ax strojenia

1
Estymatory stanu obiektów MIMO
pJs
• Model obiektu dynamicznego
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t)
x(0)
(1)
(2)
gdzie A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p oraz C ∈ Rq×n .
• Zakªada si¦ 'oszcz¦dne' modelowanie wyj±cia y(t):
C posiada peªny wierszowy rz¡d rank C = q < n.
• Niech
C̄ ∈ R(n−q)×n
tak»e o peªnym wierszowym rz¦dzie rank C̄ = n − q
b¦dzie dowolnym ortogonalnym wierszowym uzupeªnieniem macierzy C
Ker⊥ C̄ = Ker C.
• Mamy zatem:
Im C T ⊕ Im C̄ T = Rn
⇓
x(t) = xC (t) + xC̄ (t) = PIm C T x(t) + PIm C̄ T x(t). (3)
2
• Operatory rzutowania:
PIm C T = C + C ∈ Rn×n
PIm C̄ T = C̄ + C̄ ∈ Rn×n .
• Mamy: xC̄ (t) ∈ Ker C , ∀t
Co oznacza, »e skªadnik xC̄ (t) nie mo»e ujawni¢ si¦
w sygnale wyj±ciowym y(t) obiektu.
• Ze wzorów (2) oraz (3) wynika
xC (t) = C + y(t).
• Wprowadzaj¡c pomocniczy sygnaª
ȳ(t) = C̄x(t)
otrzymujemy dogodn¡ reprezentacj¦ obserwowanego (estymowanego) wektora stanu
x(t) = C + y(t) + C̄ + ȳ(t)
w której wyst¦puje:
pomiarowo dost¦pny sygnaª y(t) ∈ Im C
oraz
sygnaª ȳ(t) ∈ Im⊥ C , dla którego
jako pomiarowo niedost¦pnego musimy zbudowa¢ odpowiedni
obserwator (estymator).
(4)
3
• Konstrukcja takiego obserwatora opiera si¦ na
modelu ewolucji obserwowanego sygnaªu ȳ(t)
ȳ˙ (t) = C̄ ẋ(t) = C̄Ax(t) + C̄Bu(t).
Na tej podstawie, uwzgl¦dniaj¡c (4), otrzymujemy poszukiwany model w postaci równania ró»niczkowego z praw¡
stron¡ aniczn¡ wzgl¦dem znanych sygnaªów
u(t) oraz y(t)
ȳ˙ (t) = C̄AC̄ + ȳ(t)+C̄Bu(t)+C̄AC + y(t),
ȳ(0) = C̄x(0).
• Aby zapewni¢ mo»liwo±¢ stabilizacji oraz 'strojenia' odpowiedniego obserwatora sygnaªu ȳ(t), wprowad¹my kolejny
pomocniczy sygnaª
z(t) = ȳ(t) − Ly(t)
gdzie
(5)
L ∈ R(n−q)×q
jest swobodnym parametrem
• Zachodzi oczywi±cie
z(t) = ȳ(t) − LCx(t) = (C̄ − LC)x(t).
(6)
• Ze wzorów (4) oraz (5) wynika, »e
x(t) = (C + + C̄ + L)y(t) + C̄ + z(t).
(7)
4
• Estymata x̂(t) stanu x(t) ma posta¢:
x̂(t) = (C + + C̄ + L)y(t) + C̄ + ẑ(t)
(8)
gdzie ẑ(t) jest pewnym oszacowaniem sygnaªu z(t).
• Oszacowanie takie dostarcza odpowiedni obserwator.
Ze wzorów (1), (6) oraz (7), otrzymujemy równanie
ż(t) = (C̄ −LC)(AC̄ + z(t)+Bu(t)+A(C + + C̄ + L)y(t))
bed¡ce podstaw¡ syntezy tego obserwatora
˙
ẑ(t)
= Fz ẑ(t)+Gzu u(t)+Gzy y(t),
ẑ(0) = (C̄−LC)x(0)
(9)
gdzie:
Fz = (C̄ − LC)AC̄ +
Gzu = (C̄ − LC)B
Gzy = (C̄ − LC)A(C + + C̄ + L).
• Ewolucj¦ bª¦du
ez (t) = z(t) − ẑ(t)
opisuje wzór
ez (t) = eFz t ez (0).
5
• Macierz Fz jest aniczn¡ funkcj¡ parametru L
Fz = C̄AC̄ + − LCAC̄ +
(10)
zatem po speªnieniu warunku
obserwowalno±ci (wykrywalno±ci)
pary macierzy
(C̄AC̄ + , CAC̄ + )
uzyskujemy mo»liwo±¢ stabilizacji obserwatora danego
wzorem (9), czyli ksztaªtowanie gasn¡cej do zera trajektorii bª¦du ez (t), ∀ez (0).
• Opis poszukiwanego obserwatora wektora stanu x(t) skªada
si¦ zatem z dwóch równa«
˙
ẑ(t)
= Fz ẑ(t)+Gzu u(t)+Gzy y(t),
ẑ(0) = (C̄−LC)x(0)
x̂(t) = Gxy y(t) + Gxz ẑ(t)
przy czym:
Gxy = C + + C̄ + L
Gxz = C̄ + .
6
• Struktur¦ tego estymatora ilustruje rysunek.
• Poniewa» zakªada si¦ dokªadn¡ znajomo±¢ wyj±cia y(t),
zatem jedynym ¹ródªem bª¦du estymacji stanu x(t) jest
niepewno±¢ oszacowania ẑ(0).
• Ewolucja ª¦du estymacji ex (t) = x(t) − x̂(t):
ex (t) = C̄ + ez (t) = C̄ + eFz t ez (0)
co potwierdza fakt, »e
ex (t) ∈ Ker C.
• Mamy wi¦c klasyczny problem rozmieszczania warto±ci
wªasnych (PP ) sformuªowany dla pary macierzy
(C̄AC̄ + , CAC̄ + ).