Dobrowolski
1 - 41/59
R1
R3
5kW
1
8kW
2
Iźr
R2
1mA
R4
10kW
1
1
2
3
Izr 0
R1 1
R2 2
R3 2
R4 3
.END
3
2kW
2
1
2
0
3
0
1m
5k
10k
8k
2k
3
0
é+ 0,2m - 0,2m
ù éV1 ù é+ 1m ù
ê - 0,2m + 0,425m - 0,125m ú × êV ú = ê 0 ú
ê
ú ê 2ú ê
ú
êë 0
- 0,125m + 0,625m úû êëV3 úû êë 0 úû
A. P. Dobrowolski
1 - 42/59
Szablon niezależnego źródła napięciowego
+
n
-
n
+
n
+
n
V
-
n
IV
Dodatkowy wiersz
é
ê
ê
êë
+1
-
G’
n
-1
A. P. Dobrowolski
Dodatkowa
kolumna
+ 1 ù éVn + ù é ù
- 1 ú × êVn - ú = ê ú
ú ê ú ê ú
úû êë IV úû êëV úû
V’
I’
1 - 43/59
sterowanego napięciem
n+
nc+
-
Iout = g×Uin = g× (Vnc + - Vnc -)
n
nc+
-
-
nc
nc+
-
nc
+
n
n+
Uin
-
n
-
nc
n
é
ê
ê
ê
ê
ë
+g
-g
G’
A. P. Dobrowolski
- g ù é Vn+ ù é
ê ú
+ g ú ê Vn- ú ê
ú×
=ê
ú
ê
V
ê
ú
nc +
ú
ê
ê
ú V
û ë nc - û ë
V’
ù
ú
ú
ú
ú
û
I’
1 - 44/59
sterowanego prądem
+
n
-
n
+
nc
-
nc
+
nc
+
n
+
n
Vin
Iout = k×Iin
-
n
+
nc
Iin
-
nc-
n
ncDodatkowy wiersz
é
ê
ê
ê
ê
ê
êë
+1
G’
Dodatkowa
kolumna
A. P. Dobrowolski
-1
+ k ù é Vn + ù é ù
- k ú ê Vn - ú ê ú
ú ê
ú ê ú
+ 1 ú × êVnc + ú = ê ú
ú ê
ú ê ú
- 1 ú êVnc - ú ê ú
úû êë I in úû êëVin úû
V’
I’
1 - 45/59
Szablon źródła napięciowego
sterowanego napięciem
+
n
+
nc
Iout
+
n
n
Uout = k×Uin = k× (Vnc + - Vnc-)
Uin
+
nc
nc-
+
nc
-
nc
Dodatkowa
kolumna
+
n
-
nc
-
n
-
n
Dodatkowy wiersz
é
ê
ê
ê
ê
ê
êë + 1 - 1 - k
G’
A. P. Dobrowolski
+k
+ 1ù é Vn + ù é
- 1ú ê Vn - ú ê
ú ê
ú ê
ú × êVnc + ú = ê
ú ê
ú ê
V
ú ê nc ú ê
úû êë I out úû êë
V’
ù
ú
ú
ú
ú
ú
úû
I’
1 - 46/59
Szablon źródła napięciowego
sterowanego prądem
+
n
n-
+
nc
nc-
Dodatkowe
kolumny
+
nc
+
Iout
n
+
n
-
n
Vin
Uout = r×Iin
Iin
nc+
nc-
-
nc
n-
Dodatkowe
wiersze
+ 1ù é Vn + ù é ù
é
ê
- 1ú ê Vn - ú ê ú
ê
ú ê
ú ê ú
V
+
1
ê
ú ê ú
ê
ú
nc +
×
ê
ú ê
ú=ê ú
V
1
ê
ú ê nc - ú ê ú
ê
ú ê I in ú êVin ú
+1 -1
ê
ú ê
ú ê ú
I
+
1
1
r
ë
û ë out û ë û
G’
A. P. Dobrowolski
V’
I’
1 - 47/59
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Numeryczne metody rozwiązywania układów równań
liniowych można ogólnie podzielić na metody dokładne, np.
• metoda oparta na wzorach Cramera,
• różne warianty metody eliminacji Gaussa (z pełnym lub częściowym wyborem elementu głównego – m. Gaussa-Crouta),
• metoda Gaussa-Jordana (inna metoda eliminacji),
iteracyjne (mogą być dokładniejsze od metod dokładnych), np.
• metoda iteracji prostej,
• metoda Gaussa-Seidla
oraz hybrydowe, tzn. dokładna + iteracyjna (dla usunięcia
błędów numerycznych).
W programie SPICE stosowana jest metoda rozkładu LU
realizowana algorytmem eliminacji Gaussa, wsparta technikami
macierzy rzadkich.
A. P. Dobrowolski
1 - 48/59
Metoda eliminacji Gaussa
éG11(1) G12(1)
ê (1)
(1)
G
G
22
ê 21
ê ...
...
ê (1)
(1)
ëGn1 Gn 2
... G1(1n) ù éV1 ù é I1(1) ù
(1) ú ê ú ê (1) ú
... G2 n ú êV2 ú ê I 2 ú
×
=
... ... ú ê ... ú ê ... ú
(1) ú ê ú ê (1) ú
... Gnn û ëVn û ë I n û
Odejmując od i-tego wiersza tego układu (dla i = 2, 3,..., n)
wiersz pierwszy pomnożony przez
(1)
Gi1
G11(1)
A. P. Dobrowolski
1 - 49/59
Eliminacja zmiennych (w przód)
otrzymujemy równanie o postaci G(2)*V=I(2), tj.
(2 )
(2 )
(2 )
éG11
ê
ê 0
ê ...
ê
ë 0
G12
(2 )
G22
...
Gn(22)
... G1n ù éV1 ù é I1(2 ) ù
(2 ) ú ê ú ê (2 ) ú
... G2 n ú êV2 ú ê I 2 ú
×
=
... ... ú ê ... ú ê ... ú
(2 ) ú ê ú ê (2 ) ú
Wyeliminowaliśmy w ten sposób pierwszą niewiadomą (V1) z
równań leżących w wierszach o numerach i = 2, 3,..., n.
Podobnie eliminujemy V2 z równań leżących w wierszach
3,..., n, odejmując od i-tego wiersza (dla i = 3,..., n) wiersz drugi
pomnożony przez
(2 )
Gi 2
(2 )
G22
A. P. Dobrowolski
1 - 50/59
Eliminacja zmiennych (w przód)
Postępując w ten sposób otrzymujemy kolejne,
przekształcone,
równania
macierzowe:
G(3)*V=I(3),
G(4)*V=I(4), ... i po (n - 1) eliminacjach uzyskujemy układ
trójkątny o postaci G(n)*V=I(n), tj.
éG11(n ) G12(n )
ê
(n )
ê 0 G22
ê ...
...
ê
0
ë 0
... G1(nn ) ù éV1 ù é I1(n ) ù
(n ) ú ê ú ê (n ) ú
... G2 n ú êV2 ú ê I 2 ú
×
=
... ... ú ê ... ú ê ... ú
(n ) ú ê ú ê (n ) ú
A. P. Dobrowolski
1 - 51/59
Podstawienia wstecz
Kolejne potencjały węzłowe, począwszy od ostatniego
otrzymuje się na podstawie wzoru rekurencyjnego *
Vi =
Ii -
n
åG
ik
× Vk
k =i +1
Gii
, dla: i = n, n - 1, n - 2, ..., 1
Np. dla układu pięciu równań:
I5
I 4 - G45V5
I 3 - G34V4 - G35V5
V5 =
; V4 =
; V3 =
; ...
G55
G44
G33
____________________
* pominięto górny indeks (n)
A. P. Dobrowolski
1 - 52/59
„Zadanie domowe”
ü Problem złego i dobrego uwarunkowania macierzy.
ü Całkowity lub częściowy wybór elementu głównego.
ü „Pivoting” (pivot – ang. element centralny, wokół którego
„obraca się” algorytm).
ü Techniki macierzy rzadkich.
A. P. Dobrowolski
1 - 53/59
Metoda dekompozycji LU
GV = I
é1
êl
L = ê 21
ê ...
ê
ë l n1
0
1
...
ln 2
0
0
...
ln 3
G = LU
Þ LUV = I
0ù
0ú
ú
...ú
ú
1û
éu11 u12
ê0 u
22
=ê
ê ... ...
ê
0
ë0
...
...
...
...
U
A. P. Dobrowolski
u13 ... u1n ù
u23 ... u2 n ú
ú
... ... ... ú
ú
0 ... unn û
1 - 54/59
Ø Elementy kolejnych kolumn macierzy L są równe
współczynnikom, przez które mnożone są w kolejnych
krokach wiersze układu równań w celu eliminacji
niewiadomych, przy czym elementy przekątnej są równe 1:
(k )
ik
(k )
kk
G
lik =
G
, dla: k = 1, 2, ..., n; i = k + 1, k + 2, ..., n
Ø Macierz U jest równa macierzy trójkątnej uzyskanej w
pierwszym etapie eliminacji Gaussa:
uki = Gki( k ) , dla: k = 1, 2, ..., n; i = k , k + 1, ..., n
A. P. Dobrowolski
1 - 55/59
ØEtap wstępny – określenie D na podstawie L i I
(podstawienia w przód)
LD = I
ØEtap końcowy – określenie V na podstawie U i D
(podstawienia wstecz)
UV = D
Po zmianie wektora pobudzeń I sprawnie oblicza się nowy
wektor D, a następnie aktualny wektor V. Najbardziej
czasochłonny fragment obliczeń (rozkład macierzy G na L i U)
wykonywany jest jednorazowo, co istotnie skraca czas obliczeń.
A. P. Dobrowolski
1 - 56/59
Ograniczenia zmodyfikowanej metody węzłowej
1
VAC
L1
2
1
L2
Þ
VA = 0
IA
VB = 0
IB
2
VC = 0
IC
ì I A + IB = 0
ï- I + I = 0
ïï B C
V1 = VA = 0
í
ï V -V = V = 0
B
ï 1 2
ïî
V2 = VC = 0
A. P. Dobrowolski
1 - 57/59
Ograniczenia zmodyfikowanej metody węzłowej
1
VAC
L1
2
1
VDC ¹ 0
Þ
VB = 0
IB
VA = 0
IA
2
VC ¹ 0
IC
ì I A + IB = 0
ï- I + I = 0
ïï B C
ü
V1 = VA = 0
í
ý Þ V2 = 0
ï V -V = V = 0
þ
B
ï 1 2
ïî
V2 = VC = VDC ¹ 0
A. P. Dobrowolski
1 - 58/59
Ograniczenia – „antidotum”
1
VAC
L1
2
1
VDC ¹ 0
Þ
VA = 0
3
Gd
I A + IB = 0
ì
ï -I +I =0
B
C
ï
ï- I C + V3Gd = 0
í
V1 = VA = 0
ï
ï
V1 - V2 = VB = 0
ï
V2 - V3 = VC = VDC
î
IA
Þ
A. P. Dobrowolski
VB = 0
IB
2
VC ¹ 0
IC
3
Gd
ì I A = - I B = - I C = VDC Gd
ï
í V1 = V2 = 0
ïV = -V
DC
î 3
1 - 59/59
2. Analiza stałoprądowa obwodów nieliniowych
Algorytm Newtona-Raphsona
Podstawa – rozwiniecie w szereg Taylora wokół punktu x0:
f ( x ) = f ( x0 ) +
f ' ( x0 )
(x - x0 ) + f ' ' (x0 ) (x - x0 )2 + ...
1!
2!
W bliskim sąsiedztwie punktu x0 pochodne wyższych
rzędów można pominąć:
f ( x ) » f ( x0 ) + f ' (x0 )(x - x0 )
Wyrażenie po prawej stronie reprezentuje równanie stycznej
do wykresu funkcji f (x) punkcie x0.
A. P. Dobrowolski
2 - 2/33
Interpretacja
w( x ) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x - x0 )
y
f (x)
w( x0 ) = f ( x0 )
w(x)
w' ( x 0 ) = f ' ( x 0 )
x0
w( x1 ) = 0
x1
x
f (x0 ) + f ' ( x0 )(x1 - x0 ) = 0
f ( x0 )
x1 = x0 f ' (x0 )
A. P. Dobrowolski
2 - 3/33
f ( xn )
xn +1 = xn f ' ( xn )
f (x)
x0
x2
x1
A. P. Dobrowolski
x
2 - 4/33
Przykład równania nieliniowego
x + ex = 2
f (x ) = x + e x - 2 = 0
f ' (x ) = 1 + e x
xn + e - 2
xn +1 = xn 1 + e xn
xn
A. P. Dobrowolski
2 - 5/33
Przykład równania nieliniowego
Przyjmując za punkt startowy xn = 2, otrzymamy:
n
xn
xn+1
0
2,000
1,119
1
1,119
0,582
2
0,582
0,449
3
0,449
0,443
4
0,443
0,443
5
0,443
0,443
A. P. Dobrowolski
2 - 6/33
Właściwości metody
f (U )
E
D
C
A
B
A. P. Dobrowolski
U
2 - 7/33
Właściwości metody
f (U )
U
A. P. Dobrowolski
2 - 8/33
Przykład obwodu nieliniowego:
(
)
(
)
(
)
I d = I S eaU d - 1 = 1nA × e40×Ud - 1
Vd
Iźr
1mA
f (Vd ) = - I źr + G1Vd + I S e aVd - 1 = 0
R1
1kW
df (Vd )
f ' (Vd ) =
= G1 + aI S e aVd
dVd
Vd n +1 = Vd n -
(
- I źr + G1Vd n + I S e
A. P. Dobrowolski
G1 + a I S e
aVd n
)
-1
aVd n
2 - 9/33
Vd [V]
Vd 0 = 2,0 V
1.5
Vd 0 = 0,0 V
1
Vd 0 = 0,5 V
0.5
0
0
10
20
30
40
A. P. Dobrowolski
50
60
n
2 - 10/33
Wymagana liczba iteracji w zależności od wyboru wartości
startowej przedstawiona jest w tabeli.
Vd 0
Liczba iteracji
0,0
30
0,3
5
0,5
9
1,0
29
2,0
69
3,0
109
A. P. Dobrowolski
2 - 11/33
Model iterowany diody
Id
Id*
Id
(
)
I d = I S e aU d - 1
I d* = GdU d + I eq
Ud0
Ieq
Ud
ì I d ' (U d 0 ) = I d* ' (U d 0 )
ï
í
ï I d (U d 0 ) = I d* (U d 0 )
î
Þ
ì
dI d
aU d0
G
=
=
a
I
e
ï d
S
U
d
d U d =U d0
í
ï
aU d0
I
=
I
e
- 1 - G dU d0
S
î eq
A. P. Dobrowolski
(
)
2 - 12/33
Model iterowany diody
Id*
Id
Ud
º
Gd n
Ud n
I eq n
ìïGd = a I S e
n +1
í
aU d n
- 1 - Gd n+1 U d n
ïî I eqn+1 = I S e
aU d n
(
)
A. P. Dobrowolski
2 - 13/33
Szablon diody
+
n
º
I eq n
Gd n
-
n
-
+
n
+
n
-
n
n
é+ Gd n
ê- G
ë dn
- Gd n ù éVn + ù é - I eqn ù
×ê ú=ê
ú
+ Gd n û ëVn - û ë+ I eqn úû
G’
V’
A. P. Dobrowolski
I’
2 - 14/33
Przykład analizy obwodu nieliniowego
R2
8k
1
I źr
2
R1
1m
R3
10k
2k
D1
R2
8k
1
I źr
1m
R1
10k
2
R3
2k
A. P. Dobrowolski
Gd n
I eq n
2 - 15/33
R2
8k
1
Iźr
1m
éG1 + G2
ê -G
2
ë
R1
10k
2
R3
2k
Gd n
I eq n
- G2
ù éV1n ù é I źr ù
×ê ú = ê
ú
ú
G2 + G3 + Gd n û ëV2n û ë - I eqn û
A. P. Dobrowolski
2 - 16/33
R2
8k
1
Iźr
1m
R1
10k
2
R3
2k
Gd n
I eq n
éG11 G12 ù éV1n ù é I źr ù
×ê ú = ê
êG
ú
ú
G
V
I
21
22
2
n û ë
n û
ë
ë eqn û
A. P. Dobrowolski
2 - 17/33
R2
8k
1
Iźr
1m
R1
10k
2
R3
2k
Gd n
I eq n
I źr G22n + I eqn G12
ì
ïV1n = G G - G G
11 22 n
12 21
ï
í
ïV = I źr - G11 × I źr G22n + I eqn G12
ï 2n G12 G12 G11G22 - G12G21
n
î
A. P. Dobrowolski
2 - 18/33
Wybór startowego
punktu pracy
Utworzenie/aktualizacja
liniowego
modelu zastępczego
Rozwiązanie liniowego
równania macierzowego
Aktualizacja punktu
pracy z wyliczonych
napięć węzłowych
½Vn – Vn -1½ < VLimit
nie
np. Excel
½In – In -1½ < ILimit
tak
Koniec obliczeń.
Rozwiązanie znalezione.
A. P. Dobrowolski
2 - 19/33
ìï Vn - Vn -1 < VLimit = Vn × RELTOL + VNTOL
í
ïî I n - I n -1 < I Limit = I n × RELTOL + ABSTOL
A. P. Dobrowolski
2 - 20/33
Wyniki analizy obwodu nieliniowego
Napięcie na diodzie '
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Numer iteracji
A. P. Dobrowolski
2 - 21/33
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Numer iteracji
A. P. Dobrowolski
2 - 22/33
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Numer iteracji
A. P. Dobrowolski
2 - 23/33
Wpływ konduktancji na zbieżność algorytmu
V
Iźr
1mA
D
I d (Vn ) - I źr
Vn +1 = Vn =
aVn
a ISe
(
)
I S e aVn - 1 - I źr
f (Vn )
= Vn = Vn aVn
Gd (Vn )
a ISe
A. P. Dobrowolski
2 - 24/33
Wpływ konduktancji na zbieżność algorytmu
Id
Gd à ¥
Gd à 0
Ud
(
)
I S e aVn - 1 - I źr
f (Vn )
Vn +1 = Vn = Vn aVn
a ISe
Gd (Vn )
A. P. Dobrowolski
2 - 25/33
Minimalna konduktancja w układzie
Mała wartość konduktancji powoduje dużą zmianę napięcia
w kolejnym kroku iteracji:
I d (Vn ) - I źr
Vn +1 = Vn Gd (Vn )
Þ
I źr - I d (Vn )
DV =
Gd (Vn )
f (V )
Iźr
Vn
Vn+1
A. P. Dobrowolski
V
2 - 26/33
Najlepszym rozwiązaniem okazało się równoległe dołączenie
do każdego złącza półprzewodnikowego konduktancji GMIN.
Wówczas – przy głębokim zatkaniu – mamy
I d = - IS + U d × GMIN
dI d
= GMIN
Gd =
dU d
D
Gmin
A. P. Dobrowolski
2 - 27/33
W efekcie uzyskujemy zwiększenie nachylenia prawie
poziomej charakterystyki złącza w kierunku zaporowym.*
f (V )
Vn Vn+1
V
______________________________________________
* W celach ilustracyjnych nie zachowano właściwych proporcji.
A. P. Dobrowolski
2 - 28/33
Maksymalna konduktancja w układzie
Duża wartość konduktancji powoduje małą zmianę napięcia
w kolejnym kroku iteracji:
f (V )
Vn
Vn+1
Iźr
V
A. P. Dobrowolski
2 - 29/33
Maksymalna konduktancja w układzie
Duża wartość konduktancji powoduje małą zmianę napięcia
w kolejnym kroku iteracji.
Problem ten można rozwiązać dołączając szeregowo ze
złączem
półprzewodnikowym
niewielką
rezystancję
szeregową. Nie można tego uczynić globalnie, ale model
każdego elementu ze złączem pn posiada parametr
odpowiedzialny za wartość rezystancji szeregowej. Parametr
ten jest domyślnie wyzerowany i w celu poprawienia
zbieżności można go nieznacznie zwiększyć (indywidualnie
dla każdego elementu).
Ograniczenie
konduktancji
do
pewnej
wartości
maksymalnej powoduje zmniejszenie nachylenia stromo
narastającej charakterystyki złącza spolaryzowanego w
kierunku przewodzenia.
A. P. Dobrowolski
2 - 30/33
Minimalna i maksymalna konduktancja w układzie
D
Gmax
Gmin
Parametr globalny
Parametr lokalny
A. P. Dobrowolski
2 - 31/33
Sposoby poprawy osiągania zbieżności
Ø Zwiększenie liczby iteracji
Ø Modyfikacja warunków stopu
Ø Wymuszanie potencjałów startowych
Punkt startowy iteracji w metodzie Newtona-Raphsona
jest niezmiernie ważny w kontekście zbieżności obliczeń.
Ø Blokowanie elementów nieliniowych
Ø Parametryzacja źródeł
Metoda parametryzacji źródeł (ang. source stepping
method) jest szczególnym przypadkiem tzw. metody
kontynuacji.
A. P. Dobrowolski
2 - 32/33
Realizacja wymuszenia potencjałów startowych
W pierwszym kroku program znajduje stabilny punkt pracy w
obecności dodatkowego źródła prądowego i rezystancji
jednostkowej wymuszających określony potencjał.
1
3A
1W
3V
Następnie źródło i rezystancja są usuwane i wyznaczany jest
końcowy punkt pracy.
A. P. Dobrowolski
2 - 33/33
3. Małosygnałowe analizy częstotliwościowe
i. Analiza zmiennoprądowa w stanie ustalonym (AC)
ii. Analiza zniekształceń nieliniowych (Disto)
iii. Analiza szumowa (Noise)
Cecha wspólna: zastosowanie uproszczonych modeli
ementów nieliniowych
- dla AC i Noise - modele liniowe
- dla Disto
- modele nieliniowe II i III rzędu
Analiza zmiennoprądowa w stanie ustalonym
Analiza AC polega na obliczeniu prądów i napięć w
układzie, pobudzanym wymuszeniami harmonicznymi.
Analiza przeprowadzana jest przy założeniu, że:
Ø częstotliwości wszystkich wymuszeń są jednakowe,
Ø sygnały w układzie są na tyle małe, że można
pominąć wszystkie efekty nieliniowe – nieliniowe
modele elementów zastępowane są modelami
liniowymi,
Ø układ jest w stanie ustalonym.
A. P. Dobrowolski
3 - 3/30
Etap I
Wyznaczany jest statyczny punkt pracy, a następnie
modele elementów nieliniowych są linearyzowane.
Etap II
Równanie
macierzowe
wypełnia
się
wielkościami
zespolonymi.
Stałoprądowe źródła napięciowe są zastępowane
zwarciami, a prądowe przerwami. Program realizuje
obliczenia dla wszystkich zadeklarowanych częstotliwości,
za każdym razem przeliczając macierz admitancyjną.
Wynikiem obliczeń jest zespolony wektor potencjałów
węzłowych.
A. P. Dobrowolski
3 - 4/30
W efekcie wykonania analizy AC otrzymuje się amplitudowe
i fazowe (małosygnałowe) charakterystyki częstotliwościowe
wszystkich potencjałów węzłowych i prądów gałęziowych.
A. P. Dobrowolski
3 - 5/30
Małosygnałowa analiza zniekształceń nieliniowych
Aproksymacja wielomianem potęgowym
f ' ( x0 )
f ' ' ( x0 )
f ' ' ' ( x0 )
2
3
( x - x0 ) +
(x - x0 ) +
(x - x0 ) + ... =
f ( x ) = f ( x0 ) +
1!
2!
3!
2
3
= a0 + a1 ( x - x0 ) + a2 ( x - x0 ) + a3 ( x - x0 ) + ...
¶f
¶x x = x0
a0 = f ( x0 )
a1 =
1 ¶2 f
a2 =
2 ¶x 2
1 ¶3 f
a3 =
6 ¶x 3
x = x0
A. P. Dobrowolski
x = x0
3 - 7/30
Przykład
I D (U D ) = I S (eaU D - 1) = a0 + a1 (U D - U 0 ) + a2 (U D - U 0 ) + a3 (U D - U 0 ) + ...
2
(
I S = 1,38 nA
1
V
U 0 = 600 mV
a = 22,7
)
a0 = I S eaU 0 - 1
Þ
a1 = a I S eaU 0
1 2 aU 0
a I Se
2
1 3 aU 0
a3 = a I S e
6
a2 =
A. P. Dobrowolski
3
= 1,2 mA
mA
mV
mA
= 0,3
mV 2
nA
= 2,3
mV 3
= 26,5
3 - 8/30
Przykład
I D 2 = a0 + a1 (U D - U 0 ) + a2 (U D - U 0 )
2
I D = I S (e aU D - 1)
I D1 = a0 + a1 (U D - U 0 )
I D 3 = a0 + a1 (U D - U 0 ) + a2 (U D - U 0 ) + a3 (U D - U 0 )
2
A. P. Dobrowolski
3
3 - 9/30
Przykład
A. P. Dobrowolski
3 - 10/30
Istota zniekształceń nieliniowych
Przypadek monoharmoniczny
bo praca małosygnałowa
I = a0 + a1U + a2U 2 + a3U 3 + ... + anU n + ...
n =3
i (t ) = a0 + a1u (t ) + a2u 2 (t ) + a3u 3 (t )
u (t ) = U m cos 2pft
i (t ) = a0 + a1U m cos 2pft + a2U m2 cos 2 2pft + a3U m3 cos 3 2pft
A. P. Dobrowolski
3 - 11/30
1é
ù
cos a × cos b = êcos(a - b) + cos(a + b)ú
2ë
û
1 1
cos a = + cos 2a
2 2
2
3
1
cos a = cos a + cos 3a
4
4
3
A. P. Dobrowolski
3 - 12/30
i = I 0 + I1 cos 2pft + I 2 cos 2p2 ft + I 3 cos 2p3 ft
1
I 0 = a0 + a2U m2
2
3
I1 = a1U m + a3U m3
4
1
I 2 = a2U m2
2
1
I 3 = a3U m3
4
A. P. Dobrowolski
3 - 13/30
Przypadek biharmoniczny
u (t ) = U m1 cos 2pf1t + U m 2 cos 2pf 2t
i (t ) = a0 + a1 (U m1 cos 2pf1t + U m 2 cos 2pf 2t ) +
+ a2 (U m1 cos 2pf1t + U m 2 cos 2pf 2t ) +
2
+ a3 (U m1 cos 2pf1t + U m 2 cos 2pf 2t )
3
A. P. Dobrowolski
3 - 14/30
i = I 0 + I10 cos 2pf1t + I 01 cos 2pf 2t +
+ I 20 cos 2p2 f1t + I 02 cos 2p2 f 2t +
+ I 30 cos 2p3 f1t + I 03 cos 2p3 f 2t +
+ I11 [cos 2p( f1 - f 2 )t + cos 2p( f1 + f 2 ) t ] +
+ I12 [cos 2p(2 f 2 - f1 )t + cos 2p(2 f 2 + f1 )t ] +
+ I 21 [cos 2p(2 f1 - f 2 )t + cos 2p(2 f1 + f 2 )t ]
A. P. Dobrowolski
3 - 15/30
(
)
1
I 0 = a 0 + a 2 U m21 + U m2 2
2
3
I 10 = a1U m1 + a3 U m3 1 + 2 U m1U m2 2
4
1
I 20 = a 2U m21
2
1
I 30 = a 3U m3 1
4
I 11 = a 2U m1U m 2
(
I 12 =
3
a 3U m1U m2 2
4
)
I 01 = a1U m 2 +
I 02
I 03
(
3
a3 U m3 2 + 2 U m21U m 2
4
)
1
= a 2U m2 2
2
1
= a3U m3 2
4
I 21 =
3
a3U m21U m 2
4
A. P. Dobrowolski
3 - 16/30
Um1 = Um2
I
110 = I01 = 0 dB
I0
I11
6 dB
120 = I02
112 = I21
9,54 dB
130 = I03
0
f1-f2
IM 2
2f2-f1
IM3
f2
f1
2f1-f2
IM3
2f2
f1+f2
HD2 IM 2
A. P. Dobrowolski
2f1
HD2
3f2 2f2+f1 2f1+f2
HD3 IM3 IM3
3f1
HD3
f
3 - 17/30
Przykład
1
ID = I0 + id
UD = U0 + ud
(
)
(
)
ìU D (t ) = U 0 + u d (t )
í
î I D (t ) = I 0 + i d (t )
I D = I S e aU D - 1 » a 0 + a1 (U D - U 0 ) + a 2 (U D - U 0 ) + a3 (U D - U 0 )
2
a0 = I S eaU 0 - 1 , a1 = a I S e aU 0 , a2 =
3
1 2 aU 0
1
a I S e , a3 = a3 I S eaU 0
2
6
id (t ) » a1ud (t ) + a 2ud2 (t ) + a3ud3 (t )
A. P. Dobrowolski
3 - 18/30
1
I Disto = I HD2 _ 2 f1
I Disto = I HD3 _ 3 f1
1
1 ¶2 I D 2
2
= a 2 U m1 =
U m1
2
2
4 ¶U D
rs
3
1
1
¶
ID 3
3
= a3 U m1 =
U m1
3
4
24 ¶U D
IDisto
I Disto = I IM 2 _ f1 ± f2 = a2 U m1U m 2
I Disto = I IM 3 _ 2 f1 - f 2
GD
CD
1 ¶2ID
=
U m1U m 2
2
2 ¶U D
3
3
1
¶
ID 2
2
= a3 U m1U m 2 =
U m1U m 2
3
4
8 ¶U D
A. P. Dobrowolski
3 - 19/30
Analiza szumowa
Analiza szumowa
Szumy powstające w układzie są zawsze na tyle małe, że można
przyjąć założenie o liniowości układu i stosować małosygnałowe
modele elementów z ekwiwalentnymi źródłami szumów. Źródła szumów
nie są skorelowane.
iszRB
B
iszRC
Cm
B'
C'
RB
RC
Gm
iszB
Gp
Cp
iszC
Gm UB’E’
Go
C
Cc’s
E'
iszRE
RE
S
E
A. P. Dobrowolski
3 - 21/30
Szum termiczny (thermal noise)
Szum termiczny powstaje wskutek chaotycznego ruchu
swobodnych elektronów. Tego rodzaju bezładne ruchy
elektronów (wynikające z „odbić” od drgających jonów siatki
krystalicznej) są równoważne mikroprądom elektrycznym o
zmiennych amplitudach i kierunkach, a więc szumom, które ze
względu na ich bezpośrednią zależność od temperatury
nazwano szumami termicznymi lub cieplnymi. Wartość średnia
prądu sumacyjnego jest równa zeru, jednak fluktuacje tego
prądu powodują powstanie na końcówkach przewodnika
napięcia źródłowego o niezerowej wartości średniokwadratowej. Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym szum
termiczny ma rozkład normalny, ponieważ jest superpozycją
bardzo dużej liczby porównywalnych co do wielkości i
niezależnych statystycznie składowych.
A. P. Dobrowolski
3 - 22/30
Szum cieplny jest jedynym rodzajem szumu występującym w
warunkach równowagi termodynamicznej. Do generacji
innych rodzajów szumów jest niezbędne doprowadzenie
energii z zewnątrz. Dla częstotliwości „podświetlnych” można
pominąć efekty kwantowe i wówczas szumy cieplne
charakteryzują się stałą wartością gęstości widmowej mocy
(tzw. szum biały) określoną wzorem:
WT ( f ) =
dPn
= kT
df
Zatem moc szumów termicznych w paśmie Df wynosi:
f + Df
f + Df
f
f
ó T f = T f
PT = ó
W
(
f
)
f
d
=
ô T
ôk d k D
õ
õ
A. P. Dobrowolski
3 - 23/30
Szumy cieplne rezystora można w szerokim zakresie
częstotliwości przedstawić za pomocą układów zastępczych
złożonych z bezszumnego rezystora i napięciowego lub
prądowego źródła szumów. Z założenia, że dysponowana
moc szumów układów zastępczych musi być równa
dysponowanej mocy szumów cieplnych rzeczywistego
rezystora, otrzymujemy zależności Nyquista, określające
średniokwadratowe wartości napięcia źródłowego szumów
cieplnych rezystora lub ekwiwalentnego zwarciowego prądu
tych szumów w paśmie Df. Występująca w tych
zależnościach wielkość R nie oznacza jedynie typowej
rezystancji, np. w przypadku kondensatora mogą to być
straty dielektryka, a dla cewki – straty wynikające z
przepływu prądów wirowych.
A. P. Dobrowolski
3 - 24/30
Moce dysponowane źródeł prądu i napięcia szumów
określone
są
wzorami
(obciążenie
dopasowane
energetycznie):
2
2
i
R
u
Pd( i ) = sz ,
Pd( u ) = sz
4
4R
Ponieważ
Pd( i ) = Pd( u ) = PT = kTDf
Otrzymuje się:
isz _ Df = 4kTGDf ,
2
2
a dla gęstości widmowych: isz = 4kTG,
A. P. Dobrowolski
2
usz _ Df = 4kTRDf
2
usz = 4kTR
3 - 25/30
Szum śrutowy (shot noise)
Szum śrutowy związany jest z dyskretną naturą nośników
prądu w elementach półprzewodnikach i próżniowych.
Powstawanie tego rodzaju szumów następuje pod wpływem
pola elektrycznego i wiąże się z przepływem prądu w
elementach elektronowych. Na skutek nieciągłej struktury
prądu, będącego sumą impulsów wywołanych przepływem
nośników elementarnych, powstają fluktuacje jego wartości
chwilowej. W lampach szum śrutowy jest związany z losowym
charakterem chwil wylotu elektronów z katody i losowym
rozkładem ich prędkości. Termin „szum śrutowy” wprowadził
Schottky, który teoretycznie oszacował fluktuacje prądu
anodowego diody próżniowej.
A. P. Dobrowolski
3 - 26/30
Szum śrutowy (shot noise)
W przyrządach półprzewodnikowych wyróżnia się w tego
rodzaju szumach – ze względu na sposób ich powstawania –
szumy dyfuzyjne i generacyjno-rekombinacyjne. Szumy
dyfuzyjne powstają wskutek fluktuacji dyfuzji (głównie
nośników mniejszościowych), tj. nieregularnego przechodzenia
nośników przez barierę potencjału. Szumy generacyjnorekombinacyjne wynikają z przypadkowych zmian prędkości
procesów generacji i rekombinacji, co powoduje fluktuacje
liczby nośników ładunku.
A. P. Dobrowolski
3 - 27/30
Szum migotania (flicker noise)
Terminem tym określa się dominującą w zakresie m. cz.
składową szumów o widmowej gęstości mocy odwrotnie
proporcjonalnej do częstotliwości. W tym zakresie poziom
szumów migotania, zwanych często szumami 1/f, znacznie
przekracza poziom szumów cieplnych i śrutowych. Po raz
pierwszy szumy te zaobserwował J. B. Johnson w 1925 r., a
W. Schottky nazwał je „szumami migotania”. Szumy 1/f są
zjawiskiem bardzo powszechnym, lecz problem ich natury nie
jest dotychczas jednoznacznie rozwiązany. Ponieważ wartość
tych szumów zależy od struktury stykających się ze sobą
przewodników (lub półprzewodników – jak w przypadku złącza
pn), w literaturze polskiej często nazywa się je szumami
strukturalnymi.
_
A. P. Dobrowolski
3 - 28/30
Analiza szumowa
iszRB
iszRC
Cm
B'
B
C'
RB
RC
Gm
iszB
Gp
Cp
iszC
Gm UB’E’
Go
C
Cc’s
E'
iszRE
2
iszB = 2qI B +
iszC
2
KF × I
f
AF
B
é A2 ù
ê Hz ú
ë û
E
K F × I CAF é A 2 ù
= 2qI C +
ê Hz ú
f
ë û
S
RE
A. P. Dobrowolski
iszRB
2
iszRE
2
iszRC
2
é A2 ù
ê Hz ú
ë û
4kT é A 2 ù
=
RE êë Hz úû
4kT
=
RB
4kT
=
RC
é A2 ù
ê Hz ú
ë û
3 - 29/30
Analiza szumowa
Źródła szumów nie są skorelowane, dlatego program SPICE,
używając charakterystyk częstotliwościowych układu, najpierw
oblicza wpływ każdego ze źródeł osobno, a następnie sumuje
poszczególne przyczynki i wyznacza całkowity szum na
wyjściu i ekwiwalentny szum wejściowy układu.
Ponadto program oblicza, w podanym przedziale
częstotliwości, gęstość widmową szumów na wyjściu układu
wyrażoną w [V2/Hz] oraz, korzystając z odpowiedniej
transmitancji, ekwiwalentną gęstość widmową szumów na
wejściu układu wyrażoną w zależności od charakteru źródła w
[V2/Hz] lub w [A2/Hz].
A. P. Dobrowolski
3 - 30/30
4. Analiza czasowa
Analiza czasowa jako problem numeryczny
W trakcie analizy czasowej obliczany jest przebieg potencjałów
(oraz napięć, prądów lub mocy) w funkcji czasu w zadanym
przedziale [0, Tstop]. Algorytm wybiera w tym przedziale
momenty tn = {0, t1, t2, ... TStop}, w których równania
różniczkowe opisujące obwód są przybliżane przez
równania różnicowe.
Całkowanie różniczkowych równań obwodu jest więc
zastępowane operacją całkowania przybliżonego metodami
numerycznymi.
Przybliżenie
polega
na
zastąpieniu
nieskończenie małych przyrostów w dyskretnych punktach na
osi czasu odpowiednimi różnicami skończonymi:
dv Dv vn - vn -1
»
=
dt Dt tn - tn -1
A. P. Dobrowolski
4 - 2/49
Analiza czasowa jako problem numeryczny
Rozwiązanie równań różnicowych w tych momentach
sprowadza się do rozwiązania ciągu liniowych równań
macierzowych, realizowanego analogicznie, jak w przypadku
stałoprądowych równań obwodu podczas analizy DC.
Uzyskany wynik stanowi przybliżenie dokładnego rozwiązania
równań różniczkowych w momentach tn. Błąd przybliżenia w
chwili tn - przy założeniu, że w chwili tn-1 wartość przebiegu
była dokładna - jest nazywany lokalnym błędem obcięcia.
Problem analizy czasowej sprowadza się więc do zagadnienia:
Jak znaleźć wartość funkcji w czasie tn ,
gdy znana jest jej wartość w czasie tn-1 ?
A. P. Dobrowolski
4 - 3/49
Własności algorytmów całkowania numerycznego
Zbieżność
„Własność algorytmu polegająca na tym, że przy zmniejszaniu
kroku czasowego uzyskiwane rozwiązanie zbliża się do
rozwiązania dokładnego.”
Czyli w przypadku algorytmu zbieżnego, skracanie kroku
czasowego powoduje zmniejszanie lokalnego błędu obcięcia.
A. P. Dobrowolski
4 - 4/49
Własności algorytmów całkowania numerycznego
Stabilność
„Własność algorytmu polegająca na tym, że podczas działania
algorytmu kolejne wyniki wyznaczane w funkcji czasu znajdują
się możliwie blisko rozwiązania dokładnego. Oznacza to, że
jeżeli rozwiązanie dąży asymptotycznie do pewnej wartości, to
różnica między wartością dokładną, a obliczoną przez
algorytm nie rośnie wraz z upływem czasu. Jeśli zaś
rozwiązanie dąży do ±¥, to wspomniana różnica rośnie nie
szybciej niż dokładne rozwiązanie.”
Czyli algorytm jest stabilny, jeśli dla rosnącego wskaźnika
czasu całkowity błąd obcięcia pozostaje ograniczony.
Stabilność niesie więc informację o tym jak przenoszą się
błędy z jednego etapu obliczeń na następny.
A. P. Dobrowolski
4 - 5/49
Algorytm ekstrapolacyjny Eulera
Ponieważ nachylenie funkcji w punkcie tn-1 niesie informację o
zmianach jej wartości w najbliższym otoczeniu tego punktu to,
o ile tylko punkt czasowy tn nie jest zbyt odległy od tn-1,
wystarczy pomnożyć wartość nachylenia przez wielkość kroku
czasowego
Dt = hn = tn - t n -1
i wynik mnożenia dodać do wartości funkcji w czasie tn-1
vn - vn-1 dv
»
t n - t n-1 dt t = t n-1
Þ
vn = vn -1 + hn
dvn -1
dt
Otrzymany wzór iteracyjny nosi nazwę ekstrapolacyjnej
formuły Eulera.
A. P. Dobrowolski
4 - 6/49
Algorytm ekstrapolacyjny Eulera
v(t)
dvn -1
vn = vn -1 + hn
dt
dv
dt t = tn -1
tn - 1
tn
A. P. Dobrowolski
t
4 - 7/49
Algorytm interpolacyjny Eulera
Algorytm ekstrapolacyjny Eulera jest bardzo intuicyjny, lecz w
wielu przypadkach niestabilny. Alternatywnym algorytmem
jest interpolacyjny algorytm Eulera. Podczas stosowania tego
algorytmu zamiast nachylenia charakterystyki w punkcie tn-1
stosuje się nachylenie w punkcie tn
vn - vn -1 dv
»
t n - t n -1 dt t = t n
Þ
vn = vn -1 + hn
dv n
dt
Algorytm interpolacyjny Eulera jest – w przeciwieństwie do
algorytmu ekstrapolacyjnego – algorytmem niejawnym, gdyż
wartość vn w punkcie tn jest nieliniowo uzależniona od samej
siebie.
A. P. Dobrowolski
4 - 8/49
Algorytm interpolacyjny Eulera
v(t)
dv n
vn = vn -1 + hn
dt
dv
d t t = tn
tn - 1
tn
A. P. Dobrowolski
t
4 - 9/49
Porównanie algorytmów Eulera
v(t)
ekstrapolacyjny
interpolacyjny
t
A. P. Dobrowolski
4 - 10/49
Algorytm trapezów
Metoda trapezów łączy cechy obu metod Eulera.
Algorytm iteracyjny oparty jest na wzorze rekurencyjnym o
postaci
v'n -1 + v' n
vn = vn -1 + hn
2
przy czym
dv
v'i =
dt t = ti
A. P. Dobrowolski
4 - 11/49
Algorytmy Geara
Algorytmy Geara należą do grupy wielokrokowych algorytmów
całkowania numerycznego szczególnie przydatnych w
przypadku rozwiązywania tzw. równań sztywnych. W
programie SPICE stosowane są algorytmy rzędów od drugiego
do szóstego, przy czym algorytm Geara rzędu pierwszego jest
tożsamy z interpolacyjnym algorytmem Eulera.
Równania sztywne charakteryzują się dużym rozrzutem
(przynajmniej o kilka rzędów wielkości) stałych czasowych
występujących w rozwiązaniu.
A. P. Dobrowolski
4 - 12/49
Algorytmy Geara
Algorytmy Geara rzędów od 1 do
następującymi wzorami rekurencyjnymi:
6
określone
są
vn = vn -1 + hn v'n
4
1
2
vn -1 - vn -2 + hn v'n
3
3
3
18
9
2
6
vn = vn -1 - vn-2 + vn -3 + hn v' n
11
11
11
11
vn =
48
36
16
3
12
vn -1 - vn -2 + vn -3 - vn-4 + hn v'n
25
25
25
25
25
300
300
200
75
12
60
vn =
vn-1 vn - 2 +
vn - 3 vn - 4 +
vn - 5 +
hn v' n
137
137
137
137
137
137
360
450
400
225
72
10
60
vn =
vn -1 vn -2 +
vn - 3 vn - 4 +
vn -5 vn - 6 +
hn v'n
147
147
147
147
147
147
147
vn =
A. P. Dobrowolski
4 - 13/49
Algorytmy Geara
Warto pamiętać, że algorytm Geara n-tego rzędu jest
algorytmem n-krokowym i wymaga n wartości startowych
wyznaczanych przez program metodami niższych rzędów –
praktycznie z wykorzystaniem algorytmu trapezów. Oznacza
to, że dopiero po obliczeniu pierwszych n punktów program
może „przełączyć się” na algorytm Geara n-tego rzędu.
A. P. Dobrowolski
4 - 14/49
Model stowarzyszony kondensatora
Rozważymy przypadek kondensatora przetransformowanego
za pomocą interpolacyjnego algorytmu Eulera.
dun
un = un -1 + hn
= un -1 + hn u'n
dt
du
1
i=C
= Cu' Þ u' n = in
dt
C
hn
Þ un = un -1 + in
C
C
C
in =
un - un -1 = Geq n un - I eq n
hn
hn
A. P. Dobrowolski
4 - 15/49
C
ì
ïïGeq n = h
n
í
ï I eq = C un -1
ïî n hn
in = Geq n un - I eq n
in
in
un
º
un
A. P. Dobrowolski
Geq n
I eq n
4 - 16/49
Konduktancja Geq n opisuje część prądu kondensatora zależną
od aktualnego napięcia un, a źródło prądowe Ieq n tą jego część,
która wynika z „historii”, czyli z poprzedniej wartości napięcia
un-1 (źródło prądowe Ieq reprezentuje więc stopień naładowania
kondensatora).
in
in
un
º
un
A. P. Dobrowolski
Geq n
I eq n
4 - 17/49
Model kondensatora w metodzie trapezów
i=C
du
= Cu'
dt
1
ì
ïïu'n = C in
Þ í
ïu'n -1 = 1 in -1
ïî
C
u'n -1 + u'n
in -1 + in
un = un -1 + hn
= un -1 + hn
2
2C
æ 2C
ö
2C
in =
un - çç
un -1 + in -1 ÷÷
hn
è hn
ø
2C
ì
G
=
ïï eq n h
n
í
ï I eq = 2C un -1 + in -1
ïî n hn
A. P. Dobrowolski
4 - 18/49
Model kondensatora w metodzie Gear II
4
1
2
4
1
2 1
un = un -1 - un - 2 + hn u' n = un -1 - un - 2 + hn in
3
3
3
3
3
3 C
æ 2C
ö
3C
C
in =
un - çç
un -1 un -2 ÷÷
2hn
2hn
è hn
ø
3C
ì
G
=
ïï eq n 2h
n
í
ï I eq = 2C un -1 - C un - 2
ïî n hn
2hn
A. P. Dobrowolski
4 - 19/49
Modele stowarzyszone kondensatora
We wszystkich przedstawionych i pozostałych
przypadkach struktura modelu stowarzyszonego jest
identyczna – różne są jedynie wartości parametrów
modelu!
A. P. Dobrowolski
4 - 20/49
Przykład analizy czasowej
R2
8kW
1
Iźr
2
R1
1mA
R3
10kW
2kW
8kW
I źr
1mA
R1
10kW
10mF
hn = const = h
R2
1
C1
2
R3
2kW
A. P. Dobrowolski
Geq n
I eq n
4 - 21/49
R2
8kW
1
I źr
1mA
éG1 + G2
ê -G
2
ë
R1
10kW
2
R3
2kW
Geq
I eq n
- G2
ù éV1n ù é I źr ù
×ê ú = ê ú
ú
G2 + G3 + Geq û ëV2 n û ë I eq n û
A. P. Dobrowolski
4 - 22/49
R2
8kW
1
I źr
1mA
R1
10kW
2
R3
2kW
Geq
I eq n
éG11 G12 ù éV1n ù é I źr ù
×ê ú = ê ú
êG
ú
ë 21 G22 û ëV2 n û ë I eq n û
A. P. Dobrowolski
4 - 23/49
R2
8kW
1
I źr
1mA
R1
10kW
2
R3
2kW
Geq
I eq n
I źr G22 - I eq n G12
ì
ïV1n =
G11G22 - G12G21
ï
í
ïV = I źr - G11 × I źr G22 - I eq n G12
ïî 2 n G12 G12 G11G22 - G12G21
A. P. Dobrowolski
4 - 24/49
R2
8kW
1
Iźr
1mA
R1
10kW
2
R3
2kW
C1
10mF
A. P. Dobrowolski
4 - 25/49
Model cewki w interpolacyjnej metodzie Eulera
Stosujemy algorytm interpolacyjny bezpośrednio do prądu:
in = in -1 + hn i'n
di
u = L = Li'
dt
Þ
1
i'n = un
L
hn
in = un + in -1 = Geq n un + I eq n
L
hn
ì
ïGeq n =
L
í
ï I eq n = in -1
î
A. P. Dobrowolski
4 - 26/49
Model stowarzyszony cewki
Algorytm trapezów
hn
ì
=
G
ïï eq n 2 L
í
ï I eq = hn un -1 + in -1
ïî n 2 L
Algorytm Geara II rzędu
2hn
ì
ïïGeq n = 3L
í
ï I eq = 4 in -1 - 1 in - 2
ïî n 3
3
A. P. Dobrowolski
4 - 27/49
Struktura modelu stowarzyszonego cewki
Struktura liniowego modelu stowarzyszonego indukcyjności
jest jednakowa we wszystkich przypadkach!
in
in
un
º
un
A. P. Dobrowolski
Geq n
I eq n
4 - 28/49
Dynamiczna zmiana kroku
Algorytm stałokrokowy
W najstarszych wersjach programu SPICE (CANCER,
SPICE 1) polecenie wykonania analizy czasowej było proste i
klarowne:
.Tran TStep TStop
Realizacja polecenia również była prosta. Program poszukiwał
rozwiązania w stałych odstępach czasowych określonych
przez parametr TStep przez cały czas trwania symulacji tzn.
od zera do wartości parametru TStop. Stosowany był więc tzw.
algorytm stałokrokowy.
A. P. Dobrowolski
4 - 30/49
V
t
A. P. Dobrowolski
4 - 31/49
Wady algorytmów stałokrokowych:
Ø problemy ze zbieżnością przy gwałtownych zmianach
sygnału,
Ø mała dokładność przy długim kroku,
Ø długi czas obliczeń przy krótkim kroku.
Wady algorytmów stałokrokowych są szczególnie odczuwalne
w przypadku sygnałów o zmiennej dynamice.
A. P. Dobrowolski
4 - 32/49
Algorytm zmiennokrokowy
V
t
A. P. Dobrowolski
4 - 33/49
Algorytm zmiennokrokowy
Pierwszy punkt czasowy wyznaczany jest przez
program SPICE wg wzoru
czas analizy TStop
t1 =
=
50
50
Po określeniu pierwszego punktu czasowego
obliczana jest odpowiedź układu i algorytm
dynamicznej zmiany kroku podejmuje decyzję o
ewentualnym zmniejszeniu lub zwiększeniu kroku
czasowego. Następnie obliczana jest odpowiedź w
drugim punkcie czasowym itd., aż do osiągnięcia
końcowego czasu analizy.
A. P. Dobrowolski
4 - 34/49
W przypadku gdy algorytm dynamicznej zmiany
kroku podejmie decyzję o skróceniu kroku, to
program cofa się do poprzedniego punktu,
ośmiokrotnie zmniejsza krok czasowy i wyznacza
nowy punkt na osi czasu. Krok czasowy może być
skracany aż do momentu osiągnięcia zdefiniowanej
wartości minimalnej.
W przypadku gdy algorytm dynamicznej zmiany
kroku podejmie decyzję o wydłużeniu kroku, to
wartość
kroku
czasowego
zwiększana
jest
dwukrotnie. Krok czasowy może być wydłużany aż
do momentu osiągnięcia zdefiniowanej wartości
maksymalnej.
A. P. Dobrowolski
4 - 35/49
V
t
A. P. Dobrowolski
4 - 36/49
Wszystkie wyznaczone dane przechowywane są w
pamięci i po zakończeniu analizy, na ich podstawie,
program – metodą interpolacji wielomianowej –
oblicza odpowiedź
czasową w
punktach
określonych przez użytkownika (TStep) za pomocą
instrukcji .TRAN.
Korzystając z zaawansowanych instrukcji sterujących
można „wydobyć” z programu współrzędne faktycznie
obliczanych punktów czasowych.
A. P. Dobrowolski
4 - 37/49
Algorytm dynamicznej zmiany kroku monitoruje trzy wskaźniki
mające wpływ na wielkość kroku czasowego. Są to:
Ø wskaźnik określający dynamikę zmian napięć i prądów w
układzie:
– monitoring liczby iteracji w każdym punkcie czasowym
(ITL3/ITL4) lub
– monitoring lokalnego błędu obcięcia;
Ø wskaźnik sygnalizujący brak zbieżności
analizowanym punkcie czasowym (ITL4);
obliczeń
Ø wskaźnik związany z punktami załamania
generowanych przez źródła sterujące.
A. P. Dobrowolski
w
sygnałów
4 - 38/49
Podstawowe znaczenie ma wskaźnik określający dynamikę
układu, dwa pozostałe pełnią rolę korygującą. Ponadto
program uwzględnia limity określające minimalną i
maksymalną wartość kroku czasowego.
Minimalna wartość kroku czasowego jest funkcją czasu
trwania analizy i określona jest zależnością
Dtmin
czas analizy TStop
=
=
9
9
50 × 10
50 × 10
A. P. Dobrowolski
4 - 39/49
Maksymalna wartość kroku czasowego:
Ø W przypadku metody opartej na zliczaniu iteracji
Dtmax = TStep
Ø W przypadku metody opartej na oszacowaniu błędu
obcięcia
Dtmax
czas analizy TStop
=
=
50
50
A. P. Dobrowolski
4 - 40/49
Dynamiczna zmiana kroku – zalecenia
Należy pamiętać, że krok czasowy w metodzie
opartej na szacunku błędu obcięcia może znacznie
przekroczyć wartość kroku TStep ustaloną przez
użytkownika, co może powodować zafałszowanie
rzeczywistego przebiegu.
V
t
A. P. Dobrowolski
4 - 41/49
W celu uniknięcia przedstawionego zjawiska należy
„ręcznie” ustawić maksymalny krok czasowy TMax za
pomocą pełnej deklaracji analizy czasowej o postaci
.Tran TStep TStop TStart TMax [UIC]
Obydwa algorytmy dynamicznej zmiany kroku
uwzględniają parametr TMax i jako maksymalny krok
czasowy stosują mniejszą z wartości: TMax i
domyślnego maksymalnego kroku właściwego dla
danej metody.
A. P. Dobrowolski
4 - 42/49
W celu uzyskania maksymalnej dokładności analizy
należy zarekomendować algorytm bazujący na
błędzie obcięcia z jednoczesnym wymuszeniem
TStep = TMax.
Krok TStep musi być dobrany odpowiednio do
przewidywanej
częstotliwości
drgań
własnych
analizowanego obwodu i/lub do częstotliwości źródeł
wymuszających – rozsądne jest przyjęcie od 5 do 10
punktów czasowych na przewidywany okres
zmienności.
A. P. Dobrowolski
4 - 43/49
Porównanie metod całkowania numerycznego
Ø Algorytm ekstrapolacyjny Eulera
Niestabilny i dlatego nie stosowany w programie SPICE.
Ø Algorytm interpolacyjny Eulera
Stabilny, ale najmniej dokładny (nie stosowany w IsSpice 4 ).
Ø Algorytm trapezów
Stabilny (jeśli krok czasowy nie jest zbyt duży), zapewniający dużą
dokładność, charakteryzujący się największą wydajnością
obliczeniową w przeważającej większości przypadków, (domyślny
w IsSpice 4).
Ø Algorytmy Geara
Zawsze stabilne, skuteczniejsze od algorytmu trapezów w
przypadku równań sztywnych, ponieważ mogą w tej sytuacji
pracować z dłuższym krokiem (w IsSpice 4 stosuje się algorytmy
rzędów od 2 do 6).
A. P. Dobrowolski
4 - 44/49
Warunki początkowe
Warunki początkowe
Deklaracje ustalające warunki początkowe analizy w
dziedzinie czasu:
.IC V(n)=wartość
lub
C1 0 1 1nF IC=5V
.Tran TStep TStop [TStart [TMax]] UIC
A. P. Dobrowolski
4 - 46/49
Warunki początkowe
Realizacja „układowa” jest identyczna, jak w przypadku
ustalania potencjałów startowych dla analizy DC. Różnica
polega na tym, że w przypadku dyrektywy .NODESET
program w pierwszym kroku znajduje stabilny punkt pracy w
obecności dodatkowego źródła wymuszającego określony
potencjał. Następnie źródło jest usuwane i wyznaczany jest
końcowy punkt pracy. Ponieważ odbywa się to podczas
analizy OP, wszystkie elementy zachowawcze są usunięte
(kondensatory rozwarte, cewki zwarte).
W przypadku deklaracji .IC dodatkowe źródło wymuszające
istnieje w obwodzie tylko w czasie pierwszej serii iteracji ale,
gdy statyczny punkt pracy zostanie wyznaczony program
używa go jako warunku początkowego analizy czasowej, tzn.
„ładuje” do odpowiedniej wartości przyłączone do węzła
kondensatory i ustala wartości prądów w cewkach.
A. P. Dobrowolski
4 - 47/49
Warunki początkowe
V(1)
V(1)
.NODESET V(1)=5V
5V
5V
1
4V
R1
3V
4V
C1
1 nF
1 kW
3V
2V
2V
1V
1V
0V
.IC V(1)=5V
1 ms
2 ms
3 ms
t
0V
A. P. Dobrowolski
1 ms
2 ms
3 ms
t
4 - 48/49
Algorytm programu SPICE
Wybór startowego
punktu pracy
liniowych
modeli zastępczych
elementów nieliniowych
Wypełnienie liniowego
G*V=I
Aktualizacja
punku pracy
Rozwiązanie liniowego
liniowych
modeli stowarzyszonych
Czy osiągnięto
zbieżność?
nie
tak
Wybór kroku czasowego.
Wyznaczenie kolejnego
punktu czasowego.
nie
Czy koniec
czasu analizy?
A. P. Dobrowolski
tak
STOP
4 - 49/49
5. Analiza widmowa
Reprezentacja alternatywna przebiegów czasowych
Pomimo mnogości parametrów definiowanych w dziedzinie
czasu nie można za ich pomocą w pełni opisać całego
przebiegu.
Należy
więc
poszukiwać
reprezentacji
alternatywnych.
Najbardziej popularny jest rozkład na składowe harmoniczne,
tj. reprezentacja analizowanego sygnału za pomocą sumy
składowych sinusoidalnych i kosinusoidalnych.
Z czego wynika popularność sygnałów harmonicznych?
ü „Natura nie lubi kantów.”
ü Unikalna własność przy różniczkowaniu i całkowaniu.
ü Ortogonalność – odpowiednio dobrane funkcje
harmoniczne tworzą bazę ortonormalną.
A. P. Dobrowolski
5 - 2/68
Reprezentacja widmowa
0,4
0,3
0,2
0,1
0
f1
f2
f3
f4
f5
f6
Częstotliwość
A. P. Dobrowolski
5 - 3/68
0,4
0,3
0,2
0,1
0
A. P. Dobrowolski
f1
f2
f3
f4
Częstotliwość
f5
f6
5 - 4/68
0,4
0,3
0,2
0,1
0
A. P. Dobrowolski
f1
f2
f3
f4
Częstotliwość
f5
f6
5 - 5/68
0,4
0,3
0,2
0,1
0
A. P. Dobrowolski
f1
f2
f3
f4
Częstotliwość
f5
f6
5 - 6/68
0,4
0,3
0,2
0,1
0
A. P. Dobrowolski
f1
f2
f3
f4
Częstotliwość
f5
f6
5 - 7/68
0,4
0,3
0,2
0,1
0
A. P. Dobrowolski
f1
f2
f3
f4
Częstotliwość
f5
f6
5 - 8/68
Ortogonalność
Dwa sygnały są ortogonalne (prostopadłe) jeśli ich iloczyn
skalarny jest równy zeru. Sygnał można interpretować jako
wektor w przestrzeni wielowymiarowej.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów oblicza się wg zależności:
a × b = a b cos a = a x bx + a y by
y
a
ay
b
by
a
0
bx ax
A. P. Dobrowolski
x
5 - 9/68
Ortogonalność
Prostopadłość oznacza, że rzut (prostopadły) jednego wektora
na drugi jest zerowy – jeden wektor nie ma nic wspólnego z
drugim!
Iloczyn skalarny określa więc wartość rzutu prostopadłego
jednego wektora na drugi.
y
a = [2, 2]
a × b = a x bx + a y by =
2
= 2 × 1 + 2 × (- 1) = 0
1
0
-1
1
2
x
b = [1, -1]
A. P. Dobrowolski
5 - 10/68
Sygnał jako wektor w przestrzeni wielowymiarowej
Krótki sygnał, złożony tylko z dwóch próbek czasowych,
można zinterpretować jako wektor dwuwymiarowy, tj. wektor,
który można zobrazować na płaszczyźnie. Spotyka się też
interpretację takiego sygnału jako punktu związanego z końcem wektora zaczepionego w punkcie zerowym układu
współrzędnych
Jeśli próbek byłoby 3, to wektor leżałby w przestrzeni 3D,
natomiast jeśli N to przestrzeń byłaby N-wymiarowa.
Niezależnie od wymiaru przestrzeni – czyli długości sygnału –
ortogonalność rozumie się tak samo – dwa sygnały są
ortogonalne jeśli nie mają ze sobą nic wspólnego.
A. P. Dobrowolski
5 - 11/68
Sygnał w przestrzeni wielowymiarowej
Iloczyn skalarny wylicza się zgodnie z tą samą formułą, tzn.
N
a × b = a1 b1 + a2 b2 + ... + a N bN = å ai bi
i =1
Stosując nomenklaturę „sygnałową”, zapisujemy
x = [ x1 , x2 , ..., xN ]
y = [ y1 , y2 , ..., y N ]
N
x, y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xN y N = å xi yi
i =1
A. P. Dobrowolski
5 - 12/68
Ortogonalność sygnałów ciągłych
Podobnie jak w przypadku sygnałów dyskretnych, sygnały
ciągłe są ortogonalne jeśli ich iloczyn skalarny jest zerowy,
przy czym w przypadku sygnałów ciągłych próbki
umieszczone są nieskończenie gęsto i suma staje się całką.
Iloczyn skalarny dwóch sygnałów w dziedzinie czasu x(t) oraz
y(t), wyznaczany jest z zależności:
¥
x (t ), y (t ) = ó
ô x (t ) × y (t ) dt
õ
-¥
A. P. Dobrowolski
5 - 13/68
Ortogonalność sygnałów harmonicznych
1
0.5
0
0.5
1
0
3
6
9
¥
12
15
18
21
24
sin (2pft ), cos(2 pft ) = ó
ô sin(2pft ) × cos(2 pft ) dt = 0
õ
-¥
A. P. Dobrowolski
5 - 14/68
Ortogonalność sygnałów harmonicznych
1
0.5
0
0.5
1
0
3
6
9
¥
12
15
18
21
24
sin (2pft ), sin (2 × 2pft ) = ó
ô sin (2pft ) × sin (2 × 2pft ) dt = 0
õ
-¥
A. P. Dobrowolski
5 - 15/68
Przekształcenie Fouriera
¥
ó
X C ( f ) = ô xC (t ) e - j2 pft dt
õ
-¥
Korzystając ze wzoru Eulera
e - jj = cos j - j sin j
Można rozdzielić zespoloną eksponentę na składową
rzeczywistą i urojoną
¥
¥
-¥
-¥
ó
ó
X C ( f ) = ô xC (t ) cos(2pft ) dt - jô xC (t ) sin(2pft ) dt
õ
õ
A. P. Dobrowolski
5 - 16/68
Przekształcenie Fouriera – interpretacja
Całka Fouriera daje w efekcie składową rzeczywistą –
wskazującą na stopień korelacji analizowanego sygnału z
funkcją cos(2pft) i składową urojoną – skorelowaną z funkcją
sin(2pft ).
Rozważmy, dla przejrzystości, tylko składową rzeczywistą
¥
ì
ü ó
Re í X C ( f )ý = ô xC (t ) cos(2pft ) dt
î
þ õ
-¥
A. P. Dobrowolski
5 - 17/68
Interpretacja
Załóżmy, że sygnał xC(t) jest sygnałem harmonicznym
cos(2pft). Wówczas, jako że obie funkcje są całkowicie skorelowane, wynik całki jest maksymalny, niestety dosłownie –
¥
ì
ü ó
Re í X C ( f )ý = ô cos(2 pft ) × cos(2pft ) dt = ¥
î
þ õ
-¥
Wynika stąd, że przekształcenia Fouriera w sensie zwykłym
nie można zastosować do wszystkich sygnałów.
A. P. Dobrowolski
5 - 18/68
Interpretacja
Warunkiem dostatecznym istnienia dla każdej częstotliwości f
prostej transformaty Fouriera jest bezwzględna całkowalność
sygnału, czyli transformowany sygnał musi spełniać warunek
¥
ó
ô x C (t ) dt < ¥
õ
-¥
Jest to poważne ograniczenie definicji klasycznej, gdyż
przekształcenie nie obejmuje tak ważnych teoretycznie sygnałów jak: cos w0t, sin w0t, 1(t), exp( jw0t ) itp. Rozwiązaniem
okazało się wprowadzenie przekształcenia Fouriera w sensie
granicznym.
A. P. Dobrowolski
5 - 19/68
Sygnał realizowalny fizycznie
Z uwagi na fakt, że rzeczywiste przebiegi są zawsze
sygnałami o ograniczonej energii, w praktyce transformata
klasyczna zawsze osiąga wartość skończoną. Załóżmy, że
analizowanym sygnałem jest narastający i malejący do zera
sygnał harmoniczny o częstotliwości f, dany wzorem
- t
(
)
xC t = e
cos(2pf t )
A. P. Dobrowolski
5 - 20/68
xC (t ) = e
- t
cos(2pf t )
xC( t ), cos (2pft )
t
A. P. Dobrowolski
5 - 21/68
Sygnał ten osiąga maksimum dla t = 0 i jest oczywiste, że
jego widmo zawiera składową o częstotliwości f.
_
_
Część rzeczywista transformaty Fouriera wynosi
¥
ì
ü ó -t
Re í X C ( f )ý = ô e cos(2 pft ) × cos(2 pft ) dt = 1
î
þ õ
-¥
A. P. Dobrowolski
5 - 22/68
Sygnał odwrócony w fazie
Jeśli rozpatrywany sygnał - nazwijmy go xC1(t) - będzie
odwrócony w fazie, to również wystąpi pełna korelacja, w tym
sensie, że zmianom sygnału xC1(t) będą towarzyszyły
dokładnie przeciwne zmiany sygnału harmonicznego
cos(2pft ), względem którego wyznaczamy korelację.
A. P. Dobrowolski
5 - 23/68
xC1( t ), cos (2pft )
t
A. P. Dobrowolski
5 - 24/68
W tym przypadku część rzeczywista transformaty Fouriera
wynosi
¥
ì
ü ó -t
Re í X C ( f )ý = ô e cos(2pft - 180°) × cos(2 pft ) dt = -1
î
þ õ
-¥
Wynik jest zgodny z oczekiwaniami – wartość całki jest taka
sama, lecz ma przeciwny znak.
A. P. Dobrowolski
5 - 25/68
Sygnał w kwadraturze
Załóżmy, że rozpatrywany sygnał - nazwijmy go xC2(t) - jest
przesunięty o 90° względem harmonicznego sygnału
odniesienia.
xC2( t ), cos (2pft )
t
A. P. Dobrowolski
5 - 26/68
Sygnał w kwadraturze
Zauważamy całkowity brak korelacji i faktycznie, w tym
przypadku część rzeczywista transformaty Fouriera wynosi
¥
ì
ü ó -t
Re í X C ( f )ý = ô e cos(2pft - 90° ) × cos(2 pft ) dt = 0
î
þ õ
-¥
A. P. Dobrowolski
5 - 27/68
Składowa urojona
Rozpatrzmy korelację sygnału xC2(t) z drugim harmonicznym
sygnałem odniesienia sin(2pft ).
xC2( t ), sin (2pft )
t
A. P. Dobrowolski
5 - 28/68
Składowa urojona
Część urojona transformaty Fouriera wynosi
¥
ì
ü ó -t
Im í X C ( f )ý = ô e cos(2 pft - 90°) × sin (2 pft ) dt = 1
î
þ õ
-¥
Jak widać, nie ma korelacji z sygnałem cos(2pft), ale jest
pełna korelacja z sygnałem sin(2pft).
A. P. Dobrowolski
5 - 29/68
Podsumowanie
Jako ostatni rozważymy przypadek, gdy analizowany sygnał
jest przesunięty o 45° względem sygnału odniesienia
cos(2pft).
Pełna transformata Fouriera jest równa
¥
ó -t
X C ( f ) = ô e cos(2pft - 45° ) cos(2pft ) dt õ
-¥
¥
ó -t
- jô e cos(2 pft - 45°) sin (2pft ) dt =
õ
-¥
= 0,707 - j 0,707 = 1 e - j 45°
A. P. Dobrowolski
5 - 30/68
Podsumowanie
Na podstawie pokazanych przypadków, można wnioskować,
że jeśli kształt sygnału nie zmienia się, to niezależnie od jego
przesunięcia fazowego, moduł transformaty Fouriera jest zawsze jednakowy, a zmienia się jedynie jej faza, określając
położenie sygnału względem obu składowych harmonicznych.
Jeśli analizowany sygnał będzie sumą kilku składowych
harmonicznych, to moduł transformaty Fouriera będzie osiągał
lokalnie maksymalne wartości dla częstotliwości równych częstotliwościom tych składowych. Wynika to z faktu, że tylko dla
tych składowych istnieje korelacja między analizowanym sygnałem i odpowiednim harmonicznym sygnałem odniesienia.
A. P. Dobrowolski
5 - 31/68
Sygnał dyskretny
Dystrybucja Diraca
ì
ì¥ dla t = 0
ïd(t ) = í
î0 dla t ¹ 0
ïï
í¥
ïó d(t ) dt = 1
ïô
ïîõ
-¥
Właściwość próbkowania
Właściwość filtracji
¥
x (t ) d(t ) = x (0) d(t )
ó () ()
ô x t d t dt = x (0)
õ
-¥
lub ogólniej
¥
x (t ) d(t - t ) = x (t ) d(t - t )
ó x (t ) d(t - t ) dt = x (t )
ô
õ
-¥
A. P. Dobrowolski
5 - 32/68
Sygnał dyskretny
Splot d(t) z dowolną funkcją (właściwość powtarzania)
¥
¥
-¥
-¥
ó
ó
x (t ) * d(t ) = ô x (t' ) d(t - t' ) dt' = ô x (t - t' ) d(t' ) dt' = x (t )
õ
õ
x (t ) * d(t - t ) = x (t - t )
Dystrybucja Diraca jest elementem
identycznościowym splotu (jak liczba 1
w przypadku operacji mnożenia).
X ( f ) * d( f - f 0 ) = X ( f - f 0 )
Funkcja próbkująca
s(t ) =
¥
å d(t - nT )
S
n =- ¥
Funkcja ta reprezentuje ciąg impulsów Diraca o jednostkowej wysokości, ułożonych na osi czasu w odstępach równych okresowi próbkowania TS.
A. P. Dobrowolski
5 - 33/68
Sygnał dyskretny
Spróbkowana wersja x(t) sygnału ciągłego xC(t) jest iloczynem sygnału xC(t) i funkcji próbkującej
x C( t )
t
x (t ) = xC (t ) s(t ) =
=
¥
å x (t )d(t - nT ) =
n =- ¥
=
C
s(t)
S
¥
å x (nT )d(t - nT )
C
S
x( t )
S
t
n =- ¥
t
A. P. Dobrowolski
5 - 34/68
Przekształcenie Fouriera sygnału dyskretnego
Ponieważ funkcja próbkująca, a tym samym sygnał x(t), są
określone w dyskretnych momentach czasu
t = nTS ,
n = 0, ± 1, ± 2, ...
często stosuje się zapis wyraźnie wskazujący, że mamy do
czynienia z wektorem
x (t ) = x (nTS ) = x (n ) = [ x1 , x2 ,... ] =
¥
å x (nT )d(t - nT )
n =- ¥
A. P. Dobrowolski
C
S
S
5 - 35/68
Stosując klasyczną transformatę Fouriera do sygnału dyskretnego x(n), otrzymujemy
¥
ó ¥
X ( f ) = ô å xC (t ) d(t - nTS ) e - j 2 pft dt =
õ n = -¥
-¥
¥
¥
ó
= ô å xC (t ) e - j 2 pft d(t - nTS ) dt
õ n = -¥
-¥
A. P. Dobrowolski
5 - 36/68
Zmieniając kolejność całkowania i sumowania, otrzymujemy
X(f )=
¥
¥
ó ( ) - j 2 pft (
d t - nTS ) dt
ô xC t e
n = -¥ õ
å
-¥
¥
ó x (t ) d(t - t ) dt = x (t )
ô
õ
Korzystając z własności filtracji
-¥
otrzymujemy
¥
- j 2 pf nT
(
)
(
)
X f = å xC nTS e
S
n = -¥
¥
- j 2 pf nT
(
)
= å x nTS e
S
n = -¥
w punktach t = nTS zachodzi równość: xC (nTS ) = x (nTS )
A. P. Dobrowolski
5 - 37/68
Ponieważ w wykładniku w miejscu t pojawił się iloczyn nTS, to
e - j 2 pf nTS = e - j(2 pf nTS + 2 p kn ) = e - j2 p nTS ( f + kf S )
czyli, widmo sygnału spróbkowanego
okresowe, przy czym okres jest równy
równomiernie
jest
1
fS =
TS
Z tego powodu maksymalna częstotliwość, dla której sensowne
jest badanie widma równa się częstotliwości próbkowania.
A. P. Dobrowolski
5 - 38/68
Dyskretne przekształcenie Fouriera
W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyjęto, że transformata
Fouriera określająca widmo sygnału liczona będzie dla tylu
częstotliwości, ile jest próbek sygnału w dziedzinie czasu i nie
„dalej” niż do częstotliwości próbkowania. Wynika stąd bardzo
istotna zależność, określająca tzw. częstotliwości analizy
(częstotliwości, dla których liczona będzie transformata)
fS
f m = m × Df = m ×
N
®
N -1
f Î 0,
fS
N
gdzie m jest numerem kolejnego prążka w dziedzinie częstotliwości, czyli indeksem próbki wyjściowej transformaty,
natomiast N oznacza całkowitą liczbę próbek ciągu wejściowego oraz – konsekwentnie – wyjściowego. Indeksy m i n
zmieniają się od zera do N –1.
A. P. Dobrowolski
5 - 39/68
Dyskretne przekształcenie Fouriera
Podstawiając kolejne częstotliwości analizy, otrzymujemy
æ fS
X çm
è N
¥
ö
÷ = å x (nTS )e
ø n = -¥
- j 2 pm
fS
nTS
N
¥
=
å x (nT )e
n = -¥
S
- j2 p
mn
N
W ogólnym zapisie z reguły pomija się odstęp w częstotliwości
Df i odstęp w czasie TS, stosując zapis
X (m ) =
¥
å x (n )e
- j2p
mn
N
n = -¥
A. P. Dobrowolski
5 - 40/68
Dyskretna transformata Fouriera
Z uwagi na fakt, że liczba elementów obu ciągów jest z góry
znana, sumowanie można sprowadzić do konkretnych granic
N -1
X (m ) = å x (n )e
- j 2p
mn
N
n =0
Otrzymana zależność definiuje
Dyskretną Transformatę Fouriera
(DFT - Discrete Fourier Transform)
ciągu x(n).
A. P. Dobrowolski
5 - 41/68
Dyskretna transformata Fouriera
Korzystając ze wzoru Eulera, można przedstawić DFT w postaci
N -1
X (m ) =
å
n =0
é æ mn ö
æ mn öù
x (n ) êcosç 2p
÷ú
÷ - j sinç 2p
N ø
N øû
è
ë è
Jak widać, kolejne częstotliwości analizy odpowiadają korelacji
sygnału analizowanego z funkcjami harmonicznymi sinus i
cosinus, mającymi kolejne m pełnych okresów w rozważanym
przedziale próbkowania.
A. P. Dobrowolski
5 - 42/68
Twierdzenie o symetrii
Policzmy dyskretną transformatę Fouriera ciągu
N -1
X (N - m ) = å x (n ) e
- j2 p
( N -m )n
N -1
= å x (n ) e - j 2 pn e
N
n =0
j 2 pn
m
N
n =0
Ponieważ (n oznacza liczbę całkowitą )
e - j 2 pn = 1
otrzymujemy
N -1
X (N - m ) = å x (n ) e
j2 p
nm
N
= X * (m )
n =0
A. P. Dobrowolski
5 - 43/68
Twierdzenie o symetrii
X (m ) = X * ( N - m )
Znaczenie tej własności jest niebagatelne, gdyż implikuje ona,
że tylko pierwszych N/2 wyrazów ciągu częstotliwości jest
niezależna. Wystarczy więc policzyć składowe do tzw.
częstotliwości Nyquista
fS
fN =
2
a pozostałe przepisać jako liczby sprzężone lub pominąć, jako
nie niosące żadnej dodatkowej informacji.
A. P. Dobrowolski
5 - 44/68
Liniowość DFT
Podobnie – bezpośrednio z definicji – łatwo można wyprowadzić bardzo istotną z punktu widzenia zastosowań własność
liniowości DFT mówiącą, że jeśli dwa ciągi o jednakowej
długości N zostaną zsumowane zgodnie z zależnością
xsum (n ) = a x1 (n ) + b x2 (n )
to transformata sumy tych sygnałów będzie sumą ich
transformat
X sum (m ) = a X 1 (m ) + b X 2 (m )
A. P. Dobrowolski
5 - 45/68
Amplituda DFT
W przypadku wystąpienia w sygnale poddawanym transformacji
składowej stałej o wartości ADC, w widmie pojawia się prążek na
częstotliwości zerowej o amplitudzie
N -1
X (m ) = å x (n ) e
- j2 p
mn
N
m =0
=
n =0
N -1
å x (n ) = x
śr
×N
Þ
X (0) = ADC × N
n =0
Gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawierający
składową harmoniczną o amplitudzie Asyg i takiej częstotliwości
fsyg, że w przedziale N próbek wejściowych zawiera się
całkowita liczba okresów tego sygnału, to amplituda prążka
odpowiadającego częstotliwości fsyg jest równa
N
X (i ) = Asyg × ,
2
i=
A. P. Dobrowolski
f syg
Df
5 - 46/68
Amplituda DFT
Konsekwencją tych zależności jest częste
zmodyfikowanych definicji określających DFT, np.:
ì
ïï X ' (0) =
í
ï X ' (m ) =
ïî
stosowanie
1
X (0)
N
2
X (m ), dla m = 1, ... , N - 1
N
W powyższym przypadku amplitudy prążków DFT odpowiadają
amplitudom odpowiednich sinusoid składowych, a amplituda
prążka zerowego jest równa składowej stałej transformowanego
przebiegu.
A. P. Dobrowolski
5 - 47/68
Przeciek DFT
Dowolny sygnał wejściowy, którego częstotliwość nie jest dokładnie
równa jednej z częstotliwości, dla których jest liczona transformata (tzn.
gdy fsyg ¹ m × Df ), „przecieka” do wszystkich innych prążków DFT, fałszując widmo sygnału. Można powiedzieć, że zawsze pozostaje „fragment
okresu”, który nie zeruje się w korelacji z pełnymi okresami kolejnych
częstotliwości analizy.
Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego o amplitudzie Asyg,
zawierającego k okresów w N-punktowym ciągu wejściowym, amplitudy
prążków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m wyraża się za pomocą
funkcji sinc
N
X (m ) = Asyg × × sinc[p(k - m )]
2
Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdyż opisuje ona transformatę
impulsu prostokątnego, a w istocie mamy tu do czynienia z transformatą
iloczynu badanej funkcji i impulsu prostokątnego, a otrzymany
wynik jest splotem widm tych funkcji.
A. P. Dobrowolski
5 - 48/68
Przeciek DFT
ì sin (a )
dla a ¹ 0
ï
sinc (a ) = í a
ïî 1
dla a = 0
1
0,5
-8 p
-6 p
-4 p
-2 p
X (m ) = Asyg ×
N
× sinc[p(k - m )]
2
Jeśli (k-m) jest liczbą całkowitą, to
tylko m=k-ty prążek jest niezerowy.
Jeśli nie, to każdy jest niezerowy,
przy czym im dalej od składowej
stałej tym mniejszy.
2p
A. P. Dobrowolski
4p
6p
8p
a
5 - 49/68
Przeciek DFT
A. P. Dobrowolski
5 - 50/68
„Okienkowanie” sygnału
Skoro nieciągła zmiana sygnału na krańcach przedziału
próbkowania jest powodem przecieku, to antidotum będzie
„wycinanie” sygnału za pomocą okna o łagodnych zboczach.
Mnożąc ciąg wejściowy przez funkcję okna tego typu,
powodujemy, że wartości sygnału wynikowego stają się takie
same na początku i końcu przedziału próbkowania.
Jednocześnie „okienkowanie” redukuje moc sygnału i w
konsekwencji zmniejsza też amplitudy wszystkich prążków
widma.
A. P. Dobrowolski
5 - 51/68
Okno czasowe
Funkcja okienkująca
A. P. Dobrowolski
5 - 52/68
Funkcje okien
Do najpopularniejszych należą okna będące złożeniem funkcji
harmonicznych, określonych w przedziale 0 £ n < N:
æ 2pn ö
æ 2pn ö
æ 2pn ö
æ 2pn ö
w(n ) = a0 - a1 cosç
÷ + a2 cosç 2
÷ - a3 cosç 3
÷ + a4 cosç 4
÷
è N ø
è N ø
è N ø
è N ø
Øokno Hanninga (właściwie [von] Hanna)
ìa0 = 0,5ü
ïa = 0,5 ï
ïï 1
ïï
ía 2 = 0 ý
ïa = 0 ï
ï 3
ï
ïîa 4 = 0 ïþ
Þ
æ 2 pn ö
(
)
w n = 0,5 - 0,5 cosç
÷
è N ø
A. P. Dobrowolski
5 - 53/68
Funkcje okien
æ 2pn ö
æ 2pn ö
æ 2pn ö
æ 2pn ö
÷ + a2 cosç 2
÷ - a3 cosç 3
÷ + a4 cosç 4
÷
è N ø
è N ø
è N ø
è N ø
Øokno Hamminga
ìa0 = 0,54 ü
ïa = 0,46 ï
ïï 1
ïï
ía 2 = 0 ý
ïa = 0 ï
ï 3
ï
ïîa 4 = 0 ïþ
Þ
æ 2 pn ö
(
)
w n = 0,54 - 0,46 cosç
÷
è N ø
A. P. Dobrowolski
5 - 54/68
Funkcje okien
æ 2pn ö
æ 2pn ö
æ 2pn ö
æ 2pn ö
÷ + a2 cosç 2
÷ - a3 cosç 3
÷ + a4 cosç 4
÷
è N ø
è N ø
è N ø
è N ø
Øokno Blackmana
ìa0 = 0,42 ü
ïa = 0,5 ï
ïï
ïï 1
ía 2 = 0,08 ý
ïa = 0 ï
ï
ï 3
ïîa 4 = 0 ïþ
Þ
æ 2 pn ö
æ 2 pn ö
+
w(n ) = 0,42 - 0,5 cosç
0
,
08
cos
ç2
÷
÷
N
N
ø
è
è
ø
A. P. Dobrowolski
5 - 55/68
Funkcje okien
æ 2pn ö
æ 2pn ö
æ 2pn ö
æ 2pn ö
÷ + a2 cosç 2
÷ - a3 cosç 3
÷ + a4 cosç 4
÷
è N ø
è N ø
è N ø
è N ø
Øokno Flat Top
ìa0 = 0,215 ü
ïa = 0,416 ï
æ 2pn ö
æ 2pn ö
=
w
(
n
)
0
,
215
0
,
416
cos
+
0
,
278
cos
ç
÷
ç2
÷ïï
ïï 1
è N ø
è N ø
ía2 = 0,278ý Þ
æ 2pn ö
æ 2pn ö
ïa = 0,084 ï
0
,
084
cos
3
0
,
007
cos
+
ç
÷
ç4
÷
3
ï
ï
è N ø
è N ø
ïîa4 = 0,007 ïþ
A. P. Dobrowolski
5 - 56/68
Funkcje okien
w
1
0.9
okno prostokątne
0.8
okno Hanninga
0.7
okno Flat Top
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.25
0.5
A. P. Dobrowolski
0.75
n/N
5 - 57/68
Funkcje okien
W
okno prostokątne
0.9
okno Hanninga
okno Flat Top
0.8
0.7
0.6
1
1
fS
Df =
=
=
N NTS T
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Df
Rozdzielczość częstotliwościowa, amplitudowa i ziarnistość.
A. P. Dobrowolski
5 - 58/68
Funkcje okien
Wn [dB]
okno prostokątne
okno Hanninga
–10
okno Flat Top
–20
–30
–40
–50
–60
–70
–80
0
1
2
3
4
5
6
A. P. Dobrowolski
7
8
9
Df
5 - 59/68
Widmo okna prostokątnego
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
A. P. Dobrowolski
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
5 - 60/68
Widmo sygnału oryginalnego
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
A. P. Dobrowolski
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
5 - 61/68
Widmo sygnału „zokienkowanego”
1
X ( f ) * d( f - f 0 ) = X ( f - f 0 )
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
A. P. Dobrowolski
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
5 - 62/68
Drugi sygnał ...
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
A. P. Dobrowolski
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
5 - 63/68
... i jego widmo
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
A. P. Dobrowolski
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
5 - 64/68
Widmo sumy sygnałów (po okienkowaniu)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
A. P. Dobrowolski
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
5 - 65/68
Szybka transformata Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera stało się popularne z chwilą
opracowania pierwszej procedury Szybkiej Transformaty
Fouriera (FFT – Fast Fourier Transform) opublikowanej przez
J. Cooleya i J. Tuckeya w roku 1965. Należy podkreślić, że
wszystkie algorytmy szybkiej transformaty Fouriera nie są
aproksymacją DFT, ale wyznaczają ją dokładnie (!). Algorytmy
te nie korzystają bezpośrednio z definicji, lecz stosują wydajniejsze rozwiązania, oparte na symetrii funkcji harmonicznych.
A. P. Dobrowolski
5 - 66/68
Algorytmy FFT posiadają więc wszystkie własności klasycznej
DFT, a jedynym ograniczeniem typowej FFT jest wymaganie,
aby ciąg wejściowy zawierał liczbę wyrazów równą całkowitej
potędze liczby 2. Nie stanowi to jednak istotnego problemu,
bowiem w ostateczności zawsze można uzupełnić ciąg wejściowy wyrazami zerowymi.
Jednocześnie uzupełnienie zerami zmniejsza ziarnistość
transformaty (gładszy przebieg widma).
W obliczeniach praktycznych należy jednak pamiętać, że
uzupełnianie zerami zmniejsza średnią wartość sygnału, a tym
samym poziomy składowych transformaty. Należy więc dokonać
korekty amplitudy transformaty proporcjonalnie do ilości
dodanych próbek zerowych.
A. P. Dobrowolski
5 - 67/68
Jedna wspólna nazwa „ FFT ” dla wszystkich wydajnych
obliczeniowo algorytmów wyznaczających DFT jest niestety
niejednoznaczna i w przypadku, gdy korzysta się z gotowych
rozwiązań komercyjnych, często nie wiadomo, jaki konkretnie
algorytm został zastosowany.
_
_
A. P. Dobrowolski
5 - 68/68
6. Analiza wrażliwościowa i statystyczna
i. Analiza wrażliwościowa
ii. Analiza Monte Carlo
iii. Analiza najgorszego przypadku
Analiza wrażliwościowa
Wrażliwość
układu
określa
wpływ
znanych
lub
przewidywanych zmian parametrów elementów tego układu
na jego parametry globalne (np.: parametry robocze,
charakterystyki
częstotliwościowe
i
czasowe
czy
współczynnik szumów).
Decydujące znaczenie przy obliczaniu wrażliwości ma
pochodna funkcji układowej f(x1, ..., xn) względem
parametrów elementów układu {x1, ..., xn}.
Wartość funkcji układowej w otoczeniu nominalnych
wartości parametrów układu {x10, ..., xn0} można
przedstawić korzystając z rozwinięcia funkcji wielu
zmiennych w szereg potęgowy Taylora.
A. P. Dobrowolski
6 - 2/12
Analiza wrażliwościowa
Przy założeniu małych przyrostów można dokonać
linearyzacji pomijając pochodne cząstkowe rzędów
wyższych niż pierwszy.
W ten sposób otrzymuje się intuicyjne wyrażenie
określające skończony przyrost funkcji układowej
Df = f - f 0 = f (x10 + Dx1 , ..., xn 0 + Dxn ) - f (x10 , ..., xn 0 ) »
»
¶f
¶f
Dx1 + ... +
Dxn
¶x1
¶xn
A. P. Dobrowolski
6 - 3/12
Wrażliwość bezwzględna
Wrażliwość bezwzględną funkcji układowej f względem
zmian parametru xi definiujemy jako pochodną cząstkową
¶f
Si =
¶xi
Korzystając z definicji wrażliwości bezwzględnej odchylenie
funkcji układowej f od jej wartości nominalnej f0 można
zapisać jako algebraiczną sumę odchyleń wywołanych
przez zmiany poszczególnych parametrów
n
Df = f - f 0 = å Si Dxi
i =1
A. P. Dobrowolski
6 - 4/12
Przykład
R1
1
6kW
Vźr
2
R2
1V
1kW
R3
2kW
Przyjmijmy, że analizowanym parametrem układu jest
potencjał węzła 2. Funkcja układowa będzie więc miała
postać
V2 = Vźr
R2 R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
A. P. Dobrowolski
6 - 5/12
Przykład
Wrażliwości potencjału V2 na zmiany R1, R2 i R3 oraz na
zmiany napięcia Vźr wynoszą odpowiednio:
μV
¶V2
R2 R3 (R2 + R3 )
=
15
= -Vźr
Ω
¶R1
(R1R2 + R1R3 + R2 R3 )2
é
ù
¶V2
R3 Vźr
R2 (R1 + R3 )
μV
=
=
1
60
¶R2 R1R2 + R1R3 + R2 R3 êë R1R2 + R1 R3 + R2 R3 úû
Ω
é
ù
¶V2
R2 Vźr
R3 (R1 + R2 )
μV
=
1
=
15
¶R3 R1R2 + R1R3 + R2 R3 êë R1R2 + R1 R3 + R2 R3 úû
Ω
¶V2
R2 R3
μV
=
= 100
¶Vźr R1R2 + R1R3 + R2 R3
mV
A. P. Dobrowolski
6 - 6/12
Przykład
¶V2
μV
= -15
,
¶R1
Ω
¶V2
μV
= 60
,
¶R2
Ω
¶V2
μV
= 15
,
¶R3
Ω
¶V2
μV
= 100
¶Vźr
mV
Oznacza to, że zwiększenie wartości rezystora R1 o 1 W
spowoduje zmniejszenie potencjału V2 o 15 mV, natomiast
identyczna zmiana wartości rezystorów R2 i R3 wywoła wzrost
potencjału V2 odpowiednio o 60 mV i 15 mV. Podobnie zmiana
wydajności źródła napięciowego Vźr o 1 mV spowoduje
zmianę funkcji układowej o 100 mV.
A. P. Dobrowolski
6 - 7/12
Realizacje praktyczne
i. Metoda przyrostowa – Sens
ii. Metoda Monte Carlo – MC
iii. Metoda najgorszego przypadku – WCS
A. P. Dobrowolski
6 - 8/12
Metoda przyrostowa
Opiera się bezpośrednio na definicji i polega na zastąpieniu
różniczek przyrostami skończonymi. Metoda przyrostowa
wymaga przeprowadzenia jednej analizy z nominalnymi
wartościami parametrów wszystkich elementów i po jednej
analizie układu z kolejno modyfikowanymi parametrami
elementów, względem których obliczana jest wrażliwość
funkcji układowej.
W trakcie każdej takiej analizy obliczeniom podlega
układ o wszystkich parametrach nominalnych z wyjątkiem
jednego, względem którego liczona jest wrażliwość.
Parametr ten przyjmuje wartość nieznacznie różniącą się
od wartości nominalnej (praktycznie stosuje się przyrost
mniejszy od 0,1%).
A. P. Dobrowolski
6 - 9/12
Metody alternatywne
W specjalizowanych programach symulacyjnych stosowane
bywają również dwie alternatywne „układowe” metody
wyznaczania wrażliwości:
Ø metoda układu wrażliwościowego,
Ø metoda układu dołączonego (m. równań dołączonych).
A. P. Dobrowolski
6 - 10/12
Metoda Monte Carlo
Analizie podlega układ o wylosowanych (zgodnie z
założonymi rozkładami, określonymi przez tolerancję i typ
rozkładu gęstości prawdopodobieństwa) wartościach
parametrów. Cykl losowań i analiz układu powtarza się
wielokrotnie, a następnie wyniki symulacji poddaje się
obróbce statystycznej.
Ocenie podlega wrażliwość globalna układu w sytuacji,
gdy wszystkie parametry elementów jednocześnie
przyjmują wartości odbiegające od nominalnych.
A. P. Dobrowolski
6 - 11/12
Metoda najgorszego przypadku
W trakcie tej analizy program przeprowadza symulacje z
nominalnymi wartościami elementów, wyznacza wrażliwości
funkcji układowej na zmiany każdego z nich i na ich
podstawie przeprowadza symulacje w celu wyznaczenia
najgorszego przypadku. Każdemu parametrowi program
nadaje wartości leżące na granicach przedziału tolerancji.
Wartości parametrów są tak dobrane, aby wpływy
wszystkich odchyłek kumulowały się – istotne znaczenie
mają więc znaki odpowiednich wrażliwości. Po
wyznaczeniu wrażliwości symulacja jest przeprowadzana
tylko jeden raz.
A. P. Dobrowolski
6 - 12/12
7. Wprowadzenie do programu Spice
Zasady opisu topologii układu
ü układ musi zawierać węzeł o numerze „0” – najczęściej
przyjmuje się, że jest to węzeł masy;
ü numery węzłów muszą być kolejnymi liczbami naturalnymi;
ü nazwa danego elementu powinna rozpoczynać się odpowiadającym mu symbolem, np. dla tranzystora bipolarnego musi to być „Q”. Wpisanie w tym przypadku np.
nazwy T2 spowoduje wygenerowanie błędu, gdyż
symulator będzie oczekiwał struktury linii transmisyjnej –
pierwsza litera „T”;
ü nie mogą wystąpić dwa elementy o takiej samej nazwie,
np. dwa rezystory o nazwie R1;
A. P. Dobrowolski
7 - 2/35
Zasady opisu topologii układu
ü każda instrukcja sterująca, deklaracja elementu itp. niemieszcząca się w jednej linii pliku źródłowego może być
kontynuowana w linii następnej, która powinna się rozpoczynać znakiem kontynuacji linii „+”;
ü linie kontynuacji (oznaczone „+”) muszą następować po
liniach, których są kontynuacją;
ü nie może wystąpić węzeł, do którego jest podłączony tylko
jeden element (są wyjątki!);
ü układ nie może zawierać oczek składających się jedynie
ze źródeł napięciowych i indukcyjności;
ü każdy węzeł musi mieć stałoprądowe połączenie z węzłem „0”, czyli układ nie może zawierać rozcięć składających się jedynie ze źródeł prądowych i pojemności.
A. P. Dobrowolski
7 - 3/35
Elementy zbioru wejściowego
ü linia tytułowa (nawet pusta), jako pierwsza linia zbioru;
ü opis topologii obwodu i instrukcje analiz:
Ø blok komend ICL sterujących analizą,
Ø instrukcje dołączające wymagane biblioteki,
Ø instrukcje sterujące analizą i wyprowadzaniem
wyników obliczeń,
Ø opis struktury obwodu,
Ø definicje modeli elementów i podobwodów, które
występują w strukturze obwodu;
ü instrukcja .END, jako końcowa linia zbioru.
A. P. Dobrowolski
7 - 4/35
Przykładowa struktura
Linia tytułowa:
C:\Wzm.cir
.CONTROL
Save All
Alias VYout v(6)
View AC VYout
View AC ph_VYout=phase(VYout)
View Tran VYout
.ENDC
Blok komend ICL
A. P. Dobrowolski
7 - 5/35
Dołączenie biblioteki:
*INCLUDE Wlasna.lib
.Tran 0.1u 20u
.AC DEC 10 1 1G
.PRINT AC Vdb(VYout)
+ phase(VYout)
.PRINT Tran VYout
Instrukcje sterujące analizą
Wyprowadzanie wyników:
A. P. Dobrowolski
7 - 6/35
Opis struktury obwodu:
RB 3 2 2Meg
RC 3 4 2.7k
Ro 6 0 1k
Cs1 1 2 680n
Cs2 4 6 680n
Q1 4 2 0 BC108B
Vcc 3 0 10
Vg 1 0 AC 1
+ PULSE 0 10m 0 0 0 5u 10u
A. P. Dobrowolski
7 - 7/35
Definicja modelu:
.MODEL BC108B NPN BF=468 BR=4
+ CJC=4.7E-12 CJE=1.6E-11
+ IKF=6.0E-02 IS=1.02E-14
+ ISE=2.17E-12 NE=2.0 NF=1.0
+ NR=1.0 RB=3.3E+00 RC=3.3E-01
+ RE=8.1E-01 TF=4.7E-10
+ TR=6.2E-08 VAF=80 VAR=20
+ XTB=1.5
.END
Instrukcja końcowa:
A. P. Dobrowolski
7 - 8/35
Zasady opisu behawioralnego
Modelowanie behawioralne układów analogowych ABM
(Analog Behavioral Modeling) polega na zastosowaniu
źródeł i elementów o parametrach (np. napięcie źródłowe,
indukcyjność, itp.) uzależnionych od zmiennych występujących w obwodzie (takich jak np.: różnica potencjałów, prąd,
czas, częstotliwość, temperatura). Podstawą modelowania
behawioralnego są wyrażenia algebraiczne, logiczne i warunkowe umożliwiające opisanie „zachowania się” układu.
A. P. Dobrowolski
7 - 9/35
W wyrażeniach matematycznych dostępne są trzy globalne
zmienne związane z realizowanymi analizami, są to:
ü Time – bieżący czas symulacji w [s], możliwy do
wykorzystania w trakcie analizy czasowej .Tran;
ü Freq – bieżąca częstotliwość w [rad/s] – nie w [Hz] (!),
możliwa do wykorzystania w trakcie analizy
częstotliwościowej .AC;
ü Temp – bieżąca temperatura globalna analizowanego
układu w [°C], dostępna w trakcie wszystkich analiz.
A. P. Dobrowolski
7 - 10/35
Przykłady:
Funkcja logarytmująca napięcie:
V=2*ln(V(1))
Źródło prądu liniowo narastającego w czasie:
I=2e-4*Time
Termistor NTC (Negative Temperature Cofficient):
R=10k*exp(3450/(273+Temp)-3450/300)
Cewka z fluktuacjami indukcyjności:
L=995n+2n*Rand(5)
Warikap (dioda pojemnościowa):
C=220n/Sqrt(1-V(4)/0.7)
A. P. Dobrowolski
7 - 11/35
ABM – instrukcje warunkowe
Dostępne są instrukcje: if, then i else. Struktura typowego
wyrażenia, na przykładzie źródła behawioralnego, jest następująca
B1 n+ n- V=Warunek ? [Wart1] lub [Wyraż1] :
[Wart2] lub [Wyraż2]
ü
ü
ü
ü
ü
Warunek
Wart1/2
Wyraż1/2
?
:
-
wyrażenie typu: x > y lub x < y;
wartość liczbowa;
wyr. algebraiczne, logiczne lub mieszane;
zastępuje słowo Then (obustronne spacje);
zastępuje słowo Else (obustronne spacje).
A. P. Dobrowolski
7 - 12/35
B1 n+ n- V=Warunek ? [Wart1] lub [Wyraż1] :
[Wart2] lub [Wyraż2]
Interpretacja: jeżeli warunek jest prawdziwy to wydajność
napięciowa źródła behawioralnego, czyli napięcie między
węzłami n+ n-, jest równa wartości Wart1 lub wynikowi
obliczeń wyrażenia Wyraż1, w przeciwnym wypadku jest
równa Wart2 (lub Wyraż2).
A. P. Dobrowolski
7 - 13/35
Przykład (ogranicznik napięcia)
B1 2 0 V=V(1)<.5 ? V(1)*.5+.25
: V(1)>1.53 ? 1.54 : V(1)
Źródło behawioralne B1 pełni rolę źródła napięciowego o wydajności V, włączonego między węzeł 2 i masę.
· Jeśli potencjał węzła 1 V(1) jest mniejszy niż 0,5 V, to
V = V(1)×0,5+0,25 V
· Jeśli potencjał węzła 1 V(1) jest większy niż 1,53 V, to
V = 1,54 V
· W pozostałych przypadkach
V = V(1)
A. P. Dobrowolski
7 - 14/35
ABM – instrukcje logiczne
W zakresie boolowskich instrukcji logicznych można wykorzystywać operatory and ( & ), or ( | ) i not ( ~ ). W tego typu
wyrażeniach wykorzystuje się parametry ustawiane dyrektywą .OPTIONS, są to Lone (Level one – poziom jedynki),
Lzero (Level zero – poziom zera), Lthresh (Level threshold –
poziom progu).
Domyślnie
Lone = 3,5; Lzero = 0,3; Lthresh = 1,5
W celu zasymulowania np. idealnych układów logicznych
standardu TTL należy zastosować dyrektywę
.OPTIONS LONE=5 LZERO=0 LTHRESH=2.5
A. P. Dobrowolski
7 - 15/35
ABM – instrukcje logiczne
Jeżeli wynik warunku jest większy niż próg (Lthresh), to wynik
równania boolowskiego przyjmuje wartość odpowiadającą
logicznej „jedynce” (Lone). W przeciwnym przypadku podstawiana jest wartość równa Lzero.
Przykład (prosty układ kombinacyjny – bramka NAND )
B1 3 0 V=~(V(1)&V(2))
Jeśli potencjały węzła 1 i 2 będą jednocześnie większe od napięcia progowego, to wydajność napięciowa źródła behawioralnego B1 (w tym przypadku potencjał węzła 3) będzie
równa wartości odpowiadającej logicznemu zeru. W każdym
innym przypadku wyniesie Lone.
A. P. Dobrowolski
7 - 16/35
Deklaracje elementów biernych
Rezystor
Rnazwa n+ n- [Wartość] lub [R=Wyrażenie]
lub
[Model [L=Dł [W=Szer]]] [Temp=t]
n+, nWartość
Wyrażenie
Model
Dł, Szer
t
-
numery węzłów,
wartość rezystancji (musi być różna od zera),
wyrażenie zgodne z zasadami ABM,
nazwa modelu rezystora,
wymiary geom. rezystora półprzewodnikowego,
temperatura rezystora.
Przykłady:
R1 1 2 10k
Rw 3 4 R=3.2e18*V(3,4)^-10
* warystor PHILIPS 592A14
Rp 5 6 RMODEL L=10u W=1u
A. P. Dobrowolski
7 - 17/35
Kondensator
Cnazwa n+ n- [Wartość]
lub
[C=Wyrażenie]
lub
[Model L=Dł [W=Szer]] [IC=V]
Cewka
Lnazwa n+ n- [Wartość]
lub
[L=Wyrażenie] [IC=I]
A. P. Dobrowolski
7 - 18/35
Indukcyjność wzajemna
Indukcyjność wzajemną deklaruje się poprzez współczynnik sprzężenia między zadeklarowanymi wcześniej cewkami, wg składni:
Knazwa Lnazwa1 Lnazwa2 Wartość
Lnazwa1 i Lnazwa2 - nazwy sprzężonych indukcyjnie cewek,
Wartość
- współczynnik sprzężenia należący do
przedziału otwartego (0 ¸1).
Indukcyjność wzajemna określona jest wzorem
M = Wartość × Lnazwa1 × Lnazwa 2
Przykład:
K12 L1 L2 .9999
A. P. Dobrowolski
7 - 19/35
Deklaracje elementów „katalogowych”
Dioda
Dnazwa na nc Model [Area] [Off] [IC=Vd] [Temp=t]
na, nc
Model
Area
Off
Vd
t
- numery węzłów odpowiednio anody i katody,
- nazwa modelu diody,
- współczynnik zwielokrotnienia powierzchni,
- parametr stosowany podczas analizy DC,
- warunki początkowe (napięcie anoda-katoda) uwzględniane,
gdy włączony jest parametr UIC w deklaracji Tran,
- temperatura diody.
Przykłady:
D1 2 4 1N4001 Off
D2 3 7 DMODEL 3 IC=0.2V Temp=50
A. P. Dobrowolski
7 - 20/35
Deklaracje elementów „katalogowych”
Tranzystor bipolarny
Qnazwa nc nb ne [ns] Model [Area] [Off]
[IC=Vbe, Vce] [Temp=t]
nc, nb, ne, ns
Model
Area
Off
Vbe, Vbc
t
- numery węzłów kolektora, bazy, emitera i podłoża,
- nazwa modelu tranzystora,
- współczynnik zwielokrotnienia powierzchni,
- parametr stosowany podczas analizy DC,
- warunki początkowe (napięcia BE i CE),
- temperatura tranzystora.
Przykłady:
Q1 4 7 0 BC108B
Q2 1 2 4 QMOD IC=0.64, 5.0
A. P. Dobrowolski
7 - 21/35
Parametry modelu tranzystora bipolarnego
**********
*SRC=BC108B;BC108B;BJTs NPN;Gen. Purpose;25V 200mA
.MODEL BC108B NPN (IS=1.02E-14 NF=1.0 BF=468 VAF=80
+ IKF=6.0E-02 ISE=2.17E-12 NE=2.0 BR=4 NR=1.0 VAR=20
+ XTB=1.5 RE=8.1E-01 RB=3.3E+00 RC=3.3E-01
+ CJE=1.6E-11 CJC=4.7E-12 TF=4.7E-10 TR=6.2E-08)
* Philips 20 Volt 0.10 Amp 340 MHz SiNPN Transistor
**********
A. P. Dobrowolski
7 - 22/35
Deklaracje źródeł
Dla wszystkich elementów obowiązuje ogólna zasada, że przez
element prąd płynie od węzła n+ do węzła n-, zaś strzałka
napięcia wskazuje węzeł n+. A zatem, w przypadku źródła
napięciowego węzeł n+ identyfikuje wyższy potencjał – strzałka
napięcia skierowana jest od n- do n+. W przypadku źródła
prądowego prąd płynie od węzła n+ do węzła n- przez źródło (w
obwodzie zewnętrznym od n- do n+).
+
+
n
R
+
n
UR
I
n
UI
IR
V
IV
-
n
-
n
A. P. Dobrowolski
-
n
7 - 23/35
Źródła niezależne
Deklaracje obu niezależnych źródeł są identyczne, za
wyjątkiem pierwszej, kluczowej, litery nazwy. W przypadku
niezależnego źródła prądowego jest to I, a w przypadku
źródła napięciowego V.
A. P. Dobrowolski
7 - 24/35
Vnazwa n+ n- [[DC] Wartość]
[AC Amplituda [Faza]]
[DistoF1 [AmplitudaF1 [FazaF1]]]
+ [DistoF2 [AmplitudaF2 [FazaF2]]]
lub
lub
lub
lub
[PULSE v1 v2 [td [tr [tf [pw
+ [per [phase]]]]]]]
[SIN vo va [freq [td [kd [phase]]]]]
[PWL t1 v1 t2 v2 ... tn vn]
[SFFM vo va fc [mdi [fm [phase]]]]
[EXP v1 v2 [td1 [t1 [td2 [t2]]]]]
A. P. Dobrowolski
7 - 25/35
Przykłady:
VCC 1 0 5
VG1 2 0 AC 1
I12 3 4 DC 2 AC 1
Vin 5 0 DistoF1 10m 90 DistoF2 5m 45
IWE 6 7 AC 1 SIN 1m 0.5m 10k
A. P. Dobrowolski
7 - 26/35
Rodzaje źródeł dla analizy czasowej
ü sygnał impulsowy;
ü (tłumiony) sygnał harmoniczny;
ü sygnał odcinkowo liniowy;
ü sygnał zmodulowany częstotliwościowo pojedynczym
tonem;
ü sygnał eksponencjalny;
ü dowolny sygnał – dzięki zastosowaniu źródła
behawioralnego.
A. P. Dobrowolski
7 - 27/35
Sygnał impulsowy (PULSE)
PULSE v1 v2 [td [tr [tf [pw [per [phase]]]]]]
Przykład:
V1 1 0 PULSE 0 1 100n 40n 90n 200n 390n
A. P. Dobrowolski
7 - 28/35
Tłumiony sygnał harmoniczny (SIN)
SIN vo va [freq [td [kd [phase]]]]
Przykład:
V1 1 0 SIN 5 4 10k 0.13m 1e3 45
A. P. Dobrowolski
7 - 29/35
Sygnał odcinkowo-liniowy (PWL)
PWL t1 v1 t2 v2 ... tn vn [r]
Przykład:
V1 1 0 PWL 5n 0 90n 1 150n 1 225n .5 250n .7 r
A. P. Dobrowolski
7 - 30/35
Sygnał zmodulowany częstotliwościowo (SFFM)
SFFM vo va fc [mdi [fm [phase]]]
Przykład:
V1 1 0 SFFM 0 10m 10.7Meg 3 1k 90
A. P. Dobrowolski
7 - 31/35
Sygnał exponencjalny (EXP)
EXP v1 v2 [td1 [t1 [td2 [t2]]]]
Przykład:
V1 1 0 EXP 0 15m 0 25n 200n 25n
A. P. Dobrowolski
7 - 32/35
Źródła zależne
Źródło prądowe sterowane prądem
Fnazwa n+ n- Vnazwa k
n+, n- - numery węzłów wyjściowych,
Vnazwa - źródło napięciowe dołączone do węzłów
nc+ i nc-, przez które przepływa prąd sterujący,
k
- transmitancja prądowa w [A/A].
Przykład:
F1 2 0 Vcc 100
Prąd wyjściowy obliczany jest z zależności
I out = k × I in
Iout - prąd płynący w obwodzie zewnętrznym od węzła n- do n+,
Iin - prąd płynący przez źródło Vnazwa od węzła nc+ do nc- .
A. P. Dobrowolski
7 - 33/35
Źródła zależne
Źródło prądowe sterowane napięciem
Gnazwa n+ n- nc+ nc- g
Źródło napięciowe sterowane prądem
Hnazwa n+ n- Vnazwa r
Źródło napięciowe sterowane napięciem
Enazwa n+ n- nc+ nc- k
A. P. Dobrowolski
7 - 34/35
Źródło behawioralne
Bnazwa n+ n- [I=Wyrażenie] [V=Wyrażenie]
n+, n- numery węzłów wyjściowych,
Wyrażenie - wyrażenie zgodne z zasadami ABM.
Instrukcja ta służy do deklaracji zarówno źródeł prądowych
jak i napięciowych.
O rodzaju źródła decyduje użyty parametr: I zdeterminuje
typ źródła jako prądowe, a V jako napięciowe. Jednocześnie
można użyć tylko jednego z tych parametrów.
Przykłady:
B1 1 0 V=cos((V(1,2)^2))
B2 2 0 I=cos(V(1))*cos(V(2))
A. P. Dobrowolski
ß źródło napięciowe
ß źródło prądowe
7 - 35/35
8. Przegląd implementacji programu Spice
ICAP/4 Windows
Demo Ver. 8.3.10 Build 2127
www.intusoft.com
A. P. Dobrowolski
8 - 2/49
Interaktywny język sterowania symulacją ICL
Ponieważ wyliczony na podstawie zadeklarowanych elementów punkt
pracy różni się od założonego (2mA, 5V), do znalezienia właściwych
rezystancji dzielnika w bazie tranzystora wykorzystamy komendy ICL.
A. P. Dobrowolski
8 - 3/49
A. P. Dobrowolski
8 - 4/49
A. P. Dobrowolski
8 - 5/49
A. P. Dobrowolski
8 - 6/49
Analiza stałoprądowa
Krokowa analiza stałoprądowa umożliwia uzyskanie rodzin
charakterystyk statycznych badanego układu. Po wyznaczeniu stałoprądowego punktu pracy wydajności zadeklarowanych do analizy źródeł prądów i napięć stałych są odpowiednio zmieniane i każdorazowo przeprowadzana jest analiza stałoprądowa.
.DC Źródło1 Start1 Stop1 Krok1
[Źródło2 Start2 Stop2 Krok2]
- niezależne źródła V lub I, których wydajności są
zmieniane w trakcie analizy,
Start1/2, Stop1/2 - wartości początkowe i końcowe, wydajności
źródeł Źródło1 i Źródło2,
Krok1/2
- przyrosty wydajności źródeł Źródło1 i Źródło2.
Źródło1/2
A. P. Dobrowolski
8 - 7/49
W przypadku zastosowania drugiego źródła Źródło2,
deklaracja .DC umożliwia otrzymanie rodziny charakterystyk
statycznych (np. wyjściowych tranzystora bipolarnego).
W tym przypadku drugie źródło zmienia swoją wydajność
w ustalonym zakresie, dla kolejnych wydajności źródła
pierwszego.
Przykłady:
.DC VIN 2.25 5.0 0.25
.DC VDS 0 10 .5 VGS 0 5 1
.DC VCE 0 10 .25 IB 0 10U 1U
A. P. Dobrowolski
8 - 8/49
A. P. Dobrowolski
8 - 9/49
A. P. Dobrowolski
8 - 10/49
A. P. Dobrowolski
8 - 11/49
A. P. Dobrowolski
8 - 12/49
Małosygnałowa analiza zmiennoprądowa
.AC Rodzaj_skali Ilość_punktów fStart fStop
Przykłady:
.AC DEC 10 1 10K
.AC OCT 10 1K 100MEG
.AC LIN 100 1 100
Gdy układ zawiera tylko jedno wejściowe źródło zmiennoprądowe, dogodnie jest przyjąć dla niego jednostkową amplitudę i zerową fazę początkową. Wielkość wyjściowa wskazana w deklaracji .Print jest wówczas liczbowo równa odpowiedniej immitancji układu.
A. P. Dobrowolski
8 - 13/49
A. P. Dobrowolski
8 - 14/49
A. P. Dobrowolski
8 - 15/49
Analiza zniekształceń nieliniowych przeprowadzana jest przy
założeniu, że do wejścia układu doprowadza się pojedynczy
sygnał harmoniczny (DistoF1) lub sumę dwóch sygnałów
harmonicznych (DistoF1 + DistoF2) określonych w deklaracjach źródeł.
Wykorzystując uproszczone wielkosygnałowe modele elementów i zmieniając częstotliwość podstawową f1 w zadanym
zakresie i z założonym krokiem, program SPICE, z wykorzystaniem odpowiednich wyrażeń dla każdej gałęzi nieliniowej,
wyznacza drugą i trzecią harmoniczną sygnału podstawowego, tj. 2f1 i 3f1, jeśli zadeklarowano tylko częstotliwość f1
lub składowe intermodulacyjne drugiego i trzeciego rzędu:
f1-f2, f1+f2 i 2f1-f2, gdy zadeklarowano ponadto częstotliwość
f2.
A. P. Dobrowolski
8 - 16/49
.Disto Skala Punkty fStart fStop [f2/f1]
Przykład:
V1 1 2 AC=1 DistoF1=5m DistoF2=2m
.Disto DEC 10 1K 1MEG 0.49
A. P. Dobrowolski
8 - 17/49
A. P. Dobrowolski
8 - 18/49
A. P. Dobrowolski
8 - 19/49
A. P. Dobrowolski
8 - 20/49
A. P. Dobrowolski
8 - 21/49
Analiza szumowa
.Noise Wyjście Źródło Rodzaj_skali
Ilość_punktów fStart fStop Krok
Wyjściem może być potencjał lub różnica potencjałów
wybranych węzłów.
Przykłady:
.Noise V(1) I1 DEC 10 1 1K 1
.Noise V(2,3) V1 OCT 8 1.0 1.0E6 1
A. P. Dobrowolski
8 - 22/49
Analiza szumowa
A. P. Dobrowolski
8 - 23/49
Analiza szumowa
A. P. Dobrowolski
8 - 24/49
Analiza szumowa
A. P. Dobrowolski
8 - 25/49
Analiza szumowa
A. P. Dobrowolski
8 - 26/49
Analiza czasowa
.Tran TStep TStop [TStart [TMax]] [UIC]
Przykłady:
.Tran 10u 10m
.Tran 10n 10u 9u 1n UIC
Analiza przeprowadzana jest w przedziale <0, TStop> z krokiem TStep, natomiast wyniki generowane są dla przedziału
<TStart, TStop>. Wartość parametru TStart nie może być przy
tym mniejsza od zera. Jeśli parametr TStart zostanie pominięty, to program przyjmuje dla niego wartość zero. Wyniki
wyprowadzane są z krokiem czasowym określonym przez
parametr TStep. Wartość tego parametru nie może być
ujemna. Parametr TMax określa natomiast maksymalną
wartość kroku w procesie całkowania numerycznego.
A. P. Dobrowolski
8 - 27/49
Analiza czasowa
A. P. Dobrowolski
8 - 28/49
Analiza czasowa
A. P. Dobrowolski
8 - 29/49
Analiza czasowa
A. P. Dobrowolski
8 - 30/49
Analiza czasowa
A. P. Dobrowolski
8 - 31/49
Analiza czasowa
Data Step Time: 1us à 0.01us
A. P. Dobrowolski
8 - 32/49
Analiza czasowa
A. P. Dobrowolski
8 - 33/49
Analiza czasowa
A. P. Dobrowolski
8 - 34/49
Opcje programu
A. P. Dobrowolski
8 - 35/49
Opcje podstawowe
A. P. Dobrowolski
8 - 36/49
Opcje związane z symulacją
A. P. Dobrowolski
8 - 37/49
Opcje dotyczące elementów półprzewodnikowych
A. P. Dobrowolski
8 - 38/49
Opcje pracy analogowo-cyfrowej
A. P. Dobrowolski
8 - 39/49
Opcje związane z formatowaniem wyników
A. P. Dobrowolski
8 - 40/49
Opcje definiujące poziomy logiczne
A. P. Dobrowolski
8 - 41/49
Micro-Cap
Symulator układów analogowych i cyfrowych.
Schemat można narysować lub opisać w formacie
tekstowym zgodnym ze standardem SPICE.
www.spectrum-soft.com
A. P. Dobrowolski
8 - 42/49
MultiSim
Ø Interaktywne wykorzystanie narzędzi wirtualnych
A. P. Dobrowolski
8 - 43/49
MultiSim
Ø przyrządy firmy Agilent
A. P. Dobrowolski
8 - 44/49
MultiSim
Ø Wizualizacja „prezentacyjna”
www.electronicsworkbench.com
A. P. Dobrowolski
8 - 45/49
OrCAD PSpice A/D
www.orcad.com/PSpicead.aspx
A. P. Dobrowolski
8 - 46/49
TINA Pro PL
Toolkit for Interactive Network Analysis
A. P. Dobrowolski
8 - 47/49
TINA Pro PL
A. P. Dobrowolski
8 - 48/49
TINA Pro PL
www.tina.com
A. P. Dobrowolski
8 - 49/49

BE, n - Wojskowa Akademia Techniczna

Transkrypt

Podobne dokumenty